2022年北京市101中學(xué)懷柔分校高考數(shù)學(xué)模擬試卷(學(xué)生版+解析版)_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

2022年北京市101中學(xué)懷柔分校高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、單選題

1.已知集合A={x|-/+2x>0},8="仇>1},則AACRB=()

A.(0,1)B.(0,1]C.(…,o)D.(1,2)

2.已知i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z=^(?GR)是純虛數(shù),則|遙—嗝=()

A.V5B.4C.3D.2

3.已知平面向量:=3i+2/,b=2i+3;,若i與j為單位正交基底,貝丘與b夾角的余弦值

為()

1255

A.—B.—C.—D.1

131213

4.要將甲、乙、丙、丁4名同學(xué)分到A,B,C三個(gè)班中,要求每個(gè)班至少分到一人,則甲

被分到A班的分法種數(shù)為()

A.6B.12C.24D.36

5.我們學(xué)過(guò)用角度制與弧度制度量角,最近,有學(xué)者提出用“面度制”度量角,因?yàn)樵诎?/p>

徑不同的同心圓中,同樣的圓心角所對(duì)扇形的面積與半徑平方之比是常數(shù),從而稱這個(gè)

常數(shù)為該角的面度數(shù),這種用面度作為單位來(lái)度量角的單位制,叫做面度制.在面度制

下,角e的面度數(shù)為導(dǎo)則角0的余弦值為()

73I1V3

A.—B.—Q,C.—D.

2222

6.某學(xué)校組建了演講、舞蹈、航模、合唱、機(jī)器人五個(gè)社團(tuán),全校3000名學(xué)生每人都參加

且只參加其中一個(gè)社團(tuán),校團(tuán)委從這3000名學(xué)生中隨機(jī)選取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,并將調(diào)

A.50B.75C.100D.125

7.岳陽(yáng)樓與湖北武漢黃鶴樓,江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”,是“中國(guó)十大歷史

文化名樓”之一,世稱“天下第一樓”.其地處岳陽(yáng)古城西門城墻之上,緊靠洞庭湖畔,

下瞰洞庭,前望君山.始建于東漢建安二十年(215年),歷代屢加重修,現(xiàn)存建筑沿襲

清光緒六年(1880年)重建時(shí)的形制與格局.因北宋滕宗諒重修岳陽(yáng)樓,邀好友范仲淹

作《岳陽(yáng)樓記》使得岳陽(yáng)樓著稱于世.自古有“洞庭天下水,岳陽(yáng)天下樓“之美譽(yù).小

李為測(cè)量岳陽(yáng)樓的高度選取了與底部水平的直線AC,如圖,測(cè)得NQAC=30°,NDBC

=45。,AB=14米,則岳陽(yáng)樓的高度C£)約為()(&*1.414,V3?1.732)

8.定義在(0,+8)上的函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù),G)滿足011(x)則必有()

A.6V(1)<f(2)B.81/(1)>16^(3)

C.4/(2)>f(4)D.729/(2)>Mf(3)

二、多選題

(多選)9.某次音樂(lè)節(jié),評(píng)委給13支樂(lè)隊(duì)的評(píng)分(十分制)如圖,下列說(shuō)法正確的是()

B.13支樂(lè)隊(duì)中評(píng)分不低于7分的有6支

C.13支樂(lè)隊(duì)評(píng)分的平均數(shù)約為6.46

D.第6支到第12支樂(lè)隊(duì)的評(píng)分逐漸降低

(多選)10.已知尸=3,3>'=4,則()

A.B.xy=2C.x>yD.x4-y>2y[2

(多選)11.根據(jù)中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》記載,我國(guó)古代諸侯的等級(jí)自低到

高分為:男、子、伯、侯、公五個(gè)等級(jí).現(xiàn)有每個(gè)級(jí)別的諸侯各一人,君王要把50處領(lǐng)

地全部分給5位諸侯,要求每位諸侯都分到領(lǐng)地且級(jí)別每高一級(jí)就多分〃,處(機(jī)為正整

數(shù)).按這種分法,下列結(jié)論正確的是()

A.為“男”的諸侯分到的領(lǐng)地不大于6處的概率是3

4

B.為“子”的諸侯分到的領(lǐng)地不小于6處的概率是三

4

C.為“伯”的諸侯分到的領(lǐng)地恰好為10處的概率是1

D.為“公”的諸侯恰好分到16處領(lǐng)地的概率是三

4

(多選)12.己知函數(shù)/(x)=2cos(3X+<P)(3>o,0<<p<J)的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸

間的距離為2m/(0)=1.則()

A.3=j

B./(%)的圖象關(guān)于直線》=一竽對(duì)稱

C.f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[4Kt—竽,4E:+粵](k€Z)

D./(%)的解集為[4囪一等,4垢](kez)

三、填空題

13.已知等差數(shù)列{〃〃},〃4=-〃8,03-45=4,則。1=.

14.已知P為雙曲線C:x2一。=i右支上一點(diǎn),R,上分別為C的左、右焦點(diǎn),且線

段AIA2,BIB2分別為C的實(shí)軸與虛軸.若|AIA2|,四及|,成等比數(shù)歹IJ,則尸尸2|=

15.甲、乙、丙三位同學(xué)獲得某項(xiàng)競(jìng)賽活動(dòng)的前三名,但具體名次未知.3人作出如下預(yù)測(cè):

甲說(shuō):我不是第三名;乙說(shuō):我是第三名;丙說(shuō):我不是第一名.若甲、乙、丙3人的

預(yù)測(cè)結(jié)果有且只有一個(gè)正確,由此判斷獲得第三名的是

16.著名數(shù)學(xué)家棣莫佛CDemoivre,1667?1754)出生于法國(guó)香檳,他在概率論和三角學(xué)方

面,發(fā)表了許多重要論文.1707年棣莫佛提出了公式:[r(cos0+zsin6)]w=iJ\cos/?O+zsin/?0),

其中r>0,〃EN*.根據(jù)這個(gè)公式,則(cos爸+is譏強(qiáng))6=;若網(wǎng)^^^+is譏力尸=

-16,則「=.

四、解答題

17.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,2acosA=V3(/?cosC+ccosB).

(1)求角A;

(2)若b=2遍,BC邊上的高為3,求c.

18.在等差數(shù)列{z}中,m=3,其前"項(xiàng)和為S”,各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{加}中,b\=\,

且滿足b3=S2,ai+a2+bi=i0.

(I)求數(shù)列{斷}與{加}的通項(xiàng)公式;

(II)若數(shù)列{々}的前n項(xiàng)和為Tn,證明:Tn<\.

19.請(qǐng)從下面三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的橫線上,并作答.

①點(diǎn)?(日1+而)=0;②PC=77;③點(diǎn)P在平面ABC。的射影在直線A。上.

如圖,平面五邊形以BC。中,△%£>是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,AD//BC,AB=2BC=

2,ABLBC,將△出£)沿AD翻折成四棱錐P-ABCD,E是棱PD上的動(dòng)點(diǎn)(端點(diǎn)除外),

F、M分別是AB、CE的中點(diǎn),且____.

(1)求證:ABVFM-,

(2)當(dāng)E尸與平面玄。所成角最大時(shí),求平面ACE與平面以。所成的銳二面角的余弦

20.調(diào)味品品評(píng)師的重要工作是對(duì)各種品牌的調(diào)味品進(jìn)行品嘗、分析、鑒定、研發(fā),周而復(fù)

始、反復(fù)對(duì)比.對(duì)調(diào)味品品評(píng)師考核測(cè)試的一種常用方法如下:拿出n瓶外觀相同但品

質(zhì)不同的調(diào)味品讓他品嘗,要求其按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序;經(jīng)過(guò)一段時(shí)間,等其記憶淡

忘之后,再讓其品嘗這〃瓶調(diào)味品,并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序,稱這個(gè)過(guò)程為一輪

測(cè)試.根據(jù)一輪測(cè)試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評(píng)分.

現(xiàn)設(shè)"=4,分別以“1,及,”3,a4表示第一次排序?yàn)?,2,3,4的四種調(diào)味品在第二次

排序時(shí)的序號(hào),并令X=|l-ai|+|2-a2\+\3-?|+|4-a4\,則X是對(duì)兩次排序的偏離程度

的一種描述(如:若第二次排序的序號(hào)為1,3,2,4,則X=2).

(1)假設(shè)41,。2,43,44的排列等可能為1,2,3,4的各種排列,求隨機(jī)變量X的分

布列和數(shù)學(xué)期望;

(2)某調(diào)味品品評(píng)師在相繼進(jìn)行的三輪測(cè)試中,都有XW2,貝IJ:

①假設(shè)各輪測(cè)試相互獨(dú)立,試按(1)的結(jié)果,計(jì)算出現(xiàn)這種情況的概率;

②請(qǐng)你判斷該調(diào)味品品評(píng)師的品味鑒別能力如何,并說(shuō)明理由.

21.2022年北京冬奧會(huì)標(biāo)志性場(chǎng)館--國(guó)家速滑館的設(shè)計(jì)理念來(lái)源于一個(gè)冰和速度結(jié)合的

創(chuàng)意,沿著外墻面由低到高盤旋而成的“冰絲帶”,就像速度滑冰運(yùn)動(dòng)員高速滑動(dòng)時(shí)留下

的一圈圈風(fēng)馳電掣的軌跡,冰上劃痕成絲帶,22條“冰絲帶”又象征北京2022年冬奧會(huì).其

中“冰絲帶”呈現(xiàn)出圓形平面、橢圓形平面、馬鞍形雙曲面三種造型,這種造型富有動(dòng)

感,體現(xiàn)了冰上運(yùn)動(dòng)的速度和激情.這三種造型取自于球、橢球、橢圓柱等空間幾何體,

其設(shè)計(jì)參數(shù)包括曲率、撓率、面積、體積等.對(duì)幾何圖形的面積、體積計(jì)算方法的研究

在中國(guó)數(shù)學(xué)史上有過(guò)輝煌的成就,如《九章算術(shù)》中記錄了數(shù)學(xué)家劉徽提出利用牟合方

蓋的體積來(lái)推導(dǎo)球的體積公式,但由于不能計(jì)算牟合方蓋的體積并沒(méi)有得出球的體積計(jì)

算公式.直到200年以后數(shù)學(xué)家祖沖之、祖曬父子在《綴術(shù)》提出祖曜原理:“幕勢(shì)既同,

則積不容異”,才利用牟合方蓋的體積推導(dǎo)出球的體積公式.原理的意思是:兩個(gè)等高的

幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等,則這兩個(gè)幾何體的體積相等.

(I)利用祖胞原理推導(dǎo)半徑為R的球的體積公式時(shí),可以構(gòu)造如圖②所示的幾何體

幾何體M的底面半徑和高都為R,其底面和半球體的底面同在平面a內(nèi).設(shè)與平面a平

行且距離為d的平面p截兩個(gè)幾何體得到兩個(gè)截面,請(qǐng)?jiān)趫D②中用陰影畫出與圖①中陰

影截面面積相等的圖形并給出證明;

(II)現(xiàn)將橢圓+£=1(心心0)所圍成的橢圓面分別繞其長(zhǎng)軸、短軸旋轉(zhuǎn)一周后

得兩個(gè)不同的橢球A,B(如圖3),類比(I)中的方法,探究橢球A的體積公式,并

寫出橢球A,B的體積之

22.設(shè)函數(shù)+孩一,g(x)=QX-3,

(1)求函數(shù)(p(x)=f(x)+g(x)的單調(diào)增區(qū)間;

(2)當(dāng)。=1時(shí),記//(%)=/(x)?g(x),是否存在整數(shù)入,使得關(guān)于工的不等式2入2

h(x)有解?若存在,請(qǐng)求出入的最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

2022年北京市101中學(xué)懷柔分校高考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、單選題

1.己知集合4=區(qū)-7+2x>0},8={x|x>l},則ADCR8=()

A.(0,1)B.(0,1]C.(-8,o)D.(1,2)

【解答】解:???An&IOVxVZ},B={x|x>l},

CRB={X\X^I],AACRB=(0,1].

故選:B.

2.已知i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)2=晝(”6R)是純虛數(shù),則南一山|=()

A.V5B.4C.3D.2

【解答】解:z=^=奔需尊=心”紇生是純虛數(shù),

i-l1)(1■十I)Z

則{害之

解得“=-2,

則|b+24=3.

故選:C.

3.已知平面向量;=3;+2;,b=2i+3j,若;與;為單位正交基底,貝丘與?夾角的余弦值

為()

1255

A.-B.——C.—D.1

131213

【解答】解:根據(jù)題意,設(shè):與1夾角為。,

平面向量Q=3i+2j,b=2i+3j,且i與j為單位正交基底,

則|。|=,9+4=\b\=V4+9=V13,=6+6=12,

則cos0=

1。1網(wǎng)

故選:A.

4.要將甲、乙、丙、丁4名同學(xué)分到A,B,C三個(gè)班中,要求每個(gè)班至少分到一人,則甲

被分到A班的分法種數(shù)為()

A.6B.12C.24D.36

【解答】解:根據(jù)題意,分2步進(jìn)行分析:

①將甲、乙、丙、丁4名同學(xué)分為3組,有C42=6種分組方法,

②將甲所在的組分到A班,剩下2組安排到B、C班,有42=2種情況,

則有6義2=12種分法,

故選:B.

5.我們學(xué)過(guò)用角度制與弧度制度量角,最近,有學(xué)者提出用“面度制”度量角,因?yàn)樵诎?/p>

徑不同的同心圓中,同樣的圓心角所對(duì)扇形的面積與半徑平方之比是常數(shù),從而稱這個(gè)

常數(shù)為該角的面度數(shù),這種用面度作為單位來(lái)度量角的單位制,叫做面度制.在面度制

71

下,角e的面度數(shù)為或則角e的余弦值為()

V311V3

A.一殍B.-4C.-D.一

2222

【解答】解:設(shè)角0所在的扇形的半徑為〃

-r26rrn_

則由題意,可得—=不解得e=冬,

r23§

”日27T1

可得COS。=COS=——.

32

故選:B.

6.某學(xué)校組建了演講、舞蹈、航模、合唱、機(jī)器人五個(gè)社團(tuán),全校3000名學(xué)生每人都參加

且只參加其中一個(gè)社團(tuán),校團(tuán)委從這3000名學(xué)生中隨機(jī)選取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,并將調(diào)

A.50B.75C.100D.125

【解答】解:由條形統(tǒng)計(jì)圖得抽到50名同學(xué)演講,

由扇形統(tǒng)計(jì)圖片得抽到的學(xué)生中演講同學(xué)占10%,

??.一共抽取的學(xué)生數(shù)為:"=^=500(人),

...抽到的學(xué)生中合唱學(xué)生占:—XW0%=400/0,

.?.選取的學(xué)生中參加機(jī)器人社團(tuán)的學(xué)生數(shù)為:

500(1-40%-10%-15%-20%)=75(人).

故選:B.

7.岳陽(yáng)樓與湖北武漢黃鶴樓,江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”,是“中國(guó)十大歷史

文化名樓”之一,世稱“天下第一樓”.其地處岳陽(yáng)古城西門城墻之上,緊靠洞庭湖畔,

下瞰洞庭,前望君山.始建于東漢建安二十年(215年),歷代屢加重修,現(xiàn)存建筑沿襲

清光緒六年(1880年)重建時(shí)的形制與格局.因北宋滕宗諒重修岳陽(yáng)樓,邀好友范仲淹

作《岳陽(yáng)樓記》使得岳陽(yáng)樓著稱于世.自古有“洞庭天下水,岳陽(yáng)天下樓“之美譽(yù).小

李為測(cè)量岳陽(yáng)樓的高度選取了與底部水平的直線AC,如圖,測(cè)得ND4C=30°,ZDBC

=45°,A8=14米,則岳陽(yáng)樓的高度CO約為()(魚=1.414,次。1.732)

【解答】解:設(shè)CQ=x,

如圖,測(cè)得ND4C=30°,NDBC=45°,AB=14米,

則:DC=BC,

在△AC。中,

利用三角函數(shù)的關(guān)系式:

tanZDAC=Y

V3X

整理得式=

工+14’

解得:X^19(米),

故選:B.

8.定義在(0,+8)上的函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù)/(x)滿足^則必有()

A.64/(1)</(2)B.81/(1)>\6f(3)

C.4/(2)>f(4)D.729/(2)>6學(xué)(3)

【解答】解:令〃(X)=牛,xe(0,+8),

則/(X)=列(”答5-幻=X-叼6f(x),

,:xf(x)<6f(x),:.xf(x)-6f(x)<0,:.h'(x)<0,

函數(shù)a(%)在(o,+°°)上單調(diào)遞減,

:.h(1)>h(2)>h(3)>h(4),

即f(1)>f(2)>f(3)>f(4)

即/⑴>-6T>729>4096,

A64/,(I)>f(2),729f(1)>f(3),64/(2)>f(4),729/(2)>64f(3),

故A,B,C錯(cuò)誤,£>正確.

故選:D.

二、多選題

(多選)9.某次音樂(lè)節(jié),評(píng)委給13支樂(lè)隊(duì)的評(píng)分(十分制)如圖,下列說(shuō)法正確的是()

011345^8910111213^=

A.13支樂(lè)隊(duì)評(píng)分的極差為7

B.13支樂(lè)隊(duì)中評(píng)分不低于7分的有6支

C.13支樂(lè)隊(duì)評(píng)分的平均數(shù)約為6.46

D.第6支到第12支樂(lè)隊(duì)的評(píng)分逐漸降低

【解答】解:對(duì)于4,13支樂(lè)隊(duì)評(píng)分的極差為10-3=7,選項(xiàng)4正確;

對(duì)于8,13支樂(lè)隊(duì)中評(píng)分不低于7分的有10、7、10、9、8、7共6支,選項(xiàng)8正確;

對(duì)于C,計(jì)算13支樂(lè)隊(duì)評(píng)分的平均值為上x(10+6+7+5+3+10+9+4+8+6+5+4+7)=

13

QA

言=6.46,選項(xiàng)C正確;

對(duì)于D,從第6支到第12支樂(lè)隊(duì)的評(píng)分并不是逐漸降低的,其中第9支樂(lè)隊(duì)評(píng)分較高的,

選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選:ABC.

(多選)10.已知尸=3,3>'=4,則()

A.x<^B.xy—2C.x>yD.x+y>2\/2

【解答】解:,答=3,3y=4,

.*.x=log23?y=21og32,

因?yàn)?>8,A32>23,故210g23>/og223,即210g23>3,

:.x>l,所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤,

"."Ay=log23-21og32=2,所以選項(xiàng)B正確,

344

log?2>/°。23>,。。33?

34

??1+log22>1+,。。33?

即Iog23>log34,所以選項(xiàng)C正確,

由于B正確,所以=2A/L所以選項(xiàng)。正確.

故選:BCD.

(多選)11.根據(jù)中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》記載,我國(guó)古代諸侯的等級(jí)自低到

高分為:男、子、伯、侯、公五個(gè)等級(jí).現(xiàn)有每個(gè)級(jí)別的諸侯各一人,君王要把50處領(lǐng)

地全部分給5位諸侯,要求每位諸侯都分到領(lǐng)地且級(jí)別每高一級(jí)就多分用處(機(jī)為正整

數(shù)).按這種分法,下列結(jié)論正確的是()

3

A.為“男”的諸侯分到的領(lǐng)地不大于6處的概率是:

B.為“子”的諸侯分到的領(lǐng)地不小于6處的概率是工

4

C.為“伯”的諸侯分到的領(lǐng)地恰好為10處的概率是1

D.為“公”的諸侯恰好分到16處領(lǐng)地的概率是二

【解答】解:由題意可知,5位諸侯分得的領(lǐng)地?cái)?shù)成等差數(shù)列{劭},

設(shè)該等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和為S”因?yàn)榈?50,則有5%+竽巾=50,即“1=10-2m

因?yàn)椤ǎ鶠檎麛?shù),

則有產(chǎn)=心,『1=5,『1=。,產(chǎn)=上共四種情況,

=1=2=3=4

當(dāng)猊二:時(shí),有m=8,42=9,43=10,04=11,45=12,

當(dāng){.二:時(shí),有42=8,〃3=10,44=12,45=14,

當(dāng){賓二;時(shí),有。1=4,42=7,43=10,44=13,as—16,

當(dāng)晚二時(shí),有。1=2,01=6,6/3=10,44=14,05=18,

其中m,。2,。3,〃4,〃5分別對(duì)應(yīng)男、子、伯、侯、公分到領(lǐng)地?cái)?shù),

所以為“男”的諸侯分到的領(lǐng)地不大于6處的概率是士故選項(xiàng)4正確;

4

為“子”的諸侯分到的領(lǐng)地不小于6處的概率是1,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

為“伯”的諸侯分到的領(lǐng)地恰好為10處的概率是1,故選項(xiàng)C正確;

為“公”的諸侯恰好分到16處領(lǐng)地的概率是工,故選項(xiàng)。正確.

4

故選:ACD.

(多選)12.已知函數(shù)/(x)=2cos(u)x+(p)(a)>0,0<(p<^)的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸

間的距離為2m/(0)=1.則()

A.3=%

B./(%)的圖象關(guān)于直線》=一號(hào)對(duì)稱

C.f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[4m一冬,4hr+等](依Z)

D.f(x)21的解集為[4E-竽,4^n](依Z)

T

【解答】解:函數(shù)/(%)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為2e即鼻=如,

解得T=4ir,所以3=竿=與選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

171

由,(0)=2cos(p=l,得cos(p=5,解得(p=2Ki土一,kWZ,

又OVtpV*,所以(p=4所以/(冗)=2cos(-x+^);

由八一鄂=2cos(-J+J)=2,所以/(x)的圖象關(guān)于直線”一竽對(duì)稱,選項(xiàng)3

正確;

令2阮<5<2丘+11,依Z,解得44n-ZcGZ;

所以了(工)的單調(diào)減區(qū)間為[4內(nèi)i一等,4匕r+粵],依Z,選項(xiàng)C正確;

令/(x)21,得cos(r+等)>i>解得2/JI—5<蔡+5<2Znr+5,依Z;即4/m-WxW

,2323z333

4E,ZEZ;

所以f(x)21的解集是[4內(nèi)r一學(xué),4內(nèi)r],依Z,選項(xiàng)。正確.

故選:BCD.

三、填空題

13.己知等差數(shù)列{〃〃},〃4=-〃8,43-々5=4,則0=等.

【解答】解:在等差數(shù)列{板}中,設(shè)公差為力

由。4=-。8,〃3-05=4,

想+3d=-(4+7d)即[2%+10d=0

付i(Qi+2d)-(a1+4d)=4f1t-2d=4'

解得{建2

故答案為:10.

14.已知P為雙曲線C:x2一1=1右支上一點(diǎn),尸|,已分別為C的左、右焦點(diǎn),且線

段4A2,BIB2分別為C的實(shí)軸與虛軸.若14A成等比數(shù)列,則仍尸2|=」.

【解答】解:由雙曲線的方程x2_[=1,則。=1,b=2,所以|AIA2|=2,|81因=4,

由14A2|,四固,|PF1|成等比數(shù)列,即|BIB2|2=|4A2|?『FI|,則16=2X|PFI|,

所以|PFI|=8,

由P在雙曲線的右支上,則|PF1|-|P放|=2,所以|PF2|=6,

故答案為:6.

15.甲、乙、丙三位同學(xué)獲得某項(xiàng)競(jìng)賽活動(dòng)的前三名,但具體名次未知.3人作出如下預(yù)測(cè):

甲說(shuō):我不是第三名;乙說(shuō):我是第三名;丙說(shuō):我不是第一名.若甲、乙、丙3人的

預(yù)測(cè)結(jié)果有且只有一個(gè)正確,由此判斷獲得第三名的是甲

【解答】解:若甲正確,則乙、丙均錯(cuò)誤,故丙是第一名,乙是第二名,甲是第三名,

與“甲說(shuō):我不是第三名”正確相矛盾,

故甲錯(cuò)誤,因此,甲為第三名;

于是乙、丙中必有一人正確,一人錯(cuò)誤.

若丙錯(cuò)誤(則乙正確),即丙是第一名,而甲是第三名,故乙是第二名,與乙正確“我是

第三名”矛盾,

故丙正確,即丙不是第一名,為第二名;

故答案為:甲.

16.著名數(shù)學(xué)家棣莫佛^Demoivre,1667~1754)出生于法國(guó)香檳,他在概率論和三角學(xué)方

面,發(fā)表了許多重要論文.1707年棣莫佛提出了公式:[XcosO+isin。)]"=/(cos"0+isin〃。),

其中r>0,〃€N*.根據(jù)這個(gè)公式,則(cos$+isin金)6=/;若[r(cos/+isin箴|,=

-16,則r=2.

77"TT71]L

【解答】解:由題意可知(cos豆+is譏分)6=cos—r+zsin-=i.

[r(cos,+isin^)]4=—16,可得,r4(cosn+zsinir)=-16,

所以r=2.

故答案為:i;2.

四、解答題

17.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為mb,c,2acosA=V3(hcosC4-ccosB).

(1)求角A;

(2)若b=2遮,BC邊上的高為3,求c.

【解答】解:(1)V2acosA=\[3{bcosC+ccosB),

:.由正弦定理可得:2sinAcosA=V3(sinBcosC+sinCcosB),即2sinAcosA=V3sin(8+C)

=V3sinA,

VsinA^O,

,AV3

??cosA=

???由AE(0,it),可得A=z.

o

111

(2)V5AABC=2^^=2a9^BC9且人=28,〃BC=3,sinA="

A-x2^/3xcx4=2x〃X3,解得a=

?二由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得(-^-)2=(2>/3)2+c2-2x2^3x導(dǎo)c,即c2

-9c+18=0,

;?解得c=3或6.

18.在等差數(shù)列{劭}中,m=3,其前〃項(xiàng)和為S〃,各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{為}中,6=1,

且滿足。3=S2,。1+。2+4=10.

(I)求數(shù)列{〃〃}與{b}的通項(xiàng)公式;

(II)若數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和為〃,證明:Tn<l,

【解答】解:(I)設(shè)數(shù)列{4〃}的公差為a{瓦}的公比為夕,

rasl.17c7s(3+3+d+1=10

因?yàn)槲?1,加=S2,“1+42+61=10,所以12,o.?,

(q=Q3+3+d

解答d=3,q=3(負(fù)值舍去),

故?!?3+3(H-1)=3〃,囪=3",

(H)證明:由(I)得%=-3產(chǎn)=3嗎+D,

_.12211

所以一=--------=一(一一——).

Sn3n(n+l)3nn+1

所以數(shù)列{?-}的前〃項(xiàng)和為為=£(1—義+/一卷=5(1-),

/乙D7c7cI?!.5iLIX

9

所以T"Vg.

19.請(qǐng)從下面三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的橫線上,并作答.

①最?(日1+而)=0;②PC=木;③點(diǎn)P在平面4BCD的射影在直線A。上.

如圖,平面五邊形附BCD中,△以。是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,AD//BC,AB=2BC=

2,AB±BC,將△抬。沿AD翻折成四棱錐P-ABCD,E是棱PD上的動(dòng)點(diǎn)(端點(diǎn)除外),

F、M分別是AB、CE的中點(diǎn),且.

(1)求證:ABVFM-.

(2)當(dāng)EF與平面外力所成角最大時(shí),求平面4CE與平面鞏。所成的銳二面角的余弦

【解答】(1)證明:取,C。的中點(diǎn)分別為0,G,連接P0,FG,

選擇①:

因?yàn)榘?(易+而)=0,PA+PD=2PO,

所以贏?訪=0,即BA_LPO....................................................................(1分)

又BALAD,ADHPO=O,

所以8A_L平面以D....................................................................(2分)

因?yàn)镸,G分別為CE,C。的中點(diǎn),

所以MG//PD,且MGC平面PAD,POu平面PAD,

所以MG〃平面力£>......................................(3分)

同理可得:FG〃平面出。.

因?yàn)镸GAFG=G,

所以平面FGM〃平面物力,.....................................(4分)

所以BA_L平面FGM.....................................................................(5分)

又FMu平面FGM,

所以BA_LFM.................................................................(6分)

選擇②:

連接OC,則OC=A8=2,OP=V3,

因?yàn)镻C=y/7,PC2=OP2+OC2,

所以BAJ_PO.....................................................................(1分)

又ADQPO=O,

所以BA_L平面以Q......................................(2分)

因?yàn)镸,G分別為CE,CQ的中點(diǎn),

所以MG〃尸。,且MGC平面也。,尸。<=平面

所以MG〃平面B4D....................................................................(3分)

同理可得:PG〃平面附。.

因?yàn)镸GAFG=G,

所以平面FGM〃平面B4。,.....................................(4分)

所以&4_L平面FGM.....................................................................(5分)

又FMu平面FGM,

所以8A_LFM.................................................................(6分)

選擇③:

因?yàn)辄c(diǎn)P在平面A8CZ)的射影在直線40上,

所以平面以D_L平面ABCD....................................................................(1分)

因?yàn)槠矫嬉浴?。平面ABCQ=A£>,OPu平面以。,ADrPO,

所以O(shè)P_L平面ABCQ,

所以&4_LP0.....................................................................(2分)

XBA±AD,ADC\PO=O,

所以平面以D.....................................................................(3分)

因?yàn)槔?,G分別為CE,CQ的中點(diǎn),

所以MG〃尸。,且MGC平面B4O,PDu平面B4D,

所以MG〃平面%D....................................................................(4分)

同理可得:/G〃平面以O(shè).

因?yàn)镸GAFG=G,

所以平面PGM〃平面外。,.....................................(5分)

所以8Al.平面FGM.

又FMu平面FGM,

所以8A_LFM.................................................................(6分)

(2)解:連接AE,EF,由(1)可知:48,平面公。,

所以乙4E尸即為EF與平面以。所成的角.

因?yàn)閠m4EF=^=%,所以當(dāng)AE最小時(shí),N4EF最大,

所以當(dāng)AE,P。,即E為PQ中點(diǎn),AE最小..............................(7分)

以點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn),以0C為x軸,0。為y軸,0P為z軸,建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系,

則4(0,-1,0),E(0,易,C(2,0,0).

所以族=(0,|,AC=(2,1,0).....................(8

分)

設(shè)平面CAE的法向量為m=(xi,yi,zi),

(3□.由n1

則《yi+WZi=0,,令%]=6,得7n=&,_i,V3).....................(9

2%i+月=0

分)

由題意可知:平面孫。的法向量為”=(1,0,0),......................(10分)

所以cosVm,n>=湍嬴=塔,.................................(11分)

y/17

所以平面ACE與平面以。所成的銳二面角的余弦值為=7...............(12分)

20.調(diào)味品品評(píng)師的重要工作是對(duì)各種品牌的調(diào)味品進(jìn)行品嘗、分析、鑒定、研發(fā),周而復(fù)

始、反復(fù)對(duì)比.對(duì)調(diào)味品品評(píng)師考核測(cè)試的一種常用方法如下:拿出n瓶外觀相同但品

質(zhì)不同的調(diào)味品讓他品嘗,要求其按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序;經(jīng)過(guò)一段時(shí)間,等其記憶淡

忘之后,再讓其品嘗這n瓶調(diào)味品,并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序,稱這個(gè)過(guò)程為一輪

測(cè)試.根據(jù)一輪測(cè)試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評(píng)分.

現(xiàn)設(shè)〃=4,分別以防,“2,。3,。4表示第一次排序?yàn)?,2,3,4的四種調(diào)味品在第二次

排序時(shí)的序號(hào),并令%=|1-</1|+|2-能|+|3-03|+|4-訓(xùn),則X是對(duì)兩次排序的偏離程度

的一種描述(如:若第二次排序的序號(hào)為1,3,2,4,則X=2).

(1)假設(shè)G,“2,43,44的排列等可能為1,2,3,4的各種排列,求隨機(jī)變量X的分

布列和數(shù)學(xué)期望;

(2)某調(diào)味品品評(píng)師在相繼進(jìn)行的三輪測(cè)試中,都有XW2,貝IJ:

①假設(shè)各輪測(cè)試相互獨(dú)立,試按(1)的結(jié)果,計(jì)算出現(xiàn)這種情況的概率;

②請(qǐng)你判斷該調(diào)味品品評(píng)師的品味鑒別能力如何,并說(shuō)明理由.

【解答】解:(1)X的可能取值為0,2,4,6,8.

由1,2,3,4的全排列為4!=24個(gè),

一一列出可得:P(X=0)=蕓,"1,〃2,Q3,〃4的排列只能為1,2,3,4.

P(X=2)=完,m,42,〃3,44的排列只能為1,2,4,3;1,3,2,4;2,1,3,4.

同理可得:P(X=4)=嘉7,尸(x=6)=另Q,。(x=8)=言4.

可得分布列:

X02468

P137—94

2424242424

13794

???E(X)=0x+2x+4x+6x+8x=5.

1al

(2)①由⑴可得:P(XW2)=P(X=0)+P(X=2)=合+熱:=9?

進(jìn)行的三輪測(cè)試中都有XW2的概率記做p,由假設(shè)各輪測(cè)試相互獨(dú)立,可得:p=/

②由二一V-J是一個(gè)很小的概率,這表明如果僅憑隨機(jī)猜測(cè)得到三輪測(cè)試中,都有X

2161000

W2的結(jié)果可能性很小,所以我們認(rèn)為品評(píng)師的品味鑒別能力很強(qiáng),不是靠隨機(jī)猜測(cè).

21.2022年北京冬奧會(huì)標(biāo)志性場(chǎng)館--國(guó)家速滑館的設(shè)計(jì)理念來(lái)源于一個(gè)冰和速度結(jié)合的

創(chuàng)意,沿著外墻面由低到高盤旋而成的“冰絲帶”,就像速度滑冰運(yùn)動(dòng)員高速滑動(dòng)時(shí)留下

的一圈圈風(fēng)馳電掣的軌跡,冰上劃痕成絲帶,22條“冰絲帶”又象征北京2022年冬奧會(huì).其

中“冰絲帶”呈現(xiàn)出圓形平面、橢圓形平面、馬鞍形雙曲面三種造型,這種造型富有動(dòng)

感,體現(xiàn)了冰上運(yùn)動(dòng)的速度和激情.這三種造型取自于球、橢球、橢圓柱等空間幾何體,

其設(shè)計(jì)參數(shù)包括曲率、撓率、面積、體積等.對(duì)幾何圖形的面積、體積計(jì)算方法的研究

在中國(guó)數(shù)學(xué)史上有過(guò)輝煌的成就,如《九章算術(shù)》中記錄了數(shù)學(xué)家劉徽提出利用牟合方

蓋的體積來(lái)推導(dǎo)球的體積公式,但由于不能計(jì)算牟合方蓋的體積并沒(méi)有得出球的體積計(jì)

算公式.直到200年以后數(shù)學(xué)家祖沖之、祖曬父子在《綴術(shù)》提出祖唯原理:“幕勢(shì)既同,

則積不容異”,才利用牟合方蓋的體積推導(dǎo)出球的體積公式.原理的意思是:兩個(gè)等高的

幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等,則這兩個(gè)幾何體的體積相等.

(I)利用祖晅原理推導(dǎo)半徑為/?的球的體積公式時(shí),可以構(gòu)造如圖②所示的幾何體M,

幾何體M的底面半徑和高都為R,其底面和半球體的底面同在平面a內(nèi).設(shè)與平面a平

行且距離為"的平面截兩個(gè)幾何體得到兩個(gè)截面,請(qǐng)?jiān)趫D②中用陰影畫出與圖①中陰

影截面面積相等的圖形并給出證明;

Xv

(II)現(xiàn)將橢圓至+款=1(a>6>0)所圍成的橢圓面分別繞其長(zhǎng)軸、短軸旋轉(zhuǎn)一周后

得兩個(gè)不同的橢球A,B(如圖3),類比(I)中的方法,探究橢球A的體積公式,并

寫出橢球A,B的體積之

【解答】解:(I)由圖可知,圖①幾何體是半徑為R的半球,圖②幾何體是底面半徑與

高都為R的圓柱挖掉了一個(gè)圓錐,

與圖①截面面積相等的圖形是一個(gè)圓環(huán),如陰影部分.

證明如下:在圖①中,設(shè)截面圓的圓心為01,則圓。1的面積為n

在圖②中,截面截圓錐得到的小圓的半徑為",則圓環(huán)的面積為P

截得的截面面積相等;

(H)類比(I)可知,橢圓的長(zhǎng)半軸為短半軸為6,構(gòu)造一個(gè)底面半徑為6,

高為a的圓柱,把半橢球與圓柱放在同一個(gè)平面上,在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱

下底面圓心為頂點(diǎn),以圓柱上底面為底面的圓錐,即挖去的圓錐的底面半徑為b,高為a,

V2%2

橢球軸截面橢圓的方程為+77=1,取y=d,

22

可得彳2=-d2),則半橢球截面圓的面積為兀-(a2-d2),

22

在圓柱內(nèi),圓環(huán)的面積為兀力2-7r.L.d2=7r.^(a2_d2)y

根據(jù)祖地原理得出橢球A的體積為匕

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