山西省呂梁市交城縣2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

2023—2024學(xué)年第一學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題九年級(jí)數(shù)學(xué)一、選擇題(本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分)1.下列圖形中，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形的定義，根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形；如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形．【詳解】解：A、是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、既是中心對(duì)稱圖形又是是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；D、是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．2.一元二次方程的根的情況是（）A.有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根【答案】D【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，先求出的值，再判斷出其符號(hào)即可，熟知一元二次方程的根的判別式的意義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故選：．3.如圖，從正面看碗的輪廓近似一條拋物線，以頂點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，若，，則此拋物線的解析式為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此題考查了根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)解析式，直接根據(jù)題意得出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而假設(shè)出拋物線解析式，進(jìn)而得出答案，正確得出點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，設(shè)拋物線解析式為：，則，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為：，故選：．4.在足球聯(lián)賽中，每?jī)芍ё闱蜿?duì)之間要進(jìn)行一次主場(chǎng)比賽和一次客場(chǎng)比賽，共進(jìn)行了20場(chǎng)比賽，請(qǐng)問(wèn)共有多少支足球隊(duì)參加了足球聯(lián)賽？（）A.10 B.6 C.5 D.4【答案】C【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分析出每個(gè)隊(duì)與其他隊(duì)都要進(jìn)行主、客場(chǎng)比賽，即每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間要進(jìn)行兩場(chǎng)比賽，設(shè)有個(gè)足球隊(duì)，比賽場(chǎng)次共有場(chǎng)，再根據(jù)共有20場(chǎng)比賽活動(dòng)來(lái)列出方程，從而求解．【詳解】解：設(shè)有個(gè)足球隊(duì)參加，依題意，，整理，得，，解得：，（舍去）；即：共有5個(gè)足球隊(duì)參加比賽．故選：C．5.已知是拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)為()A. B. C. D.，【答案】C【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，求得對(duì)稱軸為直線，進(jìn)而根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，可得答案．【詳解】解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴，故選：C．6.將拋物線向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，先根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)根據(jù)向左平移橫坐標(biāo)加，向下平移縱坐標(biāo)減，求出平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)平移的規(guī)律：左加右減，上加下減，并用規(guī)律求函數(shù)解析式．【詳解】解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∵將拋物線向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，∴平移后的拋物線為，即，∴平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：．故選：D．7.如圖，是的直徑，，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了圓周角定理的應(yīng)用，由圓周角定理可以求得的度數(shù)，再由是的直徑可得是直角三角形，再由直角三角形的性質(zhì)即可得到的度數(shù)，熟練掌握?qǐng)A周角的性質(zhì)和定理、直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由圓周角定理可得：，∵是的直徑，∴∴，∴，故選．8.某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，第一季度生產(chǎn)了萬(wàn)件，由于市場(chǎng)供不應(yīng)求，該工廠加大了產(chǎn)量，此后兩個(gè)季度產(chǎn)量逐季度增加，前三個(gè)季度共生產(chǎn)萬(wàn)件．已知第二季度和第三季度的增長(zhǎng)率相同．設(shè)第二季度和第三季度的增長(zhǎng)率為，則可列正確的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，等量關(guān)系為：1月份利潤(rùn)1月份的利潤(rùn)(1+增長(zhǎng)率)1月份的利潤(rùn)，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)2，3月份的月增長(zhǎng)率是，依題意有，故選：．9.如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，四邊形是平行四邊形，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，再由平行四邊形的性質(zhì)可得，得到，最后由三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，四邊形是平行四邊形，，，，故選：C．10.如圖，是直角三角形，，以為直徑作，交于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查求不規(guī)則圖形的面積，掌握分割法求面積，是解題的關(guān)鍵．連接，圓周角定理得到，，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出半徑，以及的長(zhǎng)，利用三角形的面積減去三角形的面積再減去扇性的面積，即可得出結(jié)果．詳解】解：連接，則：，∵為直徑，，∴，，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∵為的中線∴，∵，，∴陰影部分的面積為；故選B．二、填空題(本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分)11.把二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式為_(kāi)__________________.【答案】【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，直接用配方法將二次函數(shù)解析式化成頂點(diǎn)式即可求解．【詳解】解：故答案是：12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)____．【答案】【解析】【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，抓住旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∵，是繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，∴，故答案為：．13.如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)E，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】5【解析】【分析】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，設(shè)圓半徑為r，則，利用垂徑定理得到，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：設(shè)圓的半徑為r，則，∵，，∴，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴的長(zhǎng)為，故答案為：5．14.已知點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)在拋物線上，則，，的大小關(guān)系是為_(kāi)_________________________．【答案】【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是先得到拋物線的對(duì)稱軸為直線，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，通過(guò)三點(diǎn)與對(duì)稱軸距離的遠(yuǎn)近來(lái)比較函數(shù)值的大?。驹斀狻拷猓河蓲佄锞€可知對(duì)稱軸為直線，開(kāi)口向上，，∴點(diǎn)A和點(diǎn)C到對(duì)稱軸距離相等，點(diǎn)B到對(duì)稱軸距離最近，．故答案為：．15.我們約定：為函數(shù)的關(guān)聯(lián)數(shù)，當(dāng)其圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)時(shí)，該交點(diǎn)為“整交點(diǎn)”，若關(guān)聯(lián)數(shù)為的函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)整交點(diǎn)（m為正整數(shù)），則這個(gè)函數(shù)圖象上整交點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)___________．【答案】或或【解析】【分析】將關(guān)聯(lián)數(shù)為代入函數(shù)得到：，由題意將y=0和x=0代入即可．【詳解】解：將關(guān)聯(lián)數(shù)為代入函數(shù)得到：，∵關(guān)聯(lián)數(shù)為的函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)整交點(diǎn)（m為正整數(shù)），∴y=0，即，因式分解得，又∵關(guān)聯(lián)數(shù)為的函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)整交點(diǎn)，即∴m=1，∴，與x軸交點(diǎn)即y=0解得x=1或x=2，即坐標(biāo)為或，與y軸交點(diǎn)即x=0解得y=2，即坐標(biāo)為，∴這個(gè)函數(shù)圖象上整交點(diǎn)的坐標(biāo)為或或；故答案為：或或．【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)，涉及一元二次方程判別式判斷解的個(gè)數(shù)的關(guān)系及二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的求解辦法，難度一般，計(jì)算較多．三、解答題(本大題共8個(gè)小題，共75分)16.按要求解下列方程：（1）（公式法）（2）（因式分解法）【答案】（1），（2）【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程，（1）利用公式法，即可解答，（2）提取公因式，即可解答，解題的關(guān)鍵是熟練掌握各種解一元二次方程的方法技巧．【小問(wèn)1詳解】解：，∵，，，∴，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根∴，；【小問(wèn)2詳解】解：，，，可得或，．17.已知關(guān)于的一元二次方程.（1）求證：該一元二次方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若該方程的兩個(gè)根為，并且，試求的值.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）把方程整理成一元二次方程的一般形式，求出根的判別式，根據(jù)判別式的范圍即可得到結(jié)論，熟練掌握一元二次方程的根的判別式的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵；（2）根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得到，，再代入變形后的已知條件，進(jìn)行解方程即可得到答案.熟練掌握根與系數(shù)關(guān)系和正確變形是解題的關(guān)鍵．【小問(wèn)1詳解】證明：，整理得：，∵，∴，∴該一元二次方程總有實(shí)數(shù)根【小問(wèn)2詳解】由題意可得：，，∵∴，∴，∴，解得：18.為了喜迎杭州第十九屆亞運(yùn)會(huì)，某學(xué)校計(jì)劃對(duì)一塊寬為，長(zhǎng)為的矩形荒地進(jìn)行改造，要求修筑同樣寬鵝卵石小路,余下的部分種上草坪（陰影部分）,并使草坪的面積為．現(xiàn)在邀請(qǐng)全校同學(xué)參與設(shè)計(jì)，下面是三位同學(xué)分別設(shè)計(jì)的方案，請(qǐng)你選擇一種方案，求出道路的寬為多少米？（根據(jù)需要精確到0.1米）【答案】道路的寬為1米或道路的寬為2米或道路的寬為米．【解析】【分析】此題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，利用平移把道路進(jìn)行平移，再根據(jù)草地的面積公式列出一元二次方程即可求解，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系列出方程進(jìn)行求解．【詳解】解：選擇方案一設(shè)道路的寬為米，根據(jù)題意可列方程：，整理得：，解得：，（舍去），答：道路的寬為1米；選擇方案二設(shè)道路的寬為米，根據(jù)題意可列方程：，整理得：，解得：，（舍去），答：道路的寬為2米；選擇方案三設(shè)道路的寬為米，根據(jù)題意可列方程：，整理得：，解得：，（舍去）；答：道路的寬為米．19.一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，.（1）確定二次函數(shù)表達(dá)式；（2）請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中畫出二次函數(shù)的圖象；（3）根據(jù)函數(shù)的圖象直接寫出不等式的解集.【答案】（1）（2）見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，求解出，即可求出解析式；（2）先確定頂點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，再描點(diǎn)作圖即可；（3）不等式表示一次函數(shù)在拋物線上方的部分，根據(jù)圖象以及交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可以直接求解．【小問(wèn)1詳解】解：把，代入中，得：解得：∴拋物線的解析式為【小問(wèn)2詳解】解：如圖所示：【小問(wèn)3詳解】解：根據(jù)圖像得，不等式表示一次函數(shù)在拋物線上方的部分，根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)可得對(duì)應(yīng)解集為：【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)等知識(shí)，熟練掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解答的關(guān)鍵．20.如圖，是的直徑，點(diǎn)C，D是同側(cè)圓上兩點(diǎn)，，與交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)到F使，連接（1）求證：；（2）若平分，求證：為的切線．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用直徑所對(duì)的圓周角為直角，及公共邊證，得，進(jìn)而得．（2）由及直徑所對(duì)的圓周角為直角，證BD是EF的垂直平分線，進(jìn)而得，，再由平分進(jìn)而證明即可．【小問(wèn)1詳解】證明：是的直徑，，在和中，，，，；【小問(wèn)2詳解】，，，是的垂直平分線，，，平分，，，，，，，，，是的切線．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，切線的判定，直角三角形全等，線段垂直平分線，等腰三角形的判定定理與性質(zhì)定理．21.某超市經(jīng)銷一種魚(yú)，每千克成本為30元，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，該種商品的每天銷售量（千克）與銷售單價(jià)（元/千克）滿足一次函數(shù)關(guān)系，其每天銷售單價(jià)，銷售量的四組對(duì)應(yīng)值如表所示：銷售單價(jià)（元/千克）55606570銷售量（千克）70605040（1）求（千克）與（元/千克）之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少時(shí)，才能使當(dāng)天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【答案】（1）（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為60元千克時(shí)，才能使當(dāng)天的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1800元【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法來(lái)求一次函數(shù)的解析式即可；（2）利用每件的利潤(rùn)乘以銷售量可得總利潤(rùn)，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算即可．【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)與之間的函數(shù)表達(dá)式為，由題意得，解得：．與之間的函數(shù)表達(dá)式為．【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)當(dāng)天的銷售利潤(rùn)為元，由題意得，，當(dāng)時(shí)，．答：當(dāng)銷售單價(jià)定為60元千克時(shí)，才能使當(dāng)天的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1800元．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，掌握解法是解題的關(guān)鍵．22.綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】如圖1，有兩張等腰三角形紙片和，其中，，，繞著順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為（），點(diǎn)為的中點(diǎn)．【特例感知】（1）如圖，當(dāng)時(shí)，和的數(shù)量關(guān)系是______________；（2）如圖，當(dāng)時(shí)，連接，，請(qǐng)判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【深入探究】（3）如圖，當(dāng)為任意銳角時(shí)，連接，，則（）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）；（3）成立，理由見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）利用等腰三角形兩腰相等和為中點(diǎn)，得到，，，則可推出兩線段的數(shù)量關(guān)系；（2）利用已知條件求出，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，推出，再證明，即可得到；（3）添加輔助線，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，證明，則，最后根據(jù)三角形中位線定理即可得到．【小問(wèn)1詳解】∵，，∴，又∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，故答案為：；【小問(wèn)2詳解】，理由如下：∵，∴，∵，∴，在和中∴，∴，在中，∵為的中點(diǎn)，∴，∴；【小問(wèn)3詳解】成立，理由，證明：如圖，延長(zhǎng)到，使得，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∵是的中點(diǎn)，，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，以及旋轉(zhuǎn)，直角三角形斜邊上的直線等于斜邊的一半和中位線定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)的應(yīng)用．23.如圖1，二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)A，點(diǎn)B，交軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A的直線與拋物線交于點(diǎn).（1）請(qǐng)確定直線的解析式；（2