河北省秦皇島市青龍滿族自治縣部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

—2024學(xué)年第一學(xué)期青龍縣部分學(xué)校期中聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試題本試卷共22題．全卷滿分150分。考試用時120分鐘。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合0，1，，，則A． B． C．0， D．1，2．平面直角坐標(biāo)系中，分別是與軸、軸正方向同向的單位向量，向量，以下說法正確的是（

）A． B． C． D．3．“”是“函數(shù)與函數(shù)為同一函數(shù)”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．等比數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．2 B．-2 C．1 D．-15．將一個長方體沿從同一個頂點出發(fā)的三條棱截去一個棱錐，棱錐的體積與剩下的幾何體的體積之比為（

）.A． B． C． D．6．已知，均為單位向量，若，則與的夾角為（

）A． B． C． D．7．已知，若則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知的一段圖象如圖所示，則（

）A．B．的圖象的一個對稱中心為C．的單調(diào)遞增區(qū)間是D．函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到的是一個奇函數(shù)的圖象二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．下列敘述中正確的是（

）A．“”是“是反比例函數(shù)”的既不充分也不必要條件B．“”是“”的充分不必要條件C．“”是“有實數(shù)解”的充要條件D．“”是“方程有一個正根和一個負(fù)根”的充要條件10．如圖，為圓錐的底面圓的直徑，點是圓上異于，的動點，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓錐的側(cè)面積為B．三棱錐體積的最大值為C．的取值范圍是D．若，為線段上的動點，則的最小值為11．已知函數(shù)，則下列選項正確的是（

）A．是的極大值點B．使得C．若方程為參數(shù)，有兩個不等實數(shù)根，則的取值范圍是D．方程有且只有兩個實根．12．某社區(qū)開展“防疫知識競賽”，甲?乙兩人榮獲一等獎的概率分別為p和q，兩人是否獲得一等獎相互獨立，則這兩人中至少有一人獲得一等獎的概率為（

）A． B． C． D．第II卷（非選擇題）填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．，，則的值．14．的展開式中的系數(shù)為15．在中，角所對的邊分別為，若，，，則．16．已知函數(shù)f(x)＝x(8－2x)(5－2x)在區(qū)間［0，3］上的最大值是．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列滿足，，且，，構(gòu)成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.18．四棱錐中，，底面為等腰梯形，，，為線段的中點，.（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角正弦值.19．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答該問題.問題：銳角的內(nèi)角的對邊分別為，且______.(1)求；(2)求的取值范圍.20．衛(wèi)生紙要求無毒性化學(xué)物質(zhì)、無對皮膚有刺激性的原料、無霉菌病毒性細(xì)菌殘留．衛(wèi)生紙的特征是吸水性強(qiáng)、無致病菌、紙質(zhì)柔軟厚薄均勻無孔洞、起皺均勻、色澤一致．衛(wèi)生紙主要是供人們生活日常衛(wèi)生之用．是人民群眾生活中不可缺少的紙種之一．某品牌衛(wèi)生紙生產(chǎn)廠家為保證產(chǎn)品質(zhì)量．現(xiàn)從甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取600件進(jìn)行品質(zhì)鑒定．并將統(tǒng)計結(jié)果整理如下：合格品優(yōu)等品甲生產(chǎn)線16030乙生產(chǎn)線32090(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷是否有的把握認(rèn)為產(chǎn)品的品質(zhì)與生產(chǎn)線有關(guān)？(2)用分層抽樣的方法，從樣本的優(yōu)等品中抽取8件進(jìn)行詳細(xì)檢測，再從這8件產(chǎn)品中任選2件，求所選的2件產(chǎn)品中至少有1件來自甲生產(chǎn)線的概率．附：，其中．0.150.100.050.0102.0722.7063.8416.63521．已知向量滿足，函數(shù).(1)求函數(shù)的對稱軸方程；(2)求函數(shù)在時的值域.22．1.已知函數(shù).(1)若在處取得極值，求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)請在下列兩問中選擇一問作答，答題前請標(biāo)好選擇.如果多寫按第一個計分.①若恒成立，求的取值范圍.②若僅有兩個零點，求的取值范圍.參考答案1．B【分析】化簡集合N，再求即可．【詳解】集合0，1，，，．故選B．2．B【分析】根據(jù)題意可知，根據(jù)向量垂直和向量共線的坐標(biāo)表示可判斷BD，根據(jù)向量模的運算可判斷A，根據(jù)數(shù)量積運算可判斷C.【詳解】由題意不妨設(shè)，則，，據(jù)此逐一考查所給的選項：，，則，選項A錯誤；，則，選項B正確；，則，選項C錯誤；不存在實數(shù)滿足，則不成立，選項D錯誤；故選：B3．A【解析】利用誘導(dǎo)公式，結(jié)合充分條件與必要條件的定義，論證充分性與必要性是否成立即可.【詳解】若，則，即函數(shù)與函數(shù)為同一函數(shù)，充分性成立；若函數(shù)與函數(shù)為同一函數(shù)，的值可以為，即兩個函數(shù)數(shù)為同一函數(shù)不能推出，必要性不成立，所以，“”是“函數(shù)與函數(shù)為同一函數(shù)”的充分而不必要條件，故選：A.4．A【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，當(dāng)時，，不合題意；當(dāng)時，等比數(shù)列前項和公式，依題意.故選：A5．D【詳解】設(shè)長方體同一頂點引出的三條棱長分別是、、，則截去的棱錐的體積，原長方體的體積，剩下的幾何體的體積為，∴故選：D6．C【解析】根據(jù)，求出，再由向量的夾角公式，即可求解.【詳解】依題意，，，所以，即，所以，所以.故選:C.7．D【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義域，對中的分為和討論，代入相應(yīng)的解析式，并分別結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，即可求出的范圍．【詳解】當(dāng)時，由得，所以，又，故，當(dāng)時，由得，所以，又，故，綜上，的取值范圍是．故選：D.8．C【分析】首先根據(jù)函數(shù)圖像求出函數(shù)解析式，即可判斷A，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可；【詳解】解：由圖可知，，所以，解得，所以，又函數(shù)過點，即，所以，解得，因為，所以，所以，故A錯誤；因為，所以函數(shù)關(guān)于對稱，故B錯誤；令，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故C正確；將函數(shù)的圖象向左平移個單位得為偶函數(shù)，故D錯誤；故選：C9．ABD【詳解】對于選項A，當(dāng)時，不是反比例函數(shù)，當(dāng)是反比例函數(shù)時，，所以“”是“是反比例函數(shù)”的既不充分也不必要條件，故A正確；對于選項B，“”時，，當(dāng)時，或，所以不能得出，故“”是“”的充分不必要條件，故B正確；對于選項C，“有實數(shù)解，等價于，故“”是“有實數(shù)解”的充分不必要條件，故C錯誤；對于選項D，“方程有一個正根和一個負(fù)根”等價于，解得，所以，“”是“方程有一個正根和一個負(fù)根”的充要條件，故選項D正確.故選：ABD.10．BD【詳解】在中，，則圓錐的母線長，半徑，對于A，圓錐的側(cè)面積為：，A錯誤；對于B，當(dāng)時，的面積最大，此時，則三棱錐體積的最大值為：，B正確；對于C，是等腰三角形，，又因為，則，依題意，，而，因此，C錯誤；對于D，由，，得，有為等邊三角形，將以為軸旋轉(zhuǎn)到與共面的位置，得到，則為等邊三角形，，如圖，于是，因為，，所以，D正確.故選：BD11．AB【詳解】

當(dāng)時，，則，當(dāng)，時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，且，；當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，且，，故恒成立，畫出的大致圖像如圖所示.∴是的極大值點，故A正確．結(jié)合圖像可知，B正確．方程等價于或，由圖知有一個實數(shù)根，要使原方程有兩個實數(shù)根等價于只有一解．由圖可得：或，故C錯；

分別畫出與的圖像，由圖可得兩函數(shù)圖像有三個交點，故D錯誤．故選：AB12．AD【詳解】記A為“甲獲得一等獎”，B為“乙獲得一等獎”，則且A、B相互獨立.從正面考慮，甲?乙兩人中至少有一人獲得一等獎為，為三個互斥事件，所以；從反面考慮，事件“甲?乙兩人中至少有一人獲得一等獎”的對立事件是“甲?乙兩人都沒獲得一等獎”，即事件，易得，所以“這兩人中至少有一人獲得一等獎”的概率為，綜上，A、D正確.故選：AD13．54【詳解】由，得：，則，故答案為54.14．80【詳解】展開式的通項，含的項中，，解得，所以展開式中的系數(shù)為.故答案為：8015．【詳解】試題分析：由正弦定理又所以,所以考點：正弦定理的應(yīng)用.16．18【詳解】由題意可得，∴，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴函數(shù)f(x)＝x(8－2x)(5－2x)在區(qū)間［0，3］上的最大值是，故答案為18【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.17．（1）；（2）（2）易知，則利用錯位相減求和法即可求出數(shù)列的前項和．【詳解】解：（1）由，得，所以數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，又，，構(gòu)成等比數(shù)列，得，即，整理解得，所以．（2），則，，兩式相減得，即，所以．18．（1）見解析，（2）【分析】（1）過作于，則由已知可得，從而得，再由∽,可得，由此得，得到，再可證得平面，從而有，然后由線面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2）如圖，以為原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行求解線面角的正弦值.【詳解】（1）證明：因為，為線段的中點，所以，在等腰梯形中，作于，則由得，所以，所以，因為，所以所以∽,所以，所以，所以，因為，，所以平面，因為在平面內(nèi)，所以，因為，在平面內(nèi)，所以平面；（2）解：因為，，所以，,取的中點，連接，則，因為平面，所以，又所以平面，所以如圖，以為原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，由（1）知平面，則平面的法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則,所以直線與平面所成角的正弦值為19．(1)(2)（2）首先將代入，然后利用恒等變換將其化簡成正弦型函數(shù)，最后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解取值范圍即可.【詳解】（1）選①，所以，所以，整理得.因為，所以.因為，所以.選②因為，所以，所以，整理得.因為，所以，因為，所以.選③因為，所以，所以，整理得.因為，所以.因為，所以，.（2）因為，所以.因為，所以，所以，所以，所以，故.20．(1)有的把握認(rèn)為產(chǎn)品的品質(zhì)與生產(chǎn)線有關(guān)(2)（2）由抽樣比得兩生產(chǎn)線的抽樣數(shù)，再由古典概型概率公式可得.【詳解】（1）補充列聯(lián)表如下：合格品優(yōu)等品總計甲生產(chǎn)線16030190乙生產(chǎn)線32090410總計480120600零假設(shè)產(chǎn)品的品質(zhì)與生產(chǎn)線無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認(rèn)為產(chǎn)品的品質(zhì)與生產(chǎn)線有關(guān)，此推斷有的把握認(rèn)為產(chǎn)品的品質(zhì)與生產(chǎn)線有關(guān).（2）根據(jù)分層抽樣可知，在抽取的件優(yōu)等品中，來自甲生產(chǎn)線的有件，記為，來自乙生產(chǎn)線的有件，記為.設(shè)事件“所選的2件產(chǎn)品中至少有1件來自甲生產(chǎn)線”，從這件產(chǎn)品中任選件，所有的等可能結(jié)果有，共種；其中，所選的2件產(chǎn)品中至少有1件來自甲生產(chǎn)線的結(jié)果有，共種；則由古典概型概率公式得.21．(1)(2)【分析】（1）由數(shù)量積公式結(jié)合輔助角公式得出的解析式，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)得出對稱軸方程；（2）由正弦函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)的值域.【詳解】（1）的對稱軸為該函數(shù)的對稱軸方程為（2），即函數(shù)的值域為：22．(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)選擇①時，；選擇②時，【分析】（1）把代入，然后對求定義域，求導(dǎo)，利用求出求的值，觀察出是個增函數(shù)進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）對進(jìn)行同構(gòu)變形，然后構(gòu)造新函數(shù)求的取值范圍【詳解】（1）定義域為，，在處取得極值