5.2第二課時二次函數(shù)y=axh²k的圖象與性質（十二大題型）（原卷版）

（蘇科版）九年級下冊數(shù)學《第5章二次函數(shù)》5.2第2課時二次函數(shù)y＝a（xh）2+k的圖象與性質知識點一知識點一二次函數(shù)y＝ax2+k的圖象和性質◆1、二次函數(shù)y＝ax2+k的圖象和性質y＝ax2+ka

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0a

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0圖象開口方向開口向上開口向下對稱軸y軸（或直線x＝0）y軸（或直線x＝0）頂點坐標(0，k)，拋物線最低點(0，k)，拋物線最高點最值當x=0時，y最小值=k當x=0時，y最大值=k增減性當x＜0時，y隨x增大而減?。划攛＞0時，y隨x增大而增大.當x＞0時，y隨x增大而增大；當x＜0時，y隨x增大而減小.◆2、拋物線y＝ax2+k與y＝ax2的關系：二次函數(shù)y＝ax2+k的圖象可以由y＝ax2的圖象平移得到：當k＞0時,向上平移k個單位長度得到.當k＜0時,向下平移k個單位長度得到.★上下平移規(guī)律:平方項不變，常數(shù)項上加下減.知識點二知識點二二次函數(shù)y＝a（xh）2的圖象和性質◆1、二次函數(shù)y＝a（x﹣h）2的圖象和性質y＝a(x﹣h)2a

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0圖象開口方向開口向上開口向下對稱軸直線x=h直線x=h頂點坐標(h，0)，拋物線最低點(h，0)，拋物線最高點最值當x=h時，y最小值=0當x=h時，y最大值=0增減性當x＜h時，y隨x增大而減??；當x＞h時，y隨x增大而增大.當x＞h時，y隨x增大而增大；當x＜h時，y隨x增大而減小.◆2、拋物線y＝a（x﹣h）2與y＝ax2的關系：二次函數(shù)y＝a(x﹣h)2的圖象可以由y＝ax2的圖象平移得到：當h>0時，向右平移h個單位長度得到.當h<0時，向左平移?個單位長度得到.★左右平移規(guī)律：自變量左加右減，括號外不變.知識點三知識點三二次函數(shù)y＝a（xh）2+k的圖象和性質◆1、二次函數(shù)y＝a（x﹣h）2+k的圖象和性質y＝a(x﹣h)2+ka

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0a

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0圖象h＞0，k＜0h＜0，k＞0開口方向開口向上開口向下對稱軸直線x=h直線x=h頂點坐標(h，k)，拋物線最低點(h，k)，拋物線最高點最值當x=h時，y最小值=k當x=h時，y最大值=k增減性當x＜h時，y隨x增大而減??；當x＞h時，y隨x增大而增大.當x＞h時，y隨x增大而增大；當x＜h時，y隨x增大而減小.◆2、拋物線y＝a（x﹣h）2+k與y＝ax2的關系：二次函數(shù)y＝a(x﹣h)2+k的圖象可以由y＝ax2的圖象平移得到：平移規(guī)律(設h＞0，k＞0)：★簡記為a不變.題型一二次函數(shù)題型一二次函數(shù)y＝ax2+k的圖象與性質【例題1】拋物線y＝﹣2x2+3的頂點為（）（0，3） B．（﹣2，3） C．（2，3） D．（0，﹣3）解題技巧提煉二次函數(shù)y＝ax2+k的性質主要是從開口方向，對稱軸，頂點坐標，最值和增減性五個方面來判斷的.a＞0，x<0時，函數(shù)值y隨x的增大而減?。粁>O時，函數(shù)值y隨x的增大而增大；a＜0，x<0時，函數(shù)值y隨x的增大而增大；x>O時，函數(shù)值y隨x的增大而減小.【變式11】（2022秋?新華區(qū)校級期末）拋物線y＝x2+1的圖象大致是（）A． B． C． D．【變式12】比較二次函數(shù)y＝2x2與y=?12xA．開口方向相同 B．開口大小相同 C．頂點坐標相同 D．對稱軸相同【變式13】在同一坐標系中，一次函數(shù)y＝﹣mx+1與二次函數(shù)y＝x2+m的圖象可能是（）A． B． C． D．【變式14】由圖象可得二次函數(shù)y＝x2+1的圖象性質：（1）二次函數(shù)y＝x2+1是一條曲線，把這條曲線叫做．（2）二次函數(shù)y＝x2+1中，二次函數(shù)a＝，拋物線y＝x2+1的圖象開口．頂點坐標（，），圖象有最點，y有最值．（3）自變量x的取值范圍是．（4）觀察圖象，當兩點的橫坐標互為相反數(shù)時，函數(shù)y值相等，所描出的各對應點關于對稱，從而圖象關于對稱．【變式15】已知拋物線y＝2x2+n與直線y＝2x﹣1交于點（m，3）．（1）求m和n的值；（2）求拋物線y＝2x2+n的頂點坐標和對稱軸；（3）當x取何值時，二次函數(shù)y＝2x2+n中y隨x的增大而減??；（4）函數(shù)y＝2x2+n與直線y＝2x﹣1的圖象是否還有其他交點？若有，請求出來；若沒有，請說明理由．【變式16】二次函數(shù)y＝ax2+k的圖象頂點坐標是（0，2），且形狀及開口方向與拋物線y=?12x（1）確定a，k的值；（2）畫出二次函數(shù)y＝ax2+k的圖象．題型二二次函數(shù)題型二二次函數(shù)y＝ax2+k與y＝ax2的關系【例題1】（2022?和平區(qū)二模）將拋物線y＝x2﹣2向下平移2個單位，則所得拋物線的表達式為．解題技巧提煉二次函數(shù)y＝ax2+k的圖象可以由y＝ax2的圖象平移得到：當k＞0時,向上平移k個單位長度得到.當k＜0時,向下平移k個單位長度得到.★上下平移規(guī)律:平方項不變，常數(shù)項上加下減.【變式21】（2023?江南區(qū)校級三模）將拋物線y＝x2向下平移2個單位，所得拋物線的表達式為（）A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2 C．y＝（x+2）2 D．y＝（x﹣2）2【變式22】（2022秋?利通區(qū)期末）將二次函數(shù)y＝﹣x2的圖象向下平移1個單位，則平移后的二次函數(shù)的解析式（）A．y＝﹣x2﹣1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝﹣（x﹣1）2 D．y＝﹣（x2+1）2【變式23】將二次函數(shù)y=14xA．y=14x2﹣5 B．y=14C．y=14（x+2）2﹣3 D．y=14（【變式24】如果將拋物線y＝x2+3先向左平移1個單位，再向下平移1個單位，那么所得新拋物線的表達式是（）A．y＝（x+1）2+2 B．y＝（x+1）2+1 C．y＝x2+2 D．y＝（x+1）2﹣1【變式25】將二次函數(shù)y＝4x2的圖象向上平移3個單位長度，所得的圖象對應的函數(shù)關系式是；將二次函數(shù)y＝﹣5x2+1的圖象向下平移5個單位長度，所得的圖象相應的函數(shù)關系式是．將函數(shù)y＝﹣3x2+4的圖象向平移個單位長度可得y＝﹣3x2的圖象；將二次函數(shù)y＝2x2﹣7的圖象向平移個單位長度可得到二次函數(shù)y＝2x2的圖象．將二次函數(shù)y＝x2﹣7的圖象向平移個單位長度可得到二次函數(shù)了y＝x2+2的圖象．題型三二次函數(shù)題型三二次函數(shù)y＝a（x﹣h）2的圖象與性質【例題3】（2022秋?潮安區(qū)期末）二次函數(shù)y＝2（x﹣3）2的頂點坐標為（）（3，0） B．（﹣3，0） C．（0，﹣3） D．（0，3）解題技巧提煉二次函數(shù)y＝a(x﹣h)2的性質主要是從開口方向，對稱軸，頂點坐標，最值和增減性五個方面來判斷的.a＞0，x<h時，函數(shù)值y隨x的增大而減??；x>h時，函數(shù)值y隨x的增大而增大；a＜0，x<h時，函數(shù)值y隨x的增大而增大；x>h時，函數(shù)值y隨x的增大而減小.【變式21】在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝a（x﹣2）2（a≠0）的圖象可能是（）A． B． C． D．【變式22】在下列二次函數(shù)中，其圖象的對稱軸是直線x＝﹣1的是（）A．y＝2（x+1）2 B．y＝2（x﹣1）2 C．y＝﹣2x2﹣1 D．y＝2x2﹣1【變式23】拋物線y＝2（x+1）2不經過的象限是（）A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限【變式24】已知二次函數(shù)y=3（x﹣a）2的圖象上，當x＞2時，y隨x的增大而增大，則a的取值范圍是．【變式25】已知點A（﹣2，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）都在函數(shù)y＝（x﹣1）2的圖象上，則（）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1【變式26】已知拋物線y＝a（x﹣h）2，當x＝2時，有最大值，且拋物線過點（1，﹣3），（1）求拋物線的解析式．（2）當x為何值時，y隨x的增大而增大．（3）求拋物線與y軸的交點坐標．題型四二次函數(shù)題型四二次函數(shù)y＝a（x﹣h）2與y＝ax2的關系【例題4】（2023?南崗區(qū)校級模擬）將拋物線y＝﹣x2通過一次平移可得到拋物線y＝﹣（x+4）2，對這一平移過程描述正確的（）A．向右平移4個單位長度 B．向左平移4個單位長度 C．向上平移4個單位長度 D．向下平移4個單位長度解題技巧提煉二次函數(shù)y＝a(x﹣h)2(a≠0)的圖象可以由y=ax2的圖象左右平移得到：當h>0時，向右平移h個單位長度得到.當h<0時，向左平移h個單位長度得到.【變式41】把拋物線y=?12xA．y=?12x2+2 B．y=?12（C．y=?12x2﹣2 D．y=?12【變式42】將二次函數(shù)y＝2x2的圖象向右平移3個單位后得到函數(shù)的圖象，其對稱軸是，頂點是，當x時，y隨x的增大而增大；當x時，y隨x的增大而減?。咀兪?3】已知一條拋物線的開口方向和大小與拋物線y＝3x2都相同，頂點與拋物線y＝（x+2）2相同．（1）求這條拋物線的解析式；（2）將上面的拋物線向右平移4個單位會得到怎樣的拋物線解析式？（3）若（2）中所求拋物線的頂點不動，將拋物線的開口反向，求符合此條件的拋物線解析式．【變式44】已知函數(shù)y=?14x2，y=?14（x+2）2和y=?1（1）在同一平面直角坐標系中畫出它們的函數(shù)圖象；（2）分別說出各個函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標；（3）試說明分別通過怎樣的平移，可以由函數(shù)y=?14x2的圖象得到函數(shù)y=?14（x+2）2和函數(shù)y=?1（4）分別說出各個函數(shù)的性質．題型五二次函數(shù)題型五二次函數(shù)y＝a（x﹣h）2+k的圖象與性質【例題5】（2023?松北區(qū)三模）拋物線y＝﹣2（x+1）2﹣6的頂點坐標為（）A．（﹣1，6） B．（1，﹣6） C．（1，6） D．（﹣1，﹣6）解題技巧提煉二次函數(shù)y＝a(x﹣h)2+k對稱軸是直線x=h，頂點坐標是（h，k）.當a＞0時，開口向上，頂點是它的最高點；當x=h時，y有最小值是k當a＜0時，開口向下，頂點是它的最低點；當x=h時，y有最大值是k；函數(shù)y＝a(x﹣h)2+k的增減性和函數(shù)y＝a(x﹣h)2是一致的.【變式51】（2023春?鼓樓區(qū)校級期末）拋物線y＝﹣（x+1）2﹣2的對稱軸是（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2【變式52】已知某二次函數(shù)，當x＞1時，y隨x的增大而減小；當x＜1時，y隨x的增大而增大，則該二次函數(shù)的解析式可以是（）A．y＝3（x+1）2 B．y＝3（x﹣1）2 C．y＝﹣3（x+1）2 D．y＝﹣3（x﹣1）2【變式53】若拋物線y＝2（x﹣m﹣1）2+2m+4的頂點在第二象限，則m的取值范圍是（）A．m＞1 B．m＜2 C．1＜m＜2 D．﹣2＜m＜﹣1【變式54】（2022?下陸區(qū)校級開學）說出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標．（1）y=?1（2）y＝2x2﹣7；（3）y＝2（x+3）2+6．【變式55】已知：拋物線y=34（x﹣1）（1）寫出拋物線的開口方向、對稱軸；（2）設拋物線與y軸的交點為P，與x軸的交點為Q，求直線PQ的解析式．【變式56】（2022秋?衢江區(qū)校級月考）已知函數(shù)y=?1（1）指出函數(shù)圖象的開口方向是，頂點是；（2）當x時，y隨x的增大而減??；（3）怎樣移動拋物線y=?12x題型六二次函數(shù)題型六二次函數(shù)y＝a（x﹣h）2+k與y＝ax2的關系【例題6】（2023?明山區(qū)校級模擬）拋物線y＝x2可以由拋物線y＝（x+2）2﹣3平移得到，則下列平移過程正確的是（）A．先向左平移2個單位，再向上平移3個單位 B．先向左平移2個單位，再向下平移3個單位 C．先向右平移2個單位，再向下平移3個單位 D．先向右平移2個單位，再向上平移3個單位解題技巧提煉二次函數(shù)y＝a(x﹣h)2+k(a≠0)的圖象可以由y=ax2的圖象向上（下）向左（右）平移得到.【變式61】（2023?興慶區(qū)校級一模）將拋物線y＝ax2向右平移2個單位，再向上平移3個單位，移動后的拋物線經過點（3，﹣1），那么移動后的拋物線的關系式為．【變式62】已知拋物線y＝（x+3）2﹣4，將其圖象沿y軸向下平移1個單位，再沿x軸向左平移2個單位，則該拋物線的解析式為（）A．y＝（x+5）2﹣5 B．y＝（x+1）2﹣3 C．y＝（x+1）2﹣5 D．y＝（x+5）2﹣3【變式63】（2022秋?長汀縣期中）在平面直角坐標系中，如果拋物線y＝x2不動，而把x軸、y軸分別向下、向右平移2個單位長度，那么在新坐標系下拋物線的解析式為（）A．y＝（x+2）2+2 B．y＝（x+2）2﹣2 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣2）2+2【變式64】將拋物線y＝a（x﹣h）2+k的圖象先向左移動2個單位，再向上平移3個單位得到二次函數(shù)y＝﹣2（x+3）2+1的圖象．（1）確定a、h、k的值；（2）指出二次函數(shù)y＝a（x﹣h）2+k的開口方向、對稱軸和頂點坐標；（3）說明此二次函數(shù)的增減性和最大（?。┲担咀兪?5】題型七函數(shù)圖象位置的識別題型七函數(shù)圖象位置的識別【例題7】函數(shù)y＝ax2﹣1與y＝ax（a≠0）在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）A． B． C． D．解題技巧提煉在同一直角坐標系判斷函數(shù)圖象的位置，主要是根據二次函數(shù)的圖象的位置特征和一次函數(shù)的性質來判斷即可.【變式71】（2023?廬江縣三模）在同一平面直角坐標系內，二次函數(shù)y＝x2﹣m與一次函數(shù)y＝﹣x+m的圖象可能是（）A． B． C． D．【變式72】（2023?天河區(qū)校級模擬）二次函數(shù)y＝（x+m）2+n的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝mx+n的圖象不經過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式73】（2023春?鼓樓區(qū)校級期末）一次函數(shù)y＝ax﹣1（a≠0）與二次函數(shù)y＝ax2﹣x（a≠0）在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）A． B． C． D．【變式74】（2022?肇東市校級一模）同一坐標系中，拋物線y＝（x﹣a）2與直線y＝a+ax的圖象可能是（）A． B． C． D．【變式75】二次函數(shù)y＝a（x﹣2）2+c與一次函數(shù)y＝cx+a在同一坐標系中的大致圖象是（）A． B． C． D．題型八利用二次函數(shù)的性質比較函數(shù)值的大小題型八利用二次函數(shù)的性質比較函數(shù)值的大小【例題8】（2022?西城區(qū)校級開學）若點A（﹣1，y1），B（2，y2）在拋物線y＝2x2+m上，則y1，y2的大小關系為：y1y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．解題技巧提煉（1）確定這些點的橫坐標的大小；（2）判斷這些點是圖象的對稱軸的左邊還是右邊，當點不在對稱軸同側時，需要先根據拋物線的對稱性，把這些點轉化為在對稱軸同側的點；（3）根據函數(shù)的增減性進行判斷，也可根據這些點到對稱軸的距離的大小來比較.【變式81】拋物線y＝﹣2（x﹣1）2的圖象上有三個點A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3），則y1，y2，y3的大小關系是．【變式82】若A（?134，y1）B（?54，y2），C（14，y3）為二次函數(shù)y＝（x﹣2）2圖象上三點，則y1，y2，y3【變式83】已知點A（2，y1）、B（﹣1，y2）、C（﹣2，y3）在函數(shù)y＝（x﹣1）2﹣2的圖象上，則y1、y2、y3的關系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1【變式84】（2023?泗陽縣一模）設A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是拋物線y＝﹣（x+1）2+3上的三點，則y1，y2，y3的大小關系為（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2【變式85】（2023?灞橋區(qū)校級模擬）已知二次函數(shù)y＝a（x﹣1）2+4的圖象開口向上，若點A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（5，y3）都在該函數(shù)圖象上，則y1，y2，y3三者之間的大小關系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2題型九利用二次函數(shù)的性質判斷結論題型九利用二次函數(shù)的性質判斷結論【例題9】（2022秋?鹽湖區(qū)期末）對于二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2的圖象，下列說法不正確的是（）A．開口向下 B．對稱軸是直線x＝1 C．頂點坐標為（1，0） D．當x＜1時，y隨x的增大而減小解題技巧提煉主要考查二次函數(shù)的性質，掌握二次函數(shù)的頂點式是解題的關鍵.【變式91】二次函數(shù)y＝﹣2（x+1）2﹣4，下列說法正確的是（）A．開口向上 B．對稱軸為直線x＝1 C．頂點坐標為（1，4） D．當x＜﹣1時，y隨x的增大而增大【變式92】（2022秋?五常市期末）已知拋物線y＝（x﹣3）2+1，下列結論錯誤的是（）A．拋物線開口向上 B．拋物線的對稱軸為直線x＝3 C．拋物線的頂點坐標為（3，1） D．當x＜3時，y隨x的增大而增大【變式93】設函數(shù)y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是實數(shù)，a≠0），當x＝1時，y＝2；當x＝5時，y＝6，以下判斷正確的是（）A．若h＝2，則a＜0 B．若h＝4，則a＞0 C．若h＝6，則a＜0 D．若h＝8，則a＞0【變式94】（2022?赤峰模擬）下表中列出的是一個二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)y的幾組對應值：x…﹣2013…y…6﹣4﹣6﹣4…下列各選項中，正確的是（）A．這個函數(shù)的圖象開口向下 B．這個函數(shù)的圖象與x軸無交點 C．當x＞1時，y的值隨x值的增大而增大 D．這個函數(shù)的最小值小于﹣6題型十二次函數(shù)對稱性的應用題型十二次函數(shù)對稱性的應用【例題10】如圖，兩條拋物線y1=?12x2+1，y解題技巧提煉1、利用二次函數(shù)對稱性，將一些不規(guī)則圖象轉化為規(guī)則圖形，從而求出此類圖形的面積.2、拋物線上兩點的縱坐標相等，則這兩點是關于對稱軸對稱.【變式101】已知二次函數(shù)y與自變量x的部分對應值如表：x…﹣3﹣201348…y…70﹣8﹣9﹣5040…則二次函數(shù)的對稱軸是（）A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝4 D．x＝﹣4【變式102】（2022秋?西湖區(qū)校級月考）若點A（﹣3，m），B（5，m）在同一個函數(shù)圖象上，這個函數(shù)可能為（）A．y＝（x﹣1）2+2022 B．y＝（x+1）2+2022 C．y＝（x+3）2﹣2022 D．y＝（x﹣2）2﹣2022【變式103】已知點A（﹣3，m），B（3，m），C（﹣1，m+n2+1）在同一個函數(shù)的圖象上，這個函數(shù)可能是（）A．y＝x+2 B．y=?2x C．y＝x2+2 D．y＝﹣x【變式104】已知二次函數(shù)y＝（x﹣m）2﹣1（m為常數(shù)），如果當自變量x分別取﹣1，2時，所對應的y值相等，那么m的值為．題型十一利用二次函數(shù)的性質求最值題型十一利用二次函數(shù)的性質求最值【例題11】（2023?阿城區(qū)三模）拋物線y＝﹣3（x﹣4）2﹣5的最大值為（）A．4 B．﹣4 C．5 D．﹣5解題技巧提煉確定一個二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當自變量取全體實數(shù)時，其最值為拋物線頂點坐標的縱坐標；當自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數(shù)端點處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．【變式111】（2023?長安區(qū)校級二模）已知點A（a，b）在二次函數(shù)y＝﹣x2+8的圖象上，則2a﹣b的最小值為（）A．﹣8 B．8 C．﹣9 D．9【變式112】（2022秋?海曙區(qū)期末）已知點P（m，n）在二次函數(shù)y＝x2+4的圖象上，則m﹣n的最大值等于．【變式113】（2023?永嘉縣三模）已知二次函數(shù)的圖象（0≤x≤4）如圖，關于該函數(shù)在所給自變量的取值范圍內，下列說法正確的是（）D．有最大值2，無最小值【變式114】（2022?河南模擬）定義符號min{a，b}的含義為：當a≥b時，min{a，b}＝b；當a＜b時，min{a，b}＝a．如：min{1，﹣2}＝﹣2，min{﹣3，﹣1}＝﹣3．則min{﹣x2+2，x}的最大值是．【變式115】已知二