數(shù)學(xué)建模初等模型

數(shù)學(xué)建模

〔MathematicalModeling)

1.第二章初等模型

xx理學(xué)院2.線性代數(shù)模型初等模型第二章極限、最值、積分問(wèn)題的初等模型經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的初等模型重點(diǎn):各種簡(jiǎn)單的初等模型難點(diǎn):簡(jiǎn)單初等模型的建立和求解生活中的問(wèn)題

黑龍江科技學(xué)院

數(shù)學(xué)建模

理學(xué)院建模舉例3.2.1

生活中的問(wèn)題2.1.1

椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問(wèn)題分析模型假設(shè)通常~三只腳著地放穩(wěn)~四只腳著地

四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線呈正方形;

地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面;

地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地。

xx理學(xué)院4.模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)

椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對(duì)稱(chēng)性用

(對(duì)角線與x軸的夾角)表示椅子位置

四只腳著地距離是

的函數(shù)四個(gè)距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f(

)B,D兩腳與地面距離之和~g(

)兩個(gè)距離xBADCOD′C′B′A′

椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)正方形對(duì)稱(chēng)性

xx理學(xué)院5.用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)f(

),g(

)是連續(xù)函數(shù)對(duì)任意

,f(

),g(

)至少一個(gè)為0數(shù)學(xué)問(wèn)題：f(),g()是連續(xù)函數(shù);對(duì)任意，f()?g()=0;且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面

椅子在任意位置至少三只腳著地

xx理學(xué)院6.模型求解給出一種簡(jiǎn)單、粗糙的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)900，對(duì)角線AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),那么h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續(xù)性知h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)的根本性質(zhì),必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因?yàn)閒()?g()=0,所以f(0)=g(0)=0.評(píng)注和思考建模的關(guān)鍵~假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì)考察四腳呈長(zhǎng)方形的椅子和f(),g()確實(shí)定

xx理學(xué)院7.2.1.2分蛋糕問(wèn)題妹妹過(guò)生日，媽媽做了一塊邊界形狀任意的蛋糕，哥哥也想吃，妹妹指著蛋糕上的一點(diǎn)對(duì)哥哥說(shuō)，你能過(guò)這一點(diǎn)切一刀，使得切下的兩塊蛋糕面積相等，就把其中的一塊送給你。哥哥利用高等數(shù)學(xué)知識(shí)解決了這個(gè)問(wèn)題，你知道他用的是什么方法嗎？問(wèn)題歸結(jié)為如下一道證明題：已知平面上一條沒(méi)有交叉點(diǎn)的封閉曲線，P是曲線所圍圖形上任一點(diǎn)，求證：一定存在一條過(guò)P的直線，將這圖形的面積二等分。

xx理學(xué)院8.只證明了直線的存在性，你能找到它么？P?PS1S2l若S1≠S2不妨設(shè)S1＞S2(此時(shí)l與x軸正向的夾角記為)以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心，將l按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，面積S1，S2就連續(xù)依賴(lài)于角的變化，記為令：而在上連續(xù)，且由零點(diǎn)定理得證。

xx理學(xué)院9.2.1.3出租車(chē)收費(fèi)問(wèn)題某城市出租汽車(chē)收費(fèi)情況如下：起價(jià)10元〔4km以?xún)?nèi)〕，行程缺乏15km，大于等于4km局部，每公里車(chē)費(fèi)1.6元；行程大于等于15km局部，每公里車(chē)費(fèi)2.4元。計(jì)程器每0.5km記一次價(jià)。

例如，當(dāng)行駛路程x（km）滿(mǎn)足12≤x<12.5時(shí)，按12.5km計(jì)價(jià)；當(dāng)12.5≤x<13時(shí)，按13km計(jì)價(jià)；例如，等候時(shí)間t(min)滿(mǎn)足2.5≤t<5時(shí)，按2.5min計(jì)價(jià)收費(fèi)0.8元；當(dāng)5≤t<25

，按5min計(jì)價(jià)理學(xué)院

xx10.請(qǐng)答復(fù)以下問(wèn)題假設(shè)行程都是整數(shù)公里，停車(chē)時(shí)間都是2.5min的整數(shù)倍，請(qǐng)建立車(chē)費(fèi)與行程的數(shù)學(xué)模型。假設(shè)行駛12km，停車(chē)等候5min,應(yīng)付多少車(chē)費(fèi)？假設(shè)行駛23.7km,停車(chē)等候7min，應(yīng)付多少車(chē)費(fèi)？解（1）設(shè)車(chē)費(fèi)為y元，其中行程車(chē)費(fèi)為y1元，停車(chē)費(fèi)為y2元，行程為xkm，x∈z+,停車(chē)時(shí)間為tmin，t∈z+,則理學(xué)院

xx11.

數(shù)學(xué)模型為

計(jì)算起來(lái)很簡(jiǎn)單。

理學(xué)院

xx12.我學(xué)過(guò)高等數(shù)學(xué)，我可以做得更好，呵呵

2.1.4螞蟻逃跑問(wèn)題一塊長(zhǎng)方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是〔1，1〕，〔5，1〕，〔1，3〕，〔5，3〕，在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)火焰，它使金屬板受熱，假設(shè)板上任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比，在〔3，2〕處有一只螞蟻，問(wèn)這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼的地點(diǎn)？解：板上任一點(diǎn)〔x,y〕處的溫度為理學(xué)院

xx13.2.2極限問(wèn)題中的初等模型2.3最值問(wèn)題中的初等模型2.4積分問(wèn)題中的初等模型

xx理學(xué)院14.細(xì)菌繁殖問(wèn)題

求：開(kāi)始時(shí)細(xì)菌個(gè)數(shù)可能是多少？假設(shè)繼續(xù)以現(xiàn)在的速度增長(zhǎng)下去，假定細(xì)菌無(wú)死亡，60天后細(xì)菌的個(gè)數(shù)大概是多少？某種細(xì)菌繁殖的速度在培養(yǎng)基充足等條件滿(mǎn)足時(shí)，與當(dāng)時(shí)已有的數(shù)量成正比，即，V=KA0(K>0為比例常數(shù))。1.建立細(xì)菌繁殖的數(shù)學(xué)模型。2.假設(shè)一種細(xì)菌的個(gè)數(shù)按指數(shù)方式增長(zhǎng)，下表是收集到的近似數(shù)據(jù)。天數(shù)細(xì)菌個(gè)數(shù)5936102190

由于細(xì)菌的繁殖時(shí)連續(xù)變化的，在很短的時(shí)間內(nèi)數(shù)量變化得很小，繁殖速度可近似看做不變。

xx理學(xué)院15.解:建立數(shù)學(xué)模型將時(shí)間間隔t分成n等分，在第一段時(shí)間內(nèi)，細(xì)菌繁殖的數(shù)量為，在第一段時(shí)間末細(xì)菌的數(shù)量為，同樣，第二段時(shí)間末細(xì)菌的數(shù)量為；以此類(lèi)推，最后一段時(shí)間末細(xì)菌的數(shù)量為，經(jīng)過(guò)時(shí)間t后，細(xì)菌的總數(shù)是設(shè)細(xì)菌的總數(shù)為y,那么所求的數(shù)學(xué)模型為：

xx理學(xué)院16.海報(bào)設(shè)計(jì)問(wèn)題現(xiàn)在要求設(shè)計(jì)一張單欄的豎向張貼的海報(bào)，它的印刷面積為128平方分米，上下空白個(gè)2分米，兩邊空白個(gè)1分米，如何確定海報(bào)尺寸可使四周空白面積為最小？最小令此式對(duì)x的導(dǎo)數(shù)為0，解得：x=16,此時(shí)y=8,可使空白面積最小。其中這個(gè)問(wèn)題可用求一元函數(shù)最值的方法解決x21y

思考：若海報(bào)改為左右兩欄，橫向粘貼，印刷面積為180平方分米，要求四周留下空白寬2分米，留1分米寬豎直中縫。如何設(shè)計(jì)它的尺寸使總空白面積最小?

xx理學(xué)院17.

對(duì)某工廠的上午班工人的工作效率的研究表明，一個(gè)中等水平的工人早上8：00開(kāi)始工作，在t小時(shí)之后，生產(chǎn)出

Q(t)=-t3+9t2+12t

個(gè)晶體管收音機(jī)。問(wèn)：在早上幾點(diǎn)鐘這個(gè)工人的工作效率最高？工人上班效率問(wèn)題工作效率最高，即生產(chǎn)率最大，此題中，工人在t時(shí)刻的生產(chǎn)率為產(chǎn)量Q關(guān)于時(shí)間t的變化率：Q’(t)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求Q’(t)的最大值解：工人的生產(chǎn)率為比較R(0)=12,R(3)=39,R(4)=36,知t=3時(shí)，即上午11：00，工人的工作效率最高。

xx理學(xué)院18.

一個(gè)小鄉(xiāng)村里的唯一商店有兩種牌子的凍果汁，當(dāng)?shù)嘏谱舆M(jìn)價(jià)每聽(tīng)30美分，外地牌子的進(jìn)價(jià)每聽(tīng)40美分。店主估計(jì)，如果當(dāng)?shù)嘏谱拥拿柯?tīng)賣(mài)x美分，外地牌子賣(mài)y美分，則每天可賣(mài)出70-5x+4y聽(tīng)當(dāng)?shù)嘏谱拥墓?0+6x-7y聽(tīng)外地牌子的果汁。問(wèn)：店主每天以什么價(jià)格賣(mài)兩種牌子的果汁可取得最大收益？最大利潤(rùn)問(wèn)題想一想高等數(shù)學(xué)中二元函數(shù)求最值的方法解：每天的總收益為二元函數(shù)：令，，則有駐點(diǎn)x=53,y=55判斷可知（53，55）為最大值點(diǎn)。

xx理學(xué)院19.一零售商收到一船共10000公斤大米，這批大米以常量每月2000公斤運(yùn)走，要用5個(gè)月時(shí)間，如果貯存費(fèi)是每月每公斤0.01元，5個(gè)月之后這位零售商需支付貯存費(fèi)多少元？商品的貯存費(fèi)問(wèn)題將區(qū)間0≤t≤5分為n個(gè)等距的小區(qū)間，任取第j個(gè)小區(qū)間【tj,tj+1】，區(qū)間長(zhǎng)度為tj+1-tj=△t，在這個(gè)小區(qū)間中，

每公斤貯存費(fèi)用=0.01△t

第j個(gè)小區(qū)間的貯存費(fèi)=0.01Q(tj)△t

總的貯存費(fèi)=由定積分定義：

總貯存費(fèi)=解：令Q(t)表示t個(gè)月后貯存大米的公斤數(shù)，那么Q(t)=10000-2000t

xx理學(xué)院20.某公路管理處在城市高速公路出口處，記錄了幾個(gè)星期內(nèi)平均車(chē)連行駛速度，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表明：一個(gè)普通工作日的下午1：00至6：00之間，次口在t時(shí)刻的平均車(chē)輛行駛速度為：

S(t)=2t3-21t2+60t+40(km/h)左右，試計(jì)算下午1：00至6：00內(nèi)的平均車(chē)輛行駛速度？車(chē)輛平均行駛速度問(wèn)題解：平均車(chē)輛行駛速度為此題是求函數(shù)s(t)在區(qū)間【1，6】?jī)?nèi)的平均值一般地，連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值，等于函數(shù)在此區(qū)間上的定積分除以區(qū)間長(zhǎng)度。

xx理學(xué)院21.

設(shè)產(chǎn)品產(chǎn)量為q,產(chǎn)品價(jià)格為p,固定成本c0，可變成本為c1.2.5

經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的初等模型（1）總成本函數(shù)：（2）供給函數(shù)：（3）需求函數(shù)：（4）價(jià)格函數(shù)：

xx理學(xué)院22.（5）收益函數(shù)：（6）利潤(rùn)函數(shù)：（7）邊際成本函數(shù)：（8）邊際收益函數(shù)：（9）邊際利潤(rùn)函數(shù)：

xx理學(xué)院23.例1某品牌收音機(jī)每臺(tái)售價(jià)90元，本錢(qián)為60元，廠家為鼓勵(lì)銷(xiāo)售商大量采購(gòu)，決定但凡訂購(gòu)量超過(guò)100臺(tái)以上的，每多訂購(gòu)一臺(tái)，售價(jià)就降低1分〔例如某商行訂購(gòu)300臺(tái)，訂購(gòu)量比100臺(tái)多200臺(tái)，于是每臺(tái)就降價(jià)0.01×200=2元，商行可按每臺(tái)88元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)300臺(tái)〕。但最低價(jià)格為75元/臺(tái)?！?〕建立訂購(gòu)量x與每臺(tái)的實(shí)際售價(jià)p的數(shù)學(xué)模型?！?〕建立利潤(rùn)L與訂購(gòu)量x的數(shù)學(xué)模型?！?〕當(dāng)一商行訂購(gòu)了1000臺(tái)時(shí)，廠家可獲利潤(rùn)多少？據(jù)此不難將售價(jià)與訂購(gòu)量歸納為如下的數(shù)學(xué)模型：

當(dāng)x≤100時(shí)，每臺(tái)售價(jià)90元；當(dāng)訂購(gòu)量超過(guò)1600臺(tái)時(shí)，每臺(tái)售價(jià)75元；當(dāng)訂購(gòu)量在100到1600臺(tái)之間時(shí)，每臺(tái)售價(jià)為90-(x-100)×0.01每臺(tái)利潤(rùn)是實(shí)際售價(jià)p與成本60元之差，所以

L=(p-60)x

xx理學(xué)院24.例2一房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月180元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去，當(dāng)租金每月增加10元時(shí)，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費(fèi)20元的整修維護(hù)費(fèi)?！?〕建立總收入R與租金x之間的數(shù)學(xué)模型。〔2〕當(dāng)房租定為多少時(shí)可獲得最大收入？解：（1）建立數(shù)學(xué)模型：

（2）求R的最大值。得x=350(元/月)

總收入R等于租出的公寓數(shù)50-((x-180)/10)乘以每套公寓的純利潤(rùn)x-20

xx理學(xué)院25.例3某不動(dòng)產(chǎn)商行能以5%的年利率借得貸款，然后它又把此款貸給顧客。假設(shè)他能貸出的款額與他貸出的利率的平方成反比〔利率太高無(wú)人借貸〕。(1)建立年利率x與利潤(rùn)p間的數(shù)學(xué)模型。(2)當(dāng)以多大的年利率貸出時(shí)，能使商行獲得利潤(rùn)最大？解

(1)

貸出的款額為k/x2,k>0為常數(shù)，商行可獲得利潤(rùn)：(2)下面求當(dāng)x取何值時(shí)，p最大。得x=0.1,即貸出年利率為10%時(shí)，商行獲得利潤(rùn)最大。

xx理學(xué)院26.§2.6

線性代數(shù)模型所謂狀態(tài)轉(zhuǎn)移問(wèn)題討論的是在一定的條件下，系統(tǒng)由一狀態(tài)逐步轉(zhuǎn)移到另一狀態(tài)是否可能，如果可以轉(zhuǎn)移的話，應(yīng)如何具體實(shí)現(xiàn)？

例1

人、狗、雞、米過(guò)河問(wèn)題這是一個(gè)人所共知而又十分簡(jiǎn)單的智力游戲。某人要帶狗、雞、米過(guò)河，但小船除需要人劃外，最多只能載一物過(guò)河，而當(dāng)人不在場(chǎng)時(shí)，狗要咬雞、雞要吃米，問(wèn)此人應(yīng)如何過(guò)河。在本問(wèn)題中，可采取如下方法：一物在此岸時(shí)相應(yīng)分量為1，而在此岸時(shí)那么取為0，例如〔1,0,1,0〕表示人和雞在此岸，而狗和米那么在對(duì)岸。

xx理學(xué)院27.〔i〕可取狀態(tài)：根據(jù)題意，并非所有狀態(tài)都是允許的，例如〔0,1,1,0〕就是一個(gè)不可取的狀態(tài)。此題中可取狀態(tài)〔即系統(tǒng)允許的狀態(tài)〕可以用窮舉法列出來(lái)，它們是：〔ii〕可取運(yùn)算：狀態(tài)轉(zhuǎn)移需經(jīng)狀態(tài)運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)。在實(shí)際問(wèn)題中，擺一次渡即可改變現(xiàn)有狀態(tài)。為此也引入一個(gè)四維向量〔轉(zhuǎn)移向量〕，用它來(lái)反映擺渡情況。例如〔1，1，0，0〕表示人帶狗擺渡過(guò)河。根據(jù)題意，允許使用的轉(zhuǎn)移向量只能有〔1，0，0，0，〕、〔1，1，0，0〕、〔1，0，1，0〕、〔1，0，0，1〕四個(gè)。人在此岸人在對(duì)岸(1，1，1，1)(0，0，0，0)(1，1，1，0)(0，0，0，1)(1，1，0，1)(0，0，1，0)(1，0，1，1)(0，1，0，0)(1，0，1，0)(0，1，0，1)

總共有十個(gè)可取狀態(tài)，對(duì)一般情況，應(yīng)找出狀態(tài)為可取的充要條件。

xx理學(xué)院28.規(guī)定一個(gè)狀態(tài)向量與轉(zhuǎn)移向量之間的運(yùn)算。規(guī)定狀態(tài)向量與轉(zhuǎn)移向量之和為一新的狀態(tài)向量，其運(yùn)算為對(duì)應(yīng)分量相加，且規(guī)定0+0=0，1+0=0+1=1，1+1=0。

在具體轉(zhuǎn)移時(shí)，只考慮由可取狀態(tài)到可取狀態(tài)的轉(zhuǎn)移。問(wèn)題化為：由初始狀態(tài)〔1，1，1，1〕出發(fā)，經(jīng)奇數(shù)次上述運(yùn)算轉(zhuǎn)化為〔0，0，0，0〕的轉(zhuǎn)移過(guò)程。我們可以如下進(jìn)行分析：〔第一次渡河〕

xx理學(xué)院29.〔第二次渡河〕以下可繼續(xù)進(jìn)行下去，直至轉(zhuǎn)移目的實(shí)現(xiàn)。上述分析實(shí)際上采用的是窮舉法，對(duì)于規(guī)模較大的問(wèn)題是不宜采用的。

xx理學(xué)院30.例2

夫妻過(guò)河問(wèn)題這是一個(gè)古老的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)問(wèn)題。有三對(duì)夫妻要過(guò)河，船最多可載兩人，約束條件是根據(jù)阿拉伯法律，任一女子不得在其丈夫不場(chǎng)的情況下與其他男子在一起，問(wèn)此時(shí)這三對(duì)夫妻能否過(guò)河？這一問(wèn)題的狀態(tài)和運(yùn)算與前一問(wèn)題有所不同，根據(jù)題意，狀態(tài)應(yīng)能反映出兩岸的男女人數(shù)，過(guò)河也同樣要反映出性別

故可如下定義：（i）可取狀態(tài)：用H和W分別表示此岸的男子和女子數(shù)，狀態(tài)可用矢量（H，W）表示，其中0≤H、W≤3?？扇顟B(tài)為（0,i），(i,i)，(3,i)，0≤i≤3。(i,i)為可取狀態(tài)，這是因?yàn)榭偪梢赃m當(dāng)安排而使他們是i對(duì)夫妻。（ii）可取運(yùn)算：過(guò)河方式可以是一對(duì)夫妻、兩個(gè)男人或兩個(gè)女人，當(dāng)然也可以是一人過(guò)河。轉(zhuǎn)移向量可取成((－1)im,(－1)in)，其中m、n可取0、1、2，但必須滿(mǎn)足1≤m+n≤2。當(dāng)j為奇數(shù)時(shí)表示過(guò)河。當(dāng)j為偶數(shù)時(shí)表示由對(duì)岸回來(lái)，運(yùn)算規(guī)則同普通向量的加法。

xx理學(xué)院31.問(wèn)題歸結(jié)為由狀態(tài)(3,3)經(jīng)奇數(shù)次可取運(yùn)算，即由可取狀態(tài)到可取狀態(tài)的轉(zhuǎn)移，轉(zhuǎn)化為(0,0)的轉(zhuǎn)移問(wèn)題。和上題一樣，我們既可以用計(jì)算機(jī)求解，也可以分析求解，此外，此題還可用作圖方法來(lái)求解。在H~W平面坐標(biāo)中，以“·〞表示可取狀態(tài)，從A(3,3)經(jīng)奇數(shù)次轉(zhuǎn)移到達(dá)O(0,0)。奇數(shù)次轉(zhuǎn)移時(shí)向左或下移動(dòng)1-2格而落在一個(gè)可取狀態(tài)上，偶數(shù)次轉(zhuǎn)移時(shí)向右或上移動(dòng)1-2格而落在一個(gè)可取狀態(tài)上。為了區(qū)分起見(jiàn),用紅箭線表示奇數(shù)次轉(zhuǎn)移，用藍(lán)箭線表示第偶數(shù)次轉(zhuǎn)移,以下圖給出了一種可實(shí)現(xiàn)的方案,故A(3,3)O(0,0)HW這三對(duì)夫妻是可以過(guò)河的。假設(shè)按這樣的方案過(guò)河,共需經(jīng)過(guò)十一次擺渡。不難看出,在上述規(guī)那么下,4對(duì)夫妻就無(wú)法過(guò)河了,讀者可以自行證明之.類(lèi)似可以討論船每次可載三人的情況,其結(jié)果是5對(duì)夫妻是可以過(guò)河的,而六對(duì)以上時(shí)就無(wú)法過(guò)河了。

xx理學(xué)院32.常染色體遺傳模型

下面給出雙親體基因型的所有可能的結(jié)合，以及其后代形成每種基因型的概率，如表所示。

在常染色體遺傳中，后代從每個(gè)親體的基因?qū)χ懈骼^承一個(gè)基因，形成自己的基因時(shí)，基因?qū)σ卜Q(chēng)為基因型。如果我們所考慮的遺傳特征是由兩個(gè)基因A和a控制的，（A、a為表示兩類(lèi)基因的符號(hào)）那么就有三種基因?qū)?，記為AA，Aa，aa。

1000aa010Aa0001AA后代基因型aa－aaAa－aaAa－AaAA－aaAA－AaAA－AA父體——母體的基因型雙親隨機(jī)結(jié)合的較一般模型相比照較復(fù)雜，這些我們僅研究一個(gè)較簡(jiǎn)單的特例。

xx理學(xué)院33.例4.8

農(nóng)場(chǎng)的植物園中某種植物的基因型為AA,Aa和aa。農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃采用AA型的植物與每種基因型植物相結(jié)合的方案培育植物后代。那么經(jīng)過(guò)若干年后，這種植物的任一代的三種基因型分布情況如何？〔a〕假設(shè)：令n=0,1,2,…?！瞚〕設(shè)an,bn和cn分別表示第n代植物中，基因型為AA,Aa和aa的植物占植物總數(shù)的百分比。令x(n)為第n代植物的基因型分布：當(dāng)n=0時(shí)表示植物基因型的初始分布〔即培育開(kāi)始時(shí)的分布〕例3

農(nóng)場(chǎng)的植物園中某種植物的基因型為AA,Aa和aa。農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃采用AA型的植物與每種基因型植物相結(jié)合的方案培育植物后代。那么經(jīng)過(guò)若干年后，這種植物的任一代的三種基因型分布情況如何？

xx理學(xué)院34.〔b〕建模根據(jù)假設(shè)(ii)，先考慮第n代中的AA型。由于第n－1代的AA型與AA型結(jié)合。后代全部是AA型；第n－1代的Aa型與AA型結(jié)合，后代是AA型的可能性為1/2，而第n－1代的aa型與AA型結(jié)合，后代不可能是AA型。因此當(dāng)n=1,2…時(shí)即類(lèi)似可推出cn=0

顯然有（ii）第n代的分布與第n－1代的分布之間的關(guān)系是通過(guò)表確定的。(2)(3)(4)

xx理學(xué)院(1)35.將〔2〕、〔3〕、〔4〕式相加，得根據(jù)假設(shè)(I)，可遞推得出：對(duì)于(2)式.(3)式和(4)式，我們采用矩陣形式簡(jiǎn)記為其中〔注：這里M為轉(zhuǎn)移矩陣的位置〕(5)

xx理學(xué)院36.由〔5〕式遞推，得(6)（6）式給出第n代基因型的分布與初始分布的關(guān)系。為了計(jì)算出Mn，我們將M對(duì)角化，即求出可逆矩陣P和對(duì)角庫(kù)D，使

M=PDP-1因而有

Mn=PDnP-1,n=1,2,…其中這里，，是矩陣M的三個(gè)特征值。對(duì)于(5)式中的M，易求得它的特征值和特征向量：

=1，=1/2，=0

xx理學(xué)院37.因此所以

通過(guò)計(jì)算，P-1=P，因此有

xx理學(xué)院38.即

xx理學(xué)院39.所以有當(dāng)時(shí)，，所以從（7）式得到即在極限的情況下，培育的植物都是AA型。假設(shè)在上述問(wèn)題中，不選用基因AA型的植物與每一植物結(jié)合，而是將具有相同基因型植物相結(jié)合，那么后代具有三種基因型的概率如表所示。11/40aa01/20Aa01/41AA后代基因型aa－aaAa－AaAA－AA父體——母體的基因型

xx理學(xué)院〔7〕40.并且，其中M的特征值為通過(guò)計(jì)算，可以解出與、相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量e1和e2，及與相對(duì)應(yīng)的特征內(nèi)量e3：因此

xx理學(xué)院41.解得：當(dāng)

時(shí)，，所以因此，如果用基因型相同的植物培育后代，在極限情況下，后代僅具有基因AA和aa。

xx理學(xué)院42.2.7建模舉例〔人員疏散問(wèn)題〕

考慮學(xué)校的一座教學(xué)樓，其中一樓有一排四間相同的教室，學(xué)生們可以沿教室外的走廊一直走到盡頭的出口。試建立數(shù)學(xué)模型來(lái)分析人員疏散所用的時(shí)間。想一想疏散撤離所用的時(shí)間依賴(lài)于哪些因素？DL3L4L2L1n4