第03講角（知識解讀真題演練課后鞏固）（原卷版）

第03講角1.掌握角的概念及角的表示方法，并能進行角度的互換；2.借助三角尺畫一些特殊角，掌握角大小的比較方法；握鐘表上有關(guān)夾角問題及運算；5．會利用角平分線的意義進行有關(guān)表示或計算；6.掌握角的和、差、倍、分關(guān)系，并會進行有關(guān)計算7.掌握余角、補角的性質(zhì)及有關(guān)運算。知識點1角的概念角的定義：（1）定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點是點O，邊是射線OA、OB．圖2圖1圖2圖1（2）定義二：一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部．如圖2所示，射線OA繞它的端點O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．注意：（1）兩條射線有公共端點，即角的頂點；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關(guān)．（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的幾何符號用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：注意：用數(shù)字或小寫希臘字母表示角時，要在靠近角的頂點處加上弧線，且注上阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫希臘字母．（1）用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角．（3）利用尺規(guī)作圖可以畫一個角等于已知角．知識點2角度制及其換算角的度量單位是度、分、秒，把一個周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的為1分，記作“1′”，1′的為1秒，記作“1″”．這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．注意：在進行有關(guān)度分秒的計算時，要按級進行，即分別按度、分、秒計算，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進行運算，在相乘或相加時，當(dāng)?shù)臀坏脭?shù)大于60時要向高一位進位．知識點3鐘表上有關(guān)夾角問題鐘表中共有12個大格，把周角12等分、每個大格對應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時針每小時轉(zhuǎn)30°，時針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計算問題．知識點4方位角在航行和測繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．注意：（1）正東，正西，正南，正北4個方向不需要用角度來表示．（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準(zhǔn)”，“北偏東60°”一般不說成“東偏北30°”．（3）在同一問題中觀察點可能不止一個，在不同的觀測點都要畫出表示方向的“十字線”，確定其觀察點的正東、正西、正南、正北的方向．（4）圖中的點O是觀測點，所有方向線(射線)都必須以O(shè)為端點．知識點5角平分線從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=∠AOB．注意：由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點的思維框架一樣．知識點6：角的運算如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB∠2．注意：(1)用量角器量角和畫角的一般步驟：①對中(角的頂點與量角器的中心對齊)；②重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；③讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù))．(2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．知識點7：余角和補角（1）余角：

如果兩個角的和是一個直角,那么稱這兩個角互為余角,簡稱互余,也可以說其中一個角是另一個角的余角。

∠A+∠C=90°,∠A=90°∠C,∠C的余角=90°∠C即:∠A的余角=90°∠A

（2）補角：

如果兩個角的和是一個平角，那么這兩個角叫互為補角．其中一個角叫做另一個角的補角

∠A+∠C=180°,∠A=180°∠C,∠C的補角=180°∠C即:∠A的補角=180°∠A（3）補角的性質(zhì)：

同角的補角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,則：∠C=∠B。

等角的補角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D則：∠C=∠B。

（4）余角的性質(zhì)：

同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,則：∠C=∠B。

等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D則：∠C=∠B。

注意：

①鈍角沒有余角；

②互為余角、補角是兩個角之間的關(guān)系。如∠A+∠B+∠C=90°，不能說∠A、∠B、∠C互余；同樣：如∠A+∠B+∠C=180°，不能說∠A、∠B、∠C互為補角；

③互為余角、補角只與角的度數(shù)相關(guān)，與角的位置無關(guān)。只要它們的度數(shù)之和等于90°或180°，就一定互為余角或補角。【題型1角的概念及表示】【典例1】（2022秋?綏寧縣期末）下列四個圖中，能用∠1、∠AOB、∠O三種方法表示同一個角的是（）A．B． C．D．【變式11】（2023?蘭溪市模擬）“直角”在幾何學(xué)習(xí)中無處不在，如圖圖中的∠AOB一定是直角的是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④【變式12】（2022秋?曲靖期末）下列圖形中，能用∠AOB，∠O，∠1三種表示方法表示同一個角的是（）A． B． C． D．【變式13】（2022秋?馬尾區(qū)期末）下列四個圖中，能用∠1、∠O、∠MON三種方法表示同一個角的是（）A． B． C． D．【題型2鐘面角】【典例2】（2022秋?梁山縣期末）如圖所示，鐘表上顯示的時刻是10點10分，再過20分鐘，時針與分針?biāo)傻慕鞘牵ǎ〢．75° B．120° C．135° D．150°【變式21】（2022秋?金鳳區(qū)校級期末）鐘表8時30分時，時針與分針?biāo)傻慕堑亩葦?shù)為（）A．110° B．75° C．105° D．90°【變式22】（2023春?招遠(yuǎn)市期中）已知本學(xué)期某學(xué)校下午上課的時間為14時20分，則此時刻鐘表上的時針與分針的夾角為_____度．（）A．40° B．50° C．60° D．70°【變式23】（2023春?東平縣期末）在9：30這一時刻，時鐘上的時針和分針之間的夾角為（）A．105° B．100° C．90° D．85°【變式24】（2023春?龍口市期中）從8：13分到8：37分，時鐘的分針轉(zhuǎn)過的角度是（）A．148° B．144° C．136° D．108°【題型3方位角】【典例3】（2022秋?漢臺區(qū)期末）如圖，A地和B地都是海上觀測站，A地在燈塔O的北偏東30°方向，∠AOB＝100°，則B地在燈塔O的（）A．南偏東40°方向 B．南偏東50°方向 C．南偏西50°方向 D．東偏南30°方向【變式31】（2023?芝罘區(qū)一模）如圖，點B在點A的北偏西50°方向，點C在點B的正東方向，且點C到點B與點A到點B的距離相等，則點A相對于點C的位置是?（）A．北偏東25° B．北偏東20° C．南偏西25° D．南偏西20°【變式32】（2022秋?下陸區(qū)期末）如圖，甲從A點出發(fā)向北偏東70°方向走到點B，乙從點A出發(fā)向南偏西15°方向走到點C，則∠BAC的度數(shù)是（）A．85° B．160° C．125° D．105°【變式33】（2022秋?泗水縣期末）如圖，OA是北偏東30°方向的一條射線，若射線OB與射線OA成90°角，則OB的方位角是（）A．北偏西30°方向 B．北偏西60°方向 C．南偏東30°方向 D．南偏東60°方向【題型4度分秒換算】【典例4】（2022秋?六盤水期末）34.37°＝34°′″．【變式41】（2023春?無錫月考）單位換算：20°30'＝°．【變式42】（2022秋?梁子湖區(qū)期末）120.76°＝度分秒．【變式43】（2022秋?新?lián)釁^(qū)期末）計算：18°42′+42°58′＝．【題型5角平分線的定義】【典例5】（2022秋?榕城區(qū)期末）如圖，點O在直線AB上，射線OD是∠AOC的平分線，若∠COB＝40°，則∠DOC的度數(shù)是（）A．20° B．45° C．60° D．70°【變式51】（2022秋?內(nèi)江期末）如圖，點A、O、B在同一條直線上，OC平分∠DOB，已知∠DOC＝65°，則∠DOA的度數(shù)是（）A．45° B．50° C．55° D．65°【變式52】（2022秋?新華區(qū)校級期末）如圖，∠AOB是直角，OD是∠AOB內(nèi)的一條射線，OE平分∠BOD，若∠BOE＝24°，則∠AOD的度數(shù)（）A．46° B．54° C．42° D．67°【變式53】（2022秋?雞澤縣期末）已知∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，OD平分∠AOC，則∠AOD的度數(shù)為（）A．20° B．80° C．20°或80° D．10°或40°【題型6角的基本運算】【典例6】（2023春?河口區(qū)期末）如圖，直線AB，CD相交于點O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC＝70°，求∠BOD的度數(shù)；（2）若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度數(shù)．【變式61】（2022秋?大足區(qū)期末）如圖，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB內(nèi)的一條射線，且∠AOC：∠BOC＝1：2．（1）求∠AOC的度數(shù)；（2）過點O作射線OD，若∠AOD＝∠AOB，求∠COD的度數(shù)．【變式622】（2022秋?市北區(qū)校級期末）已知如圖，∠AOB：∠BOC＝3：2，OD是∠BOC的平分線，OE是∠AOC的平分線，且∠BOE＝12°，求∠DOE的度數(shù)．【變式63】（2023春?煙臺期末）如圖，將直角三角板OMN的直角頂點O放在直線AB上，射線OC平分∠AON．（1）當(dāng)∠BON＝60°時，求∠COM的度數(shù)；（2）若∠AOM＝2∠COM，求∠AON的度數(shù)．【題型7余角概念及及性質(zhì)】【典例7】（2023秋?樂亭縣期中）若∠α與∠β互余，∠α＝72°30'，則∠β的大小是（）A．17°30' B．18°30' C．107°30' D．108°30'【變式71】（2023春?禪城區(qū)校級期中）已知∠1與∠2互余，若∠1＝25°，則∠2＝（）A．35° B．45° C．55° D．65°【變式72】（2022秋?寧波期末）已知一個角的余角等于40°，則這個角的補角等于（）A．130° B．140° C．150° D．160°【變式73】（2022秋?南潯區(qū)期末）已知∠1與∠2互余，若∠2＝29°20'，則∠1的度數(shù)等于（）A．61°40' B．60°80' C．60°40' D．29°20'【題型8補角及性質(zhì)】【典例8】（2023春?雨城區(qū)校級期中）如果一個角的補角是這個角余角的2.5倍，那么這個角的度數(shù)是（）A．30° B．60° C．90° D．120°【變式81】（2022秋?金平區(qū)期末）已知∠1＝50°，則∠1的補角的度數(shù)是（）A．130° B．140° C．40° D．60°【變式82】（2023秋?樂亭縣期中）若∠1與∠2互補，∠2與∠3互補，則∠1與∠3的關(guān)系滿足（）A．∠1﹣∠3＝90° B．∠1+∠3＝90° C．∠1+∠3＝180° D．∠1＝∠3【變式83】（2022秋?綿陽期末）若一個角的余角是它的補角的，則這個角的度數(shù)是（）A．30° B．60° C．120° D．150°1．（2023?北京）如圖，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝126°，則∠BOC的大小為（）A．36° B．44° C．54° D．63°2．（2023?河北）淇淇一家要到革命圣地西柏坡參觀．如圖，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，則淇淇家位于西柏坡的（）A．南偏西70°方向 B．南偏東20°方向 C．北偏西20°方向 D．北偏東70°方向3．（2022?甘肅）若∠A＝40°，則∠A的余角的大小是（）A．50° B．60° C．140° D．160°4．（2023秋?長安區(qū)期中）下列圖形中，能用∠O和∠1表示同一個角的是（）A． B． C． D．5．（2023秋?硚口區(qū)期中）如圖，A處在B處的西北方向，A處在C處的南偏西80°方向，從A處觀測B，C兩處的視角∠BAC的大小是（）A．50° B．55° C．60° D．65°6．（2022秋?防城港期末）如圖，將長方形紙片ABCD的角C沿著GF折疊（點F在BC上，不與B，C重合），使點C落在長方形內(nèi)部點E處，若FH平分∠BFE，則∠GFH的度數(shù)α是（）A．90°＜α＜180° B．0°＜α＜90° C．α＝90° D．α隨折痕GF位置的變化而變化7．（2023?樂山）如圖，點O在直線AB上，OD是∠BOC的平分線，若∠AOC＝140°，則∠BOD的度數(shù)為．8．（2022?湘潭）如圖，一束光沿CD方向，先后經(jīng)過平面鏡OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB＝120°，∠CDB＝20°，則∠AEF＝．9．（2022?益陽）如圖，PA，PB表示以P為起點的兩條公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏東56°，則這兩條公路的夾角∠APB＝°．1．（2023秋?樂亭縣期中）若∠α與∠β互余，∠α＝72°30'，則∠β的大小是（）A．17°30' B．18°30' C．107°30' D．108°30'2．（2023秋?樂亭縣期中）已知本學(xué)期某學(xué)校下午上課的時間為14時20分，則此時刻鐘表上的時針與分針的夾角為（）A．40° B．50° C．60° D．70°3．（2023秋?裕華區(qū)期中）如圖，∠AOC＝∠BOD＝90°，且∠DOC＝20°，則∠AOB＝（）A．160° B．150° C．140° D．165°4．（2023秋?濟南期中）科技館在博物館的北偏西30°方向，那么博物館在科技館的（）方向．A．北偏西30° B．南偏東30° C．西偏北60° D．東偏南30°5．（2022秋?興山縣期末）如圖，∠AOB是平角，OD、OE分別是∠AOC、∠BOC平分線，∠DOE等于（）A．105° B．100° C．90° D．80°6．（2022秋?韓城市期末）把40°12′36″化為用度表示，下列正確的是（）A．40.11° B．40.21° C．40.16° D．40.26°7．（2022秋?仙居縣期末）如圖，點O在直線AB上，∠COD＝90°，若∠BOD＝32°，OE平分∠A