百校聯盟高二下學期開學測試數學試題

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2020年春季開學測試（高二年級）數學試題第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1。已知集合，，則（）A。 B。C?；?D.或【答案】B【解析】【分析】首先求出集合、,再根據交集的定義計算可得；【詳解】解：因為，所以或,因為，所以,所以.故選：【點睛】本題考查一元二次不等式的解法，交集的運算,屬于基礎題.2.設，,，則(）A. B. C. D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】根據指數函數及對數函數的性質即可比較大??；【詳解】解：,,，。故選：【點睛】本題考查指數函數、對數函數的性質的應用，屬于基礎題。3.“賭金分配"是概率論中非常經典的問題．在一次賭局中,兩個賭徒約定誰先贏滿5局，誰就獲得全部賭金，賭了半天，甲贏了4局，乙贏了3局,由于時間很晚了,他們都不想再賭下去．假設每局兩賭徒輸贏的概率各占，每局輸贏相互獨立,那么全部賭金的合理分配方案為()A。甲分，乙分 B.甲分,乙分C.甲分，乙分 D。甲分，乙分【答案】C【解析】【分析】首先計算出甲贏的概率為，乙贏的概率為，由此能求出結果．【詳解】解:題意得：甲贏的概率為，乙贏的概率為，所以應該分給甲，分給乙。故選:【點睛】本題考查概率的求法及應用，考查相互獨立事件概率乘法公式等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．4.函數最小值為（）A. B。4 C。6 D.【答案】A【解析】【分析】求出函數的導函數，判斷函數的單調性，即可求出的最小值．【詳解】解:因為,所以則當時所以在上為增函數,.故選：【點睛】本題考查利用導數求函數的單調區(qū)間,函數的最值，屬于基礎題。5.為了提高廣大農村的醫(yī)療水平，現要把市醫(yī)院的甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生安排到古月、小覺和燕尾溝3個農村，每名醫(yī)生只能安排到1個農村,每個農村至少有1名醫(yī)生,則不同的安排方案有()A。24種 B。36種 C。64種 D.81種【答案】B【解析】【分析】分兩步完成①將4名醫(yī)生分成3組，②將分好的三組全排列,安排到3個農村，再按照分步乘法計算原理計算可得;【詳解】解：根據題意，分2步進行：①將4名醫(yī)生分成3組，有種分組方法；②將分好的三組全排列，安排到3個農村，有種情況，則有種不同的安排方案。故選：【點睛】本題考查分步乘法計算原理的應用，簡單的排列組合問題,屬于基礎題。6.今年是新中國成立70周年．70年來,在中國共產黨的堅強領導下，全國各族人民團結心，迎難而上，開拓進取,奮力前行,創(chuàng)造了一個又一個人類發(fā)展史上的偉大奇跡，中華民族迎來了從站起來、富起來到強起來的偉大飛躍．某公司統(tǒng)計了第年(2013年是第一年）的經濟效益為(千萬元)，得到如下表格:345625344.5若由表中數據得到關于的線性回歸方程是，則可預測2020年經濟效益大約是（）A.5。95千萬元 B。5。25千萬元 C。5.2千萬元 D。5千萬元【答案】A【解析】【分析】首先求出樣本點的中心點坐標，再代入回歸方程求出參數的值,再將代入求值即可；【詳解】解：由表格中的數據求得，．所以樣本點的中心坐標為,代入，得，解得．∴線性回歸方程為，取，得.故選:【點睛】本題考查根據樣本中心點求回歸方程中參數的值，以及利用回歸方程估計數據，屬于基礎題。7.存在無窮多個素數，使得是素數,素數對稱為孿生素數．在不超過40的素數中,隨機選取兩個不同的數，這兩個數為孿生素數的概率是（）A. B。 C. D.【答案】B【解析】【分析】首先列出在不超過40的素數中所有的素數，再找出能夠組成孿生素數的個數，再根據古典概型的概率公式計算可得；【詳解】解：在不超過40的素數中所有的素數有：2,3，5，7，11，13,17,19，23，29，31，37，共12個．在不超過40的素數中，隨機選取兩個不同的數，其中能夠組成孿生素數的個數有5個，即（3,5）,（5,7），(11，13），（17，19），(29，31)．在不超過40的素數中，隨機選取兩個不同的數，其中能夠組成孿生素數的概率是.故選:【點睛】本題考查古典概型的概率計算問題，屬于基礎題.8.正四面體的外接球與內切球的表面積比為（）A。 B。 C. D.不確定【答案】A【解析】【分析】利用正四面體中心即為外接球和內切球的球心，且為高的四等分點，設正四面體的棱長為，可得兩個球半徑，進而得面積比．【詳解】解:如圖,正四面體的中心即為外接球與內切球的球心,設正四面體的棱長為,可得,,又,，，，．所以故選：【點睛】本題考查正四面體外接球和內切球，屬于中檔題．9.在一次射擊訓練中，每位士兵最多可射擊3次，一旦命中目標，則停止射擊，否則一直射擊到3次為止。設士兵甲一次射擊命中目標的概率為，射擊次數為，若的數學期望，則的取值范圍是（）A. B。 C. D.【答案】C【解析】【分析】依題意的所以可能取值為、、，，，,即可表示出，再根據且的到不等式組,解得即可；【詳解】解：依題意的所以可能取值為、、，，，,且，解得.故選:【點睛】本題考查簡單的離散型隨機變量的數學期望的計算,一元二次不等式的解法，屬于中檔題。10.展開式中的項的系數是（）A.5103 B.21 C. D.945【答案】D【解析】【分析】首先寫出二項式展開式的通項，，再令,解得，即可求出展開式中項的系數;【詳解】解：展開式的通項公式為：，令,解得,所以展開式中項的系數是。故選：【點睛】本題考查二項式展開式中指定項的系數，關鍵是寫出展開式的通項,屬于基礎題.11.已知函數，若方程的兩個不同根分別為,則的最小值為()A。 B。 C. D.【答案】A【解析】【分析】由，解得，或，即可求出的最小值；【詳解】解：由，得，所以，或，；即，或，所以方程的兩個不同的根分別為，則最小值為.故選：【點睛】本題考查余弦函數的性質的應用,屬于中檔題。12。已知分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的右支交于兩點（其中點在第一象限），設點分別為、的內心，則的取值范圍是（）A。 B. C。 D.【答案】D【解析】【分析】利用平面幾何圖形的性質可得、的橫坐標相等為,得到軸且過雙曲線右頂點，設的傾斜角設為,求解三角形可得，由，即可得到所求范圍．【詳解】解：記邊、、上的切點分別為，則，，，由,即，得，即，記的橫坐標為，則，于是，得．同理，內心的橫坐標也為，則有軸.設直線的傾斜角為，則，，所以，由雙曲線可得，，,所以，由于為雙曲線右支上的點，且一條漸近線的斜率為，則，可得的范圍是.故選:【點睛】本題考查雙曲線的定義、方程和性質，考查三角形的內心的概念,考查三角函數的化簡和求值，屬于難題．第Ⅱ卷二、填空題:本大題共4小題,每小題5分．13.已知向量，，若，則______．【答案】【解析】【分析】首先根據向量的數量積的坐標表示求出，再根據向量的數量積的運算律得到，解得即可；【詳解】解：因為,,所以所以，所以。故答案為：【點睛】本題考查向量的數量積的運算律及坐標表示，屬于基礎題。14.命題，,則為_____.【答案】,【解析】【分析】根據全稱命題的否定為特稱命題解答即可;【詳解】解：因為全稱命題的否定為特稱命題，命題，，為全稱命題；所以：,故答案為：，【點睛】本題考查全稱命題的否定，屬于基礎題。15.已知拋物線的焦點為，過點且傾斜角為的直線與拋物線交于第一象限點，交拋物線的準線于點，若，則_____?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥窟^點作準線的垂線，垂足為,由拋物線的定義可得，由則從而計算可得；【詳解】解：過點作準線的垂線，垂足為,由拋物線的定義可得,由,得.故答案為：【點睛】本題考查拋物線的簡單幾何性質，屬于基礎題。16.在四面體中，，，，二面角的大小為，則此四面體的外接球的表面積是______?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥吭O，的外心分別為，過分別作平面和平面的垂線，則交點為四面體外接球的球心．取的中點為，連接，由已知可得是二面角的平面角，計算出外接球的半徑即可求出球的面積;【詳解】解：設，外心分別為，過分別作平面和平面的垂線,則交點為四面體外接球的球心．取的中點為，連接，由已知可得是二面角的平面角，則，在四邊形，，，所以，,所以四面體外接球的半徑為，所以四面體的外接球的表面積.故答案為：【點睛】本題考查多面體的外接球的相關計算以及二面角的計算,屬于中檔題。三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.數列滿足:（1)求的通項公式；（2）若數列滿足，求的前項和?！敬鸢浮浚?);（2)?！窘馕觥俊痉治觥?1）利用時,求解；檢驗成立即可求解（2)由，得，利用錯位相減求和即可【詳解】(1）令時，時，，滿足所以;（2)由，①②①②得【點睛】本題考查利用前n項和求通項公式，考查錯位相減求和,準確利用前n項和求出通項公式是關鍵，是中檔題18。已知的內角、、所對的邊分別為、、。且。（1）求角；（2）若的面積為，求周長的最小值?！敬鸢浮浚?);（2）.【解析】【分析】（1)根據三角形中隱含條件以及三角恒等變換的公式得到的正切值，然后計算出的結果；（2）利用余弦定理和面積公式求解出的最小值，再將周長用含的式子表示,即可求解出周長的最小值，注意取等號條件的說明.【詳解】（1)，且，，，，且，,。(2)由,得。又,，（當且僅當時取等號),，，，周長的最小值為.【點睛】本題考查三角恒等變換與解三角形的綜合，難度一般.（1)解三角形過程中要注意對隱含條件的使用;（2）已知三角形的面積時，可利用余弦定理得到三角形其中一條邊與另外兩邊之和的等量關系.19。如圖，直四棱柱,,底面是邊長為4的菱形，且,為中點．（1）求證：平面；(2)求二面角的余弦值．【答案】（1)詳見解析；（2）?！窘馕觥俊痉治觥浚?)由已知可得，，由線面垂直判定定理可得平面；（2）分別以、、為軸建立坐標系，利用空間向量法求出二面角余弦值；【詳解】解：（1）由四邊形是菱形，且,是正三角形，所以,又四棱柱是直四棱柱，平面，又平面,,又，平面，平面,所以平面。（2）由（1）知，，所以分別以、、為軸建立坐標系，如圖所示,則,，。,,，設平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，則有,解得，所以，，解得，所以，設二面角的平面角為，可知為鈍角,則，所以二面角的余弦值是?！军c睛】本題考查線面垂直的判定，利用空間向量法求二面角，屬于中檔題.20。已知函數。（1）證明：函數在上單調遞增;（2）令,若對恒成立,求實數的取值范圍．【答案】（1）詳見解析;（2）.【解析】【分析】（1）利用定義法證明函數的單調性，按照：設元、作差、變形、判定符號、下結論的步驟完成即可；（2）由已知可得，令,由（1）知,則,在上恒成立，再對對稱軸分類討論即可得解；【詳解】解:(1）任取，，且設.，，且設，，,，，∴函數在上單調遞增。(2)，設，由（1）知,當時，，，，當時，，解得；當時，，無解.∴實數的取值范圍是.【點睛】本題考查定義法證明函數的單調性，不等式恒成立問題，考查轉化化歸思想，屬于中檔題。21。如圖,已知點，點均在圓上,且，過點作的平行線分別交，于兩點.(1）求點的軌跡方程;（2）過點的動直線與點的軌跡交于兩點．問是否存在常數，使得點為定值？若存在,求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1)；（2）存在常數符合題意，理由詳見解析.【解析】【分析】（1）由平面幾何的相關性質可得，則，即點的軌跡是以為焦點的橢圓，再求出橢圓的標準方程即可；（2)當直線的斜率存在時，設，，，聯立直線方程與橢圓方程，消元列出韋達定理，則代入計算可得的值，再計算斜率不存在時的值，即可得解；【詳解】解:（1)由,得,由，得,所以.由，知，所以，即，所以，所以點的軌跡是以為焦點的橢圓。這里，，所以，，則點的軌跡方程為:.（2)當直線與軸不垂直時，設，，，聯立得,其判別式,所以，，,所以當時,，此時為定值.當直線的斜率不存在時，.綜上,存在常數，使得為定值?！军c睛】本題考查利用橢圓的定義求軌跡方程,直線與橢圓綜合問題，屬于中檔題。22。綠色已成為當今世界主題,綠色動力已成為時代的驅動力,綠色能源是未來新能源行業(yè)的主導．某汽車公司順應時代潮流，最新研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進行了單次最大續(xù)航里程（理論上是指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠里程)的測試．現對測試數據進行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）估計這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值代表）；（2）根據大量的汽車測試數據,可以認為這款汽車的單次最大續(xù)航里程近似地服從正態(tài)分布,經計算第（1)問中樣本標準差的近似值為50．用樣本平均數作為的近似值，用樣本標準差作為的估計值；（ⅰ)現從該汽車公司最新研發(fā)的新能源汽車中任取一輛汽車，求它的單次最大續(xù)航里程恰好在200千米到350千米之間的概率；（ⅱ）從該汽車公司最新研發(fā)的新能源汽車中隨機抽取10輛，設這10輛汽車中單次最大續(xù)航里程恰好在200千米到350千米之間的數量為，求；（3）某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車,現面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”活動，客戶可根據拋擲硬幣的結果，操控微型遙控車在方格圖上行進，若遙控車最終停在“勝利大本營”，則可獲得購車優(yōu)惠券．已知硬幣出現正、反面的概率都是，方格圖上標有第0格、第1格、第2格、…、第50格．遙控車開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，遙控車向前移動一次，若擲出正面，遙控車向前移動一格（從到）,若擲出反面，遙控車向前移動兩格（從到），直到遙控車移到第49格（勝利大本營）或第50格(失敗大本營)時，游戲結束．設遙控車移到第格的概率為，其中，試說明是等比數列,并解釋此方案能否成功吸引