新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破講義 第2部分 思想方法　第5講　客觀題的解法（含解析）

第5講客觀題的解法題型概述數(shù)學(xué)客觀題，絕大多數(shù)是計(jì)算型(尤其是推理計(jì)算型)和概念(性質(zhì))判斷型的試題，解答時(shí)必須按規(guī)則進(jìn)行切實(shí)的計(jì)算或者合乎邏輯的推演和判斷．其中選擇題要充分利用題干和選項(xiàng)兩方面提供的信息，盡量縮短解題時(shí)間，依據(jù)題目的具體特點(diǎn)，靈活、巧妙、快速地選擇解法，基本策略是要在“準(zhǔn)”“巧”“快”上下功夫．常用的方法有直接法、特殊化法、數(shù)形結(jié)合法、等價(jià)轉(zhuǎn)化法等．方法一直接法直接法就是直接從題設(shè)條件出發(fā)，利用已知條件、相關(guān)概念、性質(zhì)、公式、公理、定理、法則等基礎(chǔ)知識(shí)，通過嚴(yán)謹(jǐn)推理、準(zhǔn)確運(yùn)算、合理驗(yàn)證，得出正確結(jié)論，此法是解選擇題和填空題最基本、最常用的方法．例1(1)(2022·邯鄲模擬)若向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝2eq\r(3)，且a·b＝3，則向量b與b－a夾角的余弦值為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(2\r(5),9)C.eq\f(7\r(2),16)D.eq\f(3\r(30),20)思路分析根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合平面向量夾角公式進(jìn)行求解即可.答案D解析因?yàn)閨b|＝2eq\r(3)，且a·b＝3，所以b·(b－a)＝b2－b·a＝(2eq\r(3))2－3＝9，因?yàn)閨b－a|＝eq\r(b－a2)＝eq\r(b2＋a2－2b·a)＝eq\r(12＋4－6)＝eq\r(10)，所以向量b與b－a夾角的余弦值為eq\f(b·b－a,|b|·|b－a|)＝eq\f(9,2\r(3)×\r(10))＝eq\f(3\r(30),20).(2)(2022·湖北新高考協(xié)作體聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn＝n2＋n(n∈N*)，設(shè)bn＝eq\f(1,an·an＋1)，則數(shù)列{bn}的前2023項(xiàng)和T2023＝________.思路分析根據(jù)數(shù)列中前n項(xiàng)和與項(xiàng)的關(guān)系，即可求通項(xiàng)，再利用裂項(xiàng)相消法求和.答案eq\f(2023,2024)解析∵2Sn＝n2＋n，∴Sn＝eq\f(n2＋n,2)，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(nn＋1,2)－eq\f(n－1n,2)＝n，a1＝S1＝eq\f(1＋1,2)＝1也符合上式，∴an＝n，bn＝eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，∴T2023＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2023)－eq\f(1,2024)＝eq\f(2023,2024).規(guī)律方法直接法是解決計(jì)算型客觀題最常用的方法，在計(jì)算過程中，我們要根據(jù)題目的要求靈活處理，多角度思考問題，注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應(yīng)用，將計(jì)算過程簡(jiǎn)化從而得到結(jié)果，這是快速準(zhǔn)確地求解選擇題、填空題的關(guān)鍵．方法二特例法從題干出發(fā)，通過選取特殊情況代入，將問題特殊化或構(gòu)造滿足題設(shè)條件的特殊函數(shù)或特殊圖形或特殊位置，進(jìn)行判斷．特殊化法是“小題小做”的重要策略，要注意在怎樣的情況下才可以使用，特殊情況可能是：特殊值、特殊點(diǎn)、特殊位置、特殊函數(shù)等．例2(1)若a>b>c>1且ac<b2，則()A．logab>logbc>logca B．logcb>logba>logacC．logbc>logab>logca D．logba>logcb>logac思路分析利用特值法或利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得到結(jié)果.答案B解析取a＝5，b＝4，c＝3代入驗(yàn)證可知選項(xiàng)B正確．(2)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，B是A和C的等差中項(xiàng)，則a＋c與2b的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)＋c>2b B．a(chǎn)＋c<2bC．a(chǎn)＋c≥2b D．a(chǎn)＋c≤2b思路分析B是A，C的等差中項(xiàng)→賦值A(chǔ)，B，C→檢驗(yàn)選項(xiàng)答案D解析①令A(yù)＝30°，B＝60°，C＝90°，令c＝2，則a＝1，b＝eq\r(3)，∴a＋c＝3<2b＝2eq\r(3)，②令A(yù)＝B＝C＝60°，則a＝b＝c，∴a＋c＝2b，故a＋c≤2b.規(guī)律方法特例法具有簡(jiǎn)化運(yùn)算和推理的功效，比較適用于題目中含有字母或具有一般性結(jié)論的選擇題，但用特例法解選擇題時(shí)，要注意以下兩點(diǎn)：第一，取特例盡可能簡(jiǎn)單，有利于計(jì)算和推理；第二，若在取定的特殊情況下有兩個(gè)或兩個(gè)以上的結(jié)論相符，則應(yīng)選另一特例情況再檢驗(yàn)，或改用其他方法求解．方法三排除法排除法也叫篩選法、淘汰法，它是充分利用單選題有且只有一個(gè)正確的選項(xiàng)這一特征，通過分析、推理、計(jì)算、判斷，排除不符合要求的選項(xiàng)．例3(1)(2022·菏澤質(zhì)檢)函數(shù)f(x)＝eq\f(ex－e－x,x2＋|x|－2)的圖象可能為()思路分析利用排除法，先判斷函數(shù)的奇偶性，再由函數(shù)值的變化情況判斷答案C解析f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠±1}，因?yàn)閒(－x)＝eq\f(e－x－ex,－x2＋|－x|－2)＝－eq\f(ex－e－x,x2＋|x|－2)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除A，D，當(dāng)x>0且x≠1時(shí)，f(x)＝eq\f(ex－e－x,x2＋x－2)，當(dāng)0<x<1時(shí)，x2＋x－2<0，ex－e－x＝eq\f(e2x－1,ex)>0，所以f(x)<0，故排除B.(2)(2022·惠州模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝ex(x＋1)，則下列說法正確的是()A．當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝ex(1－x)B．f(x)>0的解集為(－1,0)C．函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)D．?x1，x2∈R，都有|f(x1)－f(x2)|<2思路分析觀察選項(xiàng)，從易于判斷真假的選項(xiàng)出發(fā)答案D解析對(duì)于A，令x>0，則－x<0，∴f(－x)＝e－x(1－x)，又f(x)為奇函數(shù)，∴－f(x)＝e－x(1－x)，∴f(x)＝e－x(x－1)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)x<0時(shí)，令f(x)＝ex(x＋1)>0，解得－1<x<0，當(dāng)x>0時(shí)，令f(x)＝e－x(x－1)>0，解得x>1，綜上，f(x)>0的解集為(－1,0)∪(1，＋∞)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)x<0時(shí)，令f(x)＝0?x＝－1，當(dāng)x>0時(shí)，令f(x)＝0?x＝1，又f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(0)＝0，∴f(x)有3個(gè)零點(diǎn)分別為－1,0,1，故C錯(cuò)誤．規(guī)律方法排除法使用要點(diǎn)(1)從選項(xiàng)出發(fā)，先確定容易判斷對(duì)錯(cuò)的選項(xiàng)，再研究其他選項(xiàng)．(2)當(dāng)題目中的條件多于一個(gè)時(shí)，先根據(jù)某些條件在選項(xiàng)中找出明顯與之矛盾的，予以否定，再根據(jù)另一些條件在縮小選項(xiàng)的范圍內(nèi)找出矛盾，這樣逐步篩選，它與特值(例)法、驗(yàn)證法等常結(jié)合使用．方法四構(gòu)造法用構(gòu)造法解客觀題的關(guān)鍵是利用已知條件和結(jié)論的特殊性構(gòu)造出新的數(shù)學(xué)模型，它需要對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法進(jìn)行積累，需要從一般的方法原理中進(jìn)行提煉概括，積極聯(lián)想，橫向類比，從曾經(jīng)遇到的類似問題中尋找靈感，構(gòu)造出相應(yīng)的具體的數(shù)學(xué)模型，使問題簡(jiǎn)化．例4(1)已知三棱錐P－ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF＝90°，則球O的體積為()A．8eq\r(6)πB．4eq\r(6)πC．2eq\r(6)πD.eq\r(6)π思路分析求球O的體積→求球O的半徑→構(gòu)造正方體補(bǔ)形答案D解析如圖所示，構(gòu)造棱長(zhǎng)為eq\r(2)的正方體，顯然滿足題設(shè)的一切條件，則球O就是該正方體的外接球，從而體積為eq\r(6)π.(2)(2022·廣州模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足eq\f(1,2)

f(x)＋f′(x)>0，且有f(1)＝eq\f(1,2)，則2f(x)>SKIPIF1<0的解集為()A．(－∞，2) B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(2，＋∞)思路分析構(gòu)造函數(shù)Fx＝fx·SKIPIF1<0，利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合已知條件判斷Fx的單調(diào)性，由此化簡(jiǎn)不等式2fx>SKIPIF1<0并求得其解集答案B解析設(shè)F(x)＝f(x)·SKIPIF1<0，則F′(x)＝f′(x)·SKIPIF1<0＋eq\f(1,2)

f(x)·SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)

fx＋f′x))>0，所以函數(shù)F(x)在R上單調(diào)遞增，又f(1)＝eq\f(1,2)，所以F(1)＝f(1)·SKIPIF1<0又2f(x)>SKIPIF1<0等價(jià)于f(x)·SKIPIF1<0即F(x)>F(1)，所以x>1，即所求不等式的解集為(1，＋∞)．規(guī)律方法構(gòu)造法實(shí)質(zhì)上是轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應(yīng)用，需要根據(jù)已知條件和所要解決的問題確定構(gòu)造的方向，通過構(gòu)造新的函數(shù)、不等式或數(shù)列等新的模型，從而轉(zhuǎn)化為自己熟悉的問題．方法五估算法因?yàn)閱芜x題提供了唯一正確的答案，解答又不需提供過程，所以可以通過猜測(cè)、推理、估算而獲得答案，這樣往往可以減少運(yùn)算量，但同時(shí)加強(qiáng)了思維的層次，估算省去了很多推導(dǎo)過程和復(fù)雜的計(jì)算，節(jié)省了時(shí)間，從而顯得更加快捷．例5(1)古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是eq\f(\r(5)－1,2)(eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是eq\f(\r(5)－1,2).若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長(zhǎng)為105cm，頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26cm，則其身高可能是()A．165cm B．175cmC．185cm D．190cm思路分析估計(jì)身高→人體各部分長(zhǎng)度大致范圍→題中長(zhǎng)度關(guān)系估算答案B解析頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26cm，可得咽喉至肚臍的長(zhǎng)度小于42cm，肚臍至足底的長(zhǎng)度小于110cm，則該人的身高小于178cm，又由肚臍至足底的長(zhǎng)度大于105cm，可得頭頂至肚臍的長(zhǎng)度大于65cm，則該人的身高大于170cm，所以該人的身高在170cm～178cm之間．(2)設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面積為9eq\r(3)，則三棱錐D－ABC體積的最大值為()A．12eq\r(3) B．18eq\r(3)C．24eq\r(3) D．54eq\r(3)思路分析V三棱錐D－ABC最大值→三棱錐高的最大值→依據(jù)三棱錐和球的關(guān)系估算答案B解析等邊三角形ABC的面積為9eq\r(3)，顯然球心不是此三角形的中心，所