專題04二次函數(shù)存在性問題（四邊形存在問題）九年級數(shù)學(xué)二次函數(shù)易錯(cuò)專題復(fù)習(xí)原卷版

二次函數(shù)易錯(cuò)專題復(fù)習(xí)二次函數(shù)中存在性問題（四邊形存在問題）【易錯(cuò)點(diǎn)一：平行四邊形】二次函數(shù)中平行四邊形存在性問題，是期中、期末、中考?？碱}型，通常都是壓軸題形式出現(xiàn)，對學(xué)生的要求高、考試難度大，靈活應(yīng)用能力強(qiáng)、得分率比較低，也容易錯(cuò)；常錯(cuò)的點(diǎn)主要是①平行四邊形與函數(shù)結(jié)合時(shí)性質(zhì)考慮不全、數(shù)形結(jié)合不到位，導(dǎo)致找不到點(diǎn)與點(diǎn)之間的聯(lián)系，而平行四邊形解法有兩種:第一種（常用）是中點(diǎn)坐標(biāo)法；第二種是平行直線法②能考慮到平行四邊形的位置和關(guān)系式，但是不會(huì)靈活計(jì)算變通，導(dǎo)致丟分【考點(diǎn)：平行四邊形存在性問題】方法指引：先根據(jù)函數(shù)確定四邊形相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，假設(shè)存在平行四邊形，設(shè)第四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)法，找出平行四邊形四點(diǎn)關(guān)系，列出方程，解方程，檢驗(yàn)坐標(biāo)滿足情況例題1．（2022下·江蘇·專題練習(xí)）已知，如圖，拋物線與坐標(biāo)軸相交于點(diǎn)A(?1,0)，C(0,?3)兩點(diǎn)，對稱軸為直線x=1，對稱軸與x軸交于點(diǎn)D．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)F為二次函數(shù)圖象上與點(diǎn)C對稱的點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在拋物線的對稱軸上，是否存在以點(diǎn)F，A，M，N為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．例變式訓(xùn)練1（22·23上·重慶·階段練習(xí)）如圖，拋物線y=12x2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A、B(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)P（m，n）（0＜m＜6）在拋物線上，當(dāng)m取何值時(shí)，△PBC的面積最大？并求出△PBC面積的最大值；(3)在（2）中△PBC面積取最大值的條件下，點(diǎn)M是拋物線的對稱軸上一點(diǎn)，在拋物線上確定一點(diǎn)N，使得以A、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)N的坐標(biāo)的其中一種情況的過程．例題2．（23·24上·全國·專題練習(xí)）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A3,0、B?1,0兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(1)求這條拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)在拋物線的對稱軸上取一點(diǎn)E，點(diǎn)F為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，使得以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)、AC為邊的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．變式訓(xùn)練1．（23·24上·全國·專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)C在y軸正半軸上，OA=2OC，將矩形OABC繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到矩形ODEF．拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過F、D、B三個(gè)點(diǎn)，其頂點(diǎn)在直線y=72x?112上，直線l:y=kx+m經(jīng)過點(diǎn)E和點(diǎn)A，點(diǎn)P是拋物線y=ax(1)求abc的值；(2)設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，求線段PM的長（用t的代數(shù)式表示）；(3)以A、B、P、M四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形會(huì)是平行四邊形嗎？如果會(huì)，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不會(huì)，請說明理由．針對性練習(xí)1．（22·23上·梁平·期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?2x2+4x+6與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)E，B（E(1)如圖2，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)Q，求△BEQ的面積；(2)如圖3，過點(diǎn)A作AC平行于x軸，交拋物線于點(diǎn)C，點(diǎn)P為拋物線上的一點(diǎn)（點(diǎn)P在AC上方），作PD平行于y軸交AB于點(diǎn)D、交AC于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)P在何位置時(shí)，PD+CF最大？求出最大值；(3)在（2）條件下，當(dāng)PD+CF最大時(shí)，將拋物線y=?2x2+4x+6沿著射線AB平移，使得拋物線經(jīng)過點(diǎn)C，此時(shí)得到新拋物y′，點(diǎn)N是原拋物線對稱軸上一點(diǎn)，在新拋物線y′上是否存在一點(diǎn)M，使以點(diǎn)A，D，M2．（22·23·武威·中考真題）如圖1，拋物線y=?x2+bx與x軸交于點(diǎn)A，與直線y=?x交于點(diǎn)B4,?4，點(diǎn)C0,?4在y軸上．點(diǎn)P從點(diǎn)B(1)求拋物線y=?x(2)當(dāng)BP=22時(shí)，請?jiān)趫D1中過點(diǎn)P作PD⊥OA交拋物線于點(diǎn)D，連接PC，OD，判斷四邊形OCPD(3)如圖2，點(diǎn)P從點(diǎn)B開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)O同時(shí)出發(fā)，以與點(diǎn)P相同的速度沿x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)．連接BQ，PC，求CP+BQ的最小值．3．（23·24上·綦江·期中）如圖，拋物線y=ax2+bx+ca≠0與y軸交于點(diǎn)C0，4，與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為?2，0(1)求直線BC的解析式；(2)若點(diǎn)F是直線BC上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)F使三角形BFC的面積最大，若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)和最大值；若不存在，請說明理由；(3)平行于DE的一條動(dòng)直線l與直線BC相交于點(diǎn)P，與拋物線相交于點(diǎn)Q，若以D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求P點(diǎn)的坐標(biāo)（直接寫點(diǎn)的坐標(biāo)）．4．（22·23下·合肥·一模）如圖，已知拋物線y=?x2+4x+k與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B5,0，與(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)P是拋物線上位于直線AB上方的動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)P作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，作y軸的平行線交直線AB于點(diǎn)D，以PQ、PD為邊作矩形PQED，求矩形PQED周長的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)N是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使得以A、N、B、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．5．（21·22下·菏澤·三模）如圖，直線y=?x+4與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過B(1)求拋物線的解析式；(2)E是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E到直線BC的距離最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)Q是拋物線對稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以P，Q，B，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由．【易錯(cuò)點(diǎn)二：菱形】二次函數(shù)中菱形存在性問題，是期中、期末、中考?？碱}型，通常都是壓軸題形式出現(xiàn)，對學(xué)生的要求高、考試難度大，靈活應(yīng)用能力強(qiáng)、得分率比較低，也容易錯(cuò)；常錯(cuò)的點(diǎn)主要是①菱形與函數(shù)結(jié)合時(shí)性質(zhì)考慮不全、數(shù)形結(jié)合不到位，導(dǎo)致找不到點(diǎn)與點(diǎn)之間的聯(lián)系，而菱形是特殊的平行四邊形，所以平行四邊形解法仍然可以用，但要考慮菱形具有平行四邊形不具有的其他性質(zhì)來解題【考點(diǎn)一：菱形存在性問題】方法指引：先根據(jù)函數(shù)確定四邊形相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，假設(shè)存在菱形，設(shè)第四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)法，找出平行四邊形四點(diǎn)關(guān)系，先證明存在平行四邊形，再證明存在菱形，列出方程，解方程，檢驗(yàn)坐標(biāo)滿足情況例題1．（23·24上·全國·專題練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)y=x2?3x?4的圖象與x軸交于B，C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)(1)求S△COD(2)如圖1，點(diǎn)P在直線CD下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥CD交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作PE∥x軸交CD于點(diǎn)E，求PE+PQ的最大值及此時(shí)點(diǎn)(3)在（2）的條件下，將拋物線沿著射線DC方向平移22個(gè)單位長度得到新拋物線y1，點(diǎn)M在新拋物線對稱軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N是平面內(nèi)一點(diǎn)，若以B、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以BM為邊的菱形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)變式訓(xùn)練1（22·23下·沙坪壩·二模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?32x2+32x+3與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(1)求直線BC的解析式；(2)點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作x軸的平行線交BC于點(diǎn)E，求PE+3PD的最大值及此時(shí)點(diǎn)(3)如圖2，在（2）中PE+3PD取得最大值的條件下，將拋物線y=?32x2+32x+3沿著射線CB方向平移得到新拋物線y′，且新拋物線y′經(jīng)過線段BC的中點(diǎn)F，新拋物線y′與y軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)N為新拋物線y′對稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q例題2．（21·22上·連云港·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)A，B在x軸上，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B，D?4,5兩點(diǎn)，且與直線(1)求拋物線的解析式；(2)F為拋物線對稱軸與x軸的交點(diǎn)，M為線段DE上一點(diǎn)，N為平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，若存在以點(diǎn)D、F、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)，不需要寫過程：(3)P為y軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線對稱軸的垂線，垂足為Q，連接OB、BP，探究EQ+PQ+PB是否存在最小值．若存在，請求出這個(gè)最小值及點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．變式訓(xùn)練1．（21·22下·撫順·二模）如圖，拋物線y=ax2+bx+6(a≠0)與x軸交于A(?1,0)，B3,0兩點(diǎn)，與y軸軸交于點(diǎn)(1)求拋物線的解析式；(2)若在線段BC上存在一點(diǎn)M，使得∠BMO=45°，過點(diǎn)O作OH⊥OM交BC的延長線與點(diǎn)H，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是在對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，Q，使得以點(diǎn)P，Q，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．針對性練習(xí)1（21·22下·濟(jì)南·二模）拋物線y=ax2+2x+c過點(diǎn)A?1,0，點(diǎn)(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)如圖1，點(diǎn)P在第一象限拋物線上，連接CP并延長交x軸于點(diǎn)D，連接AC，AP．若S△ACP:S(3)如圖2，在（2）的條件下，點(diǎn)E是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)F是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)E，點(diǎn)F，使得四邊形ADFE為菱形？若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【易錯(cuò)點(diǎn)三：矩形】例題1．（22·23·阜新·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx?3與x軸交于A(?1,0)，B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)D為直線y=x上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，求四邊形PBDC面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)已知點(diǎn)E為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)P，C，E，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以PC為對角線的正方形，若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．例題2（22·23·湖南·中考真題）