矢量分析報(bào)告

第一章矢量分析第一章矢量分析場(chǎng)的概念

標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度

矢量場(chǎng)的通量和散度

矢量場(chǎng)的環(huán)量和旋度

圓柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系

亥姆霍茲定理第一章矢量分析1.1場(chǎng)的概念1.1.1矢性函數(shù)在二維空間或三維空間內(nèi)的任一點(diǎn)P，它是一個(gè)既存在大小

(或稱為模)又有方向特性的量，故稱為實(shí)數(shù)矢量，用黑體A表示，而白體A表示A的大小(即A的模)。若用幾何圖形表示，它是從該點(diǎn)出發(fā)畫一條帶有箭頭的直線段，直線段的長(zhǎng)度表示矢量A的模，箭頭的指向表示該矢量A的方向。矢量一旦被賦予物理單位，便

成為具有物理意義的矢量，如電場(chǎng)強(qiáng)度E、磁場(chǎng)強(qiáng)度H、速度v等等。第一章矢量分析若某一矢量的模和方向都保持不變，此矢量稱為常矢，如某物體所受到的重力。而在實(shí)際問(wèn)題中遇到的更多的是模和方向或兩者之一會(huì)發(fā)生變化的矢量，這種矢量我們稱為變矢，如沿著某一曲線物體運(yùn)動(dòng)的速度v等。設(shè)t是一數(shù)性變量，A為變矢，對(duì)于某一區(qū)間G［a,b］內(nèi)的每一個(gè)數(shù)值t,A都有一個(gè)確定的矢量A

(t)與之對(duì)應(yīng)，則稱A為數(shù)性變量t的矢性函數(shù)。記為第一章矢量分析而G為A的定義域。矢性函數(shù)A(t)在直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)分量都是變量t的函數(shù)，分別為Ax(t)、Ay(t)、Az(t)，則矢性函數(shù)A

(t)也可用其坐標(biāo)表示為其中ex、ey、ez為x軸、y軸、z軸正向單位矢量。第一章矢量分析1.1.2標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)如果在某一空間區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的一個(gè)確定的值，則稱在此區(qū)域內(nèi)確定了該物理量的一個(gè)場(chǎng)。換句話說(shuō)，在某一空間區(qū)域中，物理量的無(wú)窮集合表示一種場(chǎng)。如在教室中溫度的分布確定了一個(gè)溫度場(chǎng)，在空間電位的分布確定了一個(gè)電位場(chǎng)。場(chǎng)的一個(gè)重要的屬性是它占有一定空間，而且在該空間域內(nèi)，除有限個(gè)點(diǎn)和表面外，其物理量應(yīng)是處處連續(xù)的。若該物理量與時(shí)間無(wú)關(guān)，則該場(chǎng)稱為靜態(tài)場(chǎng)；若該物理量與時(shí)間有關(guān)，則該場(chǎng)稱為動(dòng)態(tài)場(chǎng)或稱為時(shí)變場(chǎng)。第一章矢量分析在研究物理系統(tǒng)中溫度、壓力、密度等在一定空間的分布狀態(tài)時(shí)，數(shù)學(xué)上只需用一個(gè)代數(shù)變量來(lái)描述，這些代數(shù)變量(即標(biāo)量函數(shù))所確定的場(chǎng)稱為標(biāo)量場(chǎng)，如溫度場(chǎng)T(x,y,z)、電位場(chǎng)φ(x,y,z)等。然而在許多物理系統(tǒng)中，其狀態(tài)不僅需要確定其大小，同時(shí)還需確定它們的方向，這就需要用一個(gè)矢量來(lái)描述，因此稱為矢量場(chǎng)，例如電場(chǎng)、磁場(chǎng)、流速場(chǎng)等等。第一章矢量分析標(biāo)量場(chǎng)φ(x,y,z)的等值面方程為圖1-1矢量場(chǎng)的矢量線第一章矢量分析例1-1求數(shù)量場(chǎng)φ

=(x+y)2-z通過(guò)點(diǎn)M(1,0,1)的等值面方程。解：點(diǎn)M的坐標(biāo)是x0=1,y0=0,z0=1，則該點(diǎn)的數(shù)量場(chǎng)值為φ=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程為或第一章矢量分析例1-2求矢量場(chǎng)A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量線方程。解：矢量線應(yīng)滿足的微分方程為從而有解之即得矢量方程c1和c2是積分常數(shù)。第一章矢量分析1.2標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度1.2.1標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)圖1-2方向?qū)?shù)的定義第一章矢量分析設(shè)M0是標(biāo)量場(chǎng)φ=φ(M)中的一個(gè)已知點(diǎn)，從M0出發(fā)沿某一方

向引一條射線l,在l上M0的鄰近取一點(diǎn)M，MM0=ρ，如圖1-2所示。若當(dāng)M趨于M0時(shí)(即ρ趨于零時(shí))，的極限存在，則稱此極限為函數(shù)φ(M)在點(diǎn)M0處沿l方向的方向?qū)?shù)，記為第一章矢量分析若函數(shù)φ=φ(x,y,z)在點(diǎn)M0(x0,y0,z0)處可微，cosα、cosβcosγ為l方向的方向余弦，則函數(shù)φ在點(diǎn)M0處沿l方向的方向?qū)?shù)必定存在，且為證明：M點(diǎn)的坐標(biāo)為M(x0+Δx,y0+Δy,z0+Δz)，由于函數(shù)φ在M0處可微，故第一章矢量分析兩邊除以ρ，可得當(dāng)ρ趨于零時(shí)對(duì)上式取極限，可得第一章矢量分析在點(diǎn)M(1,1,2)處沿l=ex+2ey+2ez例1-3求數(shù)量場(chǎng)方向的方向?qū)?shù)。解：l方向的方向余弦為第一章矢量分析而數(shù)量場(chǎng)在l方向的方向?qū)?shù)為在點(diǎn)M處沿l方向的方向?qū)?shù)第一章矢量分析1.2.2標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)φ(x,y,z)在l方向上的方向?qū)?shù)為在直角坐標(biāo)系中，令第一章矢量分析矢量l°是l方向的單位矢量，矢量G是在給定點(diǎn)處的一常矢量。由上式顯然可見，當(dāng)l與G的方向一致時(shí)，即cos(G,l°)=1時(shí)標(biāo)量場(chǎng)在點(diǎn)M處的方向?qū)?shù)最大，也就是說(shuō)沿矢量G方向的方向?qū)?shù)最大，此最大值為第一章矢量分析在標(biāo)量場(chǎng)φ(M)中的一點(diǎn)M處，其方向?yàn)楹瘮?shù)φ(M)在M點(diǎn)處

變化率最大的方向，其模又恰好等于最大變化率的矢量G，稱為標(biāo)量場(chǎng)φ(M)在M點(diǎn)處的梯度，用gradφ(M)表示。在直角坐標(biāo)系中，梯度的表達(dá)式為梯度用哈密頓微分算子的表達(dá)式為第一章矢量分析設(shè)c為一常數(shù)，u(M)和v(M)為數(shù)量場(chǎng)，很容易證明下面梯度運(yùn)算法則的成立。第一章矢量分析例1-4設(shè)標(biāo)量函數(shù)r是動(dòng)點(diǎn)M(x,y,z)的矢量r=xex+yey+zez的模即，證明：證：因?yàn)榈谝徽率噶糠治鏊缘谝徽率噶糠治隼?-5求r在M(1，0，1)處沿l=ex+2ey+2ez方向的方向?qū)?shù)。解：由例1-2知r的梯度為點(diǎn)M處的坐標(biāo)為x=1,y=0,z=1,所以r在M點(diǎn)處的梯度為r在M點(diǎn)沿l方向的方向?qū)?shù)為第一章矢量分析而所以位為第一章矢量分析例1-6已知位于原點(diǎn)處的點(diǎn)電荷q在點(diǎn)M(x,y,z)處產(chǎn)生的電，其中矢徑r為r=xex+yey+zey，且已知電場(chǎng)強(qiáng)度與電位的關(guān)系是E=-▽?duì)?，求電?chǎng)強(qiáng)度E。解：根據(jù)▽f(u)=f′(u)·u的運(yùn)算法則，第一章矢量分析1.3矢量場(chǎng)的通量和散度1.3.1矢量場(chǎng)的通量將曲面的一個(gè)面元用矢量dS來(lái)表示，其方向取為面元的法線方向其大小為dS，即n是面元法線方向的單位矢量。n的指向有兩種情況：對(duì)開曲面上的面元，設(shè)這個(gè)開曲面是由封閉曲線l所圍成的，則選定繞行l(wèi)的方向后，沿繞行方向按右手螺旋的拇指方向就是n的方向，如圖1-3(a)所示；第一章矢量分析圖1-3法線方向的取法第一章矢量分析將曲面S各面元上的A·dS相加，它表示矢量場(chǎng)A穿過(guò)整個(gè)曲面S的通量，也稱為矢量A在曲面S上的面積分：如果曲面是一個(gè)封閉曲面，則第一章矢量分析1.3.2矢量場(chǎng)的散度稱此極限為矢量場(chǎng)A在某點(diǎn)的散度，記為divA，即散度的定義式為第一章矢量分析矢量場(chǎng)A的散度可表示為哈密頓微分算子▽與矢量A的標(biāo)量積，即第一章矢量分析1.3.3散度定理第一章矢量分析例1-7已知矢量場(chǎng)r=xex+yey+zez，求由內(nèi)向外穿過(guò)圓錐面x2+y2=z2與平面z=H所圍封閉曲面的通量。解：第一章矢量分析例1-8在坐標(biāo)原點(diǎn)處點(diǎn)電荷產(chǎn)生電場(chǎng)，在此電場(chǎng)中任一點(diǎn)處的電位移矢量為求穿過(guò)原點(diǎn)為球心、R為半徑的球面的電通量(見圖

1-4)。圖1-4例1-8圖第一章矢量分析解：由于球面的法線方向與D的方向一致，所以第一章矢量分析，例1-9原點(diǎn)處點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的電位移矢量試求電位移矢量D的散度。解：第一章矢量分析例1-10球面S上任意點(diǎn)的位置矢量為r=xex+yey+zez，求解：根據(jù)散度定理知而r的散度為所以第一章矢量分析1.4矢量場(chǎng)的環(huán)量和旋度在力場(chǎng)中，某一質(zhì)點(diǎn)沿著指定的曲線c運(yùn)動(dòng)時(shí)，力場(chǎng)所做的功可表示為力場(chǎng)F沿曲線c的線積分，即第一章矢量分析圖1-5矢量場(chǎng)的環(huán)量第一章矢量分析1.4.2矢量場(chǎng)的旋度第一章矢量分析第一章矢量分析第一章矢量分析1.4.3斯托克斯定理因?yàn)樾却韱挝幻娣e的環(huán)量，因此矢量場(chǎng)在閉合曲線c上的環(huán)量等于閉合曲線c所包圍曲面S上旋度的總和，即此式稱為斯托克斯定理或斯托克斯公式。它將矢量旋度的面積分變換成該矢量的線積分，或?qū)⑹噶緼的線積分轉(zhuǎn)換為該矢量旋度的面積分。式中dS的方向與dl的方向成右手螺旋關(guān)系。第一章矢量分析例1-11求矢量A=-yex+xey+cez(c是常數(shù))沿曲線(x-2)2+y2=R2,z=0的環(huán)量(見圖

1-6)。圖1-6例1-11圖第一章矢量分析解：由于在曲線l上z=0，所以dz=0。第一章矢量分析例1-12求矢量場(chǎng)A=x(z-y)ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在點(diǎn)M(1，01)處的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的環(huán)量面密度。解：矢量場(chǎng)A的旋度第一章矢量分析在點(diǎn)M(1，0，1)處的旋度n方向的單位矢量在點(diǎn)M(1，0，1)處沿n方向的環(huán)量面密度第一章矢量分析例1-13在坐標(biāo)原點(diǎn)處放置一點(diǎn)電荷q，在自由空間產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為求自由空間任意點(diǎn)(r≠0)電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度▽×E。第一章矢量分析解：第一章矢量分析1.5圓柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系1.5.1圓柱坐標(biāo)系圖1-7圓柱坐標(biāo)系第一章矢量分析第一章矢量分析第一章矢量分析哈密頓微分算子▽的表示式為拉普拉斯微分算子▽2的表示式為第一章矢量分析1.5.2

球面坐標(biāo)系圖1-8球面坐標(biāo)系第一章矢量分析第一章矢量分析故拉梅系數(shù)分別為第一章矢量分析哈密頓微分算子▽的表示式為拉普拉斯微分算子▽2的表示式為第一章矢量分析例1-14在一對(duì)相距為l的點(diǎn)電荷+q和-q的靜電場(chǎng)中，當(dāng)距離r>>l時(shí)，其空間電位的表達(dá)式為求其電場(chǎng)強(qiáng)度E(r,θ,φ)。解：在球面坐標(biāo)系中，哈密頓微分算子▽的表達(dá)式為第一章矢量分析因?yàn)榈谝徽率噶糠治?.6亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理的簡(jiǎn)單表達(dá)是：若矢量場(chǎng)F在無(wú)限空間中處處單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，而源分布在有限空間區(qū)域中，則矢量場(chǎng)由其散度和旋度唯一確定，并且可以表示為一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度和一個(gè)矢量函數(shù)的旋度之和，即假設(shè)在無(wú)限空間中有兩個(gè)矢量函數(shù)F和G，它們具有相同的散度和旋度。但這兩個(gè)矢量函數(shù)不等，可令第一章矢量分析由于矢量F和矢量G具有相同的散度和旋度，根據(jù)矢量場(chǎng)由其散度和旋度唯一確定，那么矢量g應(yīng)該為零矢量，也就是矢量

F與矢量G是同一個(gè)矢量。因?yàn)楱尅=▽·G，所以同樣由于▽×G=▽×F，所以第一章矢量分析由矢量恒等式▽×▽?duì)?/p>

=0,可令在無(wú)限空間中一個(gè)既有散度又有旋度的矢量場(chǎng)，可表示為一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)Fd(有散度)和一個(gè)無(wú)散場(chǎng)Fc(有旋度)之和：第一章