大學(xué)《微積分》課件5泰勒公式和泰勒級數(shù)

§7.6泰勒公式與泰勒級數(shù)一、泰勒公式二、泰勒級數(shù)一、泰勒公式用微分作近似計(jì)算的不足在函數(shù)的微分一節(jié)中我們有

f(x)

f(x0)

f

(x0)(x

x0)

o(x

x0)(當(dāng)|x

x0|很小時)

略掉o(x

x0)

我們有求f(x)的近似公式

f(x)

f(x0)

f

(x0)(x

x0)(當(dāng)|x

x0|很小時)

其誤差為

R(x)

f(x)

f(x0)

f

(x0)(x

x0)需要解決的問題如何提高精度?如何估計(jì)誤差?不足:1.精確度不高;2.誤差不能定量的估計(jì).設(shè)想與分析我們希望找出一個關(guān)于(x

x0)的n次多項(xiàng)式

Pn(x)

a0

a1(x

x0)

a2(x

x0)2

an

(x

x0)n來近似表達(dá)f(x).關(guān)鍵：確定n次多項(xiàng)式系數(shù)2若有相同的切線3若彎曲方向相同近似程度越來越好

1若在x0點(diǎn)相交Pn(x0)=f(x0)Pn

(x0)=f

(x0)Pn

(x0)=f

(x0)

y=f(x)假設(shè)

Pn(k)(x0)=f(k)(x0)y=Pn

(x)xoyx0Pn(x)

a0

a1(x

x0)

a2(x

x0)2

an

(x

x0)nf

(n)(x0)

Pn(n)(x0)

n!an

f

(x0)

Pn

(x0)

3!a3

f

(x0)

Pn

(x0)

2!a2

f

(x0)

Pn

(x0)

a1

f(x0)

Pn(x0)

a0

提示

Pn

(x)

a1

2a2(x

x0)

nan(x

x0)n

1Pn

(x)

2a2

3

2a3(x

x0)

n(n

1)an

(x

x0)n

2

Pn

(x)

3!a3

4

3

2a4(x

x0)

n(n

1)(n

2)an

(x

x0)n

3

Pn(n)(x)

n!an

于是Pn(x)

a0

a1(x

x0)

a2(x

x0)2

an

(x

x0)nf

(n)(x0)

Pn(n)(x0)

n!an

f

(x0)

Pn

(x0)

3!a3

f

(x0)

Pn

(x0)

2!a2

f

(x0)

Pn

(x0)

a1

f(x0)

Pn(x0)

a0

于是

f(x)

則

f(x)

則誤差f

(n)(x0)

Pn(n)(x0)

n!an

f

(x0)

Pn

(x0)

3!a3

f

(x0)

Pn

(x0)

2!a2

f

(x0)

Pn

(x0)

a1

f(x0)

Pn(x0)

a0

于是猜想：

f(x)Pn

(x)其誤差為Rn

(x)

f(x)

Pn

(x)

f(x)

猜想：

f(x)Pn

(x)其誤差為Rn

(x)

f(x)

Pn

(x)

f(x)

則

f(x)=+Rn

(x)定理7

14(泰勒中值定理)

如果函數(shù)f(x)在含有x0的區(qū)間(a

b)內(nèi)有一階直到(n

1)階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)

則當(dāng)x

(a

b)時

f(x)可以表示為

上述等式稱為f(x)按(x

x0)的冪展開的n階泰勒公式

而Rn(x)的表達(dá)式稱為拉格朗日(Lagrange)型余項(xiàng)

泰勒系數(shù)k=0,1,2,

···,n是唯一的.定理7

14(泰勒中值定理)

當(dāng)x0

0時的泰勒公式稱為麥克勞林公式

就是

如果函數(shù)f(x)在含有x0的區(qū)間(a

b)內(nèi)有一階直到(n

1)階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)

則當(dāng)x

(a

b)時

f(x)可以表示為解例1

求f(x)=ex在x=0的n階泰勒公式.因?yàn)閒(n)(x)=ex,n=1,2,3,

所以f(n)(0)=e0=1,n=1,2,3,

于是

f(x)=ex在x=0的n階泰勒公式為:其中二、泰勒級數(shù)

如果f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)各階導(dǎo)數(shù)都存在

則對于任意的正整數(shù)n