數形結合思想與高中數學解題

數形結合思想與高中數學解題摘要：本文主要研究了數形結合思想在高中數學解題中的應用。首先對數形結合思想及其應用形式進行介紹，并根據近五年高考的試題分析高考對于數形結合思想的考查特點；由高考所體現的考查知識類型逐一分析數形結合思想在高中解題上的應用，緊接著對數形結合的原則與解題誤區(qū)進行論述；最后結合自己所閱讀的參考文獻以及個人的實習感悟淺談在高中數學中對數形結合法的培育方法。關鍵詞：高考；數形結合；解題毋庸置疑，數學方法在高中數學教學中十分重要。數學方法包含數形結合、分類討論、函數與方程、轉化與化歸四大類基本思想方法，它們不僅在高中數學的教學與學習中發(fā)揮著自己獨特的作用，在實際生活中也具有普遍的影響，所以教師與學生應該更加注重數學思想方法的學習。[1]2003年4月，教育部制定并頒布了普通高中數學課程標準，它指出“數學是研究空間形式和數量關系的科學。”，并要求教學不僅要使學生獲得必要的數學基礎知識和基本技能，理解基本的數學概念數學結論的本質，更應該了解概念結論等產生的背景、應用，體會其中所蘊含的數學思想方法，以及在后續(xù)學習中的作用?！靶抡n標”的要求發(fā)生了變化，這意味著對于教師也提出了新的要求，因此不僅要保證傳統(tǒng)的“雙基教學”，而且要注重數學方法的教學。隨后人民教育出版社積極響應要求更新了教材，并將其分為必修和選修兩大部分，保證數形結合思想方法在這兩部分教材中均有所體現。[2]這也是大多數的教育者都喜歡研究這一課題的重要原因。古人有云：授人以“魚”不如授人以“漁”，這也是在我們數學教學中所不應忽略的一點，而數學思想方法即可以看成是數學教育工作中的“漁”，因此教師在講授知識的過程中務必要注意這一點?？v觀高中階段，與數形結合相關的知識繁多、在習題當中廣泛應用。在解題的過程中，面對題中籠統(tǒng)模糊、繁雜空洞的數量關系，學生常會不知所措。關鍵問題在于學生不會將數學符號語言與圖形進行聯(lián)系轉化，也就說明在日常的教學中沒能很好地使抽象的思維與形象的思維相互融合。而此方面的能力恰恰是學生學習和理解數學問題的根本所在，對此方面的能力進行改善也就提高了學生分析解決數學問題的能力。因此，本文對數形結合思想方法在高中數學中的應用進行研究。1、數形結合思想及其應用形式1.1、數形結合思想方法概述數形結合思想方法，顧名思義就是指在對數學問題進行研究的時候，一方面是把抽象的數量關系轉化為直觀的圖形的形式，另一方面是以“數”對“形”進行精確的刻畫的思想方法，具有變抽象為直觀，使數量關系與圖形結構相互聯(lián)系的作用。使得在對數量關系進行分析的同時，也對其幾何直觀進行了揭示，把抽象與直觀，精確與模糊有機的結合起來。正是這樣的結合打開了解題的突破口，優(yōu)化簡潔了解題的思路與過程。[3]從宏觀的角度分析數學就是刻畫分析這客觀世界的數量關系和空間形式的一門科學，數與形是數學大廈當中的兩個基礎模塊，是研究的兩類基本對象。何謂形？即外化的空間形式的展現；何謂數？即是內在的數量關系。從表面來看二者表示的含義不同，其實二者是辯證統(tǒng)一的，在內容與方法上相互聯(lián)結溝通，在適當的情形下不但可以實現轉化、而且可以互為補充。因此二者的結合可以構成更加完善的知識體系，凸顯出數學當中更多知識的內在關系，從而增進對數學的認識和理解。17世紀笛卡爾的直角坐標系的出現成功的把數與形聯(lián)系起來。拉格朗日曾說道：“如果代數與幾何分開發(fā)展，二者將進展緩慢，一旦二者相互結合，便會相得益彰，以快速的速度發(fā)展完善”。[4]我國著名數學家華羅庚也曾這樣概括到：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休”[5]1.2、數形結合思想方法的應用形式數形結合在高中解題可概括為以下三種：化數為形、化形為數和數形兼顧。[6]下面將通過文字說明并輔以例題的形式展示該思想在解題中的應用。1.2.1以形輔數所謂以形輔數，就是將代數問題通過建立幾何模型轉化為幾何問題，從而借助于幾何圖形的直觀性達到問題解決的解題模式。[7]在解決問題的過程中，常會碰到一些代數問題而無法尋找到破題的關鍵，這時我們就需要從代數的圈子當中跳脫出來，嘗試把代數與幾何進行聯(lián)系，很多時候當我們使用圖形或圖像對這類代數問題進行直觀描述的時候，往往會對解題提供正確的方向和有益的啟發(fā)。例1.設函數，若，求的取值范圍。分析：本題是數形結合在函數中的應用，只需畫出的圖像，用函數圖像交軌法求得與的圖像交點為和，即可求出的取值范圍。由圖（1）可知，的取值范圍為。圖11.2.2以數助形所謂以數助形，就是將幾何問題通過一定媒介轉化為代數問題，通過代數運算，借助于代數的精確性達到問題解決的解題方式。也就是用數學表達式對幾何圖形當中的結構關系進行精確的描述，使得幾何的的問題數量化，從而使問題得到解決。例2.在等腰三角形的斜邊上取一點，使；自引的垂線交于點。[8]求證：是的中點。分析：此題是用面積法證明幾何結論的典型例題。許多專家學者早就注意到了面積法在幾何證明和探究中的作用，并做了大量的研究。特別是張景中教授在《新概念幾何》一書中，對三角形做了全新的處理，利用面積對三角函數進行了重新定義，使得三角學和幾何學打成一片許多復雜的平面幾何問題也變得簡單起來。本題便是書中的一例，下面就讓我們看看面積法的威力吧！圖2證明：由可知,設其為，,設其為，故：即又由三角形面積公式得：所以又因為，即可得1.2.3數形并重數形各具優(yōu)勢，相互補充。數的嚴密性精確了圖形，形的直觀性簡化了對數的理解。因此在很多時候，數和形或許需要進行多次轉化，才能得到問題的答案，此所謂數形并用。很多人把數形結合理解成只需要進行一次的數與形轉化即可，其實這是錯誤的。數與形二者相互溝通聯(lián)系，不可輕易分開，尤其是在面對一些復雜問題的時候，常常需要對二者進行多次的轉化。把二者有機的結合，便可相得益彰、事半功倍。例3.由直線上的一點向圓引切線，求使得切線長最短的點的坐標及此時的切線長。分析：此題有很強的幾何背景，首先應該把題目中的代數方程轉化為幾何圖形，但在畫圖的時候應注意直線和圓的位置關系。我們知道直線和圓有三種位置關系，分別是相交、相切和相離，如何判斷它們的關系呢？我們只需要計算圓心到直線的距離，并與圓的半徑相比較，可知和圓相離。通過計算精確了圖形的幾何結構，數轉形時圖形的不精確性也是學生運用數形結合解題時常犯的錯誤之一。畫出和圓之后，我們要在直線上求一點，使其向圓作切線后得到的切線長最短。哪個點滿足題意呢？有學生在觀察圖像后貿然下結論：與圓相切且垂直于直線的那個點即為所求的點。真是這樣嗎？我們要經過定量的計算進行說明。我們不妨設切點為，連接、和，那么在中，切線長,由此可知當最短時，即時，切線長最短，問題得解！具體過程如下：圖3解：圓心，半徑，因為所以圓與直線相離，根據題意畫出如圖（3）的圖形；設切點為，連接、和那么在中，切線長因為，所以設此時點坐標為，那么滿足：即當點坐標為時，切線長有最小值為1。2、高考對數形結合的考查特點針對近五年的全國新課標數學卷（理科）中有關數形結合的考點進行詳細分析如下：表1.2014-2018年全國新課標卷（理科）數形結合內容試卷分析年份選擇填空題號涉及考點解答題號涉及考點分值占總分值比例20149.10.11.15.16.線性規(guī)劃求最值解析結合求面積立體幾何求角的余弦值利用函數性質求范圍平面幾何求范圍18.19.20.空間立體幾何證明及求體積統(tǒng)計圖表圓錐曲線利用性質求標準方程及離心率6141%20157.9.10.11.14.平面幾何求長度立體幾何求表面積函數的圖像圓錐曲線求離心率線性規(guī)劃求最值17.18.19.20.解三角形統(tǒng)計圖表空間立體幾何畫圖及線面夾角的正弦值圓錐曲線7349%201611.12.14.圓錐曲線求離心率函數的圖像及性質空間立體幾何18.19.20.概率空間立體幾何證明及二面角的余弦值解析幾何求面積及參數取值范圍5134%20175.9.10.12.16.線性規(guī)劃求最值圓錐曲線求離心率立體幾何求角的余弦值平面向量的最值解析幾何求線段長18.19.20.統(tǒng)計表求概率空間立體幾何證明及求二面角的余弦值圓錐曲線求方程及利用性質計算6141%20187.9.10.11.12.13.空間立體幾何圖形線性規(guī)劃求最值函數的性質解析幾何求拋物線方程解析幾何求參數取值范圍平面向量計算17.18.19.20.解三角形空間立體幾何證明及二面角正弦值的計算統(tǒng)計圖表圓錐曲線7852%對近五年的理科高考試卷進行分析，可以看到關于數形結合所占的分值比例平均為40%以上，且有逐年遞增的發(fā)展趨勢。在大題中的體現更為明顯，半數以上的大題涉及到數形結合，而大題的分值又較高，所以在日常的教學中勢必要對數形結合進行重視?？v觀近五年高考，對數形結合進行考察的知識點還是比較穩(wěn)定的，空間立體幾何是每年必考的，有時不光以大題的形式進行考察還會出現選擇填空，考察內容涉及到證明線面、面面垂直或平行的證明以及求二面角和線面夾角的正余弦值，難度不大。線性規(guī)劃求最值的問題每年都會以選擇或填空的形式出現；解三角形的問題與數列問題交替考察，不是每年都會涉及；毫無疑問，函數問題每年必考，一般來說難度較大，常出現在選擇的最后一題。3、數形結合思想方法在高中解題上的應用3.1、數形結合方法在集合中的應用集合相關的習題一般來講難度不大，正確理解集合之間的包含關系是解題的關鍵，我們常用韋恩圖以及區(qū)間的作圖方式去表示，作圖的好處在于可以使集合之間的關系變得十分清晰，一目了然。例4.已知集合，，；若,求的取值范圍。分析：集合的數軸表示。若要，集合應該覆蓋集合。解：時，如圖（4），有，解得：；圖43.2、數形結合方法在三角函數問題中的應用一般來講三角函數類型的問題可以通過正余弦定理、三角函數的和差公式、輔助角公式、二倍角公式等綜合應用去解決。然而三角函數是由三角形所引申而出的函數，所以有時僅僅熟知公式是不夠的，我們還需要對圖形當中所包含的結構關系進行正確的理解，此種情況下作圖就顯得尤為必要，甚至可以說是解決問題的關鍵。例5.求函數的值域。分析：原函數等價于，即可以看做是動點到定點連線的斜率，令，則由，可知，動點在單位圓上，函數表示為點與定點的相連構成的直線的斜率，如圖（5）所示。設，即。由題意，圓心到直線的距離，于是解出的值即為函數的值域。圖5解：由知可以看做是動點到定點連線的斜率令，則由，可知動點表示單位圓則可以表示為連接單位圓上任意一點與定點的直線的斜率如圖（5）所示。設，即。由題意，圓心到直線的距離，解得所以，函數的值域為。本題的重點、難點是將函數的取值問題轉化為動點和定點之間的幾何問題，從而找出臨界值，即過定點的直線中與圓相切的時候，進一步確定斜率的范圍，也就等價于求函數的值域。如果不利用數形結合，直接求解這個函數問題，則會事倍功半，不易求解。而將其轉化為幾何問題后，除了對題目有一個更直觀的了解，而且也減低了解題難度。3.3、數形結合方法在立體幾何中的應用立體幾何問題中常常用到向量等數學工具，而在初中階段，學生在學習平面幾何的時候，習慣用傳統(tǒng)幾何方法來證明求解。在立體幾何的證明中，盡管也可以利用初中的方法進行解決，但證明過程常常很繁瑣，可是如果利用向量，把數與形聯(lián)系起來，問題的解決思路就會變得明朗且過程簡單。例6.如圖，四邊形為正方形，平面，,。（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值。分析：這是一道求面面垂直和二面角的問題。若用常規(guī)方法，將二面角找出，對于一些空間想象能力較弱的同學，則會比較難；一旦將空間向量與立體幾何有機的聯(lián)系起來，建立起空間直角坐標系，問題便可以很容易地得到解決。題目原圖圖6證明：如圖（6），以為坐標原點，線段的長為單位長，以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系；依題意有，，，則，，，所以，，即，又，所以平面，又平面所以平面平面。依題意有，，設是平面的法向量，則，即因此可取，同理，設是平面的法向量，則可取，所以，，故二面角的余弦值為。3.4、數形結合方法在圓錐曲線問題中的應用 利用橢圓、雙曲線、拋物線的圖像性質及定義求解圓錐曲線問題。在這類問題中作圖就顯得尤為關鍵，根據圖形才能更好的対代數關系進行分析，其中圖像中所包含的特點常常與點到直線的距離公式、弦長公式等知識結合，從而解決問題。例7.已知拋物線的準線為，過且斜率為的直線與相交于點，與的一個交點為；若，求的值。分析：通過線段之間的比例關系可以得出，該點到定點的距離正好等于該點到定直線的距離，由拋物線的定義即可得出，該點為拋物線的焦點。圖7圖8解：過作垂直準線于，因為，所以為中點可得，又因為斜率為，所以，，所以為拋物線的焦點，則。3.5、數形結合方法在概率上的應用概率部分的內容抽象不易理解，所以我們也常常借助圖形幫助我們去進行理解，比如說，在幾何概型問題中，二維的平面上可以用圖形的面積比去表示概率，三維的空間中可以用幾何體的體積比去表示概率；把概率問題與圖形結合極大地幫助我們進行理解。例8.從閉區(qū)間上任意選取兩個點，設由，，組成的方程的兩個根都是實數的概率為，那么的取值范圍是（）分析：該題由于，所取可能總情況數是無限個，所以若從統(tǒng)計總數及滿足條件個數來計算顯然是不實際的，故應利用區(qū)間長度及方程來構造幾何概型，利用面積比求得概率。解：根據已知條件可得，，則可以建立如圖（8）所示的坐標系，則矩形的面積為：，方程有實根，則，即即表示拋物線的下面，記其為，則：，故。3.6、數形結合方法在不等式問題中的應用不等式問題體現在高中必修五的教材中，線性規(guī)劃求最優(yōu)解是不等式問題中的重中之重，在線性規(guī)劃求最優(yōu)解這類問題中，如果不利用直角坐標系畫出可行域求解，而是從代數關系式出發(fā)，往往會使解題思路變得混亂，過程變得復雜，極易出錯。例9.求解不等式組，并回答下列問題。（1）指出，的取值范圍；（2）區(qū)域內有多少個整點？分析：本題涉及的是不等式中的線性規(guī)劃問題，通過找特殊點確定每個不等式所確定的區(qū)域，從而畫出目標區(qū)域。圖9解：（1）不等式等價于及其右下方的點的集合；等價于的上方及其右上方點的集合；等價于上及其左方的點集合，則不等式組，表示的區(qū)域如圖（9）所示，結合可行域得，。由圖形及不等式組知，且，當時，,有個整點；當時，，有個整點；當時，，有個整點；當時，，有個整點；所以，平面區(qū)域內的整點共有（個）。數形結合的原則及解題誤區(qū)數形結合解題雖好，有時會起到出奇制勝的效果，但在運用過程中必須遵守一定的原則，否則就會走入誤區(qū)，導致解題失敗。等價性原則、雙向性原則和簡潔性原則是數形結合所要遵循主要原則。下面將一一說明。4.1、等價性原則等價性原則是指在數與形轉化的過程中，數所反映的數量關系和形所體現的幾何圖形應該保持一致。[9]有時由于構圖粗糙或不完整，就會導致數轉形時圖失真；或者由圖形提取數字信息時不對等，從而陷入解題誤區(qū)，下面將舉例說明。例10.方程的實根的個數為（）分析：畫出兩個函數和的圖像，又因為兩個函數為奇函數，所以僅需畫出部分的圖像；又因為時，，所以只需取上的圖像。但由于構圖粗糙，或許會導致數形不等價如圖（10-1），選錯。事實上當時，，也就是在中還有一個交點見圖（10-2），所以當時，加上原點共有5個交點，再根據奇函數中心對稱選。圖10-1圖10-24.2、雙向性原則雙向性原則是指數與形的信息流通應是雙向的，并非只是單向進行。具體來說就是在進行代數的運算推理過程中，也要進行幾何的直觀分析；在進行幾何畫圖的時候，也要用“數”對圖形加以精確。[10]數形呼應，才能優(yōu)勢互補，克敵制勝！例11.當整數為何值時，拋物線與橢圓有4個不同的交點？分析：設拋物線與軸的交點為、，則經計算知、；橢圓與軸的交點為、。有學生憑空想象就畫出圖（11-1），發(fā)現拋物線與橢圓要想有4個交點，、應位于、之間，故。但實際上這只是充分而不必要條件，除此之外，還有如圖（11-2）的情況。具體解題如下：解：聯(lián)立方程得：設，則由題意得：圖11-1圖11-2以上的解題過程中既包含了抽象的代數運算，又包含了直觀的幾何作圖分析，數與形相互配合，相得益彰。4.3、簡潔性原則簡潔性原則是指數與形相互轉換的過程中應盡量保持簡潔。比如構圖（或建系）時應選擇對解題最方便有利的那種方式；在解題時也無需刻意追求幾何方法或代數解法，而對數和形進行強行轉換，而是應以解題簡潔方便為原則。求證（其中、、均為正數）。解法1：代數法分析：由不等式的形式很容易聯(lián)想到重要不等式及其推論，很自然的得出代數解法。由不等式變形得到同理可得，將以上三個式子相加可得：命題得證！解法2：幾何法分析：由兩個數的平方和開根號聯(lián)想到勾股定理，那么就是以、為直角邊的直角三角形的斜邊從而構造直角三角形得到其幾何解法。構造以為邊長的正方體，并對其進行如圖（12）的分割那么，，，由圖易知，即圖12解法3：復數法分析：由想到復數的模，故可通過構造復數，根據復數中的三角不等式證得命題，具體過程如下：設，，則則，，，由得命題得證！題評：以上三種方法各有千秋，但解法1需要較強的邏輯推理變形能力；解法2雖然直觀形象，但圖形的構造難以想到，如果執(zhí)意用圖形去解題的話，或許會耗費大量的時間和精力；解法3通過高中數學中常見的復數構造法，只用一步尋常的三角不等式即可證命題。相對于解法1和解法2來說就更為簡潔明了，更加可取。5、在高中數學中對數形結合法的培育方法由于受到了高中數學的解題思維的影響，故教師在對學生的數學思維進行培養(yǎng)時，應該在保證數學理念的基礎上，將抽象意識與直接意識進行合理的轉化，從而使學生的數學思維更加牢固。[11]①教師在教學時，應掌握數形結合的教學意識，確保能夠將數形結合法與課堂教學進行完美結合，通過課堂教學的鍛煉，促使學生在解題的過程中充分利用數形結合意識，無論是在課前備課，還是在講課的過程中都應對該教學方式有著深入的滲透。[12]②教師在進行課前備課時，應將教材中的內容和教學的基本目標有明確的了解。在課堂中進行教學的同時，對于書本中的典型案例要深入發(fā)掘，保證其對數學課堂教學具有促進作用，從而使學生在對數學題目進行解答時更加容易輕松。③教師要在教學中合理地引導學生進行數形結合的使用，采取循循善誘的教學方式，將數形結合的思想完美地運用于教學中。保證學生在解決幾何問題或是在解決向量問題等相關的數學問題時，都能夠掌握系統(tǒng)性的解題思路，同時確保在高中數學的學習中，學生能夠將數形結合思想作為基本的答題思路，從而使全面性、系統(tǒng)化的解題模式與高中數學的教學文化完美結合。[13]參考文獻：[1]呂世虎,王尚志,胡鳳娟等.普通高中數學學科教學與評價指導意見[J].數學教育學報,2017,(6):1-5.[2]龔海琴.數形結合思想在中學數學教學中的應用[J].數學教學通訊,2017,(8):45-46.[3]孫加鵬.數形結合思想在解中學數學問題中的應用[J].課程教材教學研究,2009,(7):39-40.[4]孔令偉.數形結合思想方法在高中數學教學與解題中的應用[M].遼寧師范大學,2012:9-10.[5]徐為兵.數形結伴,演繹精彩[J].時代教育(教育教學版),2012,(16):81-81.[6]朱梅.數形結合思想的應用[J].考試周刊,2016,(9):48-49.[7]牟雪珍.巧用數形結合思想的解題探究[J].中學數學,2012,(12):83-84.[8]張景中.新概念幾何[M].北京:中國少年兒童出版社,2002:115-116.[9]姜秋亞.數形結合思想方法在高中教學中的應用情況研究[M].華中師范大學,2015:10-10.[10]王世昌.幾何問題代數解的潛在功能[J].新教育時代電子雜志(教師版),2017,(43):1-1.[11]張珍鳳.低段數學教學滲透數學思維方法解析[J].教學管理與教育研究,2017,(17):57-59.[12]孫自芬.數形結合思想在初中數學教學中的實踐探究[J].數學大世界(下旬版),2017,(5):1-1.[13]段學俊.高中數學教學中數形結合法的運用探討[J].中國校外教育(下旬刊),2017,(1):242-243.TheThoughtofCombinationofNumberandFormandSolvingMathematicsProblemsinSeniorHighSchoolGuoZhi-qiangAbstract:Thispapermainlystudiestheapplicationofthecombinationo