2022年秋北京市房山區(qū)九年級數(shù)學(xué)上冊期末試卷（及答案）

北京市房山區(qū)九年級數(shù)學(xué)上冊期末試卷

（含答案）

（時間：120分鐘滿分：100分）

一、選擇題（共8道小題，每小題3分，共24分）下面各題均有四

個選項，其中只有一個是符合題意的.

1.已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）與

電阻R（單位：Q）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示.則用電

D-H

2.二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對稱軸是x=-1,則這個二次函

數(shù)的表達式為（）

A.y=-xJ+2x+3B.y=x2+2x+3

C.y=-x2+2x-3D.y=-x2-2x+3

3.實數(shù)a、b、c、d在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，在這四個數(shù)

中，絕對值最小的數(shù)是（）

abcd

?'?1---1.；.，---->

-4-3-2-101234

A.aB.bC.cD.d

4.如圖,在AABC中,ZA=90°.若AB=12,AC=5,則cosC的值為

）

5.如圖，AB是。0的直徑，點C,D在。。上.若NABD=55°,則N

6.如圖，已知。。的半徑為6,弦AB的長為8,貝IJ圓心。至I」AB的距

7.已知△ABC,D,E分別在AB,AC邊上，且DE〃BC,AD=2,DB=3,

△ADE面積是4,則四邊形DBCE的面積是（）

A.6B.9C.21D.25

8.如圖1,點P從AABC的頂點A出發(fā)，沿A-B-C勻速運動，到點

C停止運動.點P運動時，線段AP的長度y與運動時間x的函數(shù)關(guān)

系如圖2所示，其中D為曲線部分的最低點，則AABC的面積是（）

A.10B.12C.20D.24

二、填空題（共8道小題，每小題3分，共24分）

9.分解因式：a-b-2ab+b=.

10.如圖，利用成直角的墻角（墻足夠長），用10m長的柵欄圍成一

個矩形的小花園，花園的面積S（m2）與它一邊長a（m）的函數(shù)關(guān)系

式是,面積S的最大值是.

11.已知Na,NB如圖所示，則tan/a與tanN6的大小關(guān)系

是

Ba

12.如圖標記了AABC與ADEF邊、角的一些數(shù)據(jù)，如果再添加一個

條件使△ABCS^DEF,那么這個條件可以是.（只填一個即可）

13.已知矩形ABCD中，AB=4,BC=3,以點B為圓心r為半徑作圓,

且。B與邊CD有唯一公共點，則r的取值范圍是.

14.已知y與x的函數(shù)滿足下列條件：①它的圖象經(jīng)過（1,1）點；

②當(dāng)x>l時,y隨x的增大而減小.寫出一個符合條件的函數(shù):

15.在AABC中，ZA=45°,即娓,BC=2,則AC的長為.

2

16.在平面直角坐標系xOy中，拋物線yi=x+2x+2可以看作是拋物線

2

y2=-x-2x-1經(jīng)過若干次圖形的變化（平移、翻折、旋轉(zhuǎn)）得到的，

寫出一種由拋物線丫2得到拋物線門的過程：.

三、解答題（共9小題，滿分52分）

17.（5分）計算：cos30°*tan60°-4sin30°+tan45°.

18.（5分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=kx+b（k

WO）與反比例函數(shù)y=—（mWO）交于點A（-日，-2）,B（1,a）,

x2

（1）分被求出反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；

（2）根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出不等式kx+b＞皿的解集.

X

19.（5分）如圖，ZiABC內(nèi)接于。0,若。。的半徑為6,ZB=60°,

20.（5分）如圖，建筑物的高CD為17.32米，在其樓頂C,測得旗

桿底部B的俯角a為60°,旗桿頂部A的仰角B為20°,請你

計算旗桿的高度.（sin200-0.342,tan20°-0.364,cos20°

-0.940,后1.732,結(jié)果精確到0.1米）

21.（5分）如圖，李師傅想用長為80米的棚欄，再借助教學(xué)樓的外

墻圍成一個矩形的活動區(qū)ABCD.已知教學(xué)樓外墻長50米，設(shè)矩形

ABCD的邊長AB為x（米），面積為S（平方米）.

(1)請寫出活動區(qū)面積S與x之間的關(guān)系式，并指出x的取值范圍；

(2)當(dāng)AB為多少米時，活動區(qū)的面積最大？最大面積是多少？

.4D

s'---------------'c

22.(5分)如圖，ABC是等腰三角形，AB=AC,以AC為直徑的。。與

BC交于D,DE±AB,垂足為點E,ED的延長線與AC的延長線交于

點F.

(1)求證：DE是。。的切線；

(2)若。。的半徑為2,BE=1,求cosNA的值.

23.(7分)在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=ax2-2ax+l(a>

0)的對稱軸為x=b，點A(-2,m)在直線y=-x+3上.

(1)求m,b的值；

(2)若點D(3,2)在二次函數(shù)y=ax2-2ax+l(a>0)上，求a的

值；

(3)當(dāng)二次函數(shù)y=ax?-2ax+l(a>0)與直線y=-x+3相交于兩點

時，設(shè)左側(cè)的交點為P(X［，y)若求a的取值范

圍.

-5-

備用圖

24.（7分）如圖1,在矩形ABCD中，點E為AD邊中點，點F為BC

邊中點；點G,H為AB邊三等分點，I,J為CD邊三等分點.小瑞分

別用不同的方式連接矩形對邊上的點，如圖2,圖3所示，那么圖2

中四邊形GKLH的面積與圖3中四邊形KPOL的面積相等嗎？

四邊形ABCD；

在圖3中，小瑞對四邊形KPOL面積的探究如下，請你將小瑞的思路

填寫完整；

設(shè)SADER-SA,\KG=b.

VEC//AF.

/.△DEP^ADAK,且相似比為1：2,得到S-AK=4a.

VGD//BL

../XAGK00△ABM,且相似比為1：3,得至US/\ABM=9b

====

34***SAD/\G4a+b-S四邊形ABCD,SZ\ABF9b+a~S四邊形ABCD?

64

***S四邊形ABCD=24a+6b=36b+4a.

??a=b,S四邊形ABCD=b,S四邊形KPOL=b.

S四邊形KPOL=S四邊形ABCD，則S四邊形KPOLS四邊形GKLH(填寫

，，V”或，，一，).

(2)小瑞又按照圖4的方式連接矩形ABCD對邊上的點，則S四邊形A?=

S四邊形ABCD。

25.(8分)點P的“d值”定義如下：若點Q為圓上任意一點，線段

PQ長度的最大值與最小值之差即為點P的“d值”，記為dp.特別的，

當(dāng)點P,Q重合時，線段PQ的長度為0.當(dāng)。。的半徑為2時一：

(1)若點C(-0),D(3,4),貝!]&=,dp=；

(2)若在直線y=2x+2上存在點P,使得dp=2,求出點P的橫坐標;

(3)直線y=-^x+b(b>0)與x軸，y軸分別交于點A,B.若線

段AB上存在點P,使得2WdpV3,請你直接寫出b的取值范圍.

備用圖鳥用圖

答案

一、選擇題（共8道小題，每小題2分，共16分）下面各題均有四

個選項，其中只有一個是符合題意的.

1.已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）與

電阻R（單位：Q）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示.則用

電阻R表示電流I的函數(shù)表達式為（）

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可用電阻R表示電流I的函數(shù)解析式為1=4,

再把（2,3）代入可得k的值，進而可得函數(shù)解析式.

【解答】解：設(shè)用電阻R表示電流I的函數(shù)解析式為「普，

??,過（2,3）,

，k=3X2=6,

?T_6

故選：D.

【點評】此題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，關(guān)鍵是掌

握凡是函數(shù)圖象經(jīng)過的點必能滿足解析式.

2.二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對稱軸是x=-1,則這個二次函

數(shù)的表達式為（)

A.y=-x2+2x+3B.y=x2+2x+3C.y=-x'+2x-3D.y=-x2-

2x+3

【分析】由拋物線的對稱軸為直線x=-1設(shè)解析式為y=a(x+1)2+k,

將(-3,0)、(0,3)代入求出a、k的值即可得.

【解答】解：由圖象知拋物線的對稱軸為直線x=-1,過點(-3,0)、

(0,3),

設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)2+k,

將(-3,0)、(0,3)代入，得：

Ia+k=3

解得：佇,

Ik=4

則拋物線解析式為y=-(x+1)2+4=-X2-2x+3,

故選：D.

【點評】本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)

題意設(shè)出合適的二次函數(shù)解析式.

3.實數(shù)a、b、c、d在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，在這四個數(shù)

中，絕對值最小的數(shù)是()

abcd

---?一；---1????；---->

?4-3?-2-101234

A.aB.bC.cD.d

【分析】根據(jù)數(shù)軸上某個數(shù)與原點的距離的大小確定結(jié)論.

【解答】解：由圖可知：c到原點0的距離最短，

所以在這四個數(shù)中，絕對值最小的數(shù)是c；

故選：C.

【點評】本題考查了絕對值的定義、實數(shù)大小比較問題，熟練掌握絕

對值最小的數(shù)就是到原點距離最小的數(shù).

4.如圖，在AABC中，ZA=90°.若AB=12,AC=5,則cosC的值為

()

A.B.善C.D.拶

1313125

【分析】利用勾股定理列式求出BC,再根據(jù)銳角的余弦等于鄰邊比

斜邊解答.

【解答】解：根據(jù)勾股定理得，BC=VAC2+AB2=V52+122=13，

所以，cosC=^"=2.

DC10

故選：A.

【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳

角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊.

5.如圖，AB是。。的直徑，點C,D在。。上.若NABD=55°,則N

BCD的度數(shù)為()

A.25°B.30°C.35°D.40°

【分析】先根據(jù)圓周角定理求出NADB的度數(shù)，再由直角三角形的性

質(zhì)求出NA的度數(shù)，進而可得出結(jié)論.

【解答】解:連接AD,

TAB是。0的直徑，

ZADB=90°.

VZABD=55°,

：.ZDAB=90°-55°=35°,

.,.ZBCD=ZDAB=35°.

故選：C.

【點評】本題考查的是圓周角定理，熟知直徑所對的圓周角是直角是

解答此題的關(guān)鍵.

6.如圖，已知。0的半徑為6,弦AB的長為8,則圓心0到AB的距

離為（)

o

B

A.辰B.275C.2A/7D.10

【分析】連接0A,作0E_LAB于E.根據(jù)垂徑定理可得AE=4,利用勾

股定理可以求出0E的長度.

【解答】解：如圖，連接0A,作OE_LAB于E.

V0E1AB,AB=8

.*.AE=EB=1AB=4,

在RtAAOC中，

VZAE0=90°,0A=6.AE=4,

?*?°E=VOA2-AE2~V62-42=2V5.

【點評】本題考查垂徑定理、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添

加輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

7.已知△ABC,D,E分別在AB,AC邊上，且DE〃BC,AD=2,DB=3,

△ADE面積是4,則四邊形DBCE的面積是（)

A.6B.9C.21D.25

【分析】先判斷△ADEs^ABC,再根據(jù)相似三角形的面積之比=相似

比的平方即可得到結(jié)論.

【解答】解:VDE//BC,

.,.△ADE^AABC,

.AD_DE

??正一而’

VAD=2,DB=3,

.旦至=z

,?屈?一而一可

.SAADE_z2>,2_4

**sAABC"耳）一而，

「△ADE的面積是4,

.'.△ABC的面積是25,

...四邊形DBCE的面積是25-4=21,

故選：C.

【點評】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的

面積的比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵.

8.如圖1,點P從AABC的頂點A出發(fā)，沿A-B-C勻速運動，到點

C停止運動.點P運動時、線段AP的長度y與運動時間x的函數(shù)

關(guān)系如圖2所示，其中D為曲線部分的最低點，則AABC的面積是

)

A.10B.12C.20D.24

【分析】根據(jù)圖象可知點P在AB上運動時，此時AP不斷增大，而從

B向C運動時，AP先變小后變大，從而可求出BC與BC上的高.

【解答】解：根據(jù)圖象可知，點P在AB上運動時，此時AP不斷增大，

由圖象可知：點P從A向B運動時，AP的最大值為5,即AB=5,

點P從B向C運動時，AP的最小值為4,

即BC邊上的高為4,

.,.當(dāng)AP_LBC,AP=4,

此時，由勾股定理可知：BP=3,

由于圖象的曲線部分是軸對稱圖形，

，PC=3,

.*.BC=6,

.,.△ABC的面積為：!X4X6=12,

故選：B.

圖1圖2

【點評】本題考查動點問題的函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是注意結(jié)合圖象

求出BC與AB的長度.

二、填空題(共8道小題，每小題2分，共16分)

9.分解因式：a'b-2ab+b=b(a-1).

【分析】先提取公因式b,再利用完全平方公式進行二次分解.

2

【解答】解:ab-2ab+b,

=b(a2-2a+l),…(提取公因式)

=b(a-1)2.…(完全平方公式)

【點評】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利

用完全平方公式進行二次分解，注意要分解徹底.

10.如圖，利用成直角的墻角(墻足夠長)，用10m長的柵欄圍成一

個矩形的小花園，花園的面積S(m2)與它一邊長a(m)的函數(shù)關(guān)

系式是S=-a2+10a，面積S的最大值是25.

【分析】由一邊長為am知另一邊的長度為(10-a)m,再根據(jù)矩形

的面積公式得出函數(shù)解析式，將其配方成頂點式可得面積最大值.

【解答】解：當(dāng)矩形的一邊長為am時，另一邊的長度為(10-a)m,

則矩形的面積S=a(10-a)=-a2+10a=-(a-5)2+25,

當(dāng)a=5時，矩形的面積取得最大值，最大值為25m)

故答案為：S=-a2+10a,25.

【點評】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是矩形的面積公

式及二次函數(shù)的性質(zhì).

11.已知Na,NB如圖所示，則tanNa與tanNB的大小關(guān)系

【分析】利用三角形外角的性質(zhì)得出NB>Za,進而利用銳角三角

函數(shù)增減性得出答案.

【解答】解：由圖形可得：NB>Na,

則tanNa<tanZB.

故答案為：tanNa<tanZB.

【點評】此題主要考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系，正確把握相關(guān)定義是解

題關(guān)鍵.

12.如圖標記了AABC與4DEF邊、角的一些數(shù)據(jù)，如果再添加一個

條件使△ABCSZXDEF,那么這個條件可以是DF=6.（只填一個

即可）

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對

應(yīng)相等的兩個三角形相似或有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似,

添加條件可得.

【解答】解：VZA=ZD=80°,常町芳，

.,.當(dāng)瞿=梁,即9白，DF=6時,AABC^ADEF；

UEUrNUr

或當(dāng)NC=NF=60°時，AABC^ADEF,

故答案為：DF=6.

【點評】本題主要考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相

似三角形的判定定理.

13.已知矩形ABCD中，AB=4,BC=3,以點B為圓心r為半徑作圓，

且。B與邊CD有唯一公共點，則r的取值范圍是3WrW5.

【分析】由于BD>AB>BC,根據(jù)點與圓的位置關(guān)系得到3WrW5.

【解答】解：■矩形ABCD中,AB=4,BC=3,

.,.BD=AC=VAB2+BC2=5,AD=BC=3,CD=AB=4,

?.?以點B為圓心作圓，OB與邊CD有唯一公共點，

...OB的半徑r的取值范圍是：3WrW5；

故答案為：3WrW5

【點評】此題考查了點與圓的位置關(guān)系以及矩形的性質(zhì).注意若半徑

為r,點到圓心的距離為d,則有：當(dāng)d>r時，點在圓外；當(dāng)d=r

時，點在圓上，當(dāng)dVr時，點在圓內(nèi).

14.已知y與x的函數(shù)滿足下列條件：①它的圖象經(jīng)過（1,1）點;

②當(dāng)x>l時，y隨x的增大而減小.寫出一個符合條件的函數(shù)：

y=-(x-lV+l.

【分析】可考慮一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，本題答案不唯一，只

要符合條件即可.

【解答】解：符合條件的函數(shù)可以是一次函數(shù)、二次函數(shù)，如y=-x,

y=-(x-1)2+1等.

故答案為：y=-(x-1)2+1.

【點評】本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)，是開放性題目，答案不唯一，

只要滿足條件即可.

15.在AABC中，ZA=45°,福=&，BC=2,則AC的長為丁+1或?

-1

【分析】過點B作BDLAC于D,判定出AADB是等腰直角三角形，根

據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AD、BD,在RtZiBCD中，利用勾股

定理列式求出CD,進一步求出AC即可.

【解答】解：過點B作BD_LAC于D,

VZA=45°,

/.AADB是等腰直角三角形，

AD=BD=

CD=VBC2-BD2=1?

如圖1,AC=V3+1;

如圖2,AC=V3-1.

故AC的長為正+1或正-1.

故答案為：V3+1或1.

【點評】本題主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，

作輔助線，構(gòu)造出兩個直角三角形是解題的關(guān)鍵.

16.在平面直角坐標系xOy中，拋物線y.=x+2x+2可以看作是拋物線

2

y2=-x-2x-1經(jīng)過若干次圖形的變化（平移、翻折、旋轉(zhuǎn)）得到

的，寫出一種由拋物線y2得到拋物線力的過程：將拋物線yz繞

頂點（-1,0）順時針方向旋轉(zhuǎn)180度，然后沿y軸向上移動1

個單位，即可得到拋物線w.

【分析】根據(jù)拋物線的頂點坐標和開口方向的變化進行解答.

【解答】解:拋物線yi=x'+2x+2=（x+1）2+1,頂點坐標是（-1,1）,

開口方向向上，

拋物線y2=-X--2x-1=-（x+1）%頂點坐標是（-1,0）,開口方

向向下，

所以，將拋物線yz繞頂點（-1,0）順時針方向旋轉(zhuǎn)180度，然后沿

y軸向上移動1個單位，即可得到拋物線刃.

故答案是：將拋物線y2繞頂點（-1,0）順時針方向旋轉(zhuǎn)180度，然

后沿y軸向上移動1個單位，即可得到拋物線y..

【點評】主要考查了函數(shù)圖象的平移，拋物線與坐標軸的交點坐標的

求法，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減.

三、解答題(共9小題，滿分52分)

17.(5分)計算：cos30°?tan60°-4sin30°+tan45°.

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，即可解答.

【解答】解：原式=宓b-4乂卷+1

4-2+1

=i

一立

【點評】考查了特殊角的三角函數(shù)值，屬于識記性題目，基礎(chǔ)題.

18.(5分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=kx+b(k

#0)與反比例函數(shù)y=—(mWO)交于點A(-得，-2),B(1,a).

(1)分被求出反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；

(2)根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出不等式kx+b＞皿的解集.

X

【分析】(1)首先由A(-4，-2)在反比例函數(shù)y=典的圖象上，

2x

求得反比例函數(shù)的解析式，即可求得點B的坐標，再利用待定系

數(shù)法即可解決問題；

(2)觀察圖形，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值，一次函數(shù)在反

比例函數(shù)上面的部分.

【解答】解：(1)???點A(-1,-2)在函數(shù)y=期上,

2x

，m=-1x(-2)=3,

?.?點B(1,a)在y=3上,

X

=

8.39

?.?直線y=kx+b經(jīng)過A(--2),B(1,3),

’3

?fk+b二一2

??1,

k+b=3

解得信

???直線解析式為y=2x+l.

(2)觀察圖象可知，不等式kx+b>皿的解集為：-得VxVO或x>l.

x2

【點評】此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，由函數(shù)圖象

比較函數(shù)大小，能夠數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

19.(5分)如圖，^ABC內(nèi)接于。0,若。。的半徑為6,ZB=60°,

求AC的長.

【分析】如圖，作直徑AD,連接CD.利用圓周角定理得到4ACD是

含30度角的直角三角形，由該三角形的性質(zhì)和勾股定理求得AC

的長度即可.

【解答】解：如圖，作直徑AD,連接CD.

ZACD=90°.

VZB=60°,

AZD=ZB=60°.

的半徑為6,

.\AD=12.

在Rt^ACD中，ZCAD=30°,

.,.CD=6.

AC=6

【點評】本題考查了圓周角定理.注意題中輔助線的作法.

20.（5分）如圖，建筑物的高CD為17.32米，在其樓頂C,測得旗

桿底部B的俯角a為60°,旗桿頂部A的仰角B為20°,請你

計算旗桿的高度.（sin20°^0.342,tan20°-0.364,cos20°

-0.940,后1.732,結(jié)果精確到0.1米）

【分析】首先根據(jù)題意分析圖形；本題涉及到兩個直角三角形，借助

公共邊CE等價轉(zhuǎn)換，解這兩個三角形可得AE、BE的值，再利用

AB=AE+BE,進而可求出答案.

【解答】解：根據(jù)題意，再Rt^BCE中，ZBEC=90°,tana=1^,

UE

.二備-普冷I。米，

再RtZkACE中，ZAEC=90°,tanP=^,

Ct

.,.AE=CE*tan20°弋10X0.364=3.64米，

.*.AB=AE+BE=17.32+3.64=20.96仁21.0米，

答：旗桿的高約為21.0米.

【點評】本題考查俯角、仰角的定義，要求學(xué)生能借助俯角、仰角構(gòu)

造直角三角形并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形.

21.(5分)如圖，李師傅想用長為80米的棚欄，再借助教學(xué)樓的外

墻圍成一個矩形的活動區(qū)ABCD.已知教學(xué)樓外墻長50米，設(shè)矩形

ABCD的邊長AB為x(米)，面積為S(平方米).

(1)請寫出活動區(qū)面積S與x之間的關(guān)系式，并指出x的取值范圍；

(2)當(dāng)AB為多少米時，活動區(qū)的面積最大？最大面積是多少？

AD

-------------------'C

【分析】(1)設(shè)矩形的邊AB為X米，則邊BC為80-2X米，根據(jù)矩

形面積公式“面積=長義寬”列出函數(shù)的關(guān)系式.

(2)將所得函數(shù)解析式配方成頂點式即可得.

【解答】解：(1)根據(jù)題意知AB=x,BC=80-2x,

/.S=x(80-2x)=-2X2+80X,

又?.?x>0,0<80-2x^50,

解得15WxV40,

.*.S=-2X2+80X(15WXV40)；

(2)VS=-2X2+80X

=-2(x-20)2+800,

.?.當(dāng)x=20時,S最大值為800,

答:當(dāng)AB為20米時，活動區(qū)的面積最大，最大面積是800平方米.

【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù),

學(xué)會利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題.

22.(5分)如圖，ABC是等腰三角形，AB=AC,以AC為直徑的。0與

BC交于D,DE±AB,垂足為點E,ED的延長線與AC的延長線交于

點F.

(1)求證：DE是。。的切線；

(2)若。0的半徑為2,BE=1,求cosNA的值.

【分析】(1)連接0D,AD,由AC為圓的直徑，利用直徑所對的圓周

角為直角及垂直的定義得到AD垂直于BC,利用三線合一得到D

為BC中點，再由0為AC的中點，得到0D為三角形ABC的中位線，

利用中位線性質(zhì)得到0D與AB平行，進而得到0D垂直于DE,即可

得證；

(2)由半徑的長求出AB與AC的長，根據(jù)BE的長，由AB-BE求出

AE的長，由平行得相似，相似得比例，設(shè)CF=x,根據(jù)題意列出關(guān)

于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出所求.

【解答】(1)證明：連接OD,AD,

「AC為圓的直徑，

AZADC=90°,AD±BC,

VAB=AC,

.,.點D為BC的中點，

?.?點0為AC的中點，

.,.OD//AB,

VDE±AB,ZAED=90°,

.,.Z0DE=90°,

AODIDE,

則DE為圓0的切線；

(2)解:Vr=2,

.*.AB=AC=2r=4,

VBE=1,

.*.AE=AB-BE=3,

VOD//AB,

.,.△FOD^AFAE,

.FO__OD_2

，#FA_

設(shè)CF=x,則有0F=x+2,AF=x+4,

.x+2_2

一而一5，

解得：x=2,

.\AF=6,

在RtZ^AEF中，ZAEF=90°,

則COSA=M[.

ArZ

【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，

圓周角定理，以及解直角三角形，熟練掌握相似三角形的判定與

性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

23.(7分)在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=ax，-2ax+l(a>

0)的對稱軸為x=b，點A(-2,m)在直線y=-x+3上.

(1)求m,b的值；

(2)若點D(3,2)在二次函數(shù)y=ax2-2ax+l(a>0)上，求a的

值；

(3)當(dāng)二次函數(shù)y=ax?-2ax+l(a>0)與直線y=-x+3相交于兩點

時，設(shè)左側(cè)的交點為P(xi,yD,若-3VxV-l,求a的取值范

圍.

-5-

備用圖

【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得b=^=l.將A(-2,m)

代入y=-x+3,即可求出m=2+3=5；

(2)將D(3,2)代入y=ax2-2ax+l,即可求出a的值；

(3)把x=-3代入y=-x+3,求出y=6,把(-3,6)代入y=ax2-

2ax+l,求出a=￡.再把x=-1代入y=-x+3,求出y=4,把(-1,

4)代入y=ax?-2ax+l,求出a=l.進而得出a的取值范圍.

【解答】解：(1)?.?二次函數(shù)y=ax?-2ax+l(a>0)的對稱軸為x=b,

，?，bD=—2a=11.

?.?點A(-2,m)在直線y=-x+3上，

m=2+3=5；

(2)?.?點D(3,2)在二次函數(shù)y=ax?-2ax+l(a>0)上,

.\2=aX32-2aX3+l,

(3):?當(dāng)x=-3時,y=-x+3=6,

.?.當(dāng)(-3,6)在y=ax2-2ax+l(a>0)上時，6=aX(-3)2-2a

X(-3)+1,

a=.

又,當(dāng)x=-1時，y=-x+3=4,

.?.當(dāng)(-1,4)在y=ax2-2ax+l(a>0)上時，4=aX(-1)2-2a

X(-1)+1,

??a二1?

【點評】本題考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖象上點的坐

標特征，掌握點在直線上，則點的坐標滿足函數(shù)的解析式是解題

的關(guān)鍵.

24.（7分）如圖1,在矩形ABCD中，點E為AD邊中點，點F為BC

邊中點；點G,H為AB邊三等分點，I,J為CD邊三等分點.小瑞

分別用不同的方式連接矩形對邊上的點，如圖2,圖3所示，那么

圖2中四邊形GKLH的面積與圖3中四邊形KPOL的面積相等嗎？

AGHRAGHnAGHBAGHB

⑴小瑞的探究過程如下：在圖2中,小瑞發(fā)現(xiàn),S?CKLH=_1_S

四邊形ABCD；

在圖3中，小瑞對四邊形KPOL面積的探究如下，請你將小瑞的思路

填寫完整;

=

設(shè)SADEP=&>SAAKGb.

VEC//AF.

.,.△DEP^ADAK,且相似比為D2,得到S.K=4a.

VGD/7BI,

??△AGK0°/^ABM?且相似比為1：3,得到S&\BM=9b

乂,.-a+b=1s四邊形皿，SAABF=9b+a=1s四邊開"

??S四邊形ABCD=24a+6b=36b+4a.

?3

??3=—b,S四邊形ABCD二42b,S四邊形KPOL二6b.

—21------------

S四邊形KPOL二VS四邊形ABCD，貝（JS四邊形KPOL<S四邊形GKLH（填與">"”<

—7--------

或）.

(2)小瑞又按照圖4的方式連接矩形ABCD對邊上的點，則S四邊形A?=

1C

l____。四邊形ABCD?

一51

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)即可解決問題;

(2)如圖4中，延長CE交BA的延長線于T,連接DN,設(shè)S,L=a,S

△AEN二b.想辦法證明S四邊形ANML=4b,S四邊形ABCD=2Ob,即可解決問題;

【解答】解：(1)小瑞的探究過程如下：在圖2中，小瑞發(fā)現(xiàn)，S四邊

形GKLH=I-S四邊形ABCD；

0

在圖3中，小瑞對四邊形KPOL面積的探究如下，請你將小瑞的思路

填寫完整;

=

設(shè)SADEP~H,SAAKGb.

VEC//AF.

AADEP^ADAK,且相似比為1：2,得至US,K=4a.

VGD//BI,

??△AGK0°/^ABM?且相似比為1：3,得到S^ABM^gb

又,?&“G=4a+b存四邊形皿，s-=9b+a甘S四邊….

S四邊形ABCD=24a+6b=36b+4a.

a="1"b.

S四邊形ABCD=42b,四邊形KP0L=6b.

???S四邊形KPOLU7S四邊形ABCD,貝(JS四邊形KPOL〈S四邊