八年級數(shù)學(xué)上冊單元題型精練（基礎(chǔ)題型+強(qiáng)化題型）（北師大版）：直角坐標(biāo)系中的面積問題（強(qiáng)化）（解析版）

專題3.1直角坐標(biāo)系中的面積問題【例題精講】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，，求四邊形的面積．【解答】解：如圖，作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)．則，，，，答：四邊形的面積是8.5．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，且，滿足，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）求，的值及；（2）若點(diǎn)在軸上，且，試求點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1），，，，，點(diǎn)，點(diǎn)．又點(diǎn)，，，．（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，又，，，，即，解得：或，故點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【題組訓(xùn)練】靜態(tài)面積1．如圖，四邊形各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，．求這個(gè)四邊形的面積．【解答】解：分別過點(diǎn)和點(diǎn)作軸和軸的平行線，如圖，則，所以．2．如圖，寫出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)并且求出三角形的面積．【解答】解：如圖，，，，．3．如圖，四邊形所在的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長均為1個(gè)單位長度．（1）建立以點(diǎn)為原點(diǎn)，邊所在直線為軸的直角坐標(biāo)系．寫出點(diǎn)、、、的坐標(biāo)；（2）求出四邊形的面積．【解答】解：（1）如圖，，，，；（2）四邊形的面積．4．在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的單位長度均為1，的三個(gè)頂點(diǎn)恰好是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)．（1）寫出圖中所示各頂點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）求出此三角形的面積．【解答】解：（1），，；（2）如圖所示：．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn)，其中滿足方程．（1）求點(diǎn)，的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)為軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且的面積為12，求點(diǎn)的坐標(biāo)；【解答】解：（1）解方程，得到，，．（2），，，，，，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，，．動(dòng)態(tài)面積7．已知：，，（1）求的面積；（2）設(shè)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且與的面積相等，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）；（2）如圖所示：以，為底，符合題意的有、、以，為底，符合題意的有：、．8．如圖，已知、、（1）求點(diǎn)到軸的距離；（2）求的面積；（3）點(diǎn)在軸上，當(dāng)?shù)拿娣e為6時(shí)，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1），，點(diǎn)到軸的距離為3；（2）、、，點(diǎn)到邊的距離為：，的面積為：．（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，的面積為6，、，，，或，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．9．如圖，，，點(diǎn)在軸上，且．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求的面積；（3）在軸上是否存在點(diǎn)，使以、、三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為10？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）點(diǎn)在點(diǎn)的右邊時(shí)，，點(diǎn)在點(diǎn)的左邊時(shí)，，所以，的坐標(biāo)為或；（2）的面積；（3）設(shè)點(diǎn)到軸的距離為，則，解得，點(diǎn)在軸正半軸時(shí)，，點(diǎn)在軸負(fù)半軸時(shí)，，綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．10．已知：如圖，的三個(gè)頂點(diǎn)位置分別是、、．（1）求的面積是多少？（2）若點(diǎn)、的位置不變，當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)？（3）若點(diǎn)、的位置不變，當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)？【解答】解：（1），，，，點(diǎn)到的距離為3，的面積；（2），以為底時(shí)，的高，點(diǎn)在軸正半軸時(shí)，；點(diǎn)在軸負(fù)半軸時(shí)，；（3），以為底時(shí)，的高為3，底邊，點(diǎn)在的左邊時(shí)，，即；點(diǎn)在的右邊時(shí)，，即．11．已知在平面直角坐標(biāo)系中有三點(diǎn)、、．請回答如下問題：（1）在坐標(biāo)系內(nèi)描出點(diǎn)、、的位置；（2）求出以、、三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積；（3）在軸上是否存在點(diǎn)，使以、、三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為10，若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）描點(diǎn)如圖；（2）依題意，得軸，且，；（3）存在；，，點(diǎn)到的距離為4，又點(diǎn)在軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．12．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)分別作軸、軸的平行線，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是從點(diǎn)出發(fā)，沿以2個(gè)單位長度秒的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒．（1）直接寫出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)0，、，；（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，用含的式子表示線段的長，并寫出的取值范圍；（3）點(diǎn)，連接、，在（2）條件下是否存在這樣的值，使，若存在，請求出值，若不存在，請說明理由．【解答】解：（1），，故答案為：0、6，8、0；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，由，，可得：，，，；當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，點(diǎn)走過的路程．（3）存在兩個(gè)符合條件的值，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，解得：，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，解得：，綜上所述：當(dāng)為3秒和5秒時(shí)，13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，其中，滿足．（1）填空：，；（2）如果在第三象限內(nèi)有一點(diǎn)，請用含的式子表示的面積；（3）在（2）條件下，當(dāng)時(shí)，在軸上有一點(diǎn)，使得的面積與的面積相等，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1），且，解得：，，故答案為：，3；（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，，，，又點(diǎn)在第三象限；（3）當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)有兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)在軸正半軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn)，，，解得：，點(diǎn)坐標(biāo)為；②當(dāng)點(diǎn)在軸負(fù)半軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn)，，，，解得：點(diǎn)坐標(biāo)為，故點(diǎn)的坐標(biāo)為或．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，其中，滿足．（1）求，的值；（2）如果在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)，請用含的式子表示四邊形的面積；（3）在（2）條件下，當(dāng)時(shí)，在坐標(biāo)軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)，使得四邊形的面積與的面積相等？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1），滿足，，，解得，．故的值是2，的值是3；（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)．四邊形面積；（3）當(dāng)時(shí)，四邊形的面積．，①當(dāng)在軸負(fù)半軸上時(shí)，設(shè)，則，解得；②當(dāng)在軸負(fù)半軸上時(shí)，設(shè)，則，解得．或．15．已知點(diǎn)、，且．（1）求、的值．（2）在軸的正半軸上找一點(diǎn)，使得三角形的面積是15，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）過（2）中的點(diǎn)作直線軸，在直線上是否存在點(diǎn)，使得三角形的面積是三角形面積的？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1），，，，；（2）如圖1，、，，三角形的面積是15，，，；（3）存在，如圖2，三角形的面積是15，，，，或．16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)，，，其中，滿足關(guān)系式，．（1）求、、三點(diǎn)的坐標(biāo)，并在坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)；（2）在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)，使得面積與的面積相等？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）如果在第四象限內(nèi)有一點(diǎn)，請用含的代數(shù)式表示四邊形的面積．【解答】解：（1）根據(jù)題意得，，，解得，，，點(diǎn)，，；（2），點(diǎn)在軸上時(shí)，，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為或，點(diǎn)在軸時(shí)，，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為或，綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或；（3），，，．17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，三點(diǎn)，其中、、滿足關(guān)系式，（1）求、、的值．（2）如果在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)，請用含的式子表示四邊形的面積．（3）在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)，使四邊形的面積與的面積相等？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）由已知，可得：，，；（2），，；（3）因?yàn)椋?，則，所以存在點(diǎn)使．18．如圖在直角坐標(biāo)系中，已知，，，三點(diǎn)，若，，滿足關(guān)系式：．（1）求，，的值．（2）求