大學(xué)《微積分》課件2正項級數(shù)

§7.3正項級數(shù)一、正項級數(shù)收斂的基本定理二、比較判別法三、比值判別法四、根值判別法一、正項級數(shù)收斂的基本定理

正項級數(shù)各項都是正數(shù)或零的級數(shù)稱為正項級數(shù)

定理7

6

正項級數(shù)

收斂的充分必要條件是

它的部分和數(shù)列Sn有界

正項級數(shù)的部分和數(shù)列Sn是單調(diào)增加數(shù)列

即

S1

S2

Sn

1

Sn

單調(diào)數(shù)列收斂的充要條件是該數(shù)列有界,又因為故(P72,極限存在準(zhǔn)則II)定理7

7(比較判別法)un

cvn

(n

1,2,

c是大于0的常數(shù))

那么二、比較判別法

用比較準(zhǔn)則來判別級數(shù)的斂散性，注：選擇一個斂散性已知的級數(shù)作為比較級數(shù).關(guān)鍵在于定理7

7(比較判別法)

如果0

un

cvn

(n

1

2

c

0

為常數(shù))

那么

解

例1

判定級數(shù)的斂散性

所以所給級數(shù)也收斂

且其和小于2

解

它的各項均大于級數(shù)的對應(yīng)項

而后一個級數(shù)是發(fā)散的

所以由比較判別法可知調(diào)和級數(shù)發(fā)散

解

當(dāng)p

1時

有它的各項均小于級數(shù)用比較準(zhǔn)則來判別級數(shù)的斂散性，注：選擇一個斂散性已知的級數(shù)作為比較級數(shù).關(guān)鍵在于幾何級數(shù)、調(diào)和級數(shù)、p–級數(shù)

解

因為給級數(shù)發(fā)散

解

因為練習(xí):

判斷下列級數(shù)的斂散性

發(fā)散收斂收斂1.

un

,

vn均為無窮小時,

l

的值反映了它們不同階的比較.注:

2.

若un

為無窮小,關(guān)鍵在于尋找un

的等價無窮小量.定理7

7(比較判別法)

如果0

un

cvn

(n

1

2

c

0

為常數(shù))

那么那么找另一個級數(shù)與之做比較時,例7解：而發(fā)散，故原級數(shù)發(fā)散.練習(xí):

判斷下列級數(shù)的斂散性

發(fā)散收斂

若正項級數(shù)(1)當(dāng)l

1時級數(shù)收斂

(2)當(dāng)l

1時級數(shù)發(fā)散

(3)當(dāng)l

1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散

三、比值判別法

定理7

8(達(dá)朗貝爾比值判別法)定理7

8(達(dá)朗貝爾比值判別法)

當(dāng)l

1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散

注意：1、當(dāng)l

1時，判別法失效.例如：調(diào)和級數(shù)發(fā)散P-級數(shù)收斂定理7

8(達(dá)朗貝爾比值判別法)

當(dāng)l

1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散

注意：2、極限不存在（非無窮），判別法失效.收斂，但是例如n為偶數(shù)n為奇數(shù)極限不存在定理7

8(達(dá)朗貝爾比值判別法)

當(dāng)l

1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散

發(fā)散，但是例如極限不存在注意：2、極限不存在（非無窮），判別法失效.定理7

8(達(dá)朗貝爾比值判別法)

解

因為所以級數(shù)當(dāng)0

x

1時收斂

當(dāng)x

1時發(fā)散

當(dāng)l

1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散

且當(dāng)x>1時,例8.

解

因為所以級數(shù)當(dāng)0

x

1時收斂

當(dāng)x

1時發(fā)散

且當(dāng)x>1時,例8.例9.練習(xí):

判斷下列級數(shù)的斂散性

發(fā)散收斂發(fā)散四、根值判別法

定理7

9(柯西根值判別法)(1)當(dāng)

1時

級數(shù)收斂

(2)當(dāng)

1(或

)時

級數(shù)發(fā)散

(3)當(dāng)

1時

不能用此法判定級數(shù)的斂散性

定理7

9(柯西根值判別法)當(dāng)

1時

方法失效

時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如

,

p–

級數(shù)

但級數(shù)收斂

;級數(shù)發(fā)散.注意：定理7

9(柯西根值判別法)

解

因為

當(dāng)a

1時

根值判別法失效

但此時

通項的極限不為零

所以級數(shù)也發(fā)散

所以當(dāng)0

a

1時

級數(shù)收斂

當(dāng)a

1時

級數(shù)發(fā)散

當(dāng)

1時

方法失效

例10.

解

因為

當(dāng)a

1時

根值判別法失效

但此時

通項的極限不為零

所以級數(shù)也發(fā)散

所以當(dāng)0

a

1時

級數(shù)收斂

當(dāng)a

1時

級數(shù)發(fā)散

此外，當(dāng)a>1時，通項例10.練習(xí):

9、判斷級數(shù)的斂散性.收斂小結(jié)1、記住幾個級數(shù)：幾何級數(shù)、調(diào)和級數(shù)、p