人教版高數(shù)必修五第13講：均值不等式

均值不等式____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教學(xué)重點：掌握均值不等式的證明及應(yīng)用，會用均值不等式求函數(shù)的最大值或最小值；教學(xué)難點：利用均值不等式的證明。算術(shù)平均值與幾何平均值算術(shù)平均值：對任意兩個正實數(shù)，數(shù)叫做的算術(shù)平均值幾何平均值：對任意兩個正實數(shù)，數(shù)叫做的幾何平均值均值定理如果，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立均值不等式的常見變形（1）（2）（3）（同號且不為0）（4）類型一：均值不等式的理解設(shè)，則下列不等式不成立的是（）A.B.C.D.解析：特值法，令，則A,B,C項都成立，而D項中，顯然不成立，故D項不成立。答案：D練習(xí)1.若a、b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是()A．a(chǎn)2＋b2>2abB．a(chǎn)＋b≥2eq\r(ab)C．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab))D．eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2答案：D練習(xí)2.設(shè)0<a<b，則下列不等式中正確的是()A．a(chǎn)<b<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)B．a(chǎn)<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)<bC．a(chǎn)<eq\r(ab)<b<eq\f(a＋b,2)D．eq\r(ab)<a<eq\f(a＋b,2)<b答案：B類型二：均值不等式與最值例2.若正數(shù)x、y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是()A．eq\f(24,5)B．eq\f(28,5)C．5D．6解析：由x＋3y＝5xy得eq\f(1,5y)＋eq\f(3,5x)＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)·(eq\f(1,5y)＋eq\f(3,5x))＝eq\f(3x,5y)＋eq\f(12y,5x)＋eq\f(9,5)＋eq\f(4,5)≥2eq\r(\f(3x,5y)·\f(12y,5x))＋eq\f(13,5)＝eq\f(12,5)＋eq\f(13,5)＝5，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(3x,5y)＝eq\f(12y,5x)時，得到最小值5.答案：C練習(xí)3.設(shè)x、y∈R，且x＋y＝5，則3x＋3y的最小值為()A．10B．6eq\r(3)C．4eq\r(6)D．18eq\r(3)答案：D練習(xí)4.已知正項等差數(shù)列{an}中，a5＋a16＝10則a5a16的最大值為(A．100B．75C．50D．25答案：D類型三：利用均值不等式證明不等式及應(yīng)用例3.已知a、b、c∈R，求證：eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(c2＋a2)≥eq\r(2)(a＋b＋c)．解析：∵eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))，∴eq\r(a2＋b2)≥eq\f(a＋b,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)(a＋b)(a，b∈R等號在a＝b時成立)．同理eq\r(b2＋c2)≥eq\f(\r(2),2)(b＋c)(等號在b＝c時成立)．eq\r(a2＋c2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋c)(等號在a＝c時成立)．三式相加得eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(a2＋c2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)＋eq\f(\r(2),2)(b＋c)＋eq\f(\r(2),2)(a＋c)＝eq\r(2)(a＋b＋c)(等號在a＝b＝c時成立).答案：見解析練習(xí)5.已知a、b是正數(shù)，試比較eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))與eq\r(ab)的大小．答案：∵a>0，b>0，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(1,ab))>0.∴eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\f(2,2\r(\f(1,ab)))＝eq\r(ab).即eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab).練習(xí)6.若x>0，y>0，x＋y＝1，求證：(1＋eq\f(1,x))·(1＋eq\f(1,y))≥9..答案：證法一：左邊＝(1＋eq\f(1,x))(1＋eq\f(1,y))＝1＋eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,xy)＝1＋eq\f(x＋y,xy)＋eq\f(1,xy)＝1＋eq\f(2,xy)≥1＋eq\f(2,\f(x＋y,2)2)＝9＝右邊．當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝eq\f(1,2)時，等號成立．證法二：∵x＋y＝1，∴左邊＝(1＋eq\f(1,x))(1＋eq\f(1,y))＝(1＋eq\f(x＋y,x))(1＋eq\f(x＋y,y))＝(2＋eq\f(y,x))(2＋eq\f(x,y))＝5＋2(eq\f(y,x)＋eq\f(x,y))≥5＋4＝9＝右邊．當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝eq\f(1,2)時，等號成立．例4.在面積為S(S為定值)的扇形中，當(dāng)扇形中心角為θ，半徑為r時，扇形周長最小，這時θ、r的值分別是()A．θ＝1，r＝eq\r(S)B．θ＝2，r＝eq\r(4,S)C．θ＝2，r＝eq\r(3,S)D．θ＝2，r＝eq\r(S)解析：S＝eq\f(1,2)θr2?θ＝eq\f(2S,r2)，又扇形周長P＝2r＋θr＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r＋\f(S,r)))≥4eq\r(S)，當(dāng)P最小時，r＝eq\f(S,r)?r＝eq\r(S)，此時θ＝2.答案：D練習(xí)7.設(shè)計用32m2的材料制造某種長方體車廂(無蓋)，按交通規(guī)定車廂寬為2m，則車廂的最大容積是(A．(38－3eq\r(73))m3B．16m3C．4eq\r(2)m3D．14m3答案：B練習(xí)8.將進(jìn)貨單價為80元的商品按90元一個售出時，能賣出400個，每漲價1元，其銷售量就減少20個，為獲得最大利潤，售價應(yīng)定在()A．每個95元B．每個100元C．每個105元D．每個110元答案：A1.若x＞0，y＞0，且x＋y≤4，則下列不等式中恒成立的是()A．eq\f(1,x＋y)≤eq\f(1,4)B．eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)≥1C．eq\r(xy)≥2D．eq\f(1,xy)≥1答案：B2.已知m、n∈R，m2＋n2＝100，則mn的最大值是()A．100B．50C．20D．10答案：B3.若a>0，b>0且a＋b＝4，則下列不等式恒成立的是()A．eq\f(1,ab)>eq\f(1,2)B．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≤1C．eq\r(ab)≥2D．eq\f(1,a2＋b2)≤eq\f(1,8)答案：D4.實數(shù)x、y滿足x＋2y＝4，則3x＋9y的最小值為()A．18B．12C．2eq\r(3)D．eq\r(4,3)答案：A5．設(shè)x＋3y－2＝0，則3x＋27y＋1的最小值為()A．7B．3eq\r(3,9)C．1＋2eq\r(2)D．5答案：A6.設(shè)a＞0，b＞0，若eq\r(3)是3a與3b的等比中項，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值為()A．8B．4C．1D．eq\f(1,4)答案：B__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基礎(chǔ)鞏固1.若0<a<1,0<b<1，且a≠b，則a＋b,2eq\r(ab)，2ab，a2＋b2中最大的一個是()A．a(chǎn)2＋b2B．2eq\r(ab)C．2abD．a(chǎn)＋b答案：D2.若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是()A．[0,2]B．[－2,0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]答案：D3.已知x、y∈R＋，且滿足eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1，則xy的最大值為________．答案：34.已知a、b為實常數(shù)，函數(shù)y＝(x－a)2＋(x－b)2的最小值為__________答案：eq\f(1,2)(a－b)25.a、b、c是互不相等的正數(shù)，且a2＋c2＝2bc，則下列關(guān)系中可能成立的是()A．a(chǎn)>b>cB．c>a>bC．b>a>c D．a(chǎn)>c>b答案：C6.設(shè){an}是正數(shù)等差數(shù)列，{bn}是正數(shù)等比數(shù)列，且a1＝b1，a21＝b21，則()A．a(chǎn)11＝b11B．a(chǎn)11>b11C．a(chǎn)11<b11D．a(chǎn)11≥b11答案：D7.已知a>1，b>1，且lga＋lgb＝6，則lga·lgb的最大值為()A．6B．9C．12 D．答案：B8.某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費用為800元．若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲時間為eq\f(x,8)天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元．為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費用與倉儲費用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品()A．60件B．80件C．100件D．120件答案：B9.已知eq\f(2,x)＋eq\f(3,y)＝2(x>0，y>0)，則xy的最小值是________．答案：610.若實數(shù)x、y滿足x2＋y2＋xy＝1，則x＋y的最大值是________．答案：eq\f(2\r(3),3)11.做一個面積為1m2，形狀為直角三角形的鐵架框，在下面四種長度的鐵管中，最合理(夠用，又浪費最少)的是A．mB．mC．5mD．5.2答案：C12.光線透過一塊玻璃，其強(qiáng)度要減弱eq\f(1,10).要使光線的強(qiáng)度減弱到原來的eq\f(1,3)以下，至少需這樣的玻璃板________塊．(參考數(shù)據(jù)：lg2＝，lg3＝答案：1113.一個矩形的周長為l，面積為S，給出下列實數(shù)對：①(4,1)；②(8,6)；③(10,8)；④(3，eq\f(1,2))．其中可作為(l，S)的取值的實數(shù)對的序號是________．答案：①④14.已知正常數(shù)a、b和正實數(shù)x、y，滿足a＋b＝10，eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1，x＋y的最小值為18，求a、b的值．答案：x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·(eq\f(a,x)＋eq\f(b,y))＝a＋b＋eq\f(ay,x)＋eq\f(bx,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2，等號在eq\f(ay,x)＝eq\f(bx,y)即eq\f(y,x)＝eq\r(\f(b,a))時成立．∴x＋y的最小值為(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝18，又a＋b＝10，∴ab＝16.∴a、b是方程x2－10x＋16＝0的兩根，∴a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.能力提升15.已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,3y)的最小值是()A．2B．2eq\r(2)C．4D．2eq\r(3)答案：C16.設(shè)函數(shù)f(x)＝2x＋eq\f(1,x)－1(x<0)，則f(x)()A．有最大值B．有最小值C．是增函數(shù)D．是減函數(shù)答案：A17.已知x>0，y>0，x、a、b、y成等差數(shù)列，x、c、d、y成等比數(shù)列，則eq\f(a＋b2,cd)的最小值是()A．0B．1C．2D．4答案：D18.若a、b、c、d、x、y是正實數(shù)，且P＝eq\r(ab)＋eq\r(cd)，Q＝eq\r(ax＋cy)·eq\r(\f(b,x)＋\f(d,y))，則有()A．P＝QB．P≥QC．P≤QD．P>Q答案：C19.已知x≥eq\f(5,2)，則f(x)＝eq\f(x2－4x＋5,2x－4)有()A．最大值eq\f(5,4)B．最小值eq\f(5,4)C．最大值1D．最小值1答案：D20.已知y>x>0，且x＋y＝1，那么()A．x<eq\f(x＋y,2)<y<2xyB．2xy<x<eq\f(x＋y,2)<yC．x<eq\f(x＋y,2)<2xy<yD．x<2xy<eq\f(x＋y,2)<y答案：D21.設(shè)a、b是正實數(shù)，給出以下不等式：①eq\r(ab)>eq\f(2ab,a＋b)；②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④ab＋eq\f(2,ab)>2，其中恒成立的序號為()A．①③B．①④C．②③D．②④答案：D22.已知a>0，b>0，且a＋b＝1，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)－1))的最小值為()A．6B．7C．8D．9答案：D23.若直線2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦長為4，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值為()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．2D．4答案：D24.當(dāng)x>1時，不等式x＋eq\f(1,x－1)≥a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，3]答案：D25.已知正數(shù)x、y滿足eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝1，則xy有()A．最小值eq\f(1,16)B．最大值16C．最小值16D．最大值eq\f(1,16)答案：C26.若正實數(shù)x、y滿足2x＋y＋6＝xy，則xy的最小值是________答案：1827.已知函數(shù)f(x)＝lgx(x∈R＋)，若x1、x2∈R＋，判斷eq\f(1,2)[f(x1)＋f(x2)]與f(eq\f(x1＋x2,2))的大小并加以證明．答案：eq\f(1,2)[f(x1)＋f(x2)]≤f(eq\f(x1＋x2,2))∵f(x1)＋f(x2)＝lgx1＋lgx2＝lg(x1·x2)，f(eq\f(x1＋x2,2))＝lgeq\f(x1＋x2,2)，而x1、x2∈R＋，x1x2≤(eq\f(x1＋x2,2))2，而f(x)＝lgx在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)．∴l(xiāng)g(x1x2)≤lg(eq\f(x1＋x2,2))2，∴eq\f(1,2)lg(x1x2)≤lgeq\f(x1＋x2,2).即eq\f(1,2)(lgx1＋lgx2)≤lgeq\f(x1＋x2,2).因此，eq\f(1,2)[f(x1)＋f(x2)]≤f(eq\f(x1＋x2,2))．28.已知a、b、c∈R＋，求證：eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋C答案：∵a、b、c∈R＋，eq\f(a2,b)，eq\f(b2,c)，eq\f(c2,a)均大于0，又eq\f(a2,b)＋b≥2eq\r(\f(a2,b)·b)＝2a，eq\f(b2,c)＋c≥2eq\r(\f(b2,c)·c)＝2b，eq\f(c2,a)＋a≥2eq\r(\f(c2,a)·a)＝2c，三式相加得eq\f(a2,b)＋b＋eq\f(b2,c)＋c＋eq\f(c2,a)＋a≥2a＋2b＋2c，∴eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋C．29．求函數(shù)y＝1－2x－eq\f(3,x)的值域．答案：y＝1－2x－eq\f(3,x)＝1－(2x＋eq\f(3,x))．①當(dāng)x>0時，2x＋eq\f(3,x)≥2eq\r(2x·\f(3,x))＝2eq\r(6).當(dāng)且僅當(dāng)2x＝eq\f(3,x)，即x＝eq\f(\r(6),2)時取等號．∴y＝1－(2x＋eq\f(3,x))≤1－2eq\r(6).②當(dāng)x<0時，y＝1＋(－2x)＋(－eq\f(3,x))．∵－2x＋(－eq\f(3,x))≥2eq\r(－2x·－\f(3,x))＝2eq\r(6).當(dāng)且僅當(dāng)－2x＝－eq\f(3,x)時，即x＝－eq\f(\r(6),2)時取等號．∴此時y＝1－2x－eq\f(3,x)≥1＋2eq\r(6)綜上知y∈(－∞，1－2eq\r(6)]∪[1＋2eq\r(6)，＋∞)．∴函數(shù)y＝1－2x－eq\f(3,x)的值域為(－∞，1－2eq\r(6))∪[1＋2eq\r(6)，＋∞)．30.某單位決定投資3200元建一倉庫(