重難點(diǎn)04（雙）角平分線模型（原卷版）

重難點(diǎn)04（雙）角平分線模型【知識(shí)梳理】（雙）角平分線模型1.雙內(nèi)角平分線2.雙外角平分線3.內(nèi)角平分線+外角平分線三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°三角形的外角等于與它不相鄰的兩本內(nèi)角的和.【考點(diǎn)剖析】題型1.雙內(nèi)角平分線例1.如圖，△ABC中，∠B和∠C的平分線交于點(diǎn)O，若∠A＝70°，則∠BOC＝度．例2．（2022秋?瑤海區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)P，根據(jù)下列條件，求∠BPC的度數(shù)．（1）若∠A＝68°，則∠BPC＝°；（2）從上述計(jì)算中，我們能發(fā)現(xiàn)：∠BPC＝（用含∠A的式子表示），并說(shuō)明理由．例3.如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)I，根據(jù)下列條件求∠BIC的度數(shù)，（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，則∠BIC＝；（2）若∠ABC+∠ACB＝116°，則∠BIC＝；（3）若∠A＝56°，則∠BIC＝；（4）若∠BIC＝100°，則∠A＝；（5）通過(guò)以上計(jì)算，探索出您所發(fā)現(xiàn)規(guī)律：∠A與∠BIC之間的數(shù)量關(guān)系是．例4．如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O．（1）若∠ABC＝40°、∠ACB＝50°，則∠BOC＝；（2）若∠ABC+∠ACB＝116°，則∠BOC＝；（3）若∠A＝76°，則∠BOC＝；（4）若∠BOC＝120°，則∠A＝；（5）請(qǐng)寫(xiě)出∠A與∠BOC之間的數(shù)量關(guān)系（不必寫(xiě)出理由）．題型2.雙外角平分線例5.（1）如圖（1），在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∠A＝40°求∠BOC的度數(shù)．（2）如圖（2），△A′B′C′外角的平分線相交于點(diǎn)O′，∠A′＝40°，求∠B′O′C′的度數(shù)．（3）由（1）、（2）可以發(fā)現(xiàn)∠BOC與∠B′O′C′有怎樣的數(shù)量關(guān)系？設(shè)∠A＝∠A′＝n°，∠BOC與∠B′O′C′是否還具有這樣的數(shù)量關(guān)系？這個(gè)結(jié)論你是怎樣得到的？例6.（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖1，△ABC的外角平分線交于點(diǎn)F．（1）若∠A＝40°，則∠F的度數(shù)為；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)F作直線MN∥BC，交AB，AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，N，若設(shè)∠MFB＝α，∠NFC＝β，則∠A與α+β的數(shù)量關(guān)系是；（3）在（2）的條件下，將直線MN繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)．①如圖3，當(dāng)直線MN與線段BC沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，試探索∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②當(dāng)直線MN與線段BC有交點(diǎn)時(shí)，試問(wèn)①中∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)給出三者之間的數(shù)量關(guān)系．題型3.內(nèi)角平分線+外角平分線例7．如圖，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1，∠A1BC的平分線與∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得∠A2，…，∠A2013BC的平分線與∠A2013CD的平分線交于點(diǎn)A2014，得∠A2014CD，則∠A2014＝．例8.（2021秋?利辛縣月考）（1）如圖1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求證：∠P＝90°+∠A；（2）如圖2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE，猜想∠P和∠A有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一．選擇題（共8小題）1．（2022春?振興區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA的長(zhǎng)分別為15，20，25，點(diǎn)O是△ABC三條角平分線的交點(diǎn)，則S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：52．（2022秋?黃岡期中）如圖，△ABC中，BO，CO分別是∠ABC，∠ACB的平分線，∠A＝50°，則∠BOC等于（）A．110° B．115° C．120° D．130°3．（2022秋?上杭縣校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠BFC＝125°，則∠A的度數(shù)為（）A．60° B．80° C．70° D．45°4．（2022秋?西陵區(qū)校級(jí)期中）如圖，△ABC的三邊AB、BC、AC的長(zhǎng)分別是9、12、15．其三條角平分線交于點(diǎn)O，將△ABC分為三個(gè)三角形，則S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．3：4：5 D．2：3：45．（2021秋?冷水灘區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)D，∠A＝40°，則∠BDC的度數(shù)是（）A．110° B．120° C．130° D．140°第6題圖6．（2021秋?新興縣期中）如圖所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線相交于點(diǎn)O，若∠BOC＝140°，則∠A的度數(shù)是（）A．40° B．90° C．100° D．140°7．（2022?峨邊縣模擬）如圖，△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分線BD、CD交于點(diǎn)D．過(guò)點(diǎn)D作EF∥BC，分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，則△AEF的周長(zhǎng)為（）A．12 B．13 C．14 D．158．（2022秋?東光縣校級(jí)月考）如圖，D是△ABC的角平分線BD和CD的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作△BCD的高，交BC于點(diǎn)E．若∠A＝70°，∠CDE＝65°，則∠DBE的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．20° D．25°二．填空題（共6小題）9．（2021秋?岷縣期中）如圖，在△ABC中，∠B，∠C的平分線交于O點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作EF∥BC交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．當(dāng)EF＝6，CF＝4時(shí)，BE的長(zhǎng)為．10．（2022秋?安陸市期中）如圖△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于H，過(guò)點(diǎn)H作EF∥BC交AB于E，交AC于F，HD⊥AC于D，以下四個(gè)結(jié)論①∠BHC＝90°+∠A；②EF﹣BE＝CF；③點(diǎn)H到△ABC各點(diǎn)的距離相等；④若B，H，D三點(diǎn)共線時(shí)，△ABC一定為等腰三角形．其中正確結(jié)論的序號(hào)為．11．（2022秋?武昌區(qū)校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC和∠BAC的平分線相交于點(diǎn)O，OD⊥OA交AC于D，OE⊥OB交BC于E，BC＝4，AC＝3，AB＝5，則△CDE的周長(zhǎng)為．12．（2021秋?道里區(qū)期末）如圖，在△ABC中，BD和CD分別是∠ABC和∠ACB的平分線，EF過(guò)點(diǎn)D，且EF∥BC，若BE＝3，CF＝4，則EF的長(zhǎng)為．13．（2022秋?長(zhǎng)興縣月考）如圖，在△ABC中，∠A＝64°，OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB，則∠BOC＝°．14．（2021秋?天山區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1得∠A1，∠A1BC的平分線與∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得∠A2，…，∠A2008BC的平分線與∠A2008CD的平分線交于點(diǎn)A2009，得∠A2009，則∠A2009＝．三．解答題（共8小題）15．（2021秋?呼和浩特期中）（1）如圖1，在△ABC中BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，過(guò)點(diǎn)O作直線EF∥BC交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，直接寫(xiě)出EF和BE、CF的數(shù)量關(guān)系．（2）如圖2，若將（1）中的“BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB”改為“BO、CO分別平分∠ABC和∠ACB的外角”，其他條件不變，則EF與BE、CF的關(guān)系又如何？請(qǐng)說(shuō)明理由．16．（2022秋?新鄉(xiāng)期末）如圖1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F．（1）當(dāng)BE＝5，CF＝3，則EF＝；（2）當(dāng)BE＞CF時(shí)，若CO是∠ACB的外角平分線，如圖2，它仍然和∠ABC的角平分線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，試判斷EF，BE，CF之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．17．（2022秋?瑤海區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)P，根據(jù)下列條件，求∠BPC的度數(shù)．（1）若∠A＝68°，則∠BPC＝°；（2）從上述計(jì)算中，我們能發(fā)現(xiàn)：∠BPC＝（用含∠A的式子表示），并說(shuō)明理由．18．（2021秋?雙臺(tái)子區(qū)校級(jí)期中）（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作EF∥BC分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．直接寫(xiě)出線段EF與BE，CF之間的數(shù)量關(guān)系：．（2）如圖2，若△ABC中∠ABC的平分線BO與三角形外角平分線CO交于點(diǎn)O，過(guò)O點(diǎn)作OE∥BC交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．則EF與BE，CF之間的數(shù)量關(guān)系又如何？說(shuō)明你的理由．19．（2023春?永春縣期末）在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是射線AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交直線CD于點(diǎn)F，∠BEF的角平分線所在的直線與直線CD交于點(diǎn)G（不與點(diǎn)C重合）．（1）如圖，點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動(dòng)，若∠B＝50°，∠ACB＝30°，求∠EGC的度數(shù)；（2）若點(diǎn)E在線段DB的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)∠A＝α，求∠EGC的度數(shù)（答案可用含α的代數(shù)式表示）．?20．（2022秋?東昌府區(qū)校級(jí)期末）如圖1，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作EF∥BC交AB、AC于E、F．（1）猜想：EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系．（2）如圖2，若AB≠AC，其他條件不變，在第（1）問(wèn)中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎？并說(shuō)明理由．（3）如圖3，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過(guò)O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F．這時(shí)