專題3.4 輔助圓定點定長（隱圓壓軸一）（原卷版）

專題3.4輔助圓定點定長模型一：定點定長作圓點A為定點，點B為動點，且AB長度固定，則點B的軌跡是以點A為圓心，AB長為半徑的圓。模型二：點圓最值已知平面內(nèi)一定點D和O，點E是O上一動點，設點O與點D之間距離為d，O半徑為r.位置關系點D在O內(nèi)點D在O上點D在O外圖示DE的最大值d＋r

2r

d＋r此時點E的位置連接DO并延長交O于點E

DE的最小值r－d0d－r此時點E的位置連接OD并延長交O于點E點E與點D重合連接OD交O于點E【典例1】（1）【學習心得】于彤同學在學習完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易．例如：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一點，且AD＝AC，求∠BDC的度數(shù)．若以點A為圓心，AB為半徑作輔助⊙A，則點C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，從而可容易得到∠BDC＝°．（2）【問題解決】如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度數(shù)．（3）【問題拓展】如圖3，如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE＝DF．連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H．若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是．【變式1-1】如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CAD＝2∠BAC，若∠BCD＝105°，則∠BDC＝．版權所有【變式1-2】如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD是對角線，AB＝AC＝AD，如果∠BAC＝70°，那么∠BDC＝．【變式1-3】如圖（1），在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，D、E分別是AB，AC的中點．若等腰Rt△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到等腰Rt△AD1E1，如圖（2），設旋轉(zhuǎn)角為a（0°＜a≤180°），記直線BD1與CE1的交點為P．（1）求證：BD1＝CE1；（2）當∠CPD1＝2∠CAD1時，則旋轉(zhuǎn)角為a＝（直接寫結果）（3）連接PA，△PAB面積的最大值為（直接寫結果）【典例2】如圖，在△ABC中，點D是邊BC的中點，點E是邊AC上的任意一點（點E不與點C重合），沿DE翻折△DCE使點C落在點F處，請畫出點F的軌跡．版權所有【變式2-1】如圖，在?ABCD中，AE⊥BC于點E，將△AEB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使AB與邊BC重合，得到△MNB，請畫出在旋轉(zhuǎn)過程中點M的運動軌跡．【變式2-2】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，D是BC邊上一動點，將△ABD沿AD對折，得到△AB'D，當點B'落在AC邊上時，點D停止運動，若AB'＝AC，則在點D的運動過程中，點B'的運動路徑長為．【變式2-3】如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝3，將菱形ABCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到菱形A'BC'D'，求出當點D'在BA的延長線上時，點C'運動的路徑長．【典例3】如圖，在矩形ABCD中，，，E是AB邊的中點，F(xiàn)是線面BC邊上的動點，將沿EF所在的直線折疊得到，連接，求的最小值。【變式3-1】如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E是邊BC上一動點，點F在邊CD上，BF⊥AE，則CG的最小值為【變式3-2】（錦州）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD邊的中點，N是AB邊上的動點，將△AMN沿MN所在直線折疊，得到△A′MN，連接A′C，則A′C的最小值是．【變式3-3】如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P是直線AB上的一個動點，AE＝2，△APE沿PE翻折形成△FPE，連接PF、EF，則FC的最小值是，點F到線段BC的最短距離是．【典例4】（邗江區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（1，0），B（3，0），C為平面內(nèi)的動點，且滿足∠ACB＝90°，D為直線y＝x上的動點，則線段CD長的最小值為（）A．1 B．2 C． D．【變式4-1】（武江區(qū)校級期末）如圖，⊙M的半徑為4，圓心M的坐標為（5，12），點P是⊙M上的任意一點，PA⊥PB，且PA、PB與x軸分別交于A、B兩點，若點A、點B關于原點O對稱，則AB的最小值為．【變式4-2】（薩爾圖區(qū)校級期末）如圖，點A，B的坐標分別為A（4，0），B（0，4），C為坐標平面內(nèi)一點，BC＝2，點M為線段AC的中點，連接OM，OM的最大值為．【變式4-3】（2022?魚峰區(qū)模擬）如圖，⊙M的半徑為2，圓心M的坐標為（6，8），點P是⊙M上的任意一點，PA⊥PB，且PA、PB與x軸分別交于A、B兩點，若點A、點B