2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)?？键c(diǎn)精練（蘇科版）：專題17 勾股定理的證明方法（原卷版）

專題17勾股定理的證明方法1．如圖，等腰直角三角板如圖放置．直角頂點(diǎn)在直線上，分別過(guò)點(diǎn)、作直線m于點(diǎn)，直線于點(diǎn).（1）求證：；（2）若設(shè)三邊分別為、、，猜想、、存在什么關(guān)系，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．2．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室：制作4張全等的直角三角形紙片（如圖1），把這4張紙片拼成以弦長(zhǎng)c為邊長(zhǎng)的正方形構(gòu)成“弦圖”（如圖2），古代數(shù)學(xué)家利用“弦圖”驗(yàn)證了勾股定理．探索研究：（1）小明將“弦圖”中的2個(gè)三角形進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)變換，得到圖3，請(qǐng)利用圖3證明勾股定理；數(shù)學(xué)思考：（2）小芳認(rèn)為用其它的方法改變“弦圖”中某些三角形的位置，也可以證明勾股定理．請(qǐng)你想一種方法支持她的觀點(diǎn)（先在備用圖中補(bǔ)全圖形，再予以證明）．3．如圖，對(duì)任意符合條件的直角三角形，饒其銳角頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得，所以，且四邊形是一個(gè)正方形，它的面積和四邊形面積相等，而四邊形面積等于和的面積之和，根據(jù)圖形寫出一種證明勾股定理的方法．4．（1）如圖①是一個(gè)重要公式的幾何解釋．請(qǐng)你寫出這個(gè)公式；（2）如圖②，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B＝∠D＝90°，且B、C、D三點(diǎn)在一條直線上．試證明∠ACE＝90°；（3）伽菲爾德(Garfield，1881年任美國(guó)第20屆總統(tǒng))利用（1）中的公式和圖②證明了勾股定理(1876年4月1日，發(fā)表在《新英格蘭教育日志》上)，現(xiàn)請(qǐng)你嘗試該證明過(guò)程．5．我們已經(jīng)知道一些特殊的勾股數(shù)，如三連續(xù)正整數(shù)中的勾股數(shù)：3、4、5；三個(gè)連續(xù)的偶數(shù)中的勾股數(shù)6、8、10；事實(shí)上，勾股數(shù)的正整數(shù)倍仍然是勾股數(shù)．(1)另外利用一些構(gòu)成勾股數(shù)的公式也可以寫出許多勾股數(shù)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出的公式：a＝2n+1，b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1(n為正整數(shù))是一組勾股數(shù)，請(qǐng)證明滿足以上公式的a、b、c的數(shù)是一組勾股數(shù)．(2)然而，世界上第一次給出的勾股數(shù)公式，收集在我國(guó)古代的著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，書中提到：當(dāng)a＝(m2﹣n2)，b＝mn，c＝(m2+n2)(m、n為正整數(shù)，m＞n時(shí)，a、b、c構(gòu)成一組勾股數(shù)；利用上述結(jié)論，解決如下問(wèn)題：已知某直角三角形的邊長(zhǎng)滿足上述勾股數(shù)，其中一邊長(zhǎng)為37，且n＝5，求該直角三角形另兩邊的長(zhǎng)．6．一個(gè)直立的火柴盒在桌面上倒下,啟迪人們發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一種新的驗(yàn)證方法如圖,火柴盒的一個(gè)側(cè)面ABCD倒下到的位置,連接,設(shè),,,請(qǐng)利用四邊形的面積驗(yàn)證勾股定理：．7．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽曾用圖1證明了勾股定理，這個(gè)圖形被稱為“弦圖”.2002年在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)(ICM2002)的會(huì)標(biāo)(圖2)，其圖案正是由“弦圖”演變而來(lái).“弦圖”是由4個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形組成，恰好拼成一個(gè)大正方形請(qǐng)你根據(jù)圖1解答下列問(wèn)題:(1)敘述勾股定理(用文字及符號(hào)語(yǔ)言敘述);(2)證明勾股定理;(3)若大正方形的面積是,小正方形的面積是,求的值.8．圖1是任意一個(gè)RtΔABC，它的兩條直角邊的邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c.將4個(gè)RtΔABC和正方形①②拼成一個(gè)以a+b為邊長(zhǎng)的正方形，如圖2所示.將4個(gè)RtΔABC和正方形③拼成一個(gè)以a+b為邊長(zhǎng)的正方形，如圖3所示.（1）圖中正方形①②③的面積分別是多少?（2）