第二章 多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程課件

基于壓電作動(dòng)器的垂尾抖振主動(dòng)抑制（此系統(tǒng)有一、兩千個(gè)自由度（3D實(shí)體單元）

）多自由度振動(dòng)系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程第二章：2.用牛頓第二定律列寫系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程3.用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程第一講：第二章:多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程建立多自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的各種方法的概述1.多自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的一般形式建立多自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的各種方法的概述

回想單自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的一般形式

多自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的一般形式質(zhì)量矩陣位移向量阻尼矩陣剛度矩陣激振力向量多自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的一般形式建立方法Hamilton原理：主要適用于連續(xù)系統(tǒng)建立多自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的各種方法的概述2.系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的建立方法牛頓第二定律:適用于自由度不多的離散系統(tǒng)或簡單的連續(xù)系統(tǒng)動(dòng)量矩定理:

主要適用于自由度不多的離散系統(tǒng)影響系數(shù)法：主要適用于自由度不多的離散系統(tǒng)Lagrange方程法：主要適用于離散系統(tǒng)有限單元法：離散系統(tǒng)，連續(xù)系統(tǒng)都適用，是一種最通用的建模方法返回用牛頓第二定律列寫系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程1.直角坐標(biāo)形式的牛頓第二定律

列寫運(yùn)動(dòng)方程時(shí)要選定一個(gè)正方向，計(jì)算各力在正方向的投影。

加速度的正負(fù)號(hào)是由合外力的正負(fù)決定的，因此在列寫方程時(shí)只要用或或表示就可以了。2.用牛頓第二定律列寫運(yùn)動(dòng)微分方程用牛頓第二定律列寫系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程受力分析時(shí)假定兩質(zhì)量塊均沿著坐標(biāo)的正方向運(yùn)動(dòng).因?yàn)檫@樣在受力分析時(shí)容易確定所受力的大小和方向,不容易出錯(cuò).根據(jù)牛頓第二定律，得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程：返回用牛頓第二定律列寫系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程1.總體思路用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程影響系數(shù)法柔度影響系數(shù)剛度影響系數(shù)阻尼影響系數(shù)質(zhì)量影響系數(shù)剛度影響系數(shù)

：第個(gè)自由度產(chǎn)生單位位移，其他自由度位移為零時(shí)，需要在第自由度處沿著位移方向施加的力。用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程2.剛度影響系數(shù)解：令【例】用影響系數(shù)法寫出圖示系統(tǒng)的剛度矩陣。用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程令剛度矩陣：用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程柔度矩陣柔度影響系數(shù)

：第個(gè)自由度上作用單位力，其他自由度作用力為零時(shí)，在第自由度上產(chǎn)生的位移。用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程3.柔度影響系數(shù)【例】用影響系數(shù)法寫出圖示系統(tǒng)的柔度矩陣。用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程柔度矩陣：用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程4.阻尼影響系數(shù)阻尼影響系數(shù)

：第個(gè)自由度產(chǎn)生單位速度，其他自由度處的速度為零時(shí)，需要在第自由度處施加的力。質(zhì)量影響系數(shù)

：第個(gè)自由度產(chǎn)生單位加速度，其他自由度處的加速度為零時(shí)，需要在第自由度處施加的力。用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程5.質(zhì)量影響系數(shù)

此系統(tǒng)用剛度法方便還是柔度法方便？奇異（秩虧損）用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程6.思考

能否對此系統(tǒng)實(shí)施柔度法？剛度法實(shí)施過程中要求系統(tǒng)僅一個(gè)自由度有位移，人為地增加了系統(tǒng)約束的數(shù)目，求解比較繁。柔度法維持原系統(tǒng)的約束，實(shí)施比較方便。特別是用實(shí)驗(yàn)來確定系統(tǒng)的彈性性質(zhì)時(shí)均采用柔度法，剛度法幾乎不能實(shí)現(xiàn)。如果系統(tǒng)具有剛體運(yùn)動(dòng)自由度，則柔度法失效，但剛度法卻可奏效。所以剛度法的應(yīng)用范圍比柔度法要大。用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程7.小結(jié)【課堂練習(xí)】求圖示擺的柔度矩陣用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程用影響系數(shù)法建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程STOP1.多自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的一般形式上次課內(nèi)容回顧2.用牛頓第二定律列寫運(yùn)動(dòng)微分方程受力分析時(shí)假定兩質(zhì)量塊均沿著坐標(biāo)的正方向運(yùn)動(dòng).因?yàn)檫@樣在受力分析時(shí)容易確定所受力的大小和方向,不容易出錯(cuò).剛度影響系數(shù)

：第個(gè)自由度產(chǎn)生單位位移，其他自由度位移為零時(shí)，需要在第自由度處沿著位移方向施加的力。3.剛度影響系數(shù)上次課內(nèi)容回顧柔度影響系數(shù)

：第個(gè)自由度上作用單位力，其他自由度作用力為零時(shí)，在第自由度上產(chǎn)生的位移。4.柔度影響系數(shù)5.剛度矩陣和柔度矩陣的關(guān)系6.剛度法和柔度法的優(yōu)缺點(diǎn)上次課內(nèi)容回顧剛度法：優(yōu)點(diǎn)：當(dāng)系統(tǒng)具有剛體運(yùn)動(dòng)自由度時(shí)，剛度法仍可應(yīng)用，因此適用范圍廣；缺點(diǎn)：剛度法實(shí)施過程中要求系統(tǒng)僅一個(gè)自由度有位移，人為地增加了系統(tǒng)約束的數(shù)目，求解比較繁；柔度法：優(yōu)點(diǎn)：柔度法維持原系統(tǒng)的約束，實(shí)施比較方便；缺點(diǎn)：如果系統(tǒng)具有剛體運(yùn)動(dòng)自由度，則柔度法失效；第二講：Lagrange方程的產(chǎn)生背景2.利用Lagrange方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程3.課堂練習(xí)第二章:多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程Lagrange方程的產(chǎn)生背景1.牛頓力學(xué)方程的缺陷隔離體1的受力分析隔離體2的受力分析隔離體3的受力分析剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程：（見《理論力學(xué)》，范欽珊主編）Lagrange方程的產(chǎn)生背景隔離體3的受力分析Lagrange方程的產(chǎn)生背景Lagrange方程的產(chǎn)生背景隔離體的受力分析將未知約束力引入到動(dòng)力學(xué)方程中導(dǎo)致動(dòng)力學(xué)方程中未知變量急劇增加Lagrange方程的產(chǎn)生背景法國科學(xué)家Lagrange（1736-1813）

返回Lagrange方程的產(chǎn)生背景2.Lagrange方程的產(chǎn)生背景18世紀(jì)機(jī)器工業(yè)的發(fā)展迫切需要對受約束的機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析1788年，在《分析力學(xué)》中對力學(xué)提出了全新的敘述方式——Lagrange力學(xué)Lagrange方程避開了處理系統(tǒng)內(nèi)部的約束反力Lagrange方程的產(chǎn)生背景利用Lagrange方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程約束方程不包含質(zhì)點(diǎn)的速度，或者包含質(zhì)點(diǎn)的速度，但約束方程是可以積分的約束稱為完整約束。約束方程包含質(zhì)點(diǎn)的速度且不可積分的約束稱為非完整約束。唯一地確定質(zhì)點(diǎn)系在空間的構(gòu)型的獨(dú)立坐標(biāo)稱為廣義坐標(biāo)。

完整約束（《理論力學(xué)》范欽珊主編）

廣義坐標(biāo)（《理論力學(xué)》范欽珊主編）

系統(tǒng)不存在粘性阻尼時(shí)動(dòng)能廣義坐標(biāo)勢能廣義坐標(biāo)對應(yīng)的非保守主動(dòng)力

系統(tǒng)存在粘性阻尼時(shí)耗散函數(shù)1.完整約束系統(tǒng)的Lagrange方程的具體形式利用Lagrange方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程2.利用Lagrange方程建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的步驟①

判斷系統(tǒng)的自由度數(shù)目，選定系統(tǒng)的廣義坐標(biāo);②

以廣義坐標(biāo)及廣義速度來表示系統(tǒng)的動(dòng)能,勢能和耗散函數(shù)；3.用Lagrange方程建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的優(yōu)點(diǎn)

不用做隔離體的受力分析,免去處理約束力,是建立復(fù)雜離散系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的首選方法；⑤將以上各量代入Lagrange方程，即得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程.③

對于非保守主動(dòng)力，將其虛功寫成如下形式從而確定對應(yīng)于各個(gè)廣義坐標(biāo)的非保守廣義力；

即可用于線性系統(tǒng)，也可用于非線性系統(tǒng)。利用Lagrange方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程4.【例題】試求圖示雙擺系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。解：選取和為廣義坐標(biāo)取軸為重力勢能零點(diǎn)，則系統(tǒng)的勢能為系統(tǒng)的動(dòng)能為利用Lagrange方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程動(dòng)能和勢能的表達(dá)式方程是非線性的，在微振動(dòng)假設(shè)下此方程可進(jìn)一步簡化利用Lagrange方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

由微振動(dòng)假設(shè),系統(tǒng)各個(gè)廣義坐標(biāo)和廣義速度都可以看作是一階小量,從而導(dǎo)出的微幅振動(dòng)方程也將精確到一階小量.

利用拉格朗日方程求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程時(shí)，系統(tǒng)的能量要對廣義坐標(biāo)求一階導(dǎo)數(shù)，求導(dǎo)后精度將降低一階，所以在計(jì)算動(dòng)能和勢能的時(shí)候必須精確到二階小量。方同著《振動(dòng)理論及應(yīng)用》利用Lagrange方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程5.微振動(dòng)假設(shè)下的注意事項(xiàng)6.思考

在微振動(dòng)假設(shè)下,在用Lagrange方程列寫系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程時(shí)有兩種處理方式：①在計(jì)算動(dòng)能和勢能時(shí)就將其精確到二階小量，然后代入Lagrange

方程；②在計(jì)算動(dòng)能和勢能時(shí)不做任何處理，代入Lagrange方程后最后再化簡（線性化）；問：哪一種方式簡便？為什么？利用Lagrange方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程7.【例題】在微振動(dòng)假設(shè)下，試求圖示雙擺系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。系統(tǒng)的勢能為系統(tǒng)的動(dòng)能為利用Lagrange方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程對于離散系統(tǒng),耗散函數(shù)的計(jì)算類似于系統(tǒng)彈性勢能的計(jì)算,只不過需要將彈性勢能的計(jì)算中的剛度系數(shù)換成阻尼系數(shù),廣義位移換成廣義速度耗散函數(shù):勢能:利用Lagrange方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程8.耗散函數(shù)的計(jì)算耗散函數(shù)：試列出如下系統(tǒng)的耗散函數(shù)：彈性勢能：利用Lagrange方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程返回【例1】

建立圖示系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程解:

取為廣義坐標(biāo)，則該系統(tǒng)的動(dòng)、勢能分別為：課堂練習(xí)非保守外力在虛位移上所做虛功之和課堂練習(xí)【例2】

建立圖示系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程取小車的絕對位移