關(guān)于球的相關(guān)問題的總結(jié)

一、在涉及球的問題中，經(jīng)常用到結(jié)論：（1）在三棱錐中，，，，則該三棱錐的外接球的半徑．（2）等邊三角形外接圓的半徑等于連長的倍．（3）直角三角形的三角形外接圓的半徑等于斜邊的一半．（4）一般的三角形可由正弦定理：（為外接圓半徑）求得外接圓半徑，內(nèi)切圓的半徑通過：（為內(nèi)切圓的半徑）求得．（5）已知三棱錐，面，若，的外接圓半徑為，則該三棱錐的外接球半徑為．（6）正方體的外接球、內(nèi)切球、棱切球的直徑分別為正方體的體對角線長、棱長、面對角線長．（7）在四面體，若，，則四面體的外接球的直徑是．（8）對于正棱錐的外接球的半徑計(jì)算，也可借用幾何法求出.如針對正三棱錐，可根據(jù)平面幾何中的射影定理（為正三棱錐的高，為側(cè)棱長，即正棱錐側(cè)棱長的平方等于正棱錐的高與外接球直徑的乘積．（9）正四面體的高、外接球的半徑與內(nèi)切球的半徑之間的關(guān)系：①高：；②球心把高分成3：1；③內(nèi)切球半徑：；外接球半徑：.（10）有內(nèi)切球的多面體的內(nèi)切球的半徑計(jì)算方法：．（11）三棱錐的兩個(gè)側(cè)面互相垂直，已知兩個(gè)相互垂直的面的外接圓半徑的長及其公共棱的長度的情形：已知三棱錐中，面面，且，的外接圓半徑分別記為，公共棱，則該三棱錐的外接球半徑滿足：證明：分別在，所在的圓面上調(diào)整這兩個(gè)三角形的開關(guān)，如圖在的外接圓周上調(diào)整點(diǎn)的位置到點(diǎn)，使，在的外接圓周上調(diào)整其形狀，將調(diào)整到，調(diào)整到，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，從而得到新的三棱錐，則，，，，，三棱錐的外接球與的三棱錐的外接球是重合的，因此所求得外接球半徑滿足．（12）三棱錐給出兩個(gè)側(cè)面的夾角大?。▕A角），及其相應(yīng)兩個(gè)側(cè)面的三角形的外接圓半徑和公共弦長的情形：，已知面與所形成的二面角為，且已知和的外接圓的半徑分別為，，，則該棱錐的外接球半徑滿足：證明：如圖，取，的外接圓圓心分別為，分別過作面，的垂線，兩條垂線必交于一點(diǎn)，該即為該三棱錐的外接球的球心．再取公共棱的中點(diǎn)為，連接，，則四點(diǎn)共圓且，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：，同理可得，在和中，根據(jù)，，結(jié)合余弦定理可得到：之間的等量關(guān)系．（13）計(jì)算球的表面積或體積，必須求出球的半徑，一般方法有（核心：補(bǔ)體定心）①根據(jù)球心到內(nèi)接多面體各頂點(diǎn)的距離相等確定球心，然后求出半徑；（當(dāng)涉及的多面體較多垂直時(shí)，考慮此法，充分利用直角三角形斜邊的中點(diǎn)，找出小圓圓心或球心位置，進(jìn)而求出球的半徑.）②考慮補(bǔ)體法，求出多面體的外接球的直徑.當(dāng)三棱錐中，三對對棱分別相等時(shí)，可構(gòu)造一個(gè)長方體；當(dāng)三棱錐有三條（可不相鄰）兩兩垂直的線段時(shí)，也可構(gòu)造一個(gè)長方體，正四面體可將其補(bǔ)成正方體，有側(cè)棱垂直