1.4.2 用空間向量研究距離、夾角問題(2) -A基礎(chǔ)練（解析版）

1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題(2)-A基礎(chǔ)練一、選擇題1.若平面α的一個法向量為n1=(1,0,1),平面β的一個法向量是n2=(-3,1,3),則平面α與β所成的角等于()A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】D【解析】因為n1·n2=(1,0,1)·(-3,1,3)=0,所以α⊥β,即平面α與β所成的角等于90°.2.已知A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),則直線AB和直線CD所成角的余弦值為()A.52266 B.-52266C.5【答案】A【解析】AB=(2,-2,-1),CD=(-2,-3,-3),而cosAB,CD=AB·CD|AB||3.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AA1=3,AB=AC=BC=2,則AA1與平面AB1C1所成角的大小為()A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】A【解析】取AB的中點D,連接CD,分別以DA,DC,DE所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,可得A(1,0,0),A1(1,0,3),故AA1=(0,0,3),而B1(-1,0,3),C1(0,3,3),設(shè)平面AB1C1的法向量為m=(a,b,根據(jù)m·AB1=0,m·AC1=0,解得m=(3,-3,2),cos<m,AA1>=m·AA14．（2020·浙江省高二期末）在底面為銳角三角形的直三棱柱中，是棱的中點，記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題可知，直三棱柱的底面為銳角三角形，是棱的中點，設(shè)三棱柱是棱長為的正三棱柱，以為原點，在平面中，過作的垂線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，直線與直線所成的角為，，，直線與平面所成的角為，，平面的法向量，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，二面角的平面角為，由圖可知，為銳角，即，，，由于在區(qū)間上單調(diào)遞減，，則.故選：A.5．（多選題）（2020江西宜春二中高二月考）正三棱柱中，，則（）A．與底面的成角的正弦值為B．與底面的成角的正弦值為C．與側(cè)面的成角的正弦值為D．與側(cè)面的成角的正弦值為【答案】BC【解析】如圖，取中點，中點，并連接，則，，三條直線兩兩垂直，則分別以這三條直線為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標系；設(shè)；則；，，，，1，，，，，，1，；，0，，．底面的其中一個法向量為：，與底面的成角的正弦值為，；錯對．的中點的坐標為，，；側(cè)面的其中一個法向量為：；與側(cè)面的成角的正弦值為：，；故對錯；故選：．6．（多選題）（2020·江蘇鎮(zhèn)江二中高二期末）如圖，已知四棱錐中，平面，底面為矩形，，.若在直線上存在兩個不同點，使得直線與平面所成角都為.則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】假設(shè)在直線BC上有一點Q，使得直線PQ與平面ABCD所成角為，此時，易得，在中，由于，可得.所以，在直線BC上存在兩個不同點Q，使得直線PQ與平面ABCD所成角都為，等價于在直線BC上有兩個點到點A的距離為，由此可得.故選：ABC二、填空題7．（2020全國高二課時練）在直三棱柱中,若，則異面直線與所成的角等于_________.【答案】【解析】三棱柱為直三棱柱,且以點為坐標原點，分別以，，為軸建立空間直角坐標系設(shè)，則,,,，，又異面直線所成的角在異面直線與所成的角等于．8.已知正方形ABCD所在平面外一點P,PA⊥平面ABCD,若PA=PB,則平面PAB與平面PCD的夾角為_________.【答案】【解析】如圖所示,建立空間直角坐標系.設(shè)PA=AB=1,則A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),∴AD=(0,1,0).取PD的中點E,則E0,12,12,∴AE=0,12,12,易知AD是平面PAB的一個法向量,9．（2020·浙江省紹興市陽明中學(xué)高二期中）如圖，在底面邊長均為2，高為1的長方體中，E、F分別為、的中點，則異面直線、所成角的大小為_______；平面與平面所成銳二面角的余弦值為__________.【答案】；【解析】以D為原點建立如圖所示空間之間坐標系：則，所以，設(shè)異面直線、所成角的大小為，所以，因為，所以.又，設(shè)平面的一個法向量為：，則，即，令，則，平面一個法向量為：，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，所以.故答案為：①；②10．（2020河北正定三中學(xué)校高二月考（理））設(shè)動點在棱長為1的正方體的對角線上，記.當為銳角時，的取值范圍是__________．【答案】【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，則，由得，則，因為為銳角，所以，解得或，又因為動點在棱長為1的正方體的對角線上，所以的取值范圍為.三、解答題11.如圖所示,四邊形ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.(1)求SC與平面ASD所成角的余弦值;(2)求平面SAB和平面SCD夾角的余弦值.【解析】(1)建立如圖所示的空間直角坐標系,S(0,0,2),C(2,2,0),D(1,0,0),SC=(2,2,-2),∵AB⊥平面SAD,故平面ASD的一個法向量為AB=(0,2,0),設(shè)SC與平面ASD所成的角為θ,則sinθ=|cos<SC,AB>|=|SC·AB||SC||AB(2)平面SAB的一個法向量為m=(1,0,0),∵SC=(2,2,-2),SD=(1,0,-2),設(shè)平面SCD的一個法向量為n=(x,y,z),由SC·n=0,SD·n=0?x+y-z=0,x-2z=0,令z=12.（2020四川南充一中高二月考）如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PBC⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四邊形,且∠BCD=π4,PD⊥(1)求證:PC=PD;(2)若底面ABCD是菱形,PA與平面ABCD所成的角為π6,求平面PAD與平面PBC夾角的余弦值【解析】(1)如圖①,過P作PE⊥BC,垂足為E,連接DE.圖①因為平面PBC⊥平面ABCD,所以PE⊥平面ABCD.因為PD⊥BC,所以BC⊥平面PDE,所以DE⊥BC.因為∠BCD=π4,所以DE=CE.在△PED和△PECPE=PE,∠PED=∠PEC=90°,DE=CE,所以△PED≌△PEC,所以PD=PC.(2)因為BC⊥平面PDE,PE⊥平面ABCD,所以∠PAE是直線PA與平面ABCD所成的角,即∠PAE=π6,且DE⊥BC,DE⊥設(shè)PE=a,則AE=3a,PA=2a.在△DEC中,設(shè)DE=m,則EC=m,DC=2m,所以在Rt△EDA中,(3a)2=m2+(2m)2,所以m=a.以E為坐標原點,ED,EB,EP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖②所示的空間直角坐標系,圖②則D(a,0,0),A(a,