專題04 銳角的三角比（難點）解析

專題04銳角的三角比（難點）一、單選題1．在中，，，，垂足為D．下列四個選項中，不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，推出AB=2BC，根據(jù)推出∠BCD=，得到BC=2BD，設BD=x，則BC=2x，AB=4x，利用勾股定理求出AC、CD，再列式計算進行判斷．【解析】∵，，∴AB=2BC，∵，∴∠BCD+∠B=，∵∠A+∠B=，∴∠BCD=，∴BC=2BD，設BD=x，則BC=2x，AB=4x，∴，∴，,，，故選：B．．【點睛】此題考查直角三角形30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，解直角三角形，解題中設BD=x，則BC=2x，AB=4x，用含x的式子表示各線段使計算簡便，更易得出答案．2．如圖，在中，，CD、CE分別是斜邊AB上的高和中線，下列結(jié)論不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，，的余角相等即可判斷A，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即，可得，則，即可判斷B選項，根據(jù)A選項可得，即，即可判斷C，根據(jù)，可得,，即可判斷D選項．【解析】解：，，故A選項正確，不符合題意；CD、CE分別是斜邊AB上的高和中線，，故B選項不正確，符合題意；，即，故C選項正確，不符合題意；，即,又故D選項正確，不符合題意．故選B．【點睛】本題考查了三角形中線，高線，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，銳角三角函數(shù)，找出圖中相等的角是解題的關鍵．3．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AB=m，∠A=，那么CD的長為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】此題根據(jù)題意作圖根據(jù)銳角三角函數(shù)表示出AC，再表示出CD即可求出結(jié)果．【解析】解：根據(jù)題意作圖如下：由題意知：AB=m，∠A=，∴，∴，即，故選：B．【點睛】此題考查銳角三角函數(shù)的應用，主要涉及到正弦和余弦，找準對應邊是解題關鍵．4．如圖，A，B，C，三點在正方形網(wǎng)格線的交點處，若將繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過C點作CD⊥AB，垂足為D，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，∠B′=∠B，把求tanB′的問題，轉(zhuǎn)化為在Rt△BCD中求tanB．【解析】過C點作，垂足為D則根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，在中，所以故選B．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)后對應角相等；三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)值的求法．5．共享單車為市民出行提供了便利．圖1為單車實物圖，圖2為單車示意圖，與地面平行，點A、B、D共線，點D、F、G共線，坐墊C可沿射線方向調(diào)節(jié)．已知，，，車輪半徑為，，小明體驗后覺得當坐墊C離地面高度為時騎著比較舒適，此時的長約為（

）（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點C作CN⊥AB，交AB于M，通過構(gòu)建直角三角形解答即可．【解析】解：過點C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N由題意可知MN＝30cm，當CN＝90cm時，CM＝60cm，∵Rt△BCM中，∠ABE＝70°，sin∠ABE＝sin70°＝≈0.9，∴BC≈67cm，∴CEBC?BE＝67?40＝27cm．故選B．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用，正確構(gòu)建直角三角形是解答本題的關鍵．6．如圖所示一座樓梯的示意圖，BC是鉛垂線，CA是水平線，BA與CA的夾角為θ．現(xiàn)要在樓梯上鋪一條地毯，已知CA=6米，樓梯寬度4米，則地毯的面積至少需要（

）A．米2 B．米2 C．米2 D．米2【答案】D【分析】在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)求出BC，然后根據(jù)平移的性質(zhì)可得在樓梯上鋪的地毯長，從而求出地毯的面積．【解析】解：在Rt△ABC中，AC=6，∠BAC=θ，∴tanθ=，∴BC=ACtanθ=6tanθ（米），∴在樓梯上鋪的地毯長=BC+AC=（6+6tanθ）米，∴地毯的面積=4（6+6tanθ）=（24+24tanθ）平方米，故選：D．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的計算是解題的關鍵．7．因為，，所以；因為，，所以，由此猜想，推理知：一般地當為銳角時有，由此可知：（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】本題考查的閱讀理解能力．由上述公式可得sin(180°+60°)=-sin60°=．故選擇C．8．如圖，在矩形中，為邊上一點，將沿直線翻折，使得點的對應點落在邊上．若，則的長度是（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)折疊性質(zhì)得到AF=AD=4，∠DAE=∠FAE=15°，∠D=∠AFE=90°，進而得到∠AFB=30°，解Rt△ABF，求出，進而求出CF=，求出∠EFC=60°，解Rt△CEF，即可求解．【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=4，由折疊可知，AF=AD=4，∠DAE=∠FAE=15°，∠D=∠AFE=90°，∴∠BAF=∠BAD-∠DAE∠FAE=60°，∵∠B=90°，∴∠AFB=30°，∴,∴CF=BC-BF=，∵∠AFB=30°，∠AFE=90°，∴∠EFC=60°，∴在Rt△CEF中，．故選：B【點睛】本題考查了矩形與折疊問題，解直角三角形等知識，理解矩形與折疊性質(zhì)，根據(jù)特殊角三角形函數(shù)值解直角三角形是解題關鍵．9．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，，把沿著AC翻折得到，若，則線段DE的長度（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作DM⊥CE，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠ACE=∠ACB，BC=EC，然后結(jié)合已知條件求出DM和EM的長度，最后在Rt△EDM中運用勾股定理求解即可．【解析】如圖所示，作DM⊥CE于M點，∵∠ABC＝90°，，∴，則∠CAB=30°，∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴CD∥AB，∴∠ACD=∠CAB=30°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得：∠ACE=∠ACB=60°，，∴∠ECD=30°，設DM=x，則CD=2x，MC=x，∴EM=EC-MC=-x，∵，∴，解得：，經(jīng)檢驗，是上述分式方程的解，∴，，∴在Rt△EDM中，，故選：B．【點睛】本題考查三角形的翻折問題，涉及到勾股定理，解直角三角形等知識點，理解并熟練運用正切函數(shù)的定義是解題關鍵．10．如圖，四邊形為正方形，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，點，，在同一直線上，與交于點，延長與的延長線交于點，，．以下結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，可判斷①正確；利用三角形相似的判定及性質(zhì)可知②正確；證明，得到，即，利用是等腰直角三角形，求出，再證明即可求出可知③正確；過點E作交FD于點M，求出，再證明，即可知④正確．【解析】解：∵旋轉(zhuǎn)得到，∴，∵為正方形，，，在同一直線上，∴，∴，故①正確；∵旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故②正確；設正方形邊長為a，∵，，∴，∵，∴，∴，即，∵是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴，即，解得：，∵，∴，故③正確；過點E作交FD于點M，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，故④正確綜上所述：正確結(jié)論有4個，故選：D【點睛】本題考查正方形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形相似的判定及性質(zhì)，解直角三角形，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點，結(jié)合圖形求解．二、填空題11．如圖，AD是△ABC的角平分線，過點C作AD的垂線交邊AB于點E，垂足為點O，當CE為△ABC邊AB上的中線，且CE=AD時，則_____________．【答案】【分析】過E點作EF∥AD，對應邊成比例，令AD=CE=8k，則OD=2k，OA=6k，作CH⊥AE于點H，由勾股定理求出AC，在△ACE中用等面積法求出CH，從而得出答案．【解析】如圖，作EF∥AD交BC于點F，∵AD⊥AE，AD平分∠CAB，∴O是CD中點，，∵CE是△ABC的中線，∴E為AB中點，，∵AD=CE，令AD=CE=8k，則OE=OC=4k=EF，OD=2k，OA=6k，在Rt△ACO中，AC=，∵AO垂直平分CE，∴AC=AE=；過C點作AH⊥AE交AE于點H，在△ACE中，通過等面積法可得：，∴CH=，在Rt△ACH中，；故答案為：．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握性質(zhì)之間的線段和角度轉(zhuǎn)化是解題的關鍵．12．我們把兩個三角形的重心之間的距離叫做重心距．如圖，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD是△ABC中邊AB上的高，如果BC＝6，那么△ADC和△BCD的重心距是________．【答案】1＋【分析】設△ADC和△BCD的重心分別為M、N，連接CM、CN并延長交AB于E、F點，首先解直角三角形，可得AB的長，再根據(jù)重心的性質(zhì)說明△MCN∽△ECF，得MN＝EF＝1＋．【解析】解：如圖，設△ADC和△BCD的重心分別為M、N，連接CM、CN并延長交AB于E、F點，在Rt△CBD中，∵∠B＝30°，∴CD＝BC＝3，BD＝CD＝3，在Rt△ACD中，∵A＝45°，∴AD＝CD＝3，∴AB＝AD＋BD＝3＋3，∴EF＝AB＝，∵△ADC和△BCD的重心分別為M、N，∴，∵∠MCN＝∠ECF，∴△MCN∽△ECF，∴MN＝EF＝1＋，故答案為：1＋．【點睛】本題主要考查了重心的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識，熟練掌握重心的性質(zhì)是解題的關鍵．13．如圖，△ABC中，，，，將三角形繞著點A旋轉(zhuǎn)，點C落在直線AB上的點處，點B落在點處，若C、B、恰好在一直線上，則AB的長為______．【答案】【分析】作于點，作于點．則，設，，則，，即可利用表示出的長，在直角中利用勾股定理求得的值，進而求得，得到的長．【解析】解：作于點，作于點．則．，．設，，則，，在直角△中，，則，，，，，．則，解得：．又中，即，解得：，則，．故答案是：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是正確理解旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，作出輔助線，得到和的關系．14．如圖，在等邊內(nèi)有一點，，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，使與重合，點旋轉(zhuǎn)至點，則的余弦值為_______．【答案】##0.9【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明是等邊三角形和得：AD=DE=AE=5，CE=BD=6，過點E作EH⊥CD，垂足為H．設DH=x，則CH=4-x．由勾股定理得出62-（4-x）2=52-x2，求出DH，CH的長，由銳角三角函數(shù)的定義可得出答案．【解析】解：∵是等邊三角形∴AB=AC，∵繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，且與重合，∴，AD=AE∴是等邊三角形，∴，∵∴又AB=AC，AD=AE∴∴過點作，垂足為．設，則．由勾股定理得：，即，解得：，，故答案為：【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關鍵．15．如圖,在中,是斜邊上的中線,點是直線左側(cè)一點,聯(lián)結(jié),若,則的值為______．【答案】【分析】先證明，則，進而證明，據(jù)求得相似比，根據(jù)面積比等于相似比的平方即可求解【解析】解：是斜邊上的中線，即又又又設，則故答案為：【點睛】本題考查了解直角三角形，三角形全等的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，垂直平分線的性質(zhì)與判定，正切的定義，證明是解題的關鍵．16．閱讀材料：余弦定理是描述三角形中三邊長度與一個角的余弦值關系的定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推廣．對于任意三角形，任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍．定理解讀：如圖，在任意中，以邊為例，其它兩邊是和，和的夾角為，根據(jù)余弦定理有，類似的可以得到關于和的關系式．已知在中，，，是和的比例中項，那么的余弦值為____．【答案】##0.75【分析】根據(jù)余弦定理得，AC2=AB2+BC2-2AB?BC?cosB，再根據(jù)AC是BC和AB的比例中項，即可推出結(jié)果．【解析】解：根據(jù)余弦定理得，AC2=AB2+BC2-2AB?BC?cosB，∵AC是BC和AB的比例中項，∴AC2=AB?BC，∴AB?BC=AB2+BC2-2AB?BC?cosB，即1×2=12+22-2×1×2×cosB，∴cosB=，故答案為：．【點睛】本題是閱讀理解題，考查了線段比例中項的定義，讀懂題意，采用類比的方法是解題的關鍵．17．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以點C為直角頂點的Rt△DCE的頂點D在BA的延長線上，DE交CA的延長線于點G，若tan∠CED＝，CE＝GE，那么BD的長等于_____．【答案】##【分析】如圖，過點A作AH⊥CE于H．先證明AK＝AC，推出HK＝CH，進而得到AK＝AD＝2即可解答．【解析】解：如圖，過點A作AH⊥CE于H.∵tan∠CED＝＝tan∠BAC，∴∠E＝∠BAC，∵CE＝EG，∴∠CGE＝∠ECG，

∵∠BAC+∠GAK＝180°，∴∠E+∠GAK＝180°，∴∠AGE+∠AKE＝180°，∵∠AKE+∠AKC＝180°，∴∠AKC＝∠CGE，∴∠AKC＝∠ACK，∴AC＝AK＝2，∵AH⊥CK，∴KH＝CH，∵∠AHE＝∠DCK＝90°，∴AH∥CD，∴KA＝AD，∴DK＝2AK＝4，AD＝AK＝2，∵∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，∴AB＝＝＝，∴BD＝AB+AD＝．故答案為：．【點睛】本題主要考查了解直角三角形、勾股定理、三角形的中位線定理等知識，正確添加輔助線、構(gòu)造三角形的中位線是解得本題的關鍵．18．如圖，在平面直角坐標系中，點A，C分別在x軸，y軸上，四邊形為矩形，，點D與點A關于y軸對稱，，點E、F分別是線段、上的動點，（點E不與點A，D重合），且．當為等腰三角形時，的面積為_________．【答案】或【分析】根據(jù)題意求出、、、的長度，再求出，，從而可得∽，再根據(jù)為等腰三角形分情況討論，即可求出的面積．【解析】解：∵，∴∵四邊形為矩形∴，，∵點D與點A關于y軸對稱∴，∴∵，∴∴∴當為等腰三角形時①當時∵，∴≌∴∴②當時，如圖所示，過點作交于點∵，∴∵，∴∽∴∴∴∴③當時，則∵∴∴此時點與點重合，則點與點重合，與題中條件矛盾，故該假設不成立故答案為：或【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的知識，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)是解答本題的關鍵．三、解答題19．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，E是AC的中點，DE的延長線交BC的延長線于點F，EF＝5，∠B的正切值為(1)求證：△BDF∽△DCF；(2)求BC的長．【答案】(1)證明見解析(2)12【分析】(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出DE=EC，推出∠EDC=∠ECD，求出∠FDC=∠B，根據(jù)∠F=∠F證△FBD~?FDC，即可；(2)設DE=x，則AC=2x，DF=x+5，由(1)可知△BDF-△DCF，根據(jù)相似三角形對應邊的比相等及正切函數(shù)的定義得到=tan∠B=，則BF=2(x+5)，CF=(x+5)，BC=BF-CF=(x+5)，然后在直角△ABC中，根據(jù)tan∠B=，得到方程(x+5)=2×2x，解方程即可求解．（1）證明：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵E是AC的中點，∴DE＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∵∠ACB＝90°，∠BDC＝90°∴∠ECD+∠DCB＝90°，∠DCB+∠B＝90°，∴∠ECD＝∠B，∴∠B＝∠FDC，又∵∠F＝∠F，∴△BDF∽△DCF；（2）解：設DE＝x，則AC＝2DE＝2x，DF＝DE+EF＝x+5．∵△BDF∽△DCF，∴＝＝＝tan∠B＝，∴BF＝2DF＝2（x+5），CF＝DF＝（x+5），∴BC＝BF﹣CF＝（x+5），在直角△ABC中，∵tan∠B＝＝，∴BC＝2AC，即（x+5）＝2×2x，解得x＝3∴BC＝（3+5）＝12．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，直角三角形的性質(zhì)，難度適中，解題的關鍵是由相似三角形的性質(zhì)得到比例式．20．如圖，在中，．分別以點B、C為圓心、大于的同樣長為半徑作弧，兩弧相交于點M、N，直線分別交于點D、E．(1)直線是線段的___________，___________；(2)求點A到直線的距離．【答案】(1)垂直平分線，4(2)2【分析】（1）根據(jù)作圖可得直線是線段的垂直平分線，再根據(jù)垂直平分線的定義可得的長度；（2）過點A作，垂足為點H．先證明再在在中，求解，AD，利用從而可得答案．(1)由作圖可得：直線是線段的垂直平分線，故答案為：垂直平分線，4；(2)過點A作，垂足為點H．在中，∵，∴．由，得．∴．即點A到直線的距離為2．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的作圖理解，銳角三角函數(shù)的應用，熟練的利用銳角三角函數(shù)求解直角三角形的邊長是解本題的關鍵．21．冬至是一年中太陽光照射最少的日子，如果此時樓房最低層能采到陽光，一年四季整座樓均能受到陽光的照射，所以冬至是選房買房時確定陽光照射的最好時機.某居民小區(qū)有一朝向為正南方向的居民樓，該居民樓的一樓是高6米的小區(qū)超市，超市以上是居民住房，在該樓前面20米處要蓋一棟高25米的新樓，已知上海地區(qū)冬至正午的陽光與水平線夾角為29°（參考數(shù)據(jù)：sin29°≈0.48；cos29°≈0.87；tan29°≈0.55）(1)冬至中午時，超市以上的居民住房采光是否有影響，為什么？(2)若要使得超市全部采光不受影響，兩樓應至少相距多少米？（結(jié)果保留整數(shù)）【答案】(1)居民住房會受影響，理由見解析(2)45米【分析】（1）首先沿著光線作射線AF交CD于點F，過點F作FG⊥AB于點G．在Rt△AFG中，利用正切求得AG的長，進而根據(jù)CF=BG=AB-AG求得CF的高度．通過比較CF與超市高度6米，可得到中午時，超市以上的居民住房采光是否有影響．（2）首先沿著光線作射線AE交直線BC于點E．在Rt△ABE中，利用正切求得BE的長，即為使得超市采光不受影響，兩樓應至少相距的米數(shù)．（1）居民住房會受影響，理由如下，沿著光線作射線AF交CD于點F，過點F作FG⊥AB于點G，由題意，在Rt△AFG中，GF=BC=20，∠AFG=29°，∴AG=GF?tan29°=20×0.55=11米，∴GB=FC=25-11=14米，∵14＞6，∴居民住房會受影響（2）沿著光線作射線AE交直線BC于點E．由題意，在Rt△ABE中，AB=20，∠AEB=29°，∴BE＝≈45米，∴至少要相距45米【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是掌握正切概念及運算，關鍵把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題加以計算．22．如圖，已知在銳角三角形ABC中，．(1)求點C到直線AB的距離；(2)將繞點A旋轉(zhuǎn)，點B落在點D處，點C落在點E處．①當點D在邊BC上時，聯(lián)結(jié)CE，求的正弦值；②當時，求點B與點E的距離．【答案】(1)4；(2)①；②或3．【分析】（1）過點A作AM⊥BC于點M，如圖1，在Rt△ABM中，求得AM和BM的值，在Rt△ACM中，由勾股定理得，求得CM的值，進而得到BC的值，利用等積法即可得到點C到直線AB的距離；（2）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：△ADE≌△ABC，則AD＝AB＝5，∠ADE＝∠B＝60°，DE＝BC＝8，當點D落在邊BC上時，可得∠ADB＝∠B＝60°，則∠CDE＝60°，由等腰三角形三線合一得DM＝BM＝，求得CD＝3，過點C作CN⊥DE于點N，在Rt△CDN中，求得CN＝，，進一步得，在Rt△CEN中，由勾股定理得，CE＝7，進一步得到的正弦值；②當ADBC時，過點E作EP⊥BC于點P,交AD于點Q，則四邊形AMPQ是矩形，PQ＝AM＝，PM＝AQ，在Rt△DEQ中，得到EQ和DQ的值，進一步得到PM＝1，分點D在點A的右側(cè)和點D在點A的左側(cè)兩種情況進行求解即可．（1）解：過點A作AM⊥BC于點M，如圖1，∴∠AMB＝∠AMC＝90°，在Rt△ABM中，∠B＝60°，AB＝5，∴AM＝，，在Rt△ACM中，AC＝7，由勾股定理得，CM＝，∴，設點C到直線AB的距離為h，由，得，即點C到直線AB的距離為4；（2）解：①將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)，點B落在點D處，點C落在點E處，如圖2，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：△ADE≌△ABC，∴AD＝AB＝5，∠ADE＝∠B＝60°，DE＝BC＝8，當點D落在邊BC上時，∠ADB＝∠B＝60°，∴∠CDE＝180°－∠ADE－∠ADB＝60°，∵AM⊥BD，∴DM＝BM＝，∴CD＝BC－BM－DM＝3，過點C作CN⊥DE于點N，則∠CND＝∠CNE＝90°，在Rt△CDN中，CN＝，，∴，在Rt△CEN中，由勾股定理得，，∴，即∠CED的正弦值為；②當ADBC時，過點E作EP⊥BC于點P,交AD于點Q，則∠EQD＝∠EPC＝∠EPB＝90°＝∠AMP，∴四邊形AMPQ是矩形，∴PQ＝AM＝，PM＝AQ，在Rt△DEQ中，，，∴PM＝AQ＝AD－DQ＝1，若點D在點A的右側(cè)，如圖3，則EP＝EQ＋PQ＝，∴BP＝BM＋PM＝，在Rt△BPE中，由勾股定理得，BE＝；若點D在點A的左側(cè)，如圖4，則EP＝EQ－PQ＝，∴BP＝BM－PM＝，在Rt△BPE中，由勾股定理得，BE＝，綜上所述，點B到點E的距離為或3．【點睛】此題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)、解直角三角形、勾股定理、矩形的判定和性質(zhì)、三角形的面積等知識，根據(jù)題意作出正確的圖形和輔助線是解題的關鍵．23．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，點D是邊AC上的動點，以CD為邊在△ABC外作正方形CDEF，分別聯(lián)結(jié)AE、BE，BE與AC交于點G(1)當AE⊥BE時，求正方形CDEF的面積；(2)延長ED交AB于點H，如果△BEH和△ABG相似，求sin∠ABE的值；(3)當AG＝AE時，求CD的長．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）證明△ADE≌△BFE（ASA），推出AD＝BF，構(gòu)建方程求出CD即可．（2）過點A作AM⊥BE于M，想辦法求出AB，AM即可解決問題．（3）如圖3中，延長CA到N，使得AN＝AG．設CD＝DE＝EF＝CF＝x，則AD＝12﹣x，DN＝BF＝5+x，在Rt△ADE中，利用勾股定理求出x即可解決問題．（1）如圖1中，∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝DE＝EF＝CF，∠CDE＝∠DEF＝∠F＝90°，∵AE⊥BE，∴∠AEB＝∠DEF＝90°，∴∠AED＝∠BEF，∵∠ADE＝∠F＝90°，DE＝FE，∴△ADE≌△BFE（ASA），∴AD＝BF，∴AD＝5+CF＝5+CD，∵AC＝CD+AD＝12，∴CD+5+CD＝12，∴CD＝，∴正方形CDEF的面積為．（2）如圖2中，∵∠ABG＝∠EBH，∴當∠BAG＝∠BEH＝∠CBG時，△ABG∽△EBH，∵∠BCG＝∠ACB，∠CBG＝∠BAG，∴△CBG∽△CAB，∴＝CG?CA，∴CG＝，∴BG＝==，∴AG＝AC﹣CG＝，過點A作AM⊥BE于M，∵∠BCG＝∠AMG＝90°，∠CGB＝∠AGM，∴∠GAM＝∠CBG，∴cos∠GAM＝cos∠CBG＝，∴AM＝，∵AB＝=13，∴sin∠ABM＝．（3）如圖3中，延長CA到N，使得AN＝AG．∵AE＝AG＝AN，∴∠GEN＝90°，由（1）可知，△NDE≌△BFR，∴ND＝BF，設CD＝DE＝EF＝CF＝x，則AD＝12﹣x，DN＝BF＝5+x，∴AN＝AE＝5+x﹣（12﹣x）＝2x﹣7，在Rt△ADE中，∵，∴，∴x＝或（舍棄），∴CD＝．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的全等，三角形相似的性質(zhì)和判定，一元二次方程的解法，三角函數(shù)的正弦值，熟練掌握勾股定理，準確解一元二次方程，正弦值是解題的關鍵．24．如圖，已知ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D是邊AB上一點（與點A、B不重合），DE平分∠CDB，交邊BC于點E，EF⊥CD，垂足為點F．(1)當DE⊥BC時，求DE的長；(2)當CEF與ABC相似時，求∠CDE的正切值；(3)如果BDE的面積是DEF面積的2倍，求這時AD的長．【答案】(1)(2)1或(3)【分析】（1）證明△DCE≌△DBE（ASA），可得CE＝BE＝2，根據(jù)＝tan∠B＝，即可求得答案；（2）分兩種情況：①當△CEF∽△ABC時，可證得∠CDB＝90°，再根據(jù)DE平分∠CDB，可得∠CDE＝45°，再由特殊角的三角函數(shù)值即可求得答案；②當△CEF∽△BAC時，則∠ECF＝∠ABC，得出DC＝DB，再由DE平分∠CDB，可得DE⊥BC，推出∠CDE＝∠BAC，利用三角函數(shù)定義即可求得答案；（3）如圖，過點E作EG⊥AB于點G，根據(jù)角平分線性質(zhì)可得出EF＝EG，推出DF＝DG，再由△BDE的面積是△DEF面積的2倍，可得出BD＝2DF，進而推出DE＝BE，設BE＝x，則DE＝x，CE＝BC﹣BE＝4﹣x，，，根據(jù)△CDE∽CBD，得出，建立方程求解即可．(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，∴，∵DE平分∠CDB，∴∠CDE＝∠BDE，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝∠DEB＝90°，在△DCE和△DBE中，，∴△DCE≌△DBE（ASA），∴CE＝BE，∵CE+BE＝BC＝4，∴CE＝BE＝2，∵，∴，∴DE＝；(2)∵EF⊥CD，∴∠CFE＝90°＝∠ACB，∵△CEF與△ABC相似，∴△CEF∽△ABC或△CEF∽△BAC，①當△CEF∽△ABC時，則∠ECF＝∠BAC，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠ECF+∠ABC＝90°，∴∠CDB＝90°，∵DE平分∠CDB，∴，∴tan∠CDE＝tan45°＝1；②當△CEF∽△BAC時，則∠ECF＝∠ABC，∴DC＝DB，∵DE平分∠CDB，∴DE⊥BC，∴∠CDE+∠ECF＝90°，∵∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠CDE＝∠BAC，∴，綜上所述，∠CDE的正切值為1或；(3)如圖，過點E作EG⊥AB于點G，∵DE平分∠CDB，EF⊥CD，EG⊥AB，∴EF＝EG，∵DE＝DE，∴Rt△DEF≌Rt△DEG（HL），∴DF＝DG，∵△BDE的面積是△DEF面積的2倍，∴BD＝2DF，∴DG＝BG，∵EG⊥BD，

∴DE＝BE，設BE＝x，則DE＝x，CE＝BC﹣BE＝4﹣x，，∴，∴，∵DE平分∠CDB，∴∠CDE＝∠BDE，∵DE＝BE，∴∠BDE＝∠B，∴∠CDE＝∠B，

∵∠DCE＝∠BCD，∴△CDE∽CBD，∴，即，解得：CD＝3，，∴，故這時AD的長為．【點睛】本題是幾何綜合題，考查了直角三角形性質(zhì)，勾股定理，全等三角形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，三角形面積，三角函數(shù)等知識，解題關鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)等相關知識，運用分類討論思想和方程思想解決問題．25．如圖1，已知銳角△ABC的高AD、BE相交于點F，延長AD至G，使DG=FD，連接BG，CG．（1）求證:；（2）如果，設．①如圖2，當∠ABG=90°時，用含m的代數(shù)式表示△BFG的面積；②當AB=8，且四邊形BGCE是梯形時，求m的值．【答案】（1）見詳解；（2）①；②m的值為或【分析】（1）由題意易得，然后可得，則有，然后問題可求證；（2）①由（1）及題意易得，則有△ABC是等腰三角形，然后可得BD=CD=5，進而根據(jù)三角函數(shù)可得，則，最后根據(jù)三角形面積公式可求解；②由題意可分當BG∥CE時和當CG∥BE時，然后分類求解即可．【解析】（1）證明：∵銳角△ABC的高AD、BE相交于點F，∴，∴，∵，∴，∵DG=FD，∴BF=BG，∴△BFG是等腰三角形，∴，∵，∴，∴，即；（2）①∵，∴，∵∠ABG=∠BDG=90°，∴，∴，∴△ABC是等腰三角形，∵，，∴，∴在Rt△BDG中，，∴，∴；②由①可知，∵四邊形BGCE是梯形，且當BG∥CE時，∴，∵∠BDG=90°，∴，∴△BDG和△ADC都為等腰直角三角形，設BD=x，則CD=AD=10-x，在Rt△ADB中，，且AB=8，即，解得：，∵△ABC是銳角三角形，∴，∴；當CG∥BE時，∴，∵，∴，∴，∴在Rt△ABD中，由勾股定理得：，∴；綜上所示：m的值為或．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性質(zhì)與判定及解直角三角形，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性質(zhì)與判定及解直角三角形是解題的關鍵．26．已知正ABC與正CDE，連接BD，AE．（1）如圖1，D點在BC上，點E在AC上，AE與BD的數(shù)量關系為；直線AE與直線BD所夾銳角為度；（2）將CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至如圖2，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請說明理由；（3）若AB＝7，CD＝3，將CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至B，D，E三點共線時，請畫出圖形，并求出BD長．【答案】(1)AE=BD；∠C=60°；（2）成立，證明見解析(3)畫圖見解析，5或8．【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)直接可得出AE=BD，夾角為60°；(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證△BCD≌△ACE，再通過導角可證結(jié)論成立；(3)過點M作CM⊥DE與M，通過解直角三角形，求得DM、CM，設BD=x，勾股定理列方程即可．【解析】解：(1)∵ABC與CDE是等邊三角形，∴AB=BC，CE=CD，∠C=60°，∴AE=BD；故答案為：AE=BD；∠C=60°；(2)成立；證明：∵ABC與CDE是等邊三角形，∴AB=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠DCB=∠ECA,∴△BCD≌△ACE，∴BD=AE；∠CBD=∠CAF，設直線AE與直線BD相交于點F，∠FAB+∠ABF=∠BAC+∠CAF+∠ABF=60°+∠CBD+∠ABF=120°，∠AFB=180°-120°=60°；(3)過點M作CM⊥DE與M，如圖3，∵∠CDM=60°，CD=3，∴DM=CDcos60°=1.5，CM=CDsin60°=1.5，設BD=x，，解得，，（舍去）；如圖4，∵∠CDM=60°，CD=3，∴DM=CDcos60°=1.5，CM=CDsin60°=1.5，設BD=x，，解得，（舍去），；綜上，BD長為5或8．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)以及解直角三角形，解題關鍵是準確理解題意，熟練運用全等三角形的性質(zhì)證明線段和角的關系，通過作垂線，構(gòu)建直角三角形．27．已知點P為線段AB上的一點，將線段AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AC；再將線段繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段BD；點M是AD的中點，聯(lián)結(jié)BM、CM．（1）如圖1，如果點P在線段CM上，求證：；（2）如圖1，如果點P在線段CM上，求證：；（3）如果點P不在線段CM上（如圖12），當點P在線段AB上運動時，的正切值是否發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，簡述理由；如果不發(fā)生變化，請求出的正切值．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)可得，△APC是等邊三角形，∠PBD=120°，則∠BPM+∠PBD=180°，所以PM∥BD．（2）利用三角形的中位線定理解決問題即可．（3）延長BM至點G，使得MG=MB，連接AG，BC，GC，PC，可證△CBG是等邊三角形且點M是BG的中點，可得結(jié)論．【解析】解：（1）如圖1中，由題意可得，∠CAP=60°，且AP=AC，∴△APC是等邊三角形，∴∠APC=60°，∴∠BPM=60°，又∵∠PBD=120°，∴∠BPM+∠PBD=180°，∴PM∥BD；（2）如圖1中，∵AM=MD，PM∥BD，∴AP=PB，∴PM=BD，∵PA=PC=PB=BD，∴PC=2PM；（3）結(jié)論：tan∠BCM=．理由如下：如圖2，延長BM至點G，使得MG=MB，連接AG，BC，GC，PC，GD，∵AM=MD，GM=BM，∴四邊形AGDB是平行四邊形，∴AG=BD，AG∥BD，∴∠BAG=180°-∠ABD=60°，∴∠CAG=120°，∵△APC是等邊三角形，∴AC=CP，∠CPB=120°，∵PB=DB=AG，∴△CAG≌△CPB（SAS），∴CG=CB，∠ACG=