廣東省2023-2024學年高三上學期11月統(tǒng)一調研測試數(shù)學試題（含答案）

廣東省2023—2024學年高三11月統(tǒng)一調研測試數(shù)學注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知復數(shù)滿足，則（）A．5 B． C． D．12．已知集合，，則（）A． B． C． D．3．從2，3，5，7這四個數(shù)中隨機地取2個不同的數(shù)相乘，其結果能被10整除的概率是（）A． B． C． D．4．已知平面向量，滿足，，則與的夾角是（）A． B． C． D．5．“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調遞增”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．若橢圓與雙曲線有公共的左焦點，兩曲線在第一、三象限內的公共點分別為，，則的值為（）A． B． C． D．7．已知中，，點是邊的中點，記．則當最大時，（）A． B． C． D．8．17到19世紀間，數(shù)學家們研究了用連分式求解代數(shù)方程的根，并得到連分式的一個重要功能：用其逼近實數(shù)求近似值．例如，把方程改寫成①，將再代入等式右邊得到，繼續(xù)利用①式將再代入等式右邊得到……反復進行，取時，由此得到數(shù)列，，，，，記作，則當足夠大時，逼近實數(shù)．數(shù)列的前2024項中，滿足的的個數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：）A．1007 B．1009 C．2014 D．2018二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．一組數(shù)據(jù)從小到大為5，6，7，8，，11，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是8，則（）A． B．極差為6 C．40%分位數(shù)為7 D．方差為510．若，，則（）A． B． C． D．11．已知圓：，是直線：上一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，則（）A．有最小值 B．四邊形的周長最小為8C． D．外接圓的面積最大為12．已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，且是奇函數(shù)，．若在區(qū)間上單調遞增，則（）A． B．C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．函數(shù)的最小正周期為________．14．已知正數(shù)，滿足，則________．15．已知點在橢圓：上運動，，動點滿足，則的最大值為________．16．已知正三棱柱的底面邊長為2，以為球心、為半徑的球面與底面的交線長為，則三棱柱的表面在球內部分的總面積為________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）在數(shù)列中，，，設，，．給定3個條件：①數(shù)列為等差數(shù)列；②數(shù)列為公比為正數(shù)的等比數(shù)列；③數(shù)列的前項和，其中，為常數(shù)．在這3個條件中任選一個，并解決下列問題．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．注：若選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．18．（12分）記的內角，，的對邊分別為，，，為邊的中點，已知．（1）求；（2）當時，求的最大值．19．（12分）如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，，，，，為棱的中點．（1）證明：；（2）若，二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值．20．（12分）已知在平面直角坐標系中，拋物線：的焦點為，過點的直線與交于，兩點，且．（1）求的標準方程；（2）已知為軸上的點，直線與的另一個交點為，直線與的另一個交點為，當直線的斜率為1時，求點的坐標．21．（12分）已知函數(shù)．（1）當時，求的單調區(qū)間；（2）若存在零點，求實數(shù)的取值范圍．22．（12分）現(xiàn)有甲、乙兩個不透明盒子，甲盒子裝有2個紅球和2個白球，乙盒子裝有4個白球，這些球的大小、形狀、質地完全相同．在一次球交換過程中，從甲盒子與乙盒子中各隨機選擇1個球進行交換，重復次這樣的交換過程后，甲盒子里裝有紅球的個數(shù)為．（1）求的概率分布及數(shù)學期望；（2）求．廣東省2023—2024學年高三11月統(tǒng)一調研測試數(shù)學參考答案及評分細則1．【答案】B【解析】由題意可得，所以，則，故選B．2．【答案】C【解析】因為，因為，所以，所以，，，，故選C．3．【答案】A【解析】所求概率為，故選A．4．【答案】D【解析】因為，且，所以，即，所以，設與的夾角為，則，因為，所以，即與的夾角為，故選D．5．【答案】A【解析】由題設易知，且，設，則函數(shù)開口向上且對稱軸為，所以在上單調遞增，則為增函數(shù)，所以．要使在上單調遞增，則，即，所以，要使對恒成立，則只需，．綜上，．所以“”是“函數(shù)在上單調遞增”的充分不必要條件，故選A．6．【答案】C【解析】易知兩曲線有公共的右焦點，根據(jù)題意，，，根據(jù)橢圓的定義得到，根據(jù)雙曲線的定義得到，故，，又，所以，從而，，故選C．7．【答案】B【解析】方法一：記，由題意得，，為銳角，則即有最大值當且僅當即時取等號，此時也最大，故選B．方法二：設，，以點為坐標原點，，分別為軸、軸建立平面直角坐標系，則，，，，所以，所以可齊次化，不妨設，，則所以當，即時，取最小值，又因為是銳角，此時最大，，故選B．8．【答案】D【解析】由題，，且前8項為1，2，，，，，，所以當時，；當時，．所以，其中，所以，所以，，所以不滿足的分別為，，，，，，，故選D．9．【答案】BC【解析】由題得，所以，所以A錯誤；根據(jù)定義極差為，B正確；因為，40%分位數(shù)為7，C正確；根據(jù)方差公式，方差為，D錯誤，故選BC．10．【答案】ACD【解析】對于A：，A正確；對于B：，B錯誤；對于C：，C正確；對于D：，D正確，故選ACD．11．【答案】ABC【解析】設，所以當，即時，取得最小值，A正確；四邊形的周長為，當取最小值時，四邊形的周長最小為8，B正確；因為，所以，又因為，所以，則，C正確；外接圓的面積最小為，無最大值，D錯誤，故選ABC．12．【答案】ACD【解析】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以．由，得，所以，故選項A正確；因為可化為，令，則為上可導的奇函數(shù)，，且，所以的圖象關于直線對稱，且是以4為周期的函數(shù)，所以，所以，故選項B錯誤；因為在區(qū)間上單調遞增，，所以在區(qū)間上單調遞增．由對稱性得在區(qū)間上單調遞減，所以，即，所以，故選項C正確；因為，所以，從而，解得．由，得，，從而是以4為周期的函數(shù)，所以，，所以，故選項D正確．故選ACD．13．【答案】【解析】因為的最小正周期為，所以的最小正周期為．14．【答案】5【解析】由得，，所以．15．【答案】【解析】依題設，則，由，可得點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓．，當且僅當取等號，即，故．16．【答案】【解析】記以為球心為半徑的球面與底面的交線半徑為，正三棱柱的高為，則，且，解得，，則三棱柱的表面在球內部分的總面積為17．解：（1）若選擇①，，（1分）則等差數(shù)列的公差，（3分）所以，所以（5分）若選擇②，（1分）則等比數(shù)列的公比滿足，又，故，（3分）所以，．（5分）若選擇③，因為，則，，（1分）解得．故，（3分）當時；又，符合上式，所以．（5分）（2）由（1）知，所以，．（7分）（10分）【評分細則】第（2）問結果沒有化簡或化簡錯的，只要有這一步，整體只扣1分．18．解：（1）由及正弦定理，得，即，（2分）又中，，則，故，（4分）又，則．（6分）（2）因為所以，當且僅當時取等號．（8分）因為為邊的中點，所以，兩邊平方得到故，當且僅當時取等號．故的最大值為．（12分）【評分細則】1．第（1）問凡是有推理不嚴密，如漏，等，整體只扣1分，不多次扣分；2．第（2）問用其他方法做，只要推理與結果對，也給滿分，但過程中利用基本不等式求最值時，至少要有一處說明取等條件（或），否則扣1分．19．（1）證明：連接，在中，因為，，，所以由余弦定理得，，因為，所以，因為四邊形為平行四邊形，所以，所以．（2分）又因為，，，平面，所以平面．（4分）因為平面，所以．（5分）（2）解：因為，，，，平面，所以平面．又因為，所以，，兩兩相互垂直，以為坐標原點，，，所在的直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．（6分）因為，，所以為二面角的平面角，即．（7分）在中，，，，所以．因為為棱的中點，所以．根據(jù)條件，，，，所以，，（9分）設平面的法向量為，則?。?1分）設直線與平面所成的角為，則即直線與平面所成角的正弦值為．（12分）【評分細則】第（2）問可能存在其他建系方法，只要推理與結果正確，同樣給滿分．20．解：（1）因為，，所以，又，所以，，故的標準方程為：．（4分）（2）設，，，，，的方程為，由得．則，，同理．（7分）所以直線的斜率為（9分）設的方程為，聯(lián)立得．則所以，，所以點的坐標為．（12分）【評分細則】1．第（1）問只求出給2分；2．第（2）問利用其它的參數(shù)計算直線MN的斜率和點E的坐標，只要結果正確也同樣給分．21．解：（1）當時，，，則，（1分）當時，，，故；當時，，故，故的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為．（4分）（2）方法一：，，令，則，則在上單調遞增．取，取，（5分）又在上圖象不間斷，且在上單調遞增，故存在唯一的使得，即．（6分）當時，；當時，，故在上單調遞減，在上單調遞增．因此（9分）當時，即時，，，故，此時無零點；當時，即時，故，此時有1個零點為1；（10分）當時，即時，，，故，取，則，又在上圖象不間斷，故存在：使得，即此時存在零點．（11分）綜上所述，存在零點時，實數(shù)的取值范圍為．（12分）方法二：由（1）知當時，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，且，當且僅當時取等號，故有1個零點；（5分）當時，，即，故沒有零點；（6分）當時，構造函數(shù)，證明（過程略），從而對恒成立；構造函數(shù)，證明（過程略），從而．因此，，故．又，且在上圖象不間斷，故存在，使得，即此時存在零點．（11分）綜上所述，存在零點時，實數(shù)的取值范圍為．（12分）方法三：令，，令，則當時，；當時，，所以當時，取得最小值，若函數(shù)存在零點，則有解，所以．（8分）當時，，令，又因為在上圖象不間斷，故存在，使得，綜上所述，存在零點時，實數(shù)的取值范圍為．（12分）【評分細則】1．第（1）問僅正確求得單調遞增區(qū)間、單調遞減區(qū)間中的一個扣2分；2．第（2）問相關解法中涉及到的取點（不唯一）是否取到，不影響后續(xù)步驟的得分