廣東省中山市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

廣東省中山市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．某校為了研究學(xué)生的性別和對待某一活動的態(tài)度（支持與不支持）的關(guān)系，運用2×2列聯(lián)表進行獨立性檢驗．經(jīng)計算χ2α0.1000.0500.0250.0100.001x2.7063.8415.0246.63510.828A．2.5% B．1% C．97.5% D．99%2．要判斷成對數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度的強弱，可以通過比較它們的樣本相關(guān)系數(shù)r的大小，以下是四組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)的值，則線性相關(guān)最強的是（）A．r1=?0.95 B．r2=?03．6名同學(xué)排成一排，其中甲、乙、丙三人必須在一起的不同排法共有（）A．36種 B．72種 C．144種 D．720種4．下列求導(dǎo)數(shù)計算錯誤的是（）A．(1x)C．(xlnx)′5．一個盒子里裝有大小相同的4個黑球和3個白球，從中不放回地取出3個球，則白球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望是（）A．47 B．97 C．1276．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布，有下列四個命題：甲：P(ξ<a?1丙：P(ξ<a?2若這四個命題中有且只有一個是假命題，則該假命題為（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁7．設(shè)An，Bn分別為等比數(shù)列{an}，{bn}的前n項和．若A．12881 B．12780 C．32278．下列關(guān)于數(shù)列{(1+A．對一切n∈N?B．對一切n∈N?C．對一切n∈N?都有(1+1nD．對一切n∈N?都有(1+1n二、多選題9．函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′A．x=12為函數(shù)f(x)的零點 B．x=2為函數(shù)C．函數(shù)f(x)在(12，2)上單調(diào)遞減 D．10．已知P(A)=1A．P(AB)=38 B．P(AB)=1411．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為SA．{Snn} B．{nan12．設(shè)(2x+1)7A．a(chǎn)0+aC．a(chǎn)1+2a2+3a3+?+7a7三、填空題13．已知離散型隨機變量X服從兩點分布，且P(X=0)=3?4P(X=1)，則隨機變量X的方差為．14．某人投籃命中的概率為0.3，投籃15次，最有可能命中次．15．若函數(shù)f(x)=xlnx?x在區(qū)間[12四、雙空題16．楊輝三角在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中被記載，它的開頭幾行如圖所示，它包含了很多有趣的組合數(shù)性質(zhì)，如果將楊輝三角從第1行開始的每一個數(shù)Cnr都換成分數(shù)1(n+1)Cnr，得到的三角形稱為“萊布尼茨三角形”，萊布尼茨由它得到了很多定理，甚至影響到了微積分的創(chuàng)立，則“萊布尼茨三角形”第8行第5個數(shù)是五、解答題17．在(ax+1（1）求n的值；（2）若展開式中的常數(shù)項為552，求a18．已知函數(shù)f(x)=xln（1）求曲線y=f(x)在點(0，（2）證明：f(x)≥?x?1.19．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a（1）求{a（2）令bn=log3a3n，將數(shù)列{20．“業(yè)務(wù)技能測試”是量化考核員工績效等級的一項重要參考依據(jù)．某公司為量化考核員工績效等級設(shè)計了A，B兩套測試方案，現(xiàn)各抽取100名員工參加成績頻率[25[35[45[55[65[75[85方案A0.020.110.220.300.240.080.03方案B0.160.180.340.100.100.080.04參考公式與數(shù)據(jù)：（1）ln3.32≈1.2，ln5.2≈1.66，s≈20（1）從預(yù)測試成績在[85，95]的員工中隨機抽取3人，求恰有1人參加測試方案（2）由于方案A的預(yù)測試成績更接近正態(tài)分布，該公司選擇方案A進行業(yè)務(wù)技能測試．測試后，公司統(tǒng)計了若干部門測試的平均成績x與績效等級優(yōu)秀率y，如下表所示：x32415468748092y0.280.340.440.580.660.740.94根據(jù)數(shù)據(jù)繪制散點圖，初步判斷，選用y=λeμx作為回歸方程．令z=lny，經(jīng)計算得（?。┤裟巢块T測試的平均成績?yōu)?0，則其績效等級優(yōu)秀率的預(yù)報值為多少？（ⅱ）根據(jù)統(tǒng)計分析，大致認為各部門測試平均成績x～N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)21．根據(jù)社會人口學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，一個家庭有X個孩子的概率模型為：X1230概率ααα(1?p)α其中α>0，0<p<1.每個孩子的性別是男孩還是女孩的概率均為12且相互獨立，事件Ai表示一個家庭有i個孩子（1）若p=12，求α和（2）為了調(diào)控未來人口結(jié)構(gòu)，其中參數(shù)p受到各種因素的影響（例如生育保險的增加，教育?醫(yī)療福利的增加等）.①若希望P(X=2)增大，如何調(diào)控p的值？②是否存在p的值使得E(X)=522．已知函數(shù)f(（1）當(dāng)a=1時，求f(（2）當(dāng)a>0時，證明：f(x)存在唯一極值點x

答案解析部分1．【答案】C【知識點】獨立性檢驗的應(yīng)用【解析】【解答】因為5.024<6.058<6.636，所以有97.5%的把握認為“學(xué)生性別與支持該活動有關(guān)系“.

故答案為：C.2．【答案】A【知識點】樣本相關(guān)系數(shù)r及其數(shù)字特征【解析】【解答】因為r越接近于1，線性相關(guān)性相關(guān)性越強，

可知?0.95最接近于1，所以線性相關(guān)最強的是r1=?0.95.3．【答案】C【知識點】分步乘法計數(shù)原理；簡單計數(shù)與排列組合【解析】【解答】甲、乙、丙三人在一起，有A3把甲、乙、丙看成一個整體，與其余的3個人混排，共有A4故共有6×24=144種，故答案為：C.

【分析】利用已知條件結(jié)合排列數(shù)公式和分步乘法計數(shù)原理，進而得出甲、乙、丙三人必須在一起的不同排法種數(shù)。4．【答案】B【知識點】導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則；簡單復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則【解析】【解答】對A：(1對B：(x對C：(xln對D：(tanx)'【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運算法則逐項分析判斷.5．【答案】B【知識點】超幾何分布【解析】【解答】根據(jù)超幾何分布可知：白球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望是3×37=976．【答案】D【知識點】正態(tài)密度曲線的特點【解析】【解答】首先甲、乙中至少有一個正確，因此x=a是ξ的均值，從而甲乙兩個均正確，P(而P(故答案為：D．

【分析】利用隨機變量ξ服從正態(tài)分布，再結(jié)合正態(tài)分布對應(yīng)的函數(shù)的對稱性，再利用概率的應(yīng)用和命題真假性判斷方法，進而找出假命題的選項。7．【答案】C【知識點】等比數(shù)列的性質(zhì)【解析】【解答】由題意，A設(shè)A則ab∴故答案為：C

【分析】設(shè)An=(2n8．【答案】A【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用【解析】【解答】構(gòu)建函數(shù)fx=ln1+xx，x∈(0，1]，

則f'x=x1+x?ln1+xx2=1?11+x?ln1+xx2，x∈(0，1]，

令gx=1?11+x?ln1+x，x∈(0，1]，

則g'x=11+x2?11+x=?x1+x2<0當(dāng)x∈(0，1]時恒成立，

可知gx在(0，1]上單調(diào)遞減，可得gx<g0=0，

所以fx=ln1+xx=ln1+x1x在(0，1]9．【答案】B,C【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用【解析】【解答】由f′(x)的圖象可知：當(dāng)x<?2或?12<x<2時，f'x<0；當(dāng)?2<x<12或x>2時，f'x>0；

可得f(x)在?∞，?2，12，2上單調(diào)遞減，在?2，12，2，+∞10．【答案】B,C,D【知識點】互斥事件與對立事件；相互獨立事件的概率乘法公式；條件概率與獨立事件【解析】【解答】對A：因為P(A|B)=1?P(A|B)=1?13=23，

可得PAB=P(A|B)PB=23×34=1211．【答案】A,D【知識點】數(shù)列的函數(shù)特性；等差數(shù)列的前n項和；等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系【解析】【解答】由題意可設(shè)：an=dn+b，Sn=d2n2+Bn，其中B：因為nan=dn2C：因為ann=d+D：因為an+3nd=dn+b+3nd=4dn+b，且故答案為：AD.

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和求和公式12．【答案】A,B,D【知識點】二項式系數(shù)的性質(zhì)；二項式定理的應(yīng)用【解析】【解答】令x=0，所以1=a0令x=?2，所以(?3)7=所以①+②得：1+(?3)所以a0[2(x+1)?1]7則[2(x+1)?1]7的通項公式為：所以令7?r=1，則r=6，所以a1令7?r=2，則r=5，所以a2所以a1對(2x+1)7則14(2x+1)令x=0，所以14=a由[2(x+1)?1]7的通項公式，Tr+1=C7所以a1=C在a0，a1，…，a7故答案為：ABD.

【分析】利用已知條件結(jié)合二項式定理求出展開式中的通項公式，再利用賦值法和求和法，再結(jié)合最值求解方法，進而找出結(jié)論正確的選項。13．【答案】2【知識點】離散型隨機變量及其分布列；離散型隨機變量的期望與方差【解析】【解答】由題意可得：P(X=0)=3?4P(X=1)P(X=0)+P(X=1)=1，解得P(X=0)=13P(X=1)=23，

所以隨機變量X的方差為DX=P(X=0)P(X=1)=114．【答案】4【知識點】二項分布【解析】【解答】設(shè)命中次數(shù)為X，則X~B15，0.3，

可得PX=k=C15k×0.3k×1?0.315?k=C15k×0.3k×0.715?k，k=0，1，?，15，

15．【答案】2【知識點】導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則；導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最大（小）值【解析】【解答】因為f'(x)=lnx+x·1x?1=lnx，x∈12，2，

令f'x<0，解得12≤x<1；令f'x>0，解得1<x≤2；

則fx在[12，1)上單調(diào)遞減，在(1，2]上單調(diào)遞增，16．【答案】1630；【知識點】組合及組合數(shù)公式【解析】【解答】空1：由題意可知：“萊布尼茨三角形”第8行第5個數(shù)是1(8+1)C84=1630；

空2：因為1(n+1)Cnn?2+1(n+1)Cnn?3=Cnn?2+Cnn?3(n+1)Cnn?2C17．【答案】（1）解：因為前三項的二項式系數(shù)之和等于79，所以Cn解得n=12或n=?13.因為n>0，所以n=12.（2）解：設(shè)(ax+13x所以當(dāng)12?4r3=0此時，常數(shù)項為C129a【知識點】二項式定理；二項式系數(shù)的性質(zhì)【解析】【分析】(1)由題意得Cn0+Cn1+18．【答案】（1）解：∵f′(x)=ln(x+2)+∴所求切線方程為：y=ln（2）證明：設(shè)g(x)=f(x)+x+1，則g(x)定義域為(?2，+∞)，令?(x)=g′(x)∴g′(x)在(?2∴當(dāng)x∈(?2，?1)時，g′(x)<0；當(dāng)∴g(x)在(?2，?1)上單調(diào)遞減，在(?1，即f(x)≥?x?1.【知識點】導(dǎo)數(shù)的幾何意義；導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則；導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用【解析】【分析】(1)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義運算求解；

(2)構(gòu)建g(x)=f(x)+x+1，利用導(dǎo)數(shù)判斷g(x)的單調(diào)性和最值，進而可得結(jié)果.19．【答案】（1）解：設(shè)等比數(shù)列{an}因為等比數(shù)列{an}中a3≠0，a4≠0所以an=1×3n?1=（2）解：由（1）知bn因為b45=134，所以{cn}的前50項是由{記{cn}S50所以{c【知識點】等差數(shù)列的前n項和；等比數(shù)列的通項公式；等比數(shù)列的前n項和；數(shù)列的求和【解析】【分析】(1)根據(jù)題意列式可求得公比q，進而可得結(jié)果；

(2)由（1）可知bn=3n?1，分析可得{cn}20．【答案】（1）解：由圖表可得方案A測試成績在[85，95]的員工的有方案B測試成績在[85，95]的員工的有所以從預(yù)測試成績在[85，95]的員工中隨機抽取3人，求恰有1人參加測試方案A的概率（2）解：（?。┯深}意y=λeμx兩邊取對數(shù)得lny=根據(jù)所給公式可得μ=i=1又因為x=32+41+54+68+74+80+927所以lnλ=?0.642?0故y=0.15e0.即若某部門測試的平均成績?yōu)?0，則其績效等級優(yōu)秀率的預(yù)報值為0.（ⅱ）由（?。┘皡⒖紨?shù)據(jù)可得μ≈x=63，由y≥0.78即0.15e又μ+σ=83，P(由正態(tài)分布的性質(zhì)得P(即績效等級優(yōu)秀率不低于0.78的概率為0.1587.【知識點】線性回歸方程；古典概型及其概率計算公式；正態(tài)密度曲線的特點；簡單計數(shù)與排列組合【解析】【分析】(1)根據(jù)題意求各區(qū)間的人數(shù)，結(jié)合超幾何分布運算求解；

(2)（ⅰ）根據(jù)題意整理可得z=μx+lnλ，結(jié)合題中數(shù)據(jù)和公式運算求解；

（ⅱ）根據(jù)題意分析可得：21．【答案】（1）解：由題意得：αp所以α=4P(B|A由全概率公式，得P==12αp+（2）解：①由αp+α+α(1?p)+α(1?p)記f(p)=p2?3p+1p記g(p)=2p3?3故g(p)在(0，∵g(0)=?1，∴g(p)<0，∴f′(p)<0，f(p)在因此增加p的取值，1α?xí)p小，α增大，即P(X=2)②假設(shè)存在p使E(X)=αp+2α+3α(1?p)=將上述兩式相乘，得1p化簡得，5p設(shè)?(p)=5p3?6則?(p)在(0，45)單調(diào)遞減，在(4∴不存在p0使得?(【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最大（?。┲?；條件概率與獨立事件；全概率公式【解析】【分析】(1)根據(jù)條件概率計算方法求出P(B|A1)=C1112，再根據(jù)P(B)=i=03P(B∣Ai)P(Ai)，即可計算求出α22．【答案】（1）解：當(dāng)a=1時，f(x)又f′(x)在x∈(?1，+∞)上遞增，且當(dāng)?1<x<0時，f′(x)<0，所以f又f(0)（2）證明：f(x)的定義域為(當(dāng)a=1時，由（1）知x0=0，則當(dāng)0<a<1時，f′(x)單調(diào)遞增，且設(shè)?(x)=x?lnx，則?′(x根據(jù)零點存在性定理