2024中考數(shù)學(xué)函數(shù)綜合專題-教師版

2024中考數(shù)學(xué)函數(shù)綜合專題存在性問題存在性問題是指判斷滿足某種條件的事物或事件是否存在的問題，是近幾年來各地中考的“熱點”。這類題目解法的一般思路是：假設(shè)存在→推理論證→得出結(jié)論。先對結(jié)論作出肯定的假設(shè)，然后由肯定假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件或挖掘出隱含條件，輔以方程思想等，進行正確的計算、推理，再對得出的結(jié)果進行分析檢驗，判斷是否與題設(shè)、公理、定理等吻合．若無矛盾，說明假設(shè)正確，由此得出符合條件的數(shù)學(xué)對象存在；否則，說明不存在．【考點一：等腰三角形】問題：已知點和點，找一點，使得為等腰三角形．如果是等腰三角形，那么存在=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③三種情況.解法1：幾何法（兩圓一線）（1）作的垂直平分線，垂直平分線上的所有點（除了和、在同一直線上）都滿足條件；（2）分別以點、為圓心，為半徑作圓，圓上的所有點（除了和、在同一直線上）都滿足條件；（3）利用等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、相似、三角函數(shù)求出線段長，由線段長得點的坐標(biāo).舉個例子：在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，，在軸上找一點，使為等腰三角形，求滿足條件的所有點的坐標(biāo).【解題思路】連接，作線段的垂直平分線，再分別以、點為圓心，線段長為半徑畫圓，所畫的“兩圓一線”與軸的四個交點、、、即為所求．解法2：代數(shù)法羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗．【例1】在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為、點的坐標(biāo)為，點在軸上，作直線．點關(guān)于直線的對稱點剛好在軸上，連接．圖1圖2（1）寫出一點的坐標(biāo)，并求出直線對應(yīng)的函數(shù)表達式；（2）點在線段上，連接、、，當(dāng)是等腰直角三角形時，求點坐標(biāo)；（3）如圖2，在（2）的條件下，點從點出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向原點運動，到達點時停止運動，連接，過作的垂線，交軸于點，問點運動幾秒時是等腰三角形．【解答】解：（1）的坐標(biāo)為、點的坐標(biāo)為，，，，，與關(guān)于直線對稱，垂直平分，，，，設(shè)點，，，在中，，，，，設(shè)直線的解析式為，把，代入可得，，；（2）垂直平分，，是等腰直角三角形，，過點作軸，軸，，，，，，，，，設(shè)點代入中，，；（3）同（2）可得，，，，，①當(dāng)時，軸，，，，點運動時間為1秒；②當(dāng)時，、，，，，，點的運動時間為秒；③當(dāng)時，設(shè)，則，在中，，，，，，點的運動時間為秒；綜上所述：點的運動時間為1秒或秒或秒．【變式訓(xùn)練11】如圖，拋物線與軸交于點，，與軸交于點．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上是否存在點，使為等腰三角形？請在圖中畫出部分符合條件的點，（保留作圖痕跡）；若不存在，說明理由．【解答】解：（1）將，代入，可得，，；（2）存在滿足條件的點；【變式訓(xùn)練12】如圖，直線與軸、軸分別交于點、點，經(jīng)過、兩點的拋物線與軸的另一個交點為，頂點為．（1）求該拋物線的解析式；（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點，使以，，為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫出所符合條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；【解答】解：（1）直線與軸、軸分別交于點、點，，，把、坐標(biāo)代入拋物線解析式可得，解得，拋物線解析式為；（2），拋物線對稱軸為，，設(shè)，且，，，，為等腰三角形，有、和三種情況，①當(dāng)時，則有，解得，此時；②當(dāng)時，則有，解得（與點重合，舍去）或，此時；③當(dāng)時，則有，解得或，此時或；綜上可知存在滿足條件的點，其坐標(biāo)為或或或；【考點二：直角三角形】問題：已知點和點，找一點，使得為直角三角形．如果是直角三角形，那么存在=1\*GB3①是直角=2\*GB3②是直角=3\*GB3③是直角三種情況.解法1：幾何法（兩線一圓）先分類；再畫圖，作輔助線構(gòu)造相似三垂直模型或者找到相等角度的三角函數(shù)；最后列比例式求解.舉個例子：在平面直角坐標(biāo)系中有兩點，，是坐標(biāo)軸上的一點，若是直角三角形，則滿足條件的點共有()個【解題思路】兩線：分別過、做線段的垂線，與軸分別有一個交點；一圓：以為直徑做圓，可與坐標(biāo)軸交于，，，四點．根據(jù)直徑所對的圓周角是，滿足條件的點共有4個，再加上兩線與軸的交點共有6個．解法2：代數(shù)法（勾股定理）先羅列三邊；再分類根據(jù)勾股定理列方程；最后解方程、檢驗.【例2】如圖，頂點為的拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．（1）求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；（2）問在軸上是否存在一點，使得為直角三角形？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【解答】解：（1）拋物線過點，解得：這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式為（2）在軸上存在點，使得為直角三角形．頂點設(shè)點坐標(biāo)為，①若，則解得：②若，則解得：，或③若，則解得：綜上所述，點坐標(biāo)為或或或時，為直角三角形．【變式訓(xùn)練21】如圖，拋物線經(jīng)過，兩點，與軸交于點，連接，，．（1）求拋物線的表達式；（2）求證：平分；（3）拋物線的對稱軸上是否存在點，使得是以為直角邊的直角三角形，若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）將，代入得：，解得：，．拋物線的解析式為．（2），，．取，則．由勾股定理可知．，，．．在和中，，，，，，平分；（3）如圖所示：拋物線的對稱軸交軸與點，交與點．拋物線的對稱軸為，則．，，．．．，，．同理：．又，，，．點的坐標(biāo)為，或，． 【考點三：平行四邊形】解平行四邊形的存在性問題一般分為三步：尋找分類標(biāo)準(zhǔn)；畫圖；計算.難點在于尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，可分為以下兩種類型：三定一動型：以已知的三個定點為三角形的三個頂點，過每個點畫對邊的平行線，三條平行線相交形成一個大三角形，大三角形的三個頂點可能就是所求點.舉個例子：在直角坐標(biāo)平面內(nèi)確定點M，使得以點M、A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點M的坐標(biāo)。兩定兩動型：由于平行四邊形的任意兩個頂點相連產(chǎn)生兩種線段（邊或?qū)蔷€），所以可以按照確定的線段分為邊或?qū)蔷€展開討論.根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等，靈活應(yīng)用坐標(biāo)平移；根據(jù)平行四邊形中心對稱，靈活應(yīng)用坐標(biāo)對稱（參考中點坐標(biāo)公式）?！纠?】在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過，，三點．（1）求拋物線的解析式；（2）若點是拋物線上的動點，點是直線上的動點，判斷有幾個位置能夠使得點、、、為頂點的四邊形為平行四邊形，求出相應(yīng)點的坐標(biāo)．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為，把代入得，解得，所以拋物線解析式為，即；（2）設(shè)，則，=1\*GB3①當(dāng)為邊時，當(dāng)，時，點、、、為頂點的四邊形為平行四邊形，判斷有2個位置能夠使得點、、、為頂點的四邊形為平行四邊形．如圖2，則，解得（舍去），，此時點坐標(biāo)為，或，解得，（舍去），此時點的坐標(biāo)為，=2\*GB3②當(dāng)為對角線時，則，解得，此時不成立綜上所述，點的坐標(biāo)為或，．【變式訓(xùn)練31】如圖，拋物線與軸交于兩點和，與軸交于點，點是拋物線上一個動點，過點作軸的垂線，與直線相交于點（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點在直線下方的拋物線上運動時，線段的長度是否存在最大值？存在的話，求出其最大值和此時點的坐標(biāo)；（3）若以，，，為頂點的四邊形為平行四邊形，求點的所有坐標(biāo)．【解答】解：（1）把點、代入，得：，解得，拋物線的解析式是；（2）存在．設(shè)直線的解析式為，求得點的坐標(biāo)為，把點，代入，得：，解得，．設(shè)點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為，，當(dāng)時，取最大值2，此時，；（3）①當(dāng)在下方時，，，，當(dāng)時，四邊形為平行四邊形，則，解得，此時；②當(dāng)在上方時，，令，解得，此時，或，，綜上所述，點的坐標(biāo)是或，或，時，都可以使，，，為頂點的四邊形為平行四邊形．【變式訓(xùn)練32】如圖，拋物線與軸交于、兩點（點在點的左側(cè)），點的坐標(biāo)為，與軸交于點，動點在拋物線上運動．（1）求拋物線的解析式；（2）點是拋物線對稱軸與軸的交點，點是軸上一動點，點在運動過程中，若以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點的坐標(biāo)．【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過點，點，，解得，拋物線的解析式為；（2）拋物線的對稱軸為直線，，當(dāng)時，則，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，，點坐標(biāo)為或；當(dāng)時，此時點在軸下方（另一種情況已經(jīng)討論過）以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，，點向右平移1個單位，向下平移2個單位得到點，點向右平移1個單位，向下平移2個單位得到點，設(shè)，則，把代入得，解得，，此時點坐標(biāo)為，，，，綜上所述，點坐標(biāo)為或或，或，．【考點四：全等與相似】1.解決全等三角形的存在性問題要分三步走：第一步：分析背景圖形中的定點、定線及不變特征，結(jié)合圖形形成因素（判定等）考慮分類；注：全等三角形存在性問題主要幾何對應(yīng)關(guān)系及不變特征考慮分類.第二步：畫圖求解，往往從對應(yīng)關(guān)系入手，再結(jié)合背景中的不變特征分析，綜合考慮邊、角的對應(yīng)關(guān)系和不變特征列方程求解.第三步：回歸點的運動范圍、畫圖或推理，驗證結(jié)果.2.解決相似的存在性問題要分兩步走：第一步：先找到一組顯性的相等角；第二步：再以這兩個關(guān)鍵的相等角的兩鄰邊分兩種情形對應(yīng)成比例列方程即可；在第二步分類列方程中，建議同學(xué)們先固定一個三角形的順序，將另一個三角形換個順序即可.【例4】如圖，已知拋物線經(jīng)過點、，與軸的另一個交點為．（1）求出拋物線的解析式．（2）如圖，將繞的中點旋轉(zhuǎn)得到，試判斷四邊形的形狀．并證明你的結(jié)論．（3）如圖，在拋物線上是否存在點，使得以、、三點為頂點的三角形與全等？若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在請說明理由．【解答】解：（1）將點、的坐標(biāo)代入拋物線表達式并解得：，，故：拋物線的解析式為：；（2）四邊形為矩形．拋物線與軸的另一個交點為：由勾股定理求得：，，又，由勾股定理的逆定理可得：直角三角形，故；已知，繞的中點旋轉(zhuǎn)得到，則、互為對應(yīng)點，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，所以，四邊形為平行四邊形，已證，四邊形為矩形；（3）存在點，使得以、、三點為頂點的三角形與全等，則點與點關(guān)于函數(shù)對稱軸對稱，故：點的坐標(biāo)為．【例5】如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點、，與軸交于點，直線交二次函數(shù)圖象的對稱軸于點，若點為的中點．（1）求的值；（2）若二次函數(shù)圖象上有一點，使得，求點的坐標(biāo)；（3）對于（2）中的點，在二次函數(shù)圖象上是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）設(shè)對稱軸交軸于點，函數(shù)的對稱軸為：，點為的中點，則點，將點的坐標(biāo)代入拋物線表達式并解得：，故拋物線的表達式為：①；（2），點，設(shè)過點作軸，如圖，，，即，或，，，解得，故點或；（3）不存在，理由：，則①當(dāng)點時，則的表達式為：③，聯(lián)立①③并解得：（舍去）或，故點，，此時，故點不存在；②當(dāng)點時，同理可得：點，，此時，故點不存在；綜上，點不存在．【變式訓(xùn)練51】如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，O為原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA＝5，OC＝4．（1）如圖①，在AB上取一點D，將紙片沿OD翻折，使點A落在BC邊上的點E處，求D、E兩點的坐標(biāo)；（2）如圖②，若OE上有一動點P（不與O，E重合），從點O出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿OE方向向點E勻速運動，設(shè)運動時間為t秒，過點P作PM⊥OE交OD于點M，連接ME，求當(dāng)t為何值時，以點P、M、E為頂點的三角形與相似？【解答】解：（1）由翻折的性質(zhì)可知：OE＝OA＝5．在Rt△OCE中，．∴點E的坐標(biāo)為（3，4）．∴．設(shè)，則．由翻折的性質(zhì)可知：．在中，，即．解得：．∴．∴點D的坐標(biāo)為（5，）．（2）由翻折的性質(zhì)可知：，．∵，∴．∴．∴．當(dāng)點P、M、E為頂點的三角形與相似時，有或，∴或．①當(dāng)時，在和中，，∴，∴PE＝PO．∴t＝；②當(dāng)時，OP＝t，則PE＝5﹣t．∵，∴，∴．∴．∵∴tan∠PME＝tan∠DOA，∴即．解得：t＝4．綜上所述，當(dāng)t＝或4時，以點P、M、E為頂點的三角形與相似．【變式訓(xùn)練52】如圖，以為頂點的拋物線交軸于、兩點，交軸于點，直線的表達式為．（1）求拋物線的表達式；（2）在直線上有一點，使的值最小，求點的坐標(biāo)；（3）在軸上是否存在一點，使得以、、為頂點的三角形與相似？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）把代入，得：，．把代入得：，，將、代入得：，解得，．拋物線的解析式為．（2）如圖所示：作點關(guān)于的對稱點，則．與關(guān)于對稱，．．當(dāng)、、在一條直線上時，有最小值．設(shè)的解析式為，則，解得：，．的解析式為．將與聯(lián)立，解得：，，點的坐標(biāo)為，．（3），．又，，，，．，．，，，．．，．當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時，．如圖所示：連接，過點作，交軸與點．為直角三角形，，．又，．，即，解得：．．綜上所述，當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為或時，以、、為頂點的三角形與相似．角度問題問題：、為定點，在拋物線上（解析式已確定）上找一點使得：1．定角（如、、圖中另外一個定角等）2．2定角舉個例子：在拋物線上（解析式已確定）上找一點使得：【解題思路】作出滿足題意的直線（兩條紅色直線），從圖中可以輕而易舉的看出直線上的兩點的坐標(biāo)，從而求出一次函數(shù)解析式，所求點就是一次函數(shù)和拋物線的交點.步驟總結(jié)：(1)作出滿足題目要求的直線；（2）利用三角函數(shù)、相似等求出直線上的點的坐標(biāo)，從而求出一次函數(shù)解析式；（3）聯(lián)立方程，求出所求點的坐標(biāo).【例6】已知二次函數(shù)的圖象如圖所示.二次函數(shù)的圖象上是否存在一點使？如果存在，求出點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．【解答】解：將帶入解析式，得，如圖2，當(dāng)點在直線上方時，記直線與軸的交點為，，，，則，，則，，求得直線解析式為，聯(lián)立，解得或，，；如圖3，當(dāng)點在直線下方時，記直線與軸的交點為，，，，則，，，求得直線解析式為，聯(lián)立，解得：或，，，綜上，點的坐標(biāo)為，或，．【變式訓(xùn)練61】已知拋物線經(jīng)過點和點，與軸交于點，點為第二象限內(nèi)拋物線上的動點．（1）拋物線的解析式為，拋物線的頂點坐標(biāo)為；（2）如圖1，連接交于點，當(dāng)時，請求出點的坐標(biāo)；（3）如圖2，點的坐標(biāo)為，點為軸負半軸上的一點，，連接，若，請求出點的坐標(biāo)；【解答】解：（1）將點和點代入解析式得，解得：，故拋物線的表達式為：①，頂點坐標(biāo)為；（2），，，，，則點；（3）如圖2，設(shè)直線交軸于點，，，，，則直線的表達式為：②，聯(lián)立①②并解得：（舍去正值），故點，；【變式訓(xùn)練62】若二次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于點、，且過點．（1）求二次函數(shù)表達式；（2）若點為拋物線上第一象限內(nèi)的點，且，求點的坐標(biāo)；（3）在拋物線上下方）是否存在點，使？若存在，求出點到軸的距離；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點、、解得：二次函數(shù)表達式為（2）如圖1，記直線交軸于點，過點作軸于點設(shè)，，設(shè)直線解析式為把點代入得：直線當(dāng)時，，解得：，，即點一定在點左側(cè)解得：，（舍去）點的坐標(biāo)為（3）在拋物線上下方）存在點，使．如圖2，作點關(guān)于直線的對稱點，連接交于點，連接交拋物線于點，過點作軸于點垂直平分，、，，，，中，，，，設(shè)直線解析式為把點代入得：，解得：直線當(dāng)，解得：（舍去），點橫坐標(biāo)為，即點到軸的距離為．直擊考點限時：40min1.（2019?大洼區(qū)三模）如圖，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，設(shè)拋物線的頂點為．（1）求該拋物線的解析式與頂點的坐標(biāo)．（2）試判斷的形狀，并說明理由．（3）若點在軸上，點在拋物線上．是否存在以、、、為頂點且以為一邊的平行四邊形？若存在，直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（4）探究坐標(biāo)軸上是否存在點，使得以、、為頂點的三角形與相似？若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）拋物線與軸交于、兩點，解得，拋物線的解析式為．頂點的坐標(biāo)為；（2）是直角三角形．理由如下：如圖1，過點分別作軸、軸的垂線，垂足分別為、．在中，，，在中，，，在中，，，為直角三角形．（3）①當(dāng)點的縱坐標(biāo)為3時，把代入求得或，；②當(dāng)點的縱坐標(biāo)為時，把代入求得或，，，，，綜上，點的坐標(biāo)為或，或，．（4）由（2）知，，，①，，故當(dāng)是原點時，；②當(dāng)是直角邊時，若與是對應(yīng)邊，設(shè)的坐標(biāo)是，則，，即，解得：，則的坐標(biāo)是，三角形不是直角三角形，則不成立；③當(dāng)是直角邊，若與是對應(yīng)邊時，