2023年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題24 尺規(guī)作圖（10個(gè)高頻考點(diǎn)）（舉一反三）（全國(guó)通用）（學(xué)生版）

專題24尺規(guī)作圖（10個(gè)高頻考點(diǎn)）（舉一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考點(diǎn)1尺規(guī)作線段或角】 1【考點(diǎn)2尺規(guī)作三角形】 2【考點(diǎn)3尺規(guī)作角平分線】 4【考點(diǎn)4尺規(guī)作垂線或垂直平分線】 5【考點(diǎn)5尺規(guī)作等腰三角形】 7【考點(diǎn)6尺規(guī)作圓】 9【考點(diǎn)7尺規(guī)作圓的切線】 9【考點(diǎn)8尺規(guī)作正多邊形】 12【考點(diǎn)9格點(diǎn)作圖】 13【考點(diǎn)10無刻度直尺作圖】 14【考點(diǎn)1尺規(guī)作線段或角】【例1】（2022·江蘇揚(yáng)州·?？级＃┤鐖D，用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角，能得出∠A′O′A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA【變式1-1】（2022·廣西貴港·中考真題）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）：如圖，已知線段m，n．求作△ABC，使∠A=90°,AB=m,BC=n．【變式1-2】（2022·廣東韶關(guān)·?？级＃┤鐖D，已知正方形ABCD，點(diǎn)E是BC邊上的一點(diǎn)，連接DE．(1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在CD的延長(zhǎng)線上截取線段DF，使DF=(2)在（1）的條件下，連接AF．求證：△AFD≌△DEC．【變式1-3】（2022·北京西城·校考模擬預(yù)測(cè)）已知：如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°．求作：射線CG，使得CG∥AB．下面是小甲同學(xué)設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程．作法：如圖2①以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AC，AB于D，E兩點(diǎn)；②以點(diǎn)C為圓心，AD長(zhǎng)為半徑作弧，交AC的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)；③以點(diǎn)F為圓心，DE長(zhǎng)為半徑作弧，與②中作的弧在∠FCB內(nèi)部交于點(diǎn)G；④作射線CG.所以射線CG就是所求作的射線．根據(jù)小甲同學(xué)設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，請(qǐng)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形(保留作圖痕跡)，并完成證明．【考點(diǎn)2尺規(guī)作三角形】【例2】（2022·山西呂梁·統(tǒng)考三模）初中階段有五種基本尺規(guī)作圖，分別是：①作一條線段等于已知線段；②作一個(gè)角等于已知角；③作一個(gè)角的平分線；④作一條線段的垂直平分線；⑤過一點(diǎn)作已知直線的垂線．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師出示了如下題目：如圖1，已知線段m，n．運(yùn)用尺規(guī)作圖畫出Rt△ABC，使斜邊AB=m，一條直角邊AC=n(1)如圖2是小亮所作的Rt△ABC(2)請(qǐng)你用一種與小亮不同的尺規(guī)作圖方法再作一個(gè)Rt△ABC【變式2-1】（2022·廣西貴港·統(tǒng)考三模）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：如圖，已知△ABC，請(qǐng)根據(jù)“SAS”基本事實(shí)，求作△DEF，使△DEF≌△ABC．【變式2-2】（2022·江蘇無錫·模擬預(yù)測(cè)）已知∠α，線段a，b，請(qǐng)按要求作圖并回答問題；(1)作△ABC，使∠C＝α，AC＝b，BC＝a；(2)已知∠α＝45°，a＝42，b＝7，求△ABC的面積．【變式2-3】（2022·福建福州·福建省福州屏東中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）求證：若α為銳角，則sin2(1)如圖，銳角α和線段m，用尺規(guī)作出一個(gè)以線段m為直角邊，α為內(nèi)角，∠ACB為90°的Rt△ABC(2)根據(jù)（1）中所畫圖形證明該命題．【考點(diǎn)3尺規(guī)作角平分線】【例3】（2022·陜西西安·?？家荒＃┤鐖D，在四邊形ABCD中，BC=DC，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在四邊形ABCD的AB邊上求作一點(diǎn)E，使SΔ【變式3-1】（2022·江蘇南京·南師附中樹人學(xué)校校考二模）尺規(guī)作圖：如圖，已知正方形ABCD，在邊CD上求作一點(diǎn)P，使∠PBC=15°．（保留作圖痕跡，不寫作法）【變式3-2】（2022·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分線．(1)作∠ACB的角平分線，交AB于點(diǎn)E（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)求證：AD＝AE．【變式3-3】（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）已知：Rt△ABC，∠B=90°．求作：點(diǎn)P，使點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，且PB=PC,∠PBC=45°．【考點(diǎn)4尺規(guī)作垂線或垂直平分線】【例4】（2022·貴州六盤水·統(tǒng)考中考真題）“水城河畔，櫻花綻放，涼都宮中，書畫成風(fēng)”的風(fēng)景，引來市民和游客爭(zhēng)相“打卡”留念．已知水城河與南環(huán)路之間的某路段平行寬度為200米，為避免交通擁堵，請(qǐng)?jiān)谒呛优c南環(huán)路之間設(shè)計(jì)一條停車帶，使得每個(gè)停車位到水城河與到?jīng)龆紝m點(diǎn)F的距離相等．(1)利用尺規(guī)作出涼都宮到水城河的距離（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在圖中格點(diǎn)處標(biāo)出三個(gè)符合條件的停車位P1，P2，(3)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)M0,2，N2,0，停車位Px,y，請(qǐng)寫出y與x【變式4-1】（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，BC=5．(1)作BC的垂直平分線，分別交AB、BC于點(diǎn)D、H；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，連接CD，求△BCD的周長(zhǎng)．【變式4-2】（2022·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，BD是它的一條對(duì)角線，(1)求證：△ABD≌△CDB；(2)尺規(guī)作圖：作BD的垂直平分線EF，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)（不寫作法，保留作圖痕跡）；(3)連接BE，若∠DBE=25°，求∠AEB的度數(shù)．【變式4-3】（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）在學(xué)習(xí)矩形的過程中，小明遇到了一個(gè)問題：在矩形ABCD中，E是AD邊上的一點(diǎn)，試說明△BCE的面積與矩形ABCD的面積之間的關(guān)系．他的思路是：首先過點(diǎn)E作BC的垂線，將其轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，然后根據(jù)全等三角形的面積相等使問題得到解決．請(qǐng)根據(jù)小明的思路完成下面的作圖與填空：證明：用直尺和圓規(guī)，過點(diǎn)E作BC的垂線EF，垂足為F（只保留作圖?跡）．在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB=90°．又∠A=90°，∴__________________①∵AD∥∴__________________②又__________________③∴△BAE≌△EFBAAS同理可得__________________④∴S△BCE【考點(diǎn)5尺規(guī)作等腰三角形】【例5】（2014·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）（1）如圖1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，現(xiàn)以C為圓心、CB長(zhǎng)為半徑畫弧交邊AC于D，再以A為圓心、AD為半徑畫弧交邊AB于E．求證：AEAB=5（2）如果一等腰三角形的底邊與腰的比等于黃金比，那么這個(gè)等腰三角形就叫做黃金三角形．請(qǐng)你以圖2中的線段AB為腰，用直尺和圓規(guī)，作一個(gè)黃金三角形ABC．（注：直尺沒有刻度！作圖不要求寫作法，但要求保留作圖痕跡，并對(duì)作圖中涉及到的點(diǎn)用字母進(jìn)行標(biāo)注）【變式5-1】（2011·浙江杭州·中考真題）根據(jù)給出的下列兩種情況，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)找到一條直線，把△ABC恰好分割成兩個(gè)等腰三角形（不寫做法，但需保留作圖痕跡）；并根據(jù)每種情況分別猜想：∠A與∠B有怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)才能完成以上作圖？并舉例驗(yàn)證猜想所得結(jié)論．（1）如圖①△ABC中，∠C=90°，∠A=24°①作圖：②猜想：③驗(yàn)證：（2）如圖②△ABC中，∠C=84°，∠A=24°．①作圖：②猜想：③驗(yàn)證：【變式5-2】（2022·福建莆田·統(tǒng)考一模）閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)．已知：如圖，直線l∥m∥求作：等邊三角形ABC，使其點(diǎn)B，C分別落在直線m，n上．作法：①在直線m上取點(diǎn)D，連接AD，向右作等邊三角形∠ADE，使點(diǎn)E落在直線l，m之間；②在直線m上取點(diǎn)P（點(diǎn)P在點(diǎn)D左側(cè)），作∠AEC=∠ADP交直線n于點(diǎn)C；③在射線DP上截取DB=CE；④連接AB，AC，BC．△ABC就是所求作的等邊三角形．(1)使用直尺和圓規(guī)，依上述作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；(2)請(qǐng)你根據(jù)上述作法，證明△ABC所求作的等邊三角形．【變式5-3】（2022·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，已知線段a，h，用直尺和圓規(guī)按下列要求分別作一個(gè)等腰三角形ABC(保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明)．(1)△ABC的底邊長(zhǎng)為a，底邊上的高為h；(2)△ABC的腰長(zhǎng)為a，腰上的高為h．【考點(diǎn)6尺規(guī)作圓】【例6】（2022·山東青島·統(tǒng)考一模）已知：△ABC．求作：△ABC的外接圓內(nèi)的點(diǎn)P，使∠P=2∠A，PB=PC．請(qǐng)用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．【變式6-2】（2022·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，BD是矩形ABCD的對(duì)角線．(1)求作⊙A，使得⊙A與BD相切（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，設(shè)BD與⊙A相切于點(diǎn)E，CF⊥BD，垂足為F．若直線CF與⊙A相切于點(diǎn)G，求tan∠ADB【變式6-3】（2022·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知銳角△ABC中，AC=BC．（1）請(qǐng)?jiān)趫D1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作∠ACB的平分線CD；作△ABC的外接圓⊙O；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若AB=485，⊙O的半徑為5，則【考點(diǎn)7尺規(guī)作圓的切線】【例7】（2022·北京海淀·九年級(jí)模擬預(yù)測(cè)）已知：點(diǎn)A，B，C在⊙O上，且∠BAC=45°．求作：直線l，使其過點(diǎn)C，并與⊙O相切．作法：①連接OC；②分別以點(diǎn)B，點(diǎn)C為圓心，OC長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于⊙O外一點(diǎn)D；③作直線CD．直線CD就是所求作直線l．(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：連接OB，BD，∵OB=OC=BD=CD，∴四邊形OBDC是菱形，∵點(diǎn)A，B，C在⊙O上，且∠BAC=45°，∴∠BOC=______°（_________________）（填推理的依據(jù)）．∴四邊形OBDC是正方形，∴∠OCD=90°，即OC⊥CD，∵OC為⊙O半徑，∴直線CD為⊙O的切線（_________________）（填推理的依據(jù)）．【變式7-1】（2022·北京海淀·九年級(jí)模擬預(yù)測(cè)）尺規(guī)作圖：（不寫作法，保留作圖痕跡）已知：⊙O和⊙O外一點(diǎn)P．求作：過點(diǎn)P的⊙O的切線PA，PB．【變式7-2】（2022·北京海淀·九年級(jí)二模）探究：如圖①，點(diǎn)P在⊙O上，利用直尺（沒有刻度）和圓規(guī)過點(diǎn)P作⊙O的切線，小明所在的數(shù)學(xué)小組經(jīng)過合作探究，發(fā)現(xiàn)了很多作法，精彩紛呈．作法一：①作直徑PA的垂直平分線交⊙O于點(diǎn)B；②分別以點(diǎn)B、P為圓心，OP為半徑作弧，交于點(diǎn)C；③作直線PC．作法二：①作直徑PA的四等分點(diǎn)B、C；②以點(diǎn)A為圓心，CA為半徑作弧，交射線PA于點(diǎn)D；③分別以點(diǎn)A、P為圓心，PD、PC為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E；④作直線PE．以上作法是否正確？選一個(gè)你認(rèn)為正確的作法予以證明．【變式7-3】（2022秋·北京東城·九年級(jí)一模）下面是小美設(shè)計(jì)的“過圓上一點(diǎn)作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程．已知：點(diǎn)A在⊙O上．求作：⊙O的切線AB．作法：①作射線OA；②以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交射線OA于點(diǎn)C和點(diǎn)D；③分別以點(diǎn)C，D為圓心，大于12CD長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交點(diǎn)④作直線AB．則直線AB即為所求作的⊙O的切線.根據(jù)小美設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，解決下面的問題：(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）(2)完成下面的證明.證明：連接BC，BD．由作圖可知，AC=AD，BC=．∴BAOA．∵點(diǎn)A在⊙O上，∴直線AB是⊙O的切線()(填寫推理依據(jù))．【考點(diǎn)8尺規(guī)作正多邊形】【例8】（2022·福建·統(tǒng)考二模）尺規(guī)作圖特有的魅力使無數(shù)人沉湎其中．傳說拿破侖曾通過下列尺規(guī)作圖將圓等分：①將半徑為r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)分點(diǎn)；②分別以點(diǎn)A，D為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)G；③連接OG，以O(shè)G長(zhǎng)為半徑，從點(diǎn)A開始，在圓周上依次截取，剛好將圓等分．順次連接這些等分點(diǎn)構(gòu)成的多邊形面積為_____．【變式8-1】（2022·陜西·陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知AC為⊙O的直徑．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，作出⊙O的內(nèi)接正方形ABCD．（保留作圖痕跡．不寫作法）【變式8-2】（2022·山西太原·統(tǒng)考一模）已如：⊙O與⊙O上的一點(diǎn)A（1）求作：⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法但保留作圖痕跡）（2）連接CE，BF，判斷四邊形BCEF是否為矩形，并說明理由．【變式8-3】（2022·江蘇揚(yáng)州·校聯(lián)考一模）如圖，已知等邊△ABC，請(qǐng)用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)，按下列要求作圖（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）（1）作△ABC的外接圓圓心O；（2）設(shè)D是AB邊上一點(diǎn)，在圖中作出一個(gè)等邊△DFH，使點(diǎn)F，點(diǎn)H分別在邊BC和AC上；（3）在（2）的基礎(chǔ)上作出一個(gè)正六邊形DEFGHI．【考點(diǎn)9格點(diǎn)作圖】【例9】（2022·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在4×4的方格紙中，點(diǎn)A，B在格點(diǎn)上．請(qǐng)按要求畫出格點(diǎn)線段（線段的端點(diǎn)在格點(diǎn)上），并寫出結(jié)論．(1)在圖1中畫一條線段垂直AB．(2)在圖2中畫一條線段平分AB．【變式9-1】（2022·湖北省直轄縣級(jí)單位·?？级＃┤鐖D，在6×7的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，△ABC的頂點(diǎn)均為格點(diǎn)(1)在圖①中，借助網(wǎng)格和無刻度的直尺畫出△ABC的高CM；(2)在圖②中，連接點(diǎn)B與格點(diǎn)D．點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為BD上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CPQ的周長(zhǎng)最小時(shí)，請(qǐng)利用網(wǎng)格和無刻度的直尺確定點(diǎn)P、Q的位置，并畫出△CPQ．【變式9-2】（2022·湖北省直轄縣級(jí)單位·?？级＃﹫D1、圖2均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，分別按下列要求作圖，保留適當(dāng)?shù)淖鲌D痕跡，不要求寫出作法．(1)在圖1中的線段AB上找一點(diǎn)D，連結(jié)CD，使S△ACD(2)在圖2中的線段AB上找一點(diǎn)E，連結(jié)CE，使S△ACE【變式9-3】（2022秋·江蘇南京·九年級(jí)一模）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格紙中，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，點(diǎn)O、A、B均在格點(diǎn)上．僅用無刻度直尺，完成下列作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：(1)在圖①中，作AB的中點(diǎn)M；(2)在圖②中，作BN，使得BN=【考點(diǎn)10無刻度直尺作圖】【例10】（2022秋·江西南昌·八年級(jí)南昌市三模）如圖，點(diǎn)D是等邊△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且DB=DC，請(qǐng)僅用無刻度的直尺，分別按下列要求畫圖．(1)在圖①中BC上找一點(diǎn)E，使BE=1(2)若∠BDC