第六章-反證法在立體幾何中的應(yīng)用

第六章反證法在立體幾何中的應(yīng)用在立體幾何中哪些命題適合應(yīng)用反證法，我們進(jìn)行了一些歸納，下面以實(shí)例來說明。一、證明諸直線共面例題：求證：過一點(diǎn)和一條直線垂直的所有直線都在同一平面內(nèi)。已知：一點(diǎn)P與一條直線l，且a、b、c.......n都垂直于l.求證：a、b、c.......n在同一平面內(nèi)。證明：；假設(shè)；這樣過一點(diǎn)有兩個平面與直線l垂直，與有且只有一個矛盾，那么，故命題得證。二、證明諸點(diǎn)共面例題：已知空間四點(diǎn)A、B、C、D滿足,求證：A、B、C、D共面。證明：抓住四個角都是直角這一特征，容易聯(lián)想到勾股定理進(jìn)行比較，從二推出矛盾。假設(shè)A、B、D，C，是C在內(nèi)的射影，連D,=1\*GB2⑴同理=2\*GB2⑵是矩形，所以=3\*GB2⑶已知=4\*GB2⑷由=1\*GB2⑴=2\*GB2⑵有由=3\*GB2⑶=4\*GB2⑷有矛盾，則C一定在內(nèi)，即A、B、C、D共面。三、證明兩條直線異面例題1：已知兩個不同平面相交于直線l，經(jīng)過直線l上兩點(diǎn)A和B分別在內(nèi)直線作AC，內(nèi)作直線BD;求證：AC、BD是異面直線。證明：假設(shè)AC、BD共面，則AC、BD所在平面那么，重合與已知矛盾；所以AC、BD是異面直線。指出：證明異面直線只能用定義和判定，但是都比較復(fù)雜，故采用反證法。例題2：設(shè)A、B、C、D是空間四點(diǎn)，且AB、CD是異面直線，求證：AC與BD,AD與BC分別是異面直線。證明：假設(shè)AC與BD共面，則A、B、C、D共面與AB、CD異面矛盾所以AC與BD是異面直線。同理AD與BC是異面直線。四、證明直線與平面相交例題：求證：如果一條直線和兩個平面中的一個相交，那么它與另一個也相交。已知：。求證：。證明：假設(shè)a與不相交，則；=1\*ROMANI、，矛盾；=2\*ROMANII、時，過，由，則都不相交，設(shè)相交直線為b、c則，又，但是，矛盾綜上所述：a與平面相交。五、證明平面與平面相交例題：直線a與b不平行，如果，那么平面必定相交，并且交線必垂直于a、b。證明：假設(shè)，即。；矛盾，故相交。設(shè)，這樣命題得證。六、證明平行關(guān)系例題1：求證：兩個平面平行，則一平面中任意一條直線都與另一平面平行。已知：，；求證：。證明：假設(shè)不成立，則必有公共點(diǎn)，那么與矛盾。故命題成立。例題2：設(shè)直線，，。求證：。證明：假設(shè)a不平行b，且有，則，與已知矛盾，所以。例題3：設(shè)，且；求證：或。證明：若a不平行，且，則或；與矛盾；即a與b無公共點(diǎn)且不共面a與b是異面直線與矛盾。故命題成立。例題4：已知；求證：。證明：假設(shè)a，則，又與矛盾。故命題成立。七、證明垂直關(guān)系例題：求證：垂直于同一平面的兩個相交平面的交線也垂直于這個平面。已知：;求證：.證明：設(shè)，。假設(shè)AB不垂直于，則AB與a、b都不垂直或不垂直b；=1\*GB2⑴AB與a、b都不垂直，在內(nèi)過點(diǎn)A作，，同理AD；與過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直矛盾；=2\*GB2⑵不垂直b，設(shè)，則矛盾；綜上所述。指出：由過程知道用同一法最為理想。1、過點(diǎn)A作過點(diǎn)A作，則，又，即重合；同理;則，那么重合，命題成立。2、假設(shè)AB不垂直于，過點(diǎn)A作且，同理;所以重合，命題成立。3、在平面內(nèi)任意取一點(diǎn)P，過P作則矛盾，所以。八、證明唯一性命題例題1：求證：經(jīng)過平面外一點(diǎn)A只有一個平面和已知平面平行。證明：假設(shè)過點(diǎn)A存在兩個平面都與平行，且；過點(diǎn)A作直線b，；與矛盾，故命題成立。例題2：設(shè)直線a過點(diǎn)A且直線a垂直于平面；求證：a是唯一的。證明：假設(shè)a不唯一，則存在過A作直線b且；設(shè)a、b確定平面且，則與平面內(nèi)過一點(diǎn)只能作一條直線和已知直線垂直矛盾；故a是唯一的。例題3：設(shè)點(diǎn)A，求證：是唯一的。證明：假設(shè)過點(diǎn)A還存在，并設(shè)；作矛盾，故是唯一的。九、證明否定式命題例題1：求證：兩個相交平面沒有公垂線。證明：假設(shè)存在公垂線a，則矛盾，所以命題