第7章銳角三角函數(shù)綜合提優(yōu)專題復習講義蘇科版九年級數(shù)學下冊

銳角三角函數(shù)綜合提優(yōu)專題復習【夯實基礎】銳角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,都叫做角A的銳角三角函數(shù)。正弦（sin）等于對邊比斜邊，余弦（cos）等于鄰邊比斜邊正切（tan）等于對邊比鄰邊.銳角三角函數(shù)的增減性，當角度在0°～90°間變化時，正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅┱兄惦S著角度的增大（或減小）而增大（或減?。┨厥饨堑娜呛瘮?shù)值的計算三角函數(shù)有關公式tanA=sinAcosAsin2A+cossin(90°α)=cosα,cos(90°α)=sinα,拓展：利用等腰三角形頂角構造半角三角函數(shù)：構造二倍角三角函數(shù)：tana＝eq\f(a,b)taneq\f(a,2)＝eq\f(a,b＋\r(,a2＋b2))本專題一共3種綜合壓軸題型，分別是三角函數(shù)與函數(shù)綜合，三角函數(shù)與各類模型綜合，三角函數(shù)與圓綜合,適合基礎好的學生使用。其中三角函數(shù)與各類模型綜合，各類模型包括：手拉手模型，主從聯(lián)動模型，等積模型，面積之比轉(zhuǎn)化為線段之比模型，費馬點模型，角平分線全等模型，K型相似模型，隱圓模型三角函數(shù)與函數(shù)綜合1．（21·22上·蘇州·期中）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過，兩點，與x軸交于另一點B，點D為該拋物線的頂點．(1)頂點D的坐標為；(2)將該拋物線向下平移單位長度，再向左平移m（m＞0）個單位長度，得到新拋物線．若新拋物線的頂點在內(nèi)，求m的取值范圍；(3)若點P、點為該拋物線上兩點，連接，且，求點P的坐標．2．（22·23上·蘇州·階段練習）平面直角坐標系中，已知A的坐標為，B在y軸正半軸上，且，將線段繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)45°，交y軸于點C．(1)求直線的解析式；(2)點D是直線上的一點，且滿足，求點D坐標．3．（21·22下·蘇州·中考真題）如圖，在二次函數(shù)（m是常數(shù)，且）的圖像與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，頂點為D．其對稱軸與線段BC交于點E，與x軸交于點F．連接AC，BD．(1)求A，B，C三點的坐標（用數(shù)字或含m的式子表示），并求的度數(shù)；(2)若，求m的值；(3)若在第四象限內(nèi)二次函數(shù)（m是常數(shù)，且）的圖像上，始終存在一點P，使得，請結合函數(shù)的圖像，直接寫出m的取值范圍．4．（22·23下·蘇州·期末）如圖由平面直角坐標系第一象限內(nèi)一點向坐標軸分別作平行線得到矩形，在矩形邊上取一點，作經(jīng)過點的雙曲線交邊于點，連接、．(1)______；(2)求證：；(3)若將點關于作對稱點，且點正好落在軸上，連接并延長交軸于點，求的面積（請用只含字母的代數(shù)式表示）．5．（22·23下·蘇州·一模）如圖1，拋物線經(jīng)過，且與x軸正半軸交于點B，與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點，連接，直線l過點B、C．(1)填空：；直線l的函數(shù)表達式為：．(2)已知直線平行于y軸，交拋物線及x軸于點P、G．當時（如圖2），直線與線段分別相交于E、F兩點，試證明線段總能組成等腰三角形．(3)在（2）的條件下，如果此等腰三角形的頂角是的2倍，請求出此時t的值．三角函數(shù)與圓綜合1．（22·23·蘇州·中考真題）如圖，是半圓的直徑，點在半圓上，，連接，過點作，交的延長線于點．設的面積為的面積為，若，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2022上·蘇州·期末）如圖，以面積為20cm2的Rt△ABC的斜邊AB為直徑作⊙O，∠ACB的平分線交⊙O于點D，若，則AC＋BC＝．3．（21·22·寧波·階段練習）如圖，已知內(nèi)接于，是該圓的直徑，是上的點，線段與交于點，若，，，．(1)試用含的代數(shù)式表示；(2)若，求的值；(3)若，求．4．（22·23上·蘇州·階段練習）如圖，已知，為內(nèi)的一條射線，A是射線上一點，．動點P從點A出發(fā)沿水平向左運動，動點Q從點O出發(fā)，沿豎直向上運動，且始終保持．連接，交于點B．經(jīng)過O、P、Q三點作圓，交射線于點C，連接．設（其中）．(1)如圖1，若，且，求的長；(2)如圖2，若為的角平分線．在點P、Q運動過程中，的值是否為定值，若是，請說明理由；若不是，請用含x的代數(shù)式表示．5．（22·23下·蘇州·二模）如圖，是的兩條直徑，，點E是上一點，連接，，分別交于點F，G，連接．(1)若，求的度數(shù)；(2)求證：；(3)設，的面積為，的面積為，且，求的值．6．（22·23下·蘇州·一模）如圖，點在的邊上，與相切于點，與相交于點，經(jīng)過上的點，且．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑長；(3)在（2）的條件下，延長交于點，連接，求的值．7．（22·23下·烏魯木齊·一模）如圖，已知O是邊上的一點，以O為圓心、為半徑的與邊相切于點D，且，連接，交于點E，連接并延長，交于點F．(1)求證：是切線；(2)求證：；(3)若，F(xiàn)是中點，求的長．8．（22·23下·蘇州·階段練習）如圖，銳角內(nèi)接于，射線經(jīng)過圓心并交于點，連結，，與的延長線交于點，平分．(1)求證：．(2)若，求的余弦值．(3)若，的半徑為，求的長．9．（21·22下·蘇州·一模）定義：有兩個內(nèi)角分別是它們對角的一半的四邊形叫做半對角四邊形．(1)如圖1，在半對角四邊形ABCD中，，則________°﹔(2)如圖2，銳角內(nèi)接于，若邊AB上存在一點D，使得，在OA上取點E，使得，連接DE并延長交AC于點F，．求證：四邊形BCFD是半對角四邊形；(3)如圖3，在（2）的條件下，過點D作于點H，交BC于點G，．①連接OC，若將扇形OBC圍成一個圓錐的側面，則該圓錐的底面半徑為_________；②求的面積．三角函數(shù)與各類模型綜合1．（21·22下·蘇州·二模）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝60，∠B＝∠D＝90，AB＝AD，點E、F分別是AB，AD邊上的中點，則sin∠ECF＝（

）A． B． C． D．2．（21·22下·蘇州·三模）如圖，在△ABC中，DC平分∠ACB，BD⊥CD于點D，∠ABD＝∠A，若BD＝1，AC＝7，則tan∠CBD的值為（）A．5 B． C．3 D．3．（2020·蘇州·二模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC=5cm，點D為△ABC內(nèi)一點，∠BAD＝15°，AD=3cm，連接BD，將△ABD繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使AB與AC重合，點D的對應點E，連接DE，交AC于點F，則CF的長為（

）cm．A． B．4﹣ C．5﹣ D．6﹣4．（22·23·蘇州·二模）如圖，在正方形中，點E，F(xiàn)分別在，上，且，分別交，于點M，N．設和的面積分別為和，若，則的值為．5．（22·23下·蘇州·二模）如圖，在中，．如果在三角形內(nèi)部有一條動線段，且，則的最小值為．6．（22·23下·宿遷·一模）如圖，正方形的邊長為8，線段繞著點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，且，連接，以為邊作正方形，為邊上的點，且，當線段的長最小時，．7．（21·22下·蘇州·一模）如圖，將繞斜邊的中點旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，已知，，則．8．（22·23·武漢·中考真題）問題提出：如圖（1），是菱形邊上一點，是等腰三角形，，交于點，探究與的數(shù)量關系．問題探究：(1)先將問題特殊化，如圖（2），當時，直接寫出的大?。?2)再探究一般情形，如圖（1），求與的數(shù)量關系．問題拓展：(3)將圖（1）特殊化，如圖（3），當時，若，求的值．9．（22·23下·蘇州·一模）如圖，是邊長為的等邊三角形，是上一動點，連接，以為邊向的右側作等邊，連接.(1)【嘗試初探】如圖1，當點在線段上運動時，與相交于點，在運動過程中發(fā)現(xiàn)有兩個三角形始終保持全等，請你找出這對全等三角形，并說明理由.(2)【深入探究】如圖2，當點在線段上運動時，延長ED，交CB的延長線于點H，隨著D點位置的變化，H點的位置隨之發(fā)生變化，當時，求的值.(3)【拓展延伸】如圖3，當點在的延長線上運動時，、相交于點，設的面積為，的面積為，當時，求的長.10．（22·23下·蘇州·一模）如圖①，在四邊形中，，，，，．點P在上，連接、、．(1)求的長；(2)探索：是否存在這樣的點P，使得平分、平分同時成立？若存在，求出的長；若不存在，說明理由；(3)如圖②，與相交于點E，過點P作，與相交于點F．設、的面積分別為．若，求的長．11．（21·22下·蘇州·中考真題）（1）如圖1，在△ABC中，，CD平分，交AB于點D，//，交BC于點E．①若，，求BC的長；②試探究是否為定值．如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．（2）如圖2，和是△ABC的2個外角，，CD平分，交AB的延長線于點D，//，交CB的延長線于點E．記△ACD的面積為，△CDE的面積為，△BDE的面積為．若，求的值．12．（22·23上·蘇州·期中）如圖，直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，BC＝3．(1)若AD＝1，AB＝m，在AB邊上存在唯一的P點使得∠DPC＝90°．①求m的值；②PC的垂直平分線交CD于Q點，求DQ的長；(2)延長BA、CD交于點E，點F在BE上，且∠BCF＝∠E，若tan∠ECF＝，求BF的長．13．（21·22·蘇州·一模）【理解概念】定義：如果三角形有兩個內(nèi)角的差為，那么這樣的三角形叫做“準直角三角形”．(1)已知△ABC是“準直角三角形”，且．①若，則______；②若，則______；【鞏固新知】(2)如圖①，在中，，點D在邊上，若是“準直角三角形”，求的長；【解決問題】(3)如圖②，在四邊形中，，且是“準直角三角形”，求的面積．14．（21·22下·蘇州·期中）如圖，四邊形是矩形，點P是對角線AC上一動點（不與A、C重合），連接，過點P作，交于點E，已知，．設的長為x．(1)___________；當時，求的值；(2)試探究：是否是定值?若是，請求出這個值；若不是，請說明理由；(3)當是等腰三角形時，請求出的值．15．（22·23上·蘇州·期中）（1）如圖1，在中，，平分，交于點D，，交于點E．①若，，求的長；②試探究是否為定值．如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．（2）如圖2，和是的2個外角，，平分，交的延長線于點D，，交的延長線于點E．記的面積為，的面積為，的面積為S3．若，求的值．16．（21·22下·蘇州·二模）【性質(zhì)探究】如圖，在矩形中，對角線，相交于點，平分，交于點．作于點，分別交，于點，．(1)的形狀是______．若，求的長．（用含的代數(shù)式表示）(2)【遷移應用】記的面積為，的面積為，當時，求的值．(3)【拓展延伸】若交射線于點，【性質(zhì)探究】中的其余條件不變，連結，當?shù)拿娣e為矩形面積的時，求的值．17．（21·22下·蘇州·一模）如圖1是一種利用鏡面反射，放大微小變化的裝置．木條BC上的點P處安裝一平面鏡，BC與刻度尺邊MN的交點為D，從A點發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡P反射后，在MN上形成一個光點E．已知AB⊥BC，MN⊥BC，AB＝6.5，BP＝4，PD＝8．(1)求ED的長．(2)將木條BC繞點B在平行于紙面的平面內(nèi)順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到（如圖2），點P的對應點為，與MN的交點為D’，從A點發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡反射后，在MN上的光點為．若，求的長．18．（2022上·蘇州·期末）如圖，在矩形OABC中，頂點A在x軸上，頂點C在y軸上，頂點B的坐標為（8，4），∠EAF＝90°，且∠EAF的一邊與線段OC交于點E，∠EAF的另一邊與線段CB的延長線交于點F，連接EF，作AG⊥EF，垂足為G（m，n），連接OG．(1)當點E由點O移動到點C時，點F運動的路程為；(2)求n與m的函數(shù)表達式，并說明點B在直線OG上；(3)當△AOE與△GOE的面積之差為時，求線段OE的長度．19．（21·22下·蘇州·模擬預測）【發(fā)現(xiàn)】如圖①，已知等邊，將直角三角板的角頂點任意放在邊上（點不與點、重合），使兩邊分別交線段、于點、．(1)若，，，則_________；(2)求證：．(3)【思考】若將圖①中的三角板的頂點在邊上移動，保持三角板與邊、的兩個交點、都存在，連接，如圖②所示，問：點是否存在某一位置，使平分且平分？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．(4)【探索】如圖③，在等腰中，，點為邊的中點，將三角形透明紙板的一個頂點放在點處（其中），使兩條邊分別交邊、于點、（點、均不與的頂點重合），連接．設，則與的周長之比為_________（用含的表達式表示）．20．（21·22·無錫·一模）【學習概念】有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形，連接這兩個角的頂點的線段稱為對余線．【理解運用】(1)如圖1，對余四邊形中，AB=5，BC=6，CD=4，連接AC，若AC=AB，則cos∠ABC=___________，sin∠CAD=__________．(2)如圖2，凸四邊形中，AD=BD，AD⊥BD，當2CD2+CB2=CA2時，判斷四邊形ABCD是否為對余四邊形，證明你的結論．【拓展提升】(3)在平面直角坐標中，A（－1，0），B（3，0），C（1，2），四邊形ABCD是對余四邊形，點E在對余線BD上，且位于△ABC內(nèi)部，∠AEC=90°+∠ABC．設=u，點D的縱坐標為t，請在下方橫線上直接寫出u與t的函數(shù)表達，并注明t的取值范圍____________________________．參考答案1．（1）解：將點，代入可得，解得即頂點D的坐標為；（2）解方程可得，或則將該拋物線向下平移單位長度，再向左平移m（m＞0）個單位長度，得到新拋物線則新拋物線解析式為：則設直線的解析式為：則，解得，即同理可得：直線的解析式為：將代入直線的解析式和直線的解析式可得：，由題意可得：，解得；（3）點在拋物線上，則解得，或當時，，此時點與點重合，取點，則，則，連接，交拋物線于點，設解析式為，則，解得即聯(lián)立直線和拋物線可得：，解得或（舍去）即同理可取，連接，交拋物線與點，可求得解析式為：聯(lián)立直線和拋物線，可求得或（舍去）即當時，，作，則，由勾股定理可得：設線段上存在點，使得，作，則，設則，∴，即∴，可求得解析式為：聯(lián)立直線和拋物線可得：，解得或（舍去）即綜上，符合題意的點的坐標為：或或2.（1）解：如圖：過點B作，∵A的坐標為，，∴，，在中，根據(jù)勾股定理得：，∵，，∴，在中，由勾股定理得：，解得：，∵，∴，設，則，∴，即，，解得：，∴．設直線的函數(shù)表達式為，將點，代入得，，解得：，、∴直線的函數(shù)表達式為．（2）設點D的坐標為：，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，即，整理得：，兩邊同時平方：，解得：，，當時，，當時，，∴點D的坐標為：或．3．（1）當時，．解方程，得，．∵點A在點B的左側，且，∴，．當時，．∴．∴．∵，∴．（2）方法一：如圖1，連接AE．∵，∴，．∴，，．∵點A，點B關于對稱軸對稱，∴．∴．∴．∵，，∴，即．∵，∴．∴．∵，∴解方程，得．方法二：如圖2，過點D作交BC于點H．由方法一，得，．∴．∵，∴，．∴．∵，，∴．∴．∴，即．∵，∴解方程，得．（3）．設PC與x軸交于點Q，當P在第四象限時，點Q總在點B的左側，此時，即．∵，∴．，，∴．解得，又，∴．4.（1）解：∵且四邊形為矩形，，，；（2）解：由圖知：，，代入，得，，，，；，，，，∵，∴，∴，；（3）解：如圖：連接、，則于對稱，垂直平分，，，；；，，∴，，，，；∵，∴，，又中，，，解得：，代入，解得，∴．5（1）解：∵拋物線經(jīng)過點，∴，解得：；∴拋物線解析式為：，令，得：，即點C的坐標為；∵點，對稱軸為直線，∴，∴點B的坐標為，設直線的解析式為：,∴，解得：，∴直線的解析式為：，即直線l的解析式為．故答案為，．（2）解：設直線的解析式為,∴，解得：，∴直線的解析式為：；∴點，點，點，∴，∴．，∴，∴當時，線段總能組成等腰三角形．（3）解：∵，C∴∴如圖：線段組成等腰三角形,與（2）中的相等，H為邊上的高由（2）可得：，∴∵等腰三角形的頂角是的2倍∴∴，∴,即，解得：．三角函數(shù)與圓1．解：如圖，過作于，∵，∴，∵，即，∴，∵，∴，∴，即，設，則，∴，∴，∴，∵，∴，∴；故選A2.解：如圖，連接，延長交于點，連接，都是的直徑，，，，在中，，，平分，且，，，，，如圖，作，交于點，，在中，，，設，則，，，解得或（不符題意，舍去），則，故答案為：．3．（1）解：如圖1，連接，，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．（3）解：如圖2，在線段上取一點G，使得，∵，∴，∵，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．4.（1）解：過點Q作于點D，∵，∴，設，∵，∴，即：，解得：，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴．（2）過點Q作于點D，過點B作于點E，∵為的角平分線，∴，∵，∴，，，∵，∴，∴，即，解得：，∴．設，∵，∴，∴，即，整理得：，∴，∴．5.（1）解：由題意知，，∵，∴，∵，∴，∴，∴的度數(shù)為；（2）證明：由題意知，，，∵，∴，又∵，∴，∴，∴；（3）解：由題意知，，，由（2）知，∴，∴，∴，∵，，，∴，即，解得，∵，∴，∴，∴的值為．6.（1）解：如圖：連接交于，∵點在的邊上，即是的直徑，∴，∵，∴，∵，∴是的垂直平分線，，∴，∴，∵與相切于點∴∴∴是的切線．（2）解：∵，，∴,設的半徑為，，則∵∴,即，解得：∴的半徑長為3．（3）解：如圖：設交于，連接，過M作∵∴∴∵,∴∴∴，即，解得：,∴∵∴∵是的直徑∴，即∵∴∴∴∴．7.（1）證明：如圖，連接，∵與圓O相切與點D，∴，即，∵，，∴，∴，即，∴是圓O的切線；（2）證明：，．，．又，，，；（3）解：∵，∴，設，則．∵，∴，解得：（舍去負值），∴，．∵，∴，設，則，，∴，∴，解得：，∴，即半徑為．∵F是中點，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴，即，解得：，∴．8.（1）解：∵在半對角四邊形ABCD中，，∴∠D=2∠B，∠A=2∠C，∵∠A+∠B+∠C+D=360°，∴3∠B+3∠C=360°，∴∠B+∠C=120°，故答案為：120°；（2）證明：∵在△BDE和△BOE中，∴△BDE≌△BOE（SSS）∴∠BDE=∠BOE，又∠ACB=∠BOA，∴∠ACB=∠BDE，連接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，設∠OAC=∠OCA=x，∵=∠EAF+∠AFE，∴∠AFE=2x，則∠DFC=180°2x，∵∠AOC=180°2x=2∠ABC∴∠DFC=2∠ABC，即∠ABC=∠DFC，∴四邊形BCFD是半對角四邊形；（3）解：①BO=BD=r，∵DH⊥OB，OH=2，∴在Rt△BHD中，DH=6，BH=r2，∴r2=62+（r2）2，解得：r=10，∴弧BC的長為=，則該圓錐的底面半徑為，故答案為：；②∵四邊形BCFD是半對角四邊形，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=180°120°=60°，∴∠BOC=2∠BAC=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=30°，過O作OM⊥BC于M，則BC=2BM=2OB·cos30°=OB=BD，∵BD=OB=10∴BH=102=8，又DH⊥OB，∠OBC=30°，∴HG=BH·tan30°=，∠BGD=60°，∴∠BGD=∠BAC=60°，又∠GBD=∠ABC，∴BDG∽△BCA，∴=，∴=3=3××（6+）×8=．三角函數(shù)與幾何綜合1.如圖，連接AC，EF，過點E作EN⊥CF于點N，∵在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（HL），∴，，又∵，∴，∵E、F分別是AB、AD的中點，∴，∵在△BEC和△DFC中，，∴△BEC≌△DFC（SAS），∴，設，，∵，，∴，∵在Rt△BEC中，由勾股定理可得，∴，∴，∵，，∴，設，則，∵在Rt△CEN和Rt△FEN中，由勾股定理可得，，∴，∴，解得，則，∵，∴，∴，故選：D．2.解：延長BD交AC于點E，如圖，∵DC平分，于點D，∴，在和中，，∴，∴BD=ED=1，∵，∴AE=BE=2，∵AC=7∴CE=ACAE=5，∴，∴．故選：B．3.∵△ABD繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使AB與AC重合，點D的對應點E，∴AD=AE=3，∠DAE=90°，∠AED=45°，∠FAE=15°，DE=∴∠AFG=∠AED+∠FAE=60°，過點A作AG⊥DE，垂足為G，∴AG=DG=GE=，∴AF=÷sin60°=，∴CF=ACAF=5﹣，故選C．4.解：如圖，過點作于，四邊形為正方形，，，，，，，，，，，，，，，，∴，設，，則，，，，，，，，整理得：，解得：，（舍去），．故答案為：．5.解：在上取一點，使得，連接，如圖所示：，，四邊形是平行四邊形，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，過點作交的延長線于，如圖所示：，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，的最小值為，故答案為：．6.連接，∵正方形的邊長為8，正方形，∴，，，∴，，∴，∴，，∴，∴，∴點F在以點D為圓心，以為半徑的圓上，∴當點M、F、D三點一線時，的長最小，過點M作，∵，正方形的邊長為8，∴，，∴，，∴．故答案為：．7.解：如圖，連接，，作于，于．由題意：，，，，，共圓，，，，，，∵，，，，，，∵△ABC繞點O旋轉(zhuǎn)到△FEH，∴AE=CB，F(xiàn)E=AB=，∴，∴∠BAC=∠ACE，∴，∴于，于．∴∠DMC=∠DHC=∠HCM=90°，∴四邊形是矩形，，∵OE=,，故答案為．8．（1）延長過點F作，∵，，∴，在和中∴，∴，，∴，∴，∴．故答案為：．（2）解：在上截取，使，連接．，，．，．．，．．（3）解：過點作的垂線交的延長線于點，設菱形的邊長為，．在中，，．，由（2）知，．．，，，在上截取，使，連接，作于點O．由（2）知，，∴，∵，∴，．∵，∴，∴．．9.（1）如圖1，，理由如下：∵與都是等邊三角形，∴，∴，即，∴；（2）如圖2，過點作于點，∵是邊長為3的等邊三角形，，∴，∵，∴，，由（1）得，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，

∴，∴；（3）如圖3，過點作于點，∵與都是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，

又∵，∴，∴，∵，∴，設，則，∵是邊長為3的等邊三角形，∴，，∴，

∵，∴，即，解得，∵點在的延長線上，∴，∴，∴，即∵，∴．10.（1）解：如圖1，過D作于M，則四邊形是矩形，∴，（矩形性質(zhì)），∴，在中，由勾股定理得，∴，∴的長為4；（2）解：不存在，理由如下：如圖2，過P作交于G，交于H，∴，∴，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），（兩直線平行，同位角相等），∵平分，∴（角平分線的性質(zhì)），∴，∴（等角對等邊），在中，，由勾股定理得，∴，∴，∴，∴，∴，設，則，，∵，，∴，∴，即，解得，∴，∵，∴，∴，即，解得，∴，若平分，則，即，∵，與矛盾，∴不存在這樣的點P，使得平分、平分同時成立；（3）解：令中邊上的高為，中邊上的高為，∵，∴，，∴，設，則，∴PE=kCE，h1=kh2，∴，，∵，即，整理得，則，解得，（舍去），∴，如圖3，過E作交于Q，∴，∴，∴，即，∴，，∵，∴，∴，即，解得，∴，∴，∴的長為．11.（1）①∵CD平分，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．∴．②∵，∴．由①可得，∴．∴．∴是定值，定值為1．（2）∵，∴．∵，∴．又∵，∴．設，則．∵CD平分，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．如圖，過點D作于H．∵，∴．∴．12．（1）①如圖1中，∵在邊上存在唯一的點使得，∴以為直徑的與相切于點，連接．∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∴∵，，∴，過點作于點，則四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∴②由①可知，∴的垂直平分線與的交點與重合，∴；（2）如圖2中，延長到，使得，連接，，延長交于點．∵，，∴，，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，設，，則，在中，，∴，∴，∴．13．（1）①當時，則，∴（不合題意舍去），當，則，∵，∴，∴，綜上所述：，故答案為：15；②當時，則，∴，當，則，∵，∴，∴，綜上所述：或，故答案為：10或25；（2）當時，如圖①，過點D作于H，在中，，∴，∵，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，當時，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，綜上所述：或；（3）如圖②，過點C作于F，，交的延長線于E，設，∵，∴，又∵，∴，又∵，在和中，，∴，∴，當時，又∵，∴，由（2）可知：，設，則，∴，∴，∴，當，又∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，綜上所述：的面積為48或24．14．（1）解：作于交于．四邊形是矩形，，，，．在中，，，，，，，，，，，，，故答案為4，．（2）結論：的值為定值．理由：由，可得．，，，，；（3）連接交于．，所以只能，，，，，垂直平分線段，在中，，，，，．綜上所述，的值為．15.解：（1）①∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB，∵∠ACB＝2∠B，∴∠ACD＝∠DCB＝∠B，∴CD＝BD＝3，∵DE∥AC，∴∠ACD＝∠EDC，∴∠EDC＝∠DCB＝∠B，∴CE＝DE＝2，∴△CED∽△CDB，∴＝，∴＝，∴BC＝；②﹣是定值．∵DE∥AC，∴＝，同①可得，CE＝DE，∴＝，∴﹣＝﹣＝＝1，∴﹣是定值，定值為1；（2）如圖，過點D作DM⊥CB于點M，DN⊥CF于點N．∵CD平分∠BCE，∴DM＝DN，∵∠ECB＝2∠CBD，∠ECD＝∠BCD，∴DB＝DC，∵DE∥BC，∴∠BCD＝∠EDC＝∠ECD，∴EC＝ED，∴＝，∵＝＝＝＝，∴＝＝又∵S1?（S2﹣S3）＝S22，∴＝，設AC＝16k，則AE＝25k，∴CE＝DE＝9k，∵BC∥DE，∴＝，∴＝，∴BC＝k，∵∠DCB＝∠ECD＝∠DBC＝∠EDC，∴△CDB∽△CED，∴＝，∴CD2＝CB?CE＝（k）2，∴CD＝k，∵DM⊥CB，DC＝DB，∴CM＝BM＝k，∴cos∠CBD＝＝＝．16．（1）解：∵AE平分，∴∠CAE=∠BAE，∵，∴∠AHG=∠AHF=90°，∵AH=AH，∴△AHG≌△AHF(ASA),∴AG=AF，∴△AGF是等腰三角形；過點O作OM∥AB，交DF于M，∴△DOM∽△DBF，∴，∵OM∥AB，∴∠OMG=∠AFG，∴∠OMG=∠OGM，∴OM=OG=a，∴BF=2OM=2a；故答案為：等腰三角形；（2）過點D作DK⊥AC于點K，則∠DKA=∠CDA=90°，∵∠DAK=∠CAD，∴△ADK∽△ACD，∴，∵，又∵BF=2OM=2OG，,∴，令CD=3x，AC=5x，則AD=4x，∴；（3）設OG=a，AG=k，①如圖，當點F在線段AB上時，點G在線段OA上，∵AF=AG，BF=2OG，∴AF=AG=k，BF=2a，∴AB=k+2a，AC=2(k+a)，AD2=[2(k+a)]2(k+2a)2，∴AD2=3k2+4ka，由∠ABE=∠DAF=90°，∠BAE=∠ADF，得△ABE∽△DAF，∴，∴，

∴，根據(jù)題意得，，∴AD2=10ka，即10ka=3k2+4ka，∴k=2a，∴AD=2a，∴，∴；②如圖，當點F在線段AB的延長線上時，點G在線段OC上，∵AF=AG，BF=2OG，∴AF=AG=k，BF=2a，∴AB=k2a，AC=2(ka)，∴AD2=[2(ka)]2(k2a)2，∴AD2=3k24ka，由∠BAE=∠ADF，∠ABE=∠FAD，得△ABE∽△DAF，∴，∴，∴，根據(jù)題意得，，∴AD2=10ka，即10ka=3k24ka，∴k=，∴a，∴tan∠BAE=，綜上可知，tan∠BAE的值為或．17．（1）解：如圖1，由題意可得，，，∴，∴．∵，，，∴，∴；（2）解：如圖2，過點作，過點作于點G，∴，．∵，∴，∴．∵，∴．又，∴，∴，即，設，則，∴，在中，，，，由勾股定理可得，，∴，在中，，∴，∴．∵，∴，解得，∴，∴．18．（1）解：當點E運動到C時，在矩形OABC中，B的坐標為（8，4），∴CB=OA=8，OC=AB=4，∠OAB=90°，∵∠EAF=90°，∴∠OAE+∠EAB=∠EAB+∠BAF=90°，∴∠OAE=∠BAF，∵∠EOA=∠FBA=90°，∴△COA∽△FBA，∴即，解得，∴點F運動的路程為2，故答案為：2；（2）解：過點G作GH⊥y軸于H，GJ⊥x軸于J，連結OB，∵四邊形ABCO為矩形，∴CB=OA=8，OC=AB=4，∠OAB=∠ABC=∠COA=90°，∴∠FBA=180°∠ABC=90°，∵∠EAF=90°，∴∠OAE+∠EAB=∠EAB+∠BAF=90°，∴∠OAE=∠BAF，∵∠ABF=∠AOE=90°，∴△BAF∽△OAE，∴，∵AG⊥EF，∴∠EGA=90°，∴tan∠FEA=，∵GH⊥y軸，GJ⊥x軸，x軸⊥y軸，∴四邊形OJGH為矩形，∴∠HGJ=90°∴∠HE+∠EGJ=∠EGJ+∠JGA=90°，∴∠HE=∠JGA，∵∠GHE=∠GJA=90°，∴△HGJ∽△EGA，∴即，∴即，設OG解析式為y=kx，點G（m，n），∴，∵，∴，∴OG解析式為，∴當x=8時，，∴點B在直線OG上；（3）解：作GH⊥y軸于H，設OE=s，點G（m，），∴HG=m，EH=，EC=，由（2）知△BAF∽△OAE，∴，∴，∵BC⊥y軸，GH⊥y軸GH⊥y軸，∴GH∥CF，∴∠EHG=∠ECF，∠EGH=∠EFC，∴△EHG∽△ECF，∴即，整理得，∵，,△AOE與△GOE的面積之差為，∴，∴，把①代入②得，整理得，解得或，∴線段OE的長度為1或3．．（1）證明：四邊形為的內(nèi)接四邊形，，，，，平分，，，；（2）解：由題意可得，是的直徑，，，又，垂直平分線段，，，，又平分，，，，，即的余弦值為；（3）解：由題意可得，是的直徑，，，又的半徑為，，，，由（1）可知，，，，，，，，的長為6．【點睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識，熟練掌握各性質(zhì)是解題的關鍵．33．(1)6(2)見詳解(3)存在，當是的中點時，使得平分且平分，此時(4)與之比為【分析】（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出，AB=BC=8，∠B=∠C=60°，根據(jù)AE=6，，可求BE=ABAE=2，CD=BCBD=6，可證△BDE與△DCF為等邊三角形即可；（2）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出，∠B=∠C=60°，證明∠BED=∠CDF即可；（3）存在，當是的中點時，使得平分且平分，此時；過點作于點，于點，于點，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出，然后證明即可；（4）；如圖③，連接，作于點，于點，于點，先證，再證，，，然后證明，得出，將三角形周長用等線段轉(zhuǎn)化得出，即可．【詳解】（1）解：∵△ABC為等邊三角形，∴AB=BC=8，∠B=∠