沈恒范-第四版-概率論與數(shù)理統(tǒng)計教材第3章習(xí)題

1解設(shè)隨機變量X表示在取得合格品之前已取得的廢品數(shù),則3.2

一批零件有9個合格品與3個廢品，安裝機器時從中任取一個。如果取出的廢品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)的數(shù)學(xué)期望、方差與標準差?！捕匙鳂I(yè)題略解2所以X的概率分布列為3的次品率為p，求每批產(chǎn)品抽查樣品的平均數(shù)。都是合格，則也停止檢查而認為這批產(chǎn)品合格。設(shè)這批產(chǎn)品立即停止檢查而認為這批產(chǎn)品不合格；若連續(xù)檢查5個產(chǎn)品3.4

對某工廠的每批產(chǎn)品進行放回抽樣檢查。若發(fā)現(xiàn)次品，則設(shè)隨機變量X表示每批產(chǎn)品抽查的樣品數(shù)，則:∴X的概率分布表如下：解43.5

帕斯克分布:設(shè)事件A在每次實驗中發(fā)生的概率為p，進行重復(fù)獨立實驗，直至事件A發(fā)生r次為止，需要進行的實驗總次數(shù)的概率分布:解X表示直到事件A發(fā)生r次需要進行的實驗總次數(shù)，表示直到事件A發(fā)生第1

次進行的實驗次數(shù)，表示事件A發(fā)生第i-1

次后到第i次發(fā)生時進行的實驗次數(shù)，則:且相互獨立,服從幾何分布G(p).求:X的期望與方差.53.6

設(shè)隨機變量X的概率密度為：求數(shù)學(xué)期望EX與方差DX.令解則63.7

設(shè)隨機變量X的概率密度為:求數(shù)學(xué)期望EX與方差DX.解73.9

設(shè)隨機變量X的概率密度為：求系數(shù)A及EX與DX.令解893.10

方向盤有整分度，如果計算角度時是把零頭數(shù)化為最解與標準差?？拷恼侄扔嬎愕?，求測量方位角時誤差的數(shù)學(xué)期望測量方位角時的誤差X～103.12

設(shè)隨機變量X服從二項分布B(3,0.4),求下列隨機變量的數(shù)學(xué)期望與方差:解11123.13

X

的密度函數(shù)為：解133.14

對球的直徑做近似測量，設(shè)其值均勻分布在區(qū)間內(nèi),求球體積的數(shù)學(xué)期望.解設(shè)隨機變量X，Y分別表示球的直徑和體積，則而143.15過半徑為R的圓周上任意點作這圓的弦,求這弦的平均長度.解如圖示:設(shè)T表示過圓周上定點O所作的弦OA與x軸的夾角,xLTO2RA則T在上服從均勻分布,設(shè)L表示所作的弦的長度,那么:L=2RcosTE(L)=E(2RcosT)=153.16

證明：若隨機變量X與Y

獨立，則

證右=∵X與Y獨立，∴X2與Y2獨立，=左∴右也可從左往右證.16解

3.17

獨立，且服從同一分布，數(shù)學(xué)期望為隨機變量學(xué)期望及方差.方差為求它們的算術(shù)平均值的數(shù)173.18

N個人同乘一輛長途汽車，沿途有n個車站，每到一個車站時，如果沒有人下車，則不停車.設(shè)每個人在任一站下車是等可能的,求停車次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.解1且服從分布18解2設(shè)Y表示停車的次數(shù),服從分布二項分布B(n,p)Y則19解3.20

計算二項分布的三階原點距，三階中心距.20213.22計算均勻分布U(a,b)的k階原點矩及k階中心矩.解設(shè)隨機變量X~U(a,b), 那么其概率密度:為奇數(shù)為偶數(shù)223.24二維隨機變量（X,Y）在區(qū)域R：（2）數(shù)學(xué)期望E(X)及E(Y)、方差D(X)及D(Y)；及相關(guān)系數(shù)解（1）設(shè)（X,Y）的概率密度其中C為常數(shù).則服從均勻分布，求：（1）的概率密度；（3）相關(guān)矩上23（2）（3）243.25解253.26設(shè)是任意n個隨機變量,證明:假設(shè)相互獨立,證明:263.27X~H(n,M,N)設(shè)求:E(X),D(X).解則則n次抽樣共抽到的次品數(shù)為：且所以：表示第i次抽樣時取得的次品數(shù),設(shè)01273.28

利用切比雪夫不等式估計隨機變量與其數(shù)學(xué)期望的差大于三倍標準差的概率.解283.29

為了確定事件A

的概率,進行了10000次重復(fù)獨立試驗.利用切比雪夫不等式估計：用事件A

在10000次試驗中發(fā)生的頻率作為事件A

的概率近似值時,誤差小于0.01的概率.解設(shè)事件A

在每次試驗中發(fā)生的概率為p，在這10000次試驗中發(fā)生了X

次,則因此，所求事件的概率為29設(shè)∴儀器誤差的數(shù)學(xué)期望及方差分別是：3.30

利用某儀器測量已知量a時，所發(fā)生的隨機誤差的概率密度在獨立試驗過程中保持不變。設(shè)是各次測量的結(jié)果，可否取作為儀器誤差的方差的近似值？解30若系統(tǒng)沒有誤差，即則據(jù)切比雪夫定理的推論，得即31若次品率不大于0.01，則任取200件，發(fā)現(xiàn)6件次品的概率應(yīng)不大于利用泊松定理，取λ=200×0.01=2此概率很小，據(jù)小概率事件的實際不可能性原理，∴不能相信該工廠的次品率不大于0.01。解3.32從某工廠的產(chǎn)品中任取200件，檢查結(jié)果發(fā)現(xiàn)其中有6件次品，能否相信該工廠的次品率不大于0.01。32010133343.31證明:假設(shè)不獨立的隨機變量滿足條件則對任意的正數(shù)恒有證明:由切比雪夫不等式,對任意的正數(shù)恒有因概率不能大于1,(馬爾可夫)35補例1:設(shè)二維隨機變量(X,Y)在矩形區(qū)域:上服從均勻分布,記求(1)U與V的聯(lián)合分布,(2)U與V的相關(guān)系數(shù).解:由題意(X,Y)的聯(lián)合概率密度:???112yx2y=xy=xO如圖示:P(U=0,V=0)=36P(U=0,V=1)P(U=1,V=0)P(U=1,V=1)0101所以(U,V)的聯(lián)合分布:370101因U,V分別服從“0-1〞分布,38例2:設(shè)隨機變量U

在區(qū)間[-2,2]上服從均勻分布,隨機變量:求(1)(X,Y)的聯(lián)合分布,(2)D(X+Y).由題意隨機變量U的概率密度:解:P(X=-1,Y=-1)P(X=-1,Y=1)=P(U≤-1)=P(U≤-1,U>1)=0P(X=1,Y=-1)=P(U>-1,U≤1)=P(-1<U≤1)P(X=1,Y=1)=P(U>-1,U>1)=P(U>1)=P(U≤-1,U≤1)39-11-11所以(X,Y)的聯(lián)合分布:Z=X+Y的概率分布:02P(Z=z)-240例3:解:(1)設(shè)A,B為隨機事件,且P(A)=P(B/A)=P(A/B)=發(fā)生不發(fā)生,發(fā)生不發(fā)生令求:(1)(X,Y)的聯(lián)合分布;(2)X與Y的相關(guān)系數(shù);(3)的概率分布.P(X=0,Y=0)P(X=0,Y=1)P(X=1,Y=0)P(X=1,Y=1)4101010P(X=)10P(Y=)1(X,Y)的聯(lián)合分布:X的邊緣分布:Y的邊緣分布:2)因X,Y分別服從“0-1〞分布,423)隨機變量的可能取值:0,1,2.12P(Z=)043例4:某流水生產(chǎn)線上每個產(chǎn)品不合格的概率為:p(0<p<1),各產(chǎn)品合格與否相互獨立,當(dāng)出現(xiàn)一個不合格產(chǎn)品時即停機檢修.設(shè)開機后第一次停機時已生產(chǎn)的產(chǎn)品個數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望E(X)與方差D(X).解:由題意隨機變量X的概率函數(shù):44例5:甲,乙兩個箱子裝有同種產(chǎn)品,其中甲箱中裝有3件合格品,3件次品,乙箱中僅裝有3件合格品,從甲箱中任取3件產(chǎn)品裝入,