專題1.2 巧用有理數(shù)的七種方法（七大題型）（解析版）

專題1.2巧用有理數(shù)的七種方法（七大題型）重難點題型歸納【題型1歸類法】【題型2湊整法】【題型3拆項法】【題型4組合法】【題型5逆向法】【題型6裂項相消法】【題型7倒數(shù)求值法】滿分必練【題型1歸類法】【典例1】計算：0.125+2．【答案】0．【解答】解：0.125+2＝0.125+2.25﹣2.125﹣0.25＝0．【變式1-1】計算：．【答案】．【解答】解：＝﹣3+（﹣2）+＝﹣6+＝﹣5．【變式1-2】計算：．【答案】﹣1．【解答】解：＝＝＝＝2﹣3＝﹣1．【變式1-3】計算．（1）；（2）．【答案】（1）；（2）﹣7．【解答】解：（1）原式＝＝＝＝；（2）原式＝＝＝5+（﹣12）＝﹣7．【變式1-4】計算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）3；（2）﹣18；（3）﹣；（4）﹣5．【解答】解：（1）＝（﹣2.125+5.125）+（3.2﹣3.2）＝3；（2）＝（﹣21+）+（3﹣）＝﹣21+3＝﹣18；（3）＝﹣﹣＝﹣；（4）＝（﹣7.125+2.125）+（﹣3.37﹣2.63）+（6.25﹣0.25）＝﹣5﹣6+6＝﹣5．【變式1-5】計算：（1）﹣4+1.5﹣3.75+8；（2）﹣1.25﹣3+|﹣﹣1|．【答案】（1）2；（2）﹣3.5（或）．【解答】解：（1）原式＝﹣4.25+1.5﹣3.75+8.5＝（﹣4.25﹣3.75）+（1.5+8.5）＝﹣8+10＝2；（2）原式＝﹣1.25﹣3.75+＝﹣5+1.5＝﹣3.5（或）．【題型2湊整法】【典例2】計算：（﹣0.5）﹣（﹣3.2）+（+2.8）﹣（+6.5）．【答案】﹣1．【解答】解：原式＝﹣0.5+3.2+2.8﹣6.5＝（3.2+2.8）﹣（0.5+6.5）＝6﹣7＝﹣1．【變式2-1】計算：．【答案】1．【解答】解：＝3﹣2.4+1﹣1.6＝3+1﹣2.4﹣1.6＝5﹣4＝1．【變式2-2】計算：．【答案】5．【解答】解：原式＝2+2﹣5+5＝（2+5）+（2﹣5）＝8﹣3＝5．【變式2-3】（1）25.7+（﹣7.3）+（﹣13.7）+7.3；（2）（﹣2.125）+（+3）+（+5）+（﹣3.2）．【答案】（1）12；（2）3．【解答】解：（1）原式＝（25.7﹣13.7）+（﹣7.3+7.3）＝12+0＝12；（2）原式＝（﹣2.125+5）+（3﹣3.2）＝3+0＝3．【變式2-4】計算：（1）27﹣18+（﹣7）﹣32；（2）（﹣12）﹣（﹣）+（﹣8）﹣．【答案】（1）﹣30；（2）﹣19.5．【解答】解：（1）27﹣18+（﹣7）﹣32＝27﹣18﹣7﹣32＝（27﹣7）+（﹣18﹣32）＝20+（﹣50）＝﹣30；（2）（﹣12）﹣（﹣）+（﹣8）﹣＝﹣12+﹣8﹣＝（﹣12﹣8）+（﹣）＝﹣20+＝﹣19.5．【變式2-5】（2022秋?上蔡縣月考）計算：（1）225+217+（﹣51（2）3.75+（﹣5.18）﹣（﹣2.25）+5.18．【答案】（1）5（2）6【解答】解：（1）225+217+（﹣51＝225+217-＝（225+535）+（21＝8﹣3＝5；（2）3.75+（﹣5.18）﹣（﹣2.25）+5.18＝3.75﹣5.18+2.25+5.18＝（3.75+2.25）+（5.18﹣5.18）＝6．【變式2-6】（2022秋?石景山區(qū)校級期中）計算：（﹣12.7）﹣（﹣525）﹣87.3+33【答案】-91【解答】解：(-12.7)-(-5=-12.7+52＝（﹣12.7﹣87.3）+（525+3＝﹣100+9＝﹣91．【題型3拆項法】【典例3】用簡便方法計算：29×（﹣3）．【答案】﹣89．【解答】解：29×（﹣3）＝（30﹣）×（﹣3）＝30×（﹣3）﹣×（﹣3）＝﹣90+＝﹣89．【變式3-1】用簡便方法計算：．【答案】﹣2398．【解答】解原式＝（﹣100+）×24＝﹣100×24+×24＝﹣2400+2＝﹣2398．【變式3-2】用簡便方法計算：29×（﹣12）【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：原式＝（﹣）×[（﹣5）+13﹣3]＝（﹣）×5＝﹣11．【典例4】閱讀第（1）小題的計算方法，再計算第（2）小題．（1）﹣5；解：原式＝＝＝＝﹣1．上述這種方法叫做拆項法．靈活運用加法的交換律、結(jié)合律可使運算簡便．（2）仿照（1）中的方法計算：．【答案】（2）﹣3．【解答】解：（2）＝[（﹣2019）+（﹣）]+[（﹣2020）+（﹣）]+4038+（﹣）＝（﹣2019）+（﹣）+（﹣2020）+（﹣）+4038+（﹣）＝[（﹣2019）+（﹣2020）+4038]+[（﹣）+（﹣）+（﹣）]＝（﹣1）+（﹣2）＝﹣3．【變式4-1】先閱讀下列解題過程，再解答問題；（﹣5）+7＝[（﹣5）+（﹣）]+（7+）＝[（﹣5）+7]+[（﹣）+]＝2+＝2；上面這種方法叫拆項法，仿照上面的方法請你計算：（﹣2000）+（﹣1999）+4000+（﹣1）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（﹣2000）+（﹣1999）+4000+（﹣1）＝[（﹣2000）+（﹣1999）+4000+（﹣1）]+[（﹣）+（﹣）++（﹣）]＝0﹣1＝﹣1．【變式4-2】閱讀第（1）小題的計算方法，再計算第（2）小題．（1）﹣5﹣9+17﹣3解：原式＝（﹣5﹣）+（﹣9﹣）+（17+）+（﹣3﹣）＝[（﹣5）+（﹣9）+（﹣3）+17]+[（﹣）+（﹣）+（﹣）+]＝0+（﹣1）＝﹣1上述方法叫做拆項法，靈活運用加法的交換律、結(jié)合律可使運算簡便．（2）仿照上面的方法計算：﹣2018﹣2019+4034﹣．【答案】265．【解答】解：（2）﹣2018﹣2019+4034﹣＝（﹣2018﹣）+（﹣2019﹣）+（4304﹣）＝[（﹣2018）+（﹣2019）+4304]+[（﹣）+（﹣）﹣]＝267+（﹣2）＝265．【題型4組合法】【典例5】（2022秋?南開區(qū)期中）計算：﹣1+2﹣3+4﹣5+6+…﹣97+98﹣99＝﹣50．【答案】-50【解答】解：原式＝[（﹣1+2）+（﹣3+4）+（﹣5+6）+…（﹣97+98）]﹣99=1+1+1+?+1＝49﹣99＝﹣50，故答案為：﹣50．【變式5-1】（2022秋?襄汾縣期中）計算：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+……+2013+2014﹣2015﹣2016【答案】-2016【解答】解：∵1+2﹣3﹣4＝﹣4，5+6﹣7﹣8＝﹣4，即每四項結(jié)果為﹣4，2016÷4＝504，∴1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+…+2013+2014﹣2015﹣2016＝﹣4×504＝﹣2016．【變式5-2】（2022秋?工業(yè)園區(qū)月考）計算1+（﹣2）+3+（﹣4）+……+97+（﹣98）+99+（﹣100）的值為（）A．50 B．﹣50 C．101 D．﹣101【答案】B【解答】解：原式＝（1﹣2）+（3﹣4）+（4﹣5）+?+（99﹣100）=-1-1-1?-1＝﹣50，故選：B．【變式5-3】（2022秋?工業(yè)園區(qū)月考）計算：（1）1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99；（2）|1102-1101|+|1103-【答案】（1）-50（2）0【解答】解：（1）1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99＝（﹣2）+（﹣2）+…+（﹣2）＝﹣2×25＝﹣50；（2）|1102-1101|+|1103=1＝0．【題型5逆向法】【典例6】計算：﹣13×﹣0.34×+×（﹣13）﹣×0.34．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：﹣13×﹣0.34×+×（﹣13）﹣×0.34＝﹣13×+×（﹣13）﹣0.34×﹣×0.34＝﹣13×（+）﹣0.34×（+）＝﹣13×1﹣0.34×1＝﹣13﹣0.34＝﹣13.34．【變式6-1】計算：25×．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：原式＝25×（）＝25×（﹣）＝﹣5．【變式6-2】計算（1）（﹣48）×0.125+48×+（﹣48）×（2）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）原式＝（﹣48）×（0.125﹣+）＝（﹣48）×＝﹣60；（2）﹣5×（﹣）+11×（﹣）﹣3×（﹣），＝﹣5×（﹣）+11×（﹣）﹣6×（﹣），＝（﹣5+11﹣6）×（﹣），＝0．【變式6-3】用簡便方法計算：﹣13×﹣0.34×+×（﹣13）﹣×0.34【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）﹣13×﹣0.34×+×（﹣13）﹣×0.34＝﹣13×﹣×13﹣×0.34﹣0.34×＝﹣13×（+）﹣（+）×0.34＝﹣13×1﹣1×0.34＝﹣13﹣0.34＝﹣13.34【變式6-4】利用適當?shù)姆椒ㄓ嬎悖?．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：原式＝×（﹣9﹣18+1）＝×（﹣26）＝﹣14．【變式6-5】25×﹣（﹣25）×+25×．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：25×﹣（﹣25）×+25×，＝25×+25×+25×，＝25×（++），＝25×，＝．【變式6-6】用簡便方法計算：（﹣3）×（﹣）+0.25×24.5+（﹣3）×25%【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（﹣3）×（﹣）+0.25×24.5+（﹣3）×25%，＝3×+×24.5+（﹣3）×，＝×（3+24.5﹣3.5），＝×24，＝6【題型6裂項相消法】【典例7】閱讀第①小題計算方法，再類比計算第②小題．（1）①﹣5解：原式＝＝＝＝﹣1．上面這種方法叫做拆項法．②計算：．（2）①1﹣，1﹣，1﹣，…，上面這種方法叫做裂項法．②計算：．【答案】（1）②﹣2；（2）②．【解答】解：（1）②＝＝＝0+（﹣2）＝﹣2．（2）②∵，，，…，∴＝．【變式7-1】計算：+++（拆項相消法）【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：+++＝×（﹣+﹣+﹣+﹣）＝×（﹣）＝×＝．【變式7-2】閱讀下面的文字，完成解答過程．請你觀察：，…；；…以上方法稱為“裂項相消求和法”．請類比完成：（1）＝．（2）＝．（3）根據(jù)（1），（2）的計算，我們可以猜測下列結(jié)論：＝（﹣）（其中n，k均為正整數(shù)），并計算．【答案】（1）；（2）；（3）（﹣）；．【解答】解：（1）＝﹣+﹣+﹣+﹣＝1﹣＝，故答案為：；（2）＝×（﹣）+×（﹣）+×（﹣）+…+×（﹣）＝×[（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝×（1﹣）＝，故答案為：；（3）＝（﹣）；故答案為：（﹣）；＝×（﹣）+×（﹣）+×（﹣）+…+×（﹣）＝×[（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝＝×（1﹣）＝．【變式7-3】觀察下列等式：，，．將以上三個等式的兩邊分別相加得：；（1）計算：＝（直接寫結(jié)果）；（2）計算：＝（直接寫結(jié)果）；（3）探究并計算：①＝；②＝．【答案】（1）；（2）；（3）①；②．【解答】解：（1）＝1﹣＝1﹣＝，故答案為：；（2）＝1﹣+…+＝1﹣＝，故答案為：；（3）①＝×（+…+）＝＝＝，故答案為：；②＝﹣…+＝++…+＝+…+＝1+＝．故答案為：．【題型7倒數(shù)求值法】【典例8】數(shù)學老師布置了一道思考題“計算：”，小明和小紅兩位同學經(jīng)過仔細思考，用不同的方法解答了這個問題：小明的解法：原式＝＝＝＝小紅的解法：原式的倒數(shù)為＝﹣20+3﹣5+12＝﹣10故原式＝（1）你覺得小紅的解法更好．（2）請你用自己喜歡的方法解答下面的問題：計算：【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）你覺得小紅的解法更好．（2分）（2）原式的倒數(shù)為＝＝﹣7+9﹣28+12＝﹣14，故原式＝．【變式8-1】請你先認真閱讀材料：計算解：原式的倒數(shù)是（﹣+）÷（）＝（﹣+）×（﹣30）＝×（﹣30）﹣×（﹣30）+×（﹣30）﹣×（﹣30）＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12）＝﹣20+3﹣5+12＝﹣10故原式等于﹣再根據(jù)你對所提供材料的理解，選擇合適的方法計算：．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：原式的倒數(shù)是：（﹣+﹣）÷（﹣）＝（﹣+﹣）×（﹣42）＝﹣（×42﹣×42+×42﹣×42）＝﹣（7﹣9+28﹣12）＝﹣14，故原式＝﹣．【變式8-2】閱讀下列材料：計算50÷（﹣+）．解法一：原式＝50÷﹣50÷+50÷＝50×3﹣50×4+50×12＝550．解法二：原式＝50÷（﹣+）＝50÷＝50×6＝300．解法三：原式的倒數(shù)為（﹣+）÷50＝（﹣+）×＝×﹣×+×＝．故原式＝300．上述得出的結(jié)果不同，肯定有錯誤的解法，你認為解法一是錯誤的．請你選擇合適的解法解答下列問題：計算：（﹣）÷（﹣+﹣）