數(shù)學(xué)七年級(jí)下學(xué)期第11講因式分解

第11講因式分解（核心考點(diǎn)講與練)一．因式分解的意義1、分解因式的定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做分解因式．2、因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運(yùn)算，二者是一個(gè)式子的不同表現(xiàn)形式．因式分解是兩個(gè)或幾個(gè)因式積的表現(xiàn)形式，整式乘法是多項(xiàng)式的表現(xiàn)形式．例如：3、因式分解是恒等變形，因此可以用整式乘法來(lái)檢驗(yàn)．二．公因式1、定義：多項(xiàng)式ma+mb+mc中，各項(xiàng)都含有一個(gè)公共的因式m，因式m叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式．2、確定多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式，可概括為三“定”：①定系數(shù)，即確定各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；②定字母，即確定各項(xiàng)的相同字母因式（或相同多項(xiàng)式因式）；③定指數(shù)，即各項(xiàng)相同字母因式（或相同多項(xiàng)式因式）的指數(shù)的最低次冪．三．因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．2、具體方法：（1）當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項(xiàng)的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的次數(shù)取最低的．（2）如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出“﹣”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)成為正數(shù)．提出“﹣”號(hào)時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào)．3、口訣：找準(zhǔn)公因式，一次要提凈；全家都搬走，留1把家守；提負(fù)要變號(hào)，變形看奇偶．4、提公因式法基本步驟：（1）找出公因式；（2）提公因式并確定另一個(gè)因式：①第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數(shù)再確定字母；②第二步提公因式并確定另一個(gè)因式，注意要確定另一個(gè)因式，可用原多項(xiàng)式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一個(gè)因式，也可用公因式分別除去原多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，求的剩下的另一個(gè)因式；③提完公因式后，另一因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同．四．因式分解-運(yùn)用公式法1、如果把乘法公式反過(guò)來(lái)，就可以把某些多項(xiàng)式分解因式，這種方法叫公式法．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；2、概括整合：①能夠運(yùn)用平方差公式分解因式的多項(xiàng)式必須是二項(xiàng)式，兩項(xiàng)都能寫(xiě)成平方的形式，且符號(hào)相反．②能運(yùn)用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式必須是三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)能寫(xiě)成兩個(gè)數(shù)（或式）的平方和的形式，另一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)（或式）的積的2倍．3、要注意公式的綜合應(yīng)用，分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止．五．提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．六、因式分解-分組分解法1、分組分解法一般是針對(duì)四項(xiàng)或四項(xiàng)以上多項(xiàng)式的因式分解，分組有兩個(gè)目的，一是分組后能出現(xiàn)公因式，二是分組后能應(yīng)用公式．2、對(duì)于常見(jiàn)的四項(xiàng)式，一般的分組分解有兩種形式：①二二分法，②三一分法．例如：①ax+ay+bx+by＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）②2xy﹣x2+1﹣y2＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1＝1﹣（x﹣y）2＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）七．因式分解-十字相乘法等借助畫(huà)十字交叉線分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．這類二次三項(xiàng)式的特點(diǎn)是：二次項(xiàng)的系數(shù)是1；常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的積；可以直接將某些二次項(xiàng)的系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式因式分解：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解這種方法的關(guān)鍵是把二次項(xiàng)系數(shù)a分解成兩個(gè)因數(shù)a1，a2的積a1?a2，把常數(shù)項(xiàng)c分解成兩個(gè)因數(shù)c1，c2的積c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次項(xiàng)b，那么可以直接寫(xiě)成結(jié)果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．八．實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式是指可以把因式分解到實(shí)數(shù)的范圍（可用無(wú)理數(shù)的形式來(lái)表示），一些式子在有理數(shù)的范圍內(nèi)無(wú)法分解因式，可是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)就可以繼續(xù)分解因式．例如：x2﹣2在有理數(shù)范圍內(nèi)不能分解，如果把數(shù)的范圍擴(kuò)大到實(shí)數(shù)范圍則可分解x2﹣2＝x2﹣（）2＝（x+）（x﹣）九．因式分解的應(yīng)用1、利用因式分解解決求值問(wèn)題．2、利用因式分解解決證明問(wèn)題．3、利用因式分解簡(jiǎn)化計(jì)算問(wèn)題．【規(guī)律方法】因式分解在求代數(shù)式值中的應(yīng)用1．因式分解是研究代數(shù)式的基礎(chǔ)，通過(guò)因式分解將多項(xiàng)式合理變形，是求代數(shù)式值的常用解題方法，具體做法是：根據(jù)題目的特點(diǎn)，先通過(guò)因式分解將式子變形，然后再進(jìn)行整體代入．2．用因式分解的方法將式子變形時(shí)，根據(jù)已知條件，變形的可以是整個(gè)代數(shù)式，也可以是其中的一部分．一．因式分解的意義（共3小題）1．（2021秋?萊州市期末）已知多項(xiàng)式ax2+bx+c因式分解的結(jié)果為（x﹣1）（x+4），則abc為（）A．12 B．9 C．﹣9 D．﹣12【分析】把多項(xiàng)式乘法展開(kāi)再根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等即可求解．【解答】解：∵（x﹣1）（x+4），＝x2+3x﹣4，＝ax2+bx+c，∴a＝1，b＝3，c＝﹣4．則abc＝﹣12．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】注意正確計(jì)算多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等求解是解題的關(guān)鍵．2．（2021秋?陽(yáng)江期末）下列等式從左到右的變形，屬于因式分解的是（）A．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a(chǎn)（x﹣y）＝ax﹣ay C．x2+2x+1＝x（x+2）+1 D．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3【分析】根據(jù)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，可得答案．【解答】解：A、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，故此選項(xiàng)符合題意；B、a（x﹣y）＝ax﹣ay，是整式的乘法，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；C、x2+2x+1＝x（x+2）+1，沒(méi)把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；D、（x+1）（x+3）＝x2+4x+3，是整式的乘法，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的意義．掌握因式分解的定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式是解題關(guān)鍵．3．（2021秋?淇縣期末）仔細(xì)閱讀下面例題，解答問(wèn)題：例題：已知二次三項(xiàng)式x2﹣4x+m有一個(gè)因式是（x+3），求另一個(gè)因式以及m的值．解：設(shè)另一個(gè)因式為（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）則x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n∴．解得：n＝﹣7，m＝﹣21∴另一個(gè)因式為（x﹣7），m的值為﹣21問(wèn)題：仿照以上方法解答下面問(wèn)題：已知二次三項(xiàng)式2x2+3x﹣k有一個(gè)因式是（2x﹣5），求另一個(gè)因式以及k的值．【分析】根據(jù)例題中的已知的兩個(gè)式子的關(guān)系，兩個(gè)中二次三項(xiàng)式x2﹣4x+m的二次項(xiàng)系數(shù)是1，因式是（x+3）的一次項(xiàng)系數(shù)也是1，利用待定系數(shù)法求出另一個(gè)因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次項(xiàng)系數(shù)是2，因式是（2x﹣5）的一次項(xiàng)系數(shù)是2，則另一個(gè)因式的一次項(xiàng)系數(shù)一定是1，利用待定系數(shù)法，就可以求出另一個(gè)因式．【解答】解：設(shè)另一個(gè)因式為（x+a），得：2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a），則2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a∴．解得：a＝4，k＝20．故另一個(gè)因式為（x+4），k的值為20．【點(diǎn)評(píng)】正確讀懂例題，理解如何利用待定系數(shù)法求解是解本題的關(guān)鍵．二．公因式（共2小題）4．（2021秋?沂源縣期末）6x3y2﹣3x2y3分解因式時(shí)，應(yīng)提取的公因式是（）A．3xy B．3x2y C．3x2y3 D．3x2y2【分析】分別找出系數(shù)的最大公約數(shù)和相同字母的最低指數(shù)次冪，即可確定公因式．【解答】解：6x3y2﹣3x2y3＝3x2y2（2x﹣y），因此6x3y2﹣3x2y3的公因式是3x2y2．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查公因式的確定，找公因式的要點(diǎn)是：（1）公因式的系數(shù)是多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；（2）字母取各項(xiàng)都含有的相同字母；（3）相同字母的指數(shù)取次數(shù)最低的．5．（2021春?南京期中）多項(xiàng)式3a2b﹣6a3b各項(xiàng)的公因式是3a2b．【分析】根據(jù)公因式的尋找方法：先確定系數(shù)：最大公約數(shù)，再找同底數(shù)的冪：指數(shù)最低的；即可確定答案．【解答】解：∵3a2b﹣6a3b＝3a2b（1﹣2a），∴公因式為：3a2b．故答案為：3a2b．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了公因式的確定方法．如果各項(xiàng)是單項(xiàng)式，則先確定系數(shù)：最大公約數(shù)，再找同底數(shù)的冪：指數(shù)最低的；如果各項(xiàng)是多項(xiàng)式，則需要先因式分解．三．因式分解-提公因式法（共4小題）6．（2021春?天寧區(qū)校級(jí)月考）因式分解：x（m﹣1）+y（1﹣m）＝（x﹣y）（m﹣1）．【分析】直接將原式變形，進(jìn)而提取公因式（m﹣1），進(jìn)而得出答案．【解答】解：原式＝x（m﹣1）﹣y（m﹣1）＝（m﹣1）（x﹣y）．故答案為：（m﹣1）（x﹣y）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵．7．（2021秋?啟東市期末）分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝（y﹣z）（2a+3b）．【分析】利用提公因式法分解即可．【解答】解：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝2a（y﹣z）+3b（y﹣z）＝（y﹣z）（2a+3b）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解﹣提公因式法，熟練掌握因式分解﹣提公因式法是解題的關(guān)鍵．8．（2021?高郵市校級(jí)模擬）因式分解：3x4﹣9x2＝3x2（x2﹣3）．【分析】提公因式3x2分解因式即可．【解答】解：3x4﹣9x2＝3x2（x2﹣3）．故答案為：3x2（x2﹣3）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查因式分解﹣提公因式法，正確找到公因式是解題的關(guān)鍵．9．（2021?江都區(qū)二模）若ab＝2，a+b＝﹣1，則代數(shù)式a2b+ab2的值等于﹣2．【分析】原式提取公因式，把a(bǔ)b與a+b整體代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：∵ab＝2，a+b＝﹣1，∴原式＝ab（a+b）＝2×（﹣1）＝﹣2．故答案為：﹣2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解﹣提公因式法，以及代數(shù)式求值，熟練掌握提公因式的方法是解本題的關(guān)鍵．四．因式分解-運(yùn)用公式法（共4小題）10．（2021春?樂(lè)亭縣期末）下列各式能用公式法因式分解的是（）A．﹣x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．4x2+4xy﹣y2 D．x2+xy+y2【分析】根據(jù)平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2，進(jìn)行分析即可．【解答】解：A、﹣x2+y2可以用平方差分解，故此選項(xiàng)符合題意；B、﹣x2﹣y2不能用平方差分解，故此選項(xiàng)不符合題意；C、4x2+4xy﹣y2不能用完全平方分解，故此選項(xiàng)不符合題意；D、x2+xy+y2不能用完全平方分解，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了公式法分解因式，關(guān)鍵是掌握平方差公式和完全平方公式．11．（2021?宜興市模擬）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A．x2+4y2 B．﹣x2+4y2 C．x2﹣2y+1 D．﹣x2﹣4y2【分析】能用平方差公式分解因式的式子必須是兩平方項(xiàng)的差．【解答】解：A．x2+4y2兩項(xiàng)的符號(hào)相同，不能用平方差公式分解因式；B．﹣x2+4y2是2y與x的平方的差，能用平方差公式分解因式；C．x2﹣2y+1是三項(xiàng)不能用平方差公式分解因式；D．﹣x2﹣4y2兩項(xiàng)的符號(hào)相同，不能用平方差公式分解因式．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方差公式分解因式，熟記平方差公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵．12．（2021春?遵化市期末）我們所學(xué)的多項(xiàng)式因分解的方法主要有：①提公因式法；②平方差公式法；③完全平方公式法．現(xiàn)將多項(xiàng)式（x﹣y）3+4（y﹣x）進(jìn)行因式分解，使用的方法有（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式得出答案．【解答】解：（x﹣y）3+4（y﹣x）＝（x﹣y）3﹣4（x﹣y）＝（x﹣y）[（x﹣y）2﹣4]＝（x﹣y）（x﹣y+2）（x﹣y﹣2），故將多項(xiàng)式（x﹣y）3+4（y﹣x）進(jìn)行因式分解，使用的方法有：①提公因式法；②平方差公式法；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應(yīng)用乘法公式是解題關(guān)鍵．13．（2021秋?朝天區(qū)期末）分解因式：a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2．【分析】利用完全平方公式即可進(jìn)行因式分解．【解答】解：原式＝a2﹣2×a×2b+（2b）2＝（a﹣2b）2，故答案為：（a﹣2b）2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查應(yīng)用公式法分解因式，掌握a2±2ab+b2＝（a±b）2是正確解答的關(guān)鍵．五．提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用（共2小題）14．（2021秋?綠園區(qū)期末）因式分解：（1）4m2﹣36；（2）2a2b﹣8ab2+8b3．【分析】（1）直接提取公因式4，再利用平方差公式分解因式即可；（2）直接提取公因式2b，再利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）原式＝4（m2﹣9）＝4（m+3）（m﹣3）；（2）原式＝2b（a2﹣4ab+4b2）＝2b（a﹣2b）2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確運(yùn)用乘法公式是解題關(guān)鍵．15．（2021秋?通州區(qū)期末）分解因式：（1）2x2﹣8y2；（2）4+12（m﹣1）+9（m﹣1）2．【分析】（1）先提公因式，再逆用平方差公式．（2）逆用完全平方公式，再進(jìn)行化簡(jiǎn)．【解答】解：（1）2x2﹣8y2＝2（x2﹣4y2）＝2（x+2y）（x﹣2y）．（2）4+12（m﹣1）+9（m﹣1）2＝[2+3（m﹣1）]2＝（3m﹣1）2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查因式分解，熟練掌握提公因式法、公式法進(jìn)行因式分解是解決本題的關(guān)鍵．六．因式分解-分組分解法（共3小題）16．（2018春?玄武區(qū)校級(jí)期中）因式分解（1）m2（x﹣2）+m（2﹣x）（2）（x+y）2﹣4（x+y﹣1）；（3）（x2+y2）2﹣4x2y2；（4）x3+x2y﹣xy2﹣y3．【分析】（1）先提公因式，再提公因式即可；（2）利用完全平方公式進(jìn)行因式分解；（3）先利用平方差公式變形，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解；（4）先利用分組分解法進(jìn)行因式分解，再利用平方差公式進(jìn)行因式分解．【解答】解：（1）m2（x﹣2）+m（2﹣x）＝m2（x﹣2）﹣m（x﹣2）＝（x﹣2）（m2﹣m）＝m（x﹣2）（m﹣1）；（2）（x+y）2﹣4（x+y﹣1）＝（x+y）2﹣4（x+y）+4＝（x+y﹣2）2；（3）（x2+y2）2﹣4x2y2＝（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy）＝（x+y）2（x﹣y）2；（4）x3+x2y﹣xy2﹣y3＝x2（x+y）﹣y2（x+y）＝（x+y）（x2﹣y2）＝（x+y）2（x﹣y）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是因式分解，掌握提公因式法、完全平方公式、平方差公式進(jìn)行因式分解的一般步驟是解題的關(guān)鍵．17．（2017秋?臨西縣期末）閱讀下面的文字與例題．將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法是分組分解法．例如：（1）am+an+bm+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）（2）x2﹣y2﹣2y﹣1＝x2﹣（y2+2y+1）＝x2﹣（y+1）2＝（x+y+1）（x﹣y﹣1）試用上述方法分解因式a2+ab+2ac+bc+c2＝（a+c）（a+b+c）．【分析】首先將原式重新分組再利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出即可．【解答】解：a2+ab+2ac+bc+c2＝（a+c）2+b（a+c）＝（a+c+b）（a+c）．故答案為：（a+c+b）（a+c）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分組分解法因式分解，正確分組得出是解題關(guān)鍵．18．（2021春?金壇區(qū)期末）因式分解：4x2﹣y2﹣2y﹣1＝（2x+y+1）（2x﹣y﹣1）．【分析】先給后三項(xiàng)加上一個(gè)負(fù)括號(hào)，利用完全平方公式，再利用平方差公式分解．【解答】解：4x2﹣y2﹣2y﹣1＝4x2﹣（y2+2y+1）＝（2x）2﹣（y+1）2＝（2x+y+1）（2x﹣y﹣1）．故答案為：（2x+y+1）（2x﹣y﹣1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的因式分解，掌握因式分解的公式法并合理分組是解決本題的關(guān)鍵．七．因式分解-十字相乘法等（共5小題）19．（2021秋?淮陽(yáng)區(qū)期末）甲乙兩人完成因式分解x2+ax+b時(shí)，甲看錯(cuò)了a的值，分解的結(jié)果是（x+6）（x﹣2），乙看錯(cuò)了b的值，分解的結(jié)果為（x﹣8）（x+4），那么x2+ax+b分解因式正確的結(jié)果為（x﹣6）（x+2）．【分析】根據(jù)甲、乙看錯(cuò)的情況下得出a、b的值，進(jìn)而再利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：因式分解x2+ax+b時(shí)，∵甲看錯(cuò)了a的值，分解的結(jié)果是（x+6）（x﹣2），∴b＝6×（﹣2）＝﹣12，又∵乙看錯(cuò)了b的值，分解的結(jié)果為（x﹣8）（x+4），∴a＝﹣8+4＝﹣4，∴原二次三項(xiàng)式為x2﹣4x﹣12，因此，x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2），故答案為：（x﹣6）（x+2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查十字相乘法進(jìn)行因式分解，掌握十字相乘法的使用方法是得出答案的關(guān)鍵．20．（2020秋?虹口區(qū)期末）分解因式：2a2﹣a﹣6＝（2a+3）（a﹣2）．【分析】原式利用十字相乘法分解即可．【解答】解：原式＝（2a+3）（a﹣2）．故答案為：（2a+3）（a﹣2）．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解﹣十字相乘法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．21．（2021春?玄武區(qū)校級(jí)期中）分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2；（2）（4m2+9）2﹣144m2；（3）x2﹣xy+4x﹣4y；（4）（x2﹣3）2+（x2﹣3）﹣2．【分析】（1）先提取公因式，再根據(jù)完全平方公式分解即可；（2）先根據(jù)平方差公式進(jìn)行分解，再根據(jù)完全平方公式分解因式即可；（3）先分組，再提取公因式即可；（4）先根據(jù)十字相乘法分解因式，再根據(jù)平方差公式分解因式即可．【解答】解：（1）3ax2+6axy+3ay2＝3a（x2+2xy+y2）＝3a（x+y）2；（2）（4m2+9）2﹣144m2；＝（4m2+9+12m）（4m2+9﹣12m）＝（2m+3）2（2m﹣3）2；（3）x2﹣xy+4x﹣4y＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）＝x（x﹣y）+4（x﹣y）＝（x﹣y）（x+4）；（4）（x2﹣3）2+（x2﹣3）﹣2＝（x2﹣3+2）（x2﹣3﹣1）＝（x2﹣1）（x2﹣4）＝（x+1）（x﹣1）（x+2）（x﹣2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分解因式，注意：分解因式的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法，分組分解法等．22．（2021春?濟(jì)陽(yáng)區(qū)期末）閱讀下列材料：整體思想是數(shù)學(xué)解題中常見(jiàn)的一種思想方法：下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式（x2+2x）（x2+2x+2）+1進(jìn)行因式分解的過(guò)程．將“x2+2x”看成一個(gè)整體，令x2+2x＝y(tǒng)，則原式＝y(tǒng)2+2y+1＝（y+1）2再將“y”還原即可．解：設(shè)x2+2x＝y(tǒng)．原式＝y(tǒng)（y+2）+1（第一步）＝y(tǒng)2+2y+1（第二步）＝（y+1）2（第三步）＝（x2+2x+1）2（第四步）．問(wèn)題：（1）①該同學(xué)因式分解的結(jié)果不正確，請(qǐng)直接寫(xiě)出正確的結(jié)果（x+1）4；②根據(jù)材料1，請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式（x2﹣6x+8）（x2﹣6x+10）+1進(jìn)行因式分解；（2）根據(jù)材料1，請(qǐng)你模仿以上方法嘗試計(jì)算：（1﹣2﹣3﹣…﹣2020）×（2+3+…+2021）﹣（1﹣2﹣3﹣…﹣2021）×（2+3+…+2020）．【分析】（1）①最后再利用完全平方公式將結(jié)果分解到不能分解為止；②根據(jù)材料，用換元法進(jìn)行分解因式；（2）設(shè)1﹣2﹣3﹣…﹣2020＝y(tǒng)，則原式＝2021（y+2+3+…+2020），再將y代入即可求解．【解答】解：（1）①設(shè)x2+2x＝y(tǒng)．原式＝y(tǒng)（y+2）+1（第一步）＝y(tǒng)2+2y+1（第二步）＝（y+1）2（第三步）＝（x2+2x+1）2（第四步）＝（x+1）4，故答案為：（x+1）4；②設(shè)x2﹣6x＝y(tǒng)，原式＝（y+8）（y+10）+1＝y(tǒng)2+18y+80+1＝（y+9）2＝（x2﹣6x+9）2＝（x﹣3）4；（2）設(shè)1﹣2﹣3﹣…﹣2020＝y(tǒng)，原式＝y(tǒng)（2+3+…+2021）﹣（y﹣2021）（2+3+…+2020）＝y(tǒng)（2+3+…+2020）+2021y﹣y（2+3+…+2020）+2021（2+3+…+2020）＝2021y+2021（2+3+…+2020）＝2021（y+2+3+…+2020）＝2021（1﹣2﹣3﹣…﹣2020+2+3+…+2020）＝2021×1＝2021．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解﹣換元法，公式法，也是閱讀材料問(wèn)題，熟練掌握利用公式法分解因式是解題的關(guān)鍵．23．（2021春?南京月考）在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng)，前者稱為拆項(xiàng)，后者稱為添項(xiàng)．先閱讀，再分解因式：x4+4＝（x4+4x2+4）﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2）．（1）按照這種方法把多項(xiàng)式x4+4y4分解因式；（2）分解因式：a4+a2b2+b4．【分析】（1）將原式變形為x4+4y4＝x4+4x2y2+4y4﹣4x2y2，進(jìn)一步分解可得；（2）將原式變形為a4+2a2b2+b4﹣a2b2＝（a2+b2）2﹣（ab）2再進(jìn)一步分解可得．【解答】解：（1）x4+4y4＝x4+4x2y2+4y4﹣4x2y2＝（x2+2y2）2﹣4x2y2＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）；（2）a4+a2b2+b4＝a4+2a2b2+b4﹣a2b2＝（a2+b2）2﹣（ab）2＝（a2+b2+ab）（a2+b2﹣ab）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式和平方差公式及因式分解的步驟．八．實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式（共3小題）24．（2021秋?如皋市校級(jí)月考）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：a2﹣3b2＝（a+）（a﹣）．【分析】利用平方差公式因式分解即可．【解答】解：a2﹣3b2＝a2﹣（）2＝（a+）（a﹣）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，一定要注意分解到不能再分解為止．25．（2022?南崗區(qū)模擬）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：x2y﹣2y＝y(tǒng)（x+）（x﹣）．【分析】先提取公因式y(tǒng)后，再把剩下的式子寫(xiě)成x2﹣，符合平方差公式的特點(diǎn)，可以繼續(xù)分解．【解答】解：x2y﹣2y＝y(tǒng)（x2﹣2）＝y(tǒng)（x+）（x﹣）．故答案為：y（x+）（x﹣）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的因式分解，因式分解的步驟為：一提公因式；二看公式．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行因式分解的式子的結(jié)果一般要分到出現(xiàn)無(wú)理數(shù)為止．26．（2020秋?崇川區(qū)校級(jí)月考）因式分解：（1）x2﹣2（實(shí)數(shù)范圍內(nèi)）；（2）﹣3ax2+18axy﹣27ay2．【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝（x+）（x﹣）；（2）原式＝﹣3a（x2﹣6xy+9y2）＝﹣3a（x﹣3y）2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．九．因式分解的應(yīng)用（共3小題）27．（2021秋?亭湖區(qū)期末）把一個(gè)兩位數(shù)交換十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字后得到一個(gè)新的兩位數(shù)，若將這個(gè)新的兩位數(shù)與原兩位數(shù)相加，則所得的和一定是（）A．偶數(shù) B．奇數(shù) C．11的倍數(shù) D．9的倍數(shù)【分析】用字母設(shè)出原兩位數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字，表示出原兩位數(shù)和新兩位數(shù)的和，進(jìn)行因式分解，看是哪個(gè)常數(shù)的倍數(shù)即可．【解答】解：設(shè)原兩位數(shù)十位上的數(shù)字是a，個(gè)位上的數(shù)字是b，則原兩位數(shù)為10a+b，新兩位數(shù)為10b+a，∴這兩個(gè)數(shù)的和為11a+11b＝11（a+b），∴所得的和一定是11的倍數(shù)，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的應(yīng)用；注意兩位數(shù)的表示方法為：10×十位數(shù)字+個(gè)位數(shù)字．28．（2021秋?崇川區(qū)期末）（閱讀材料）我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：n＝p×q（p，q是正整數(shù)，且p≤q）．在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，我們就稱p×q是n的最佳分解，并規(guī)定當(dāng)p×q是n的最佳分解時(shí)，F(xiàn)（n）＝．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因?yàn)?8﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，從而F（18）＝＝．（探索規(guī)律）（1）F（15）＝，F(xiàn)（24）＝，…；（2）F（4）＝1，F(xiàn)（9）＝1，F(xiàn)（25）＝1，…；猜想：F（x2）＝1（x是正整數(shù)）．（應(yīng)用規(guī)律）（3）若F（x2+x）＝，且x是正整數(shù)，求x的值；（4）若F（x2﹣11）＝1，請(qǐng)直接寫(xiě)出x的值．【分析】（1）由信息可知15的最佳分解是3×5，24的最佳分解是4×6，代入F（n）＝中進(jìn)行計(jì)算即可；（2）由完全平方數(shù)的特點(diǎn)可知結(jié)果為1；（3）把x2+x化為x（x+1）即可得出結(jié)果；（4）把（x2﹣11）寫(xiě)成完全平方數(shù)的形式即可得出x．【解答】解：（1）∵3×5＝15，∴F（15）＝；∵4×6＝24，∴F（24）＝；故答案為：；；（2）∵4，9，25都是平方數(shù)，∴F（25）＝1，F(xiàn)（X2）＝1，故答案為：1；1；（3）∵F（x2+x）＝，且x2+x＝x（x+1），∴x（x+1）＝8×9，∴x＝8，即x的值為8；（4）∵F（x2﹣11）＝1，∴（x2﹣11）是一個(gè)完全平方數(shù)，∴x2﹣11＝x2﹣12+1，∴2x＝12，∴x＝6，即x的值為6．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于新定義問(wèn)題，從題目所給的信息中分析得出規(guī)律從而掌握分解因數(shù)的方法，熟悉完全平方數(shù)的特點(diǎn)是解題關(guān)鍵．29．（2021秋?南昌期末）閱讀材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根據(jù)你的觀察，探究下面的問(wèn)題：（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；（2）已知△ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大邊c的值；（3）已知a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，求a+b+c的值．【分析】（1）根據(jù)x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，應(yīng)用因式分解的方法，判斷出（x﹣y）2+（y+3）2＝0，求出x、y的值各是多少，再把它們相乘，求出xy的值是多少即可；（2）首先根據(jù)a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，應(yīng)用因式分解的方法，判斷出（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，求出a、b的值各是多少；然后根據(jù)三角形的三條邊的長(zhǎng)度的關(guān)系，求出△ABC的最大邊c的值是多少即可；（3）首先根據(jù)a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，應(yīng)用因式分解的方法，判斷出（a﹣4）2+（c﹣8）2＝0，求出a、c、b的值各是多少；然后把a(bǔ)、b、c的值求和，求出a+b+c的值是多少即可．【解答】解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）＝0，∴（x﹣y）2+（y+3）2＝0，∴x﹣y＝0，y+3＝0，∴x＝﹣3，y＝﹣3，∴xy＝（﹣3）×（﹣3）＝9，即xy的值是9．（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）＝0，∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣6＝0，∴a＝5，b＝6，∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，∴6≤c＜11，∴△ABC的最大邊c的值可能是6、7、8、9、10．（3）∵a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2＝0，∴（a﹣4）2+（c﹣8）2＝0，∴a﹣4＝0，c﹣8＝0，∴a＝4，c＝8，b＝a﹣8＝4﹣8＝﹣4，∴a+b+c＝4﹣4+8＝8，即a+b+c的值是8．【點(diǎn)評(píng)】（1）此題主要考查了因式分解方法的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：用因式分解的方法將式子變形時(shí)，根據(jù)已知條件，變形的可以是整個(gè)代數(shù)式，也可以是其中的一部分．（2）此題還考查了三角形的三條邊之間的關(guān)系，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：任意兩邊之和大于第三邊；任意兩邊之差小于第三邊．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練一．選擇題（共8小題）1．（2021?寧波模擬）下列因式分解正確的是（）A．﹣2a2+4a＝﹣2a（a+2） B．x2﹣6xy+9y2＝（x﹣3y）2 C．2x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y） D．a(chǎn)2+b2＝（a+b）2【分析】利用提公因式法、公式法逐項(xiàng)進(jìn)行因式分解即可．【解答】解：由于﹣2a2+4a＝﹣2a（a﹣2），所以選項(xiàng)A不符合題意；由于x2﹣6xy+9y2＝（x﹣3y）2，所以選項(xiàng)B符合題意；由于4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y），所以選項(xiàng)C不符合題意；由于a2+2ab+b2＝（a+b）2，所以選項(xiàng)D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式、完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（2021春?上虞區(qū)期末）下列多項(xiàng)式能用公式法分解因式的是（）①﹣4x2﹣y2；②4x2﹣（﹣y）2；③a2+2ab﹣b2；④x+1+；⑤m2n2+4﹣4mn．A．①③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤【分析】根據(jù)平方差公式及完全平方公式進(jìn)行判斷即可求求解．【解答】解：①﹣4x2﹣y2，不符合平方差公式，故不能用公式法分解因式；②4x2﹣（﹣y）2＝（2x+y）（2x﹣y），符合平方差公式，故能用公式法分解因式；③a2+2ab﹣b2，不符合完全平方公式，故不能用公式法分解因式；④x+1+＝，符合完全平方公式，故能用公式法分解因式；⑤m2n2+4﹣4mn＝（mn﹣2）2，符合完全平方公式，故能用公式法分解因式，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查因式分解﹣運(yùn)用公式法，掌握平方差公式及完全平方公式是解題的關(guān)鍵．3．（2021春?南潯區(qū)期末）下列多項(xiàng)式中，能用完全平方公式進(jìn)行分解因式的是（）A．4x2﹣1 B．x2﹣2x﹣1 C．4x2+2x+1 D．4x2﹣4x+1【分析】根據(jù)完全平方公式的特點(diǎn)：兩項(xiàng)平方項(xiàng)的符號(hào)相同，另一項(xiàng)是兩底數(shù)積的2倍，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：A.4x2﹣1，只含有兩項(xiàng)，不符合完全平方公式法分解因式的式子特點(diǎn)，故本選項(xiàng)不合題意；B．x2﹣2x﹣1，兩項(xiàng)平方項(xiàng)x2與﹣1的符號(hào)不同，故本選項(xiàng)不合題意；C.4x2+2x+1，不符合完全平方公式法分解因式的式子特點(diǎn)，故本選項(xiàng)不合題意；D.4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，符合完全平方公式法分解因式的式子特點(diǎn)，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了公式法分解因式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．4．（2021春?嘉興期末）若x2﹣bx﹣10＝（x+5）（x﹣a），則ab的值是（）A．﹣8 B．8 C．﹣ D．【分析】直接利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式得出關(guān)于a，b的等式，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵x2﹣bx﹣10＝（x+5）（x﹣a），∴x2﹣bx﹣10＝x2+（﹣a+5）x﹣5a，故﹣a+5＝﹣b，﹣5a＝﹣10，解得：a＝2，b＝﹣3，故ab＝2﹣3＝．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了十字相乘法，正確得出a，b的值是解題關(guān)鍵．5．（2021春?鎮(zhèn)海區(qū)期末）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（）A．4x2﹣1 B．4x2+4x﹣1 C．x2﹣x+ D．x2﹣xy+y2【分析】利用平方差公式以及完全平方公式分別將各式分解，即可作出判斷．【解答】解：A．4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1），故此選項(xiàng)不合題意；B．4x2+4x﹣1無(wú)法運(yùn)用完全平方公式分解因式，故此選項(xiàng)不合題意；C．x2﹣x+＝（x﹣）2，故此選項(xiàng)符合題意；D．x2﹣xy+y2無(wú)法運(yùn)用完全平方公式分解因式，故此選項(xiàng)不合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了公式法分解因式，正確掌握乘法公式是解題關(guān)鍵．6．（2021?柯橋區(qū)模擬）利用函數(shù)知識(shí)對(duì)關(guān)于代數(shù)式ax2+bx+c（a≠0）的以下說(shuō)法作出判斷，則正確的有（）①如果存在兩個(gè)實(shí)數(shù)p≠q，使得ap2+bp+c＝aq2+bq+c，則ax2+bx+c＝a（x﹣p）（x﹣q）；②存在三個(gè)實(shí)數(shù)m≠n≠s，使得am2+bm+c＝an2+bn+c＝as2+bs+c；③如果ac＜0，則一定存在兩個(gè)實(shí)數(shù)m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c；④如果ac＞0，則一定存在兩個(gè)實(shí)數(shù)m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，根的判別式一一判斷即可．【解答】解：①∵x＝p或q時(shí)，ap2+bp+c與aq2+bq+c不一定等于0，∴①錯(cuò)誤；②∵最多存在兩個(gè)實(shí)數(shù)m≠n，使得am2+bm+c＝an2+bn+c，∴②錯(cuò)誤；③∵ac＜0，則Δ＞0，拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故一定存在兩個(gè)實(shí)數(shù)m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c，∴③正確；④∵ac＜0，則△不一定大于0，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，∴④錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，一元二次方程根的判別式的知識(shí)點(diǎn)．7．（2021春?東陽(yáng)市期末）把多項(xiàng)式x2+ax+b分解因式，得（x+3）（x﹣4），則a，b的值分別是（）A．a(chǎn)＝﹣1，b＝﹣12 B．a(chǎn)＝1，b＝12 C．a(chǎn)＝﹣1，b＝12 D．a(chǎn)＝1，b＝﹣12【分析】首先利用多項(xiàng)式乘法將原式展開(kāi)，進(jìn)而得出a，b的值，即可得出答案．【解答】解：∵多項(xiàng)式x2+ax+b分解因式的結(jié)果為（x+3）（x﹣4），∴x2+ax+b＝（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣12，故a＝﹣1，b＝﹣12，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了多項(xiàng)式乘法，正確利用乘法公式用將原式展開(kāi)是解題關(guān)鍵．8．（2021秋?余杭區(qū)期中）三角形的三邊a，b，c滿足（a+b）2﹣c2＝2ab，則此三角形是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形【分析】將所給出的等式化簡(jiǎn)可得a2+b2＝c2，利用勾股定理的逆定理可求解．【解答】解：∵三角形的三邊a，b，c滿足（a+b）2﹣c2＝2ab，∴a2+2ab+b2﹣c2﹣2ab＝0，∴a2+b2＝c2，∴三角形為直角三角形．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查完全平方公式，勾股定理的逆定理，將等式變形為a2+b2＝c2是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共9小題）9．（2021秋?惠州期末）因式分解：3x2﹣6x+3＝3（x﹣1）2．【分析】先提公因式，然后再利用完全平方公式繼續(xù)分解即可．【解答】解：3x2﹣6x+3＝3（x2﹣2x+1）＝3（x﹣1）2，故答案為：3（x﹣1）2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，一定要注意如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，必須先提公因式．10．（2021秋?長(zhǎng)垣市期末）分解因式：2x3+4x2+2x＝2x（x+1）2．【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝2x（x2+2x+1）＝2x（x+1）2．故答案為：2x（x+1）2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．11．（2021秋?淮陽(yáng)區(qū)期末）甲乙兩人完成因式分解x2+ax+b時(shí)，甲看錯(cuò)了a的值，分解的結(jié)果是（x+6）（x﹣2），乙看錯(cuò)了b的值，分解的結(jié)果為（x﹣8）（x+4），那么x2+ax+b分解因式正確的結(jié)果為（x﹣6）（x+2）．【分析】根據(jù)甲、乙看錯(cuò)的情況下得出a、b的值，進(jìn)而再利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：因式分解x2+ax+b時(shí)，∵甲看錯(cuò)了a的值，分解的結(jié)果是（x+6）（x﹣2），∴b＝6×（﹣2）＝﹣12，又∵乙看錯(cuò)了b的值，分解的結(jié)果為（x﹣8）（x+4），∴a＝﹣8+4＝﹣4，∴原二次三項(xiàng)式為x2﹣4x﹣12，因此，x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2），故答案為：（x﹣6）（x+2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查十字相乘法進(jìn)行因式分解，掌握十字相乘法的使用方法是得出答案的關(guān)鍵．12．（2021秋?南崗區(qū)校級(jí)期末）若a+b＝8，ab＝15，則a2+ab+b2＝49．【分析】首先配方得出a2+ab+b2＝（a+b）2﹣ab進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵a+b＝8，ab＝15，則a2+ab+b2＝（a+b）2﹣ab＝82﹣15＝49．故答案為：49．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了配方法的應(yīng)用，正確配方得出是解題關(guān)鍵．13．（2021秋?河口縣期末）若m+n＝3，則2m2+4mn+2n2﹣6的值為12．【分析】原式前三項(xiàng)提取2變形后，利用完全平方公式化簡(jiǎn)，將m+n的值代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：∵m+n＝3，∴2m2+4mn+2n2﹣6＝2（m+n）2﹣6＝18﹣6＝12．故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解的應(yīng)用，將所求式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃问墙獗绢}的關(guān)鍵．14．（2022?溫州模擬）分解因式：m2﹣4m＝m（m﹣4）．【分析】提取公因式m，即可求得答案．【解答】解：m2﹣4m＝m（m﹣4）．故答案為：m（m﹣4）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法分解因式．題目比較簡(jiǎn)單，解題需細(xì)心．15．（2021?西湖區(qū)校級(jí)三模）已知x﹣y＝，xy＝4，則xy2﹣x2y＝﹣2．【分析】原式提取公因式，把已知等式代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：∵x﹣y＝，xy＝4，∴原式＝xy（y﹣x）＝﹣xy（x﹣y）＝﹣4×＝﹣2．故答案為：﹣2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握分解因式的方法是解本題的關(guān)鍵．16．（2021秋?瑞安市期中）有4個(gè)不同的整數(shù)m、n、p、q滿足（5﹣m）（5﹣n）（5﹣p）（5﹣q）＝9，那么m+n+p+q＝20．【分析】因?yàn)閙，n，p，q都是四個(gè)不同正整數(shù)，所以（5﹣m）、（5﹣n）、（5﹣p）、（5﹣q）都是不同的整數(shù)，四個(gè)不同的整數(shù)的積等于9，這四個(gè)整數(shù)為﹣1、﹣3、1、3，由此求得m，n，p，q的值，問(wèn)題得解．【解答】解：因?yàn)椋?﹣m）（5﹣n）（5﹣p）（5﹣q）＝9，每一個(gè)因數(shù)都是整數(shù)且都不相同，那么只可能是﹣1，1，﹣3，3，由此得出m、n、p、q分別為6、4、8、2，所以，m+n+p+q＝20．故答案為：20．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘法，因式分解的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是一個(gè)正整數(shù)通過(guò)分解把它寫(xiě)為四個(gè)不同的整數(shù)的乘積，要考慮有兩個(gè)正因數(shù)，兩個(gè)負(fù)因數(shù)，從而再結(jié)合題意解決問(wèn)題．17．（2021春?鹿城區(qū)校級(jí)期中）大長(zhǎng)方形中放入5張長(zhǎng)為a，寬為b的相同的小長(zhǎng)方形，如圖所示，其中A，B，C三點(diǎn)在同一條直線上．若陰影部分的面積為34，大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為30，則一張小長(zhǎng)方形的面積為4．【分析】根據(jù)“陰影部分的面積為52，大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為36”，即可得出關(guān)于x，y的方程組，利用（①2﹣②）÷2，可求出一張小長(zhǎng)方形的面積．【解答】解：依題意得：，即，（①2﹣②）÷2，得：xy＝4．∴一張小長(zhǎng)方形的面積為4．故答案為4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的應(yīng)用以及二元二次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方程組是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共7小題）18．（2021春?上虞區(qū)期末）因式分解：（1）4x2﹣y2；（2）9a3﹣6a2b+ab2．【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式得出答案；（2）直接提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：（1）4x2﹣y2＝（2x）2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y）；（2）9a3﹣6a2b+ab2＝a（9a2﹣6ab+b2）＝a（3a﹣b）2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確運(yùn)用乘法公式是解題關(guān)鍵．19．（2021春?嵊州市期末）分解因式：（1）25a2﹣4；（2）3ax2﹣6axy+3ay2．【分析】（1）利用平方差公式進(jìn)行因式分解即可；（2）先提公因式3a，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可．【解答】解：（1）原式＝（5a+2）（5a﹣2）；（2）原式＝3a（x2﹣2xy+y2）＝3a（x﹣y）2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是應(yīng)用公式的前提，找出各項(xiàng)的公因式是提公因式的關(guān)鍵．20．（2021春?寧波期末）因式分解：（1）﹣ab+2a2b﹣a3b；（2）（x﹣y）2﹣x+y．【分析】（1）直接提取公因式﹣ab，再利用完全平方公式分解因式得出答案；（2）將原式后兩項(xiàng)添括號(hào)，再提取公因式（x﹣y），進(jìn)而分解因式即可．【解答】解：（1）原式＝﹣ab（1﹣2a+a2）＝﹣ab（a﹣1）2；（2）原式＝（x﹣y）2﹣（x﹣y）＝（x﹣y）（x﹣y﹣1）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應(yīng)用乘法公式分解因式是解題關(guān)鍵．21．（2021春?鄞州區(qū)期末）因式分解：（1）a2﹣4b2；（2）﹣x2+6xy﹣9y2．【分析】（1）根據(jù)平方差公式分解因式；（2）先提負(fù)號(hào)，然后根據(jù)完全平方公式分解因式．【解答】解：（1）a2﹣4b2＝a2﹣（2b）2＝（a+2b）（a﹣2b）；（2）﹣x2+6xy﹣9y2＝﹣（x2﹣6xy+9y2）＝﹣（x﹣3y）2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了運(yùn)用公式法分解因式，解題的關(guān)鍵是掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），a2±2ab+b2＝（a±b）2．22．（2021春?拱墅區(qū)校級(jí)期中）如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“奇特?cái)?shù)”，例如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52；則8、16、24這三個(gè)數(shù)都是奇特?cái)?shù)．（1）填空：32是奇特?cái)?shù)，2018不是奇特?cái)?shù)．（填“是”或者“不是”）（2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)是2n﹣1和2n+1（其中n取正整數(shù)），由這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)構(gòu)造的奇特?cái)?shù)是8的倍數(shù)嗎？為什么？（3）如圖所示，拼疊的正方形邊長(zhǎng)是從1開(kāi)始的連續(xù)奇數(shù)…，按此規(guī)律拼疊到正方形ABCD，其邊長(zhǎng)為99，求陰影部分的面積．【分析】（1）根據(jù)32＝92﹣72，以及8、16、24這三個(gè)數(shù)都是奇特?cái)?shù)，他們都是8的倍數(shù)，而2018＝2×1009，不是8的整數(shù)倍，進(jìn)行判斷．（2）利用平方差公式計(jì)算（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n?2＝8n，得到兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)構(gòu)造的奇特?cái)?shù)是8的倍數(shù)；（3）利用陰影部分面積為：S陰影部分＝992﹣972+952﹣932+912﹣892+…+72﹣52+32﹣12，進(jìn)而求出即可．【解答】解：（1）∵32＝8×4＝92﹣72，∴32是奇特?cái)?shù)，∵因?yàn)?018不能表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差，∴2018不是奇特?cái)?shù)，故答案為：是，不是；（2）由這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)構(gòu)造的奇特?cái)?shù)是8的倍數(shù)，理由：∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n?2＝8n，∴由這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)構(gòu)造的奇特?cái)?shù)是8的倍數(shù)．（3）S陰影部分＝992﹣972+952﹣932+912﹣892+…+72﹣52+32﹣12＝（99+97）（99﹣97）+（95+93）（95﹣93）+（91+89）（91﹣89）+…+（7+5）（7﹣5）+（3+1）（3﹣1）＝（99+97+95+…+3+1）×2＝×2＝5000．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形面積、新概念應(yīng)用、平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）應(yīng)用，利用圖形正確表示出陰影部分是解題關(guān)鍵．23．（2021春?鎮(zhèn)海區(qū)期末）閱讀下列材料：對(duì)于多項(xiàng)式x2+x﹣2，如果我們把x＝1代入此多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)x2+x﹣2的值為0，這時(shí)可以確定多項(xiàng)式中有因式（x﹣1）；同理，可以確定多項(xiàng)式中有另一個(gè)因式（x+2），于是我們可以得到：x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2）．又如：對(duì)于多項(xiàng)式2x2﹣3x﹣2，發(fā)現(xiàn)當(dāng)x＝2時(shí)，2x2﹣3x﹣2的值為0，則多項(xiàng)式2x2﹣3x﹣2有一個(gè)因式（x﹣2），我們可以設(shè)2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（mx+n），解得m＝2，n＝1，于是我們可以得到：2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（2x+1）．請(qǐng)你根據(jù)以上材料，解答以下問(wèn)題：（1）當(dāng)x＝1時(shí)，多項(xiàng)式8x2﹣x﹣7的值為0，所以多項(xiàng)式8x2﹣x﹣7有因式（x﹣1），從而因式分解8x2﹣x﹣7＝（x﹣1）（8x+7）；（2）以上這種因式分解的方法叫試根法，常用來(lái)分解一些比較復(fù)雜的多項(xiàng)式，請(qǐng)你嘗試用試根法分解多項(xiàng)式：①3x2+11x+10；②x3﹣21x+20．【分析】（1）當(dāng)x＝1時(shí)，多項(xiàng)式8x2﹣x﹣7的值為0，所以多項(xiàng)式8x2﹣x﹣7有因式（x﹣1），從而因式分解8x2﹣x﹣7＝（x﹣1）（8x+7）；（2）①當(dāng)x＝﹣2時(shí)，3x2+11x+10＝0，所以有一個(gè)因式是（x+2），從而得出答案；②當(dāng)x＝1，4，﹣5時(shí)，x3﹣21x+20＝0，所以x3﹣21x+20＝（x﹣1）（x﹣4）（x+5）．【解答】解：（1）當(dāng)x＝1時(shí)，多項(xiàng)式8x2﹣x﹣7的值為0，所以多項(xiàng)式8x2﹣x﹣7有因式（x﹣1），從而因式分解8x2﹣x﹣7＝（x﹣1）（8x+7），故答案為：1，（x﹣1），（x﹣1）（8x+7）；（2）①因?yàn)楫?dāng)x＝﹣2時(shí)，3x2+11x+10＝0，所以有一個(gè)因式是（x+2），所以3x2+11x+10＝（x+2）（3x+5）；②因?yàn)楫?dāng)x＝1，4，﹣5時(shí)，x3﹣21x+20＝0，所以x3﹣21x+20＝（x﹣1）（x﹣4）（x+5）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解，熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，理解閱讀材料的方法，借助多項(xiàng)式乘法進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．24．（2021春?寧波期末）閱讀理解并解答：【方法呈現(xiàn)】（1）我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式．在運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解時(shí)，關(guān)鍵是判斷這個(gè)多項(xiàng)式是不是一個(gè)完全平方式，同樣地，把一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行局部因式分解可以來(lái)解決代數(shù)式值的最?。ɑ蜃畲螅﹩?wèn)題．例如：x2+2x+3＝（x2+2x+1）+2＝（x+1）2+2，∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2+2≥2．則這個(gè)代數(shù)式x2+2x+3的最小值是2，這時(shí)相應(yīng)的x的值是﹣1．【嘗試應(yīng)用】（2）求代數(shù)式﹣x2+14x+10的最?。ɑ蜃畲螅┲?，并寫(xiě)出相應(yīng)的x的值．【拓展提高】（3）將一根長(zhǎng)300cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長(zhǎng)度為周長(zhǎng)各做成一個(gè)正方形，則這兩個(gè)正方形面積之和有最?。ɑ蜃畲螅┲?？若有，求此時(shí)這根鐵絲剪成兩段后的長(zhǎng)度及這兩個(gè)正方形面積的和；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）由題意不難看出其最小值為2，相應(yīng)的x的值為﹣1；（2）根據(jù)（1）中的方法，不難求得結(jié)果；（3）可設(shè)一段鐵絲長(zhǎng)為xcm，則另一段長(zhǎng)為（300﹣x）cm，然后列出式子進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）∵x2+2x+3＝（x+1）2+2≥2，∴其最小值為2，這時(shí)相應(yīng)的x的值為﹣1．故答案為：2，﹣1；（2）﹣x2+14x+10＝﹣（x2﹣14x+49﹣49）+10＝﹣（x﹣7）2+59，∵﹣（x﹣7）2≤0，∴﹣（x﹣7）2+59≤59，故代數(shù)式﹣x2+14x+10的最大值為59，相應(yīng)的x的值為7，（3）有最小值，設(shè)一段鐵絲長(zhǎng)為xcm，則另一段長(zhǎng)為（300﹣x）cm，由題意得：，當(dāng)x＝150，兩個(gè)正方形的面積之和有最小值．則另一段鐵絲的長(zhǎng)度為300﹣150＝150（cm）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查因式分解的應(yīng)用，完全平方式，解答的關(guān)鍵是對(duì)完全平方式的掌握與應(yīng)用．題組B能力提升練一．選擇題（共5小題）1．（2020秋?南宮市校級(jí)期中）已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，則ab+bc+ac＝（）A．﹣22 B．﹣1 C．7 D．11【分析】由已知得出a﹣c＝4，求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]＝12，即可得出所求的值．【解答】解：∵a﹣b＝b﹣c＝2，∴a﹣c＝4，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]＝12，∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2﹣12＝﹣1，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了因式分解的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要靈活應(yīng)用完全平方公式．2．（2020春?句容市期末）已知m2＝3n+a，n2＝3m+a，m≠n，則m2+2mn+n2的值為（）A．9 B．6 C．4 D．無(wú)法確定【分析】將已知的兩個(gè)方程相減，求得m+n的值，再將所求代數(shù)式分解成完全平方式，再代值計(jì)算．【解答】解：∵m2＝3n+a，n2＝3m+a，∴m2﹣n2＝3n﹣3m，∴（m+n）（m﹣n）+3（m﹣n）＝0，∴（m﹣n）[（m+n）+3]＝0，∵m≠n，∴（m+n）+3＝0，∴m+n＝﹣3，∴m2+2mn+n2＝（m+n）2＝（﹣3）2＝9．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了求代數(shù)式的值，因式分解的應(yīng)用，關(guān)鍵是由已知求得m+n的值．3．（2020?泰興市一模）已知m2＝4n+a，n2＝4m+a，m≠n，則m2+2mn+n2的值為（）A．16 B．12 C．10 D．無(wú)法確定【分析】將m2＝4n+a與n2＝4m+a相減可得（m﹣n）（m+n+4）＝0，根據(jù)m≠n，可得m+n+4＝0，即m+n＝﹣4，再將m2+2mn+n2變形為（m+n）2，整體代入即可求解．【解答】解：將m2＝4n+a與n2＝4m+a相減得m2﹣n2＝4n﹣4m，（m+n）（m﹣n）＝﹣4（m﹣n），（m﹣n）（m+n+4）＝0，∵m≠n，∴m+n+4＝0，即m+n＝﹣4，∴m2+2mn+n2＝（m+n）2＝（﹣4）2＝16．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】考查了因式分解的應(yīng)用，關(guān)鍵是得到m+n＝﹣4，以及整體思想的應(yīng)用．4．（2020春?蕭山區(qū)期末）有下列說(shuō)法：①在同一平面內(nèi)，過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；②無(wú)論k取任何實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式x2﹣ky2總能分解成兩個(gè)一次因式積的形式；③若（t﹣3）3﹣2t＝1，則t可以取的值有3個(gè)；④關(guān)于x，y的方程組為，將此方程組的兩個(gè)方程左右兩邊分別對(duì)應(yīng)相加，得到一個(gè)新的方程，當(dāng)a每取一個(gè)值時(shí)，就有一個(gè)確定的方程，而這些方程總有一個(gè)公共解，則這個(gè)公共解是．其中正確的說(shuō)法是（）A．①④ B．①③④ C．②③ D．①②【分析】利用平行公理對(duì)①判斷，利用平方差公式的特點(diǎn)對(duì)②分析，③通過(guò)0指數(shù)、底數(shù)為1，底數(shù)為﹣1對(duì)代數(shù)式進(jìn)行分類討論得結(jié)果，④抓住a取每一個(gè)值方程的解都相同，求出x、y的值．【解答】解：①按照平行公理可判斷在同一平面內(nèi)，過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故本選項(xiàng)正確；②當(dāng)k為負(fù)值時(shí)，多項(xiàng)式x2﹣ky2不能分解成兩個(gè)一次因式積的形式，故本選項(xiàng)不正確；③當(dāng)t＝4、時(shí)，（t﹣3）3﹣2t＝1，故本選項(xiàng)不正確；④新方程為（a﹣1）x+（a+2）y＝2a﹣5，∵a每取一個(gè)值時(shí)，就有一個(gè)方程，而這些方程總有一個(gè)公共解，∴當(dāng)a＝1時(shí)，y＝﹣1，當(dāng)a＝﹣2時(shí)，x＝3，∴公共解是．綜上正確的說(shuō)法是①④．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行公理、因式分解、零指數(shù)冪和二元一次方程組的解等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理及運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．5．（2020春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正確結(jié)果是（）A．（x﹣3）（b2+b） B．b（x﹣3）（b+1） C．（x﹣3）（b2﹣b） D．b（x﹣3）（b﹣1）【分析】確定公因式是b（x﹣3），然后提取公因式即可．【解答】解：b2（x﹣3）+b（x﹣3），＝b（x﹣3）（b+1）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】需要注意提取公因式后，第二項(xiàng)還剩因式1．二．填空題（共8小題）6．（2021秋?鋼城區(qū)期末）多項(xiàng)式x2+mx+6因式分解得（x﹣2）（x+n），則m＝﹣5．【分析】根據(jù)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積，可得答案．【解答】解：x2+mx+6因式分解得（x﹣2）（x+n），得x2+mx+6＝（x﹣2）（x+n），（x﹣2）（x+n）＝x2+（n﹣2）x﹣2n，x2+mx+6＝x2+（n﹣2）x﹣2n，﹣2n＝6，m＝n﹣2．解得n＝﹣3，m＝﹣5，故答案為：﹣5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的意義，利用因式分解得出相等整式是解題關(guān)鍵．7．（2021秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）已知x2﹣3x+1＝0，則﹣2x2+6x＝2；x3﹣2x2﹣2x+9＝8．【分析】由x2﹣3x+1＝0，可得x2﹣3x＝﹣1，把﹣2x2+6x和x3﹣2x2﹣2x+9分解因式，使之出現(xiàn)x2﹣3x，整體代入即可求出結(jié)果．【解答】解：∵x2﹣3x+1＝0，∴x2﹣3x＝﹣1，∴﹣2x2+6x＝﹣2（x2﹣3x）＝﹣2×（﹣1）＝2，x3﹣2x2﹣2x+9＝x3﹣3x2+x2﹣3x+x+9＝x（x2﹣3x）+（x2﹣3x）+x+9＝﹣x+（﹣1）+x+9＝8，故答案為：2，8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的應(yīng)用，正確把多項(xiàng)式分解為已知條件中出現(xiàn)的因式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．8．（2021春?諸暨市期末）已知x≠y，且滿足兩個(gè)等式x2﹣2y＝20212，y2﹣2x＝20212，則x2+2xy+y2的值為4．【分析】聯(lián)立方程，通過(guò)因式分解求出x+y的值，再將x2+2xy+y2因式分解得（x+y）2，將x+y的值代入求解．【解答】解：，①﹣②得x2﹣y2+2x﹣2y＝0，（x+y）（x﹣y）+2（x﹣y）＝0，（x﹣y）（x+y+2）＝0，∵x≠y，∴x+y+2＝0，即x+y＝﹣2，∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法，通過(guò)整體代入的思想求解．9．（2021春?江北區(qū)校級(jí)期中）已知a+b＝4，ab＝﹣2，則a3b﹣2a2b2+ab3＝﹣48．【分析】因式分解后整體代換求值【解答】解：∵a3b﹣2a2b2+ab3＝ab（a2﹣2ab+b2）＝ab（a﹣b）2＝ab[（a+b）2﹣4ab]＝﹣2×（16+8）＝﹣48．故答案為﹣48．【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解，提公因式再分解求值是求解本題的關(guān)鍵．10．（2021春?西湖區(qū)校級(jí)期中）已知多項(xiàng)式x4+mx+n能分解為（x2+px+q）（x2+2x﹣3），則p＝﹣2，q＝7．【分析】把（x2+px+q）（x2+2x﹣3）展開(kāi)，找到所有x3和x2的項(xiàng)的系數(shù)，令它們的系數(shù)分別為0，列式求解即可．【解答】解：∵（x2+px+q）（x2+2x﹣3）＝x4+px3+qx2+2x3+2px2+2qx﹣3x2﹣3px﹣3q＝x4+（p+2）x3+（q+2p﹣3）x2+（2q﹣3p）x﹣3q＝x4+mx+n．∴展開(kāi)式乘積中不含x3、x2項(xiàng)，∴，解得：．故答案為：﹣2，7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式乘法的運(yùn)算、整式乘法和因式分解的關(guān)系，將結(jié)果式子運(yùn)用整式乘法展開(kāi)后，抓住“若某項(xiàng)不存在，即其前面的系數(shù)為0”列出式子求解即可．11．（2021春?西湖區(qū)校級(jí)期中）若2b﹣a＝﹣2，a+2b＝5．則a2﹣4b2＝10．【分析】從結(jié)論入手，用平方差公式進(jìn)行因式分解，再對(duì)第一個(gè)條件進(jìn)行變形即可求出答案．【解答】解：∵2b﹣a＝﹣2，∴a﹣2b＝2，∴a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）＝5×2＝10．故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平方差公式，解題的關(guān)鍵是知道2b﹣a和a﹣2b互為相反數(shù)．12．（2021?寧波模擬）化簡(jiǎn)：a+1+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）99＝（a+1）100．【分析】原式提取公因式，計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：原式＝（a+1）[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）98]＝（a+1）2[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）97]＝（a+1）3[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）96]＝…＝（a+1）100．故答案為：（a+1）100．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解﹣提公因式法，熟練掌握提取公因式的方法是解本題的關(guān)鍵．13．（2021?光明區(qū)二模）分解因式：a3﹣6a2+9a＝a（a﹣3）2．【分析】先提取公因式a，再根據(jù)完全平方公式進(jìn)行二次分解．【解答】解：a3﹣6a2+9a＝a（a2﹣6a+9）＝a（a﹣3）2，故答案為a（a﹣3）2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式進(jìn)行二次分解，注意分解要徹底．三．解答題（共14小題）14．（2021春?拱墅區(qū)校級(jí)月考）閱讀下列材料：定義：任意兩個(gè)數(shù)a，b，按規(guī)則c＝ab+a+b擴(kuò)充得到一個(gè)新數(shù)c，稱所得的新數(shù)c為“如意數(shù)”．（1）若a＝2，b＝﹣1，直接寫(xiě)出a，b的“如意數(shù)”c；（2）如果a＝m﹣4，b＝﹣m，求a，b的“如意數(shù)”c，并證明“如意數(shù)”c恒小于等于0；（3）已知a＝x2（x≠0），且a，b的“如意數(shù)”為c＝x4+4x2+2，請(qǐng)用含x的式子表示b．【分析】（1）利用“如意數(shù)”的定義可直接求得；（2）利用“如意數(shù)”的定義求出c的值，再判斷；（3）利用“如意數(shù)”的定義表示出c，把a(bǔ)與c的值代入即可．【解答】解：（1）由“如意數(shù)”的定義可得，c＝ab+a+b＝2×（﹣1）+2+（﹣1）＝﹣1；（2）證明：由“如意數(shù)”的定義可得，c＝ab+a+b＝（m﹣4）?（﹣m）+（m﹣4）+（﹣m）＝﹣m2+4m+m﹣4﹣m＝﹣m2+4m﹣4＝﹣（m﹣2）2，∵（m﹣2）2≥0，∴﹣（m﹣2）2≤0，∴“如意數(shù)”c恒小于等于0；（3）∵c＝ab+a+b，∴（a+1）b＝c﹣a，∴（x2+1）b＝x4+4x2+2﹣x2，∴（x2+1）b＝x4+3x2+2＝（x2+1）（x2+2），∵x2≥0，∴x2+1＞0，∴b＝x2+2．【點(diǎn)評(píng)】本題以新概念“如意數(shù)”為背景考查了因式分解，關(guān)鍵是能根據(jù)定義表示出“如意數(shù)”，然后利用因式分解解答．15．（2021春?拱墅區(qū)期中）若一個(gè)四位數(shù)A滿足：①千位數(shù)字2﹣百位數(shù)字2＝后兩位數(shù)，則稱A為“美妙數(shù)”．例如：∵62﹣12＝35，∴6135為“美妙數(shù)”．②7×（千位數(shù)字﹣百位數(shù)字）＝后兩位數(shù)，則稱A是“奇特?cái)?shù)”．例如：7×（8﹣5）＝21，∴8521為“奇特?cái)?shù)”．（1）若一個(gè)“美妙數(shù)”的千位數(shù)字為8，百位數(shù)字為7，則這個(gè)數(shù)是8715．若一個(gè)“美妙數(shù)”的后兩位數(shù)字為16，則這個(gè)數(shù)是4016或5316．（2）一個(gè)“美妙數(shù)”與一個(gè)“奇特?cái)?shù)”的千位數(shù)字均為m，百位數(shù)字均為n，且這個(gè)“美妙數(shù)”比“奇特?cái)?shù)”大14，求滿足條件的“美妙數(shù)”．【分析】（1）根據(jù)美妙數(shù)的定義進(jìn)行解答便可；（2）根據(jù)新定義表示出美妙數(shù)與奇特?cái)?shù)，再根據(jù)題意列出方程，求得符合每件的解，進(jìn)而求得結(jié)果．【解答】解：（1）∵82﹣72＝15，∴若一個(gè)“美妙數(shù)”的千位數(shù)字為8，百位數(shù)字為7，則這個(gè)數(shù)是8715，∵16＝42﹣02＝52﹣32，∴若一個(gè)“美妙數(shù)”的后兩位數(shù)字為16，則這個(gè)數(shù)是4016或5316，故答案為8715；4016或5316；（2）根據(jù)題意得，（1000m+100n+m2﹣n2）﹣[1000m+100n+7（m﹣n）]＝14，化簡(jiǎn)得（m﹣n）（m+n﹣7）＝14，∵m、n均為整數(shù)，且1≤m≤9，0≤n≤9，∴m＝8，n＝6或m＝8，n＝1，∴滿足條件的“美妙數(shù)”為，1000m+100n+m2﹣n2＝8628或8163．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了新定義，整數(shù)的計(jì)算，關(guān)鍵是根據(jù)新定義列出代數(shù)式和方程．16．（2021春?渦陽(yáng)縣期末）教科書(shū)中這樣寫(xiě)道：“我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題或求代數(shù)式最大值，最小值等問(wèn)題．例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；求代數(shù)式2x2+4x﹣6的最小值，2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知當(dāng)x＝﹣1時(shí)，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問(wèn)題：（1）分解因式：x2﹣4x﹣5＝（x+1）（x﹣5）．（2）當(dāng)x為何值時(shí)，多項(xiàng)式﹣2x2﹣4x+3有最大值？并求出這個(gè)最大值．（3）利用配方法，嘗試解方程﹣2ab﹣2b+1＝0，并求出a，b的值．【分析】（1）根據(jù)題目中的例子，可以將題目中的式子因式分解；（2）根據(jù)題目中的例子，先將所求式子配方，然后即可得到當(dāng)x為何值時(shí)，所求式子取得最大值，并求出這個(gè)最大值；（3）將題目中的式子化為完全平方式的形式，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可得到a、b的值．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9＝（x﹣2+3）（x﹣2﹣3）＝（x+1）（x﹣5），故答案為：（x+1）（x﹣5）；（2）∵﹣2x2﹣4x+3＝﹣2（x+1）2+5，∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，多項(xiàng)式﹣2x﹣4x+3有最大值，這個(gè)最大值是5；（3）∵，∴（﹣2ab+2b2）+（b2﹣2b+1）＝0∴（a﹣b）2+（b﹣1）2＝0∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，解得，a＝2，b＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、因式分解的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用因式分解的方法和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解答．17．（2021春?婁底期中）利用完全平方公式進(jìn)行因式分解，解答下列問(wèn)題：（1）因式分解：x2﹣4x+4＝（x﹣2）2．（2）填空：①當(dāng)x＝﹣2時(shí)，代數(shù)式x2+4x+4＝0．②當(dāng)x＝3時(shí)，代數(shù)式x2﹣6x+9＝0．③代數(shù)式x2+8x+20的最小值是4．（3）拓展與應(yīng)用：求代數(shù)式a2+b2﹣6a+8b+28的最小值．【分析】（1）根據(jù)完全平方公式可以將題目中的式子因式分解；（2）①將x＝﹣2代入代數(shù)式x2+4x+4中，即可求得代數(shù)式x2+4x+4的值；②解方程x2﹣6x+9＝0，求出x的值，即可解答本題；③將代數(shù)式變形，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可得到代數(shù)式x2+8x+20的最小值；（3）將代數(shù)式a2+b2﹣6a+8b+28變形，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可求得代數(shù)式a2+b2﹣6a+8b+28的最小值．【解答】解：（1）x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，故答案為：（x﹣2）2；（2）①當(dāng)x＝﹣2時(shí)，x2+4x+4＝（﹣2）2+4×（﹣2）+4＝4+（﹣8）+4＝0，故答案為：0；②∵x2﹣6x+9＝0，∴（x﹣3）2＝0，∴x1＝x2＝3，故答案為：3；③∵x2+8x+20＝（x+4）2+4，∴當(dāng)x＝﹣4時(shí)，x2+8x+20取得最小值4，故答案為：4；（3）∵a2+b2﹣6a+8b+28＝（a﹣3）2+（b+4）2+3≥3，∴代數(shù)式a2+b2﹣6a+8b+28的最小值是3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解的應(yīng)用、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用因式分解的方法和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解答．18．（2020秋?沂南縣期末）先閱讀下列材料：我們已經(jīng)學(xué)過(guò)將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實(shí)分解因式的方法還有分組分解法、拆項(xiàng)法、十字相乘法等等．（1）分組分解法：將一個(gè)多項(xiàng)式適當(dāng)分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法．如：ax+by+bx+ay，x2+2xy+y2﹣1分組分解法：解：原式＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）解：原式＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）（2）拆項(xiàng)法：將一個(gè)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法．如：x2+2x﹣3解：原式＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）請(qǐng)你仿照以上方法，探索并解決下列問(wèn)題：（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；（2）分解因式：x2﹣6x﹣7．【分析】（1）將前兩項(xiàng)利用平方差公式分解因式，進(jìn)而利用提取公因式法分解因式得出答案；（2）直接利用十字相乘法分解因式得出答案．【解答】解：（1）原式＝（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b+1）；（2）原式＝（x2﹣6x+9﹣16）＝（x﹣3）2﹣16＝（x﹣3﹣4）（x﹣3+4）＝（x﹣7）（x+1）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了十字相乘法以及分組分解法分解因式，正確應(yīng)用公式是解題關(guān)鍵．19．（2021春?鄞州區(qū)校級(jí)期末）已知多項(xiàng)式2x4﹣3x3+ax2+7x+b含有因式x2+x﹣2，求的值．【分析】由于x2+x﹣2＝（x+2）（x﹣1），而多項(xiàng)式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，則2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被（x+2）（x﹣1）整除．運(yùn)用待定系數(shù)法，可設(shè)商是A，則2x4﹣3x3+ax2+7x+b＝A（x+2）（x﹣1），則x＝﹣2和x＝1時(shí)，2x4﹣3x3+ax2+7x+b＝0，分別代入，得到關(guān)于a、b的二元一次方程組，解此方程組，求出a、b的值，進(jìn)而得到的值．【解答】解：∵x2+x﹣2＝（x+2）（x﹣1），∴2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被（x+2）（x﹣1）整除，設(shè)商是A．則2x4﹣3x3+ax2+7x