基于反應(yīng)擴散方程的水質(zhì)模擬

基于反應(yīng)擴散方程的水質(zhì)模擬

0數(shù)學模型的基本形式隨著經(jīng)濟的快速發(fā)展和人類活動的增多，中國的環(huán)境事故日益嚴重。其中，污染事件是中國環(huán)境事件的主要類型。使用數(shù)學模型進行水質(zhì)模擬計算具有靈活性、快速性和可操作性的優(yōu)點。有助于決策部門了解污染帶的遷移和污染物的時間和空間變化，捕捉污染物對下游水體的影響，及時、準確地估算事故的發(fā)展。這些數(shù)學模型通常是以反應(yīng)擴散方程的形式模擬的。反應(yīng)擴散方程(Reaction-diffusionequation)的基本形式是:?P?x=DΔP+f(t,x,P),?Ρ?x=DΔΡ+f(t,x,Ρ),這里的P是密度函數(shù);D是擴散系數(shù);DΔP是擴散項;f(t,x,P)是反應(yīng)項;在這里ΔP=div(?P)=∑i=1n?2P?x2i.(?Ρ)=∑i=1n?2Ρ?xi2.在對水污染擴散問題的研究中發(fā)現(xiàn),在水流湍急的河流或者污染物擴散受水溫影響的情況下,有時污染物的擴散速度相較于水流速度微不足道,這時沒有擴散項的一階傳遞方程(Firstordertransportequation)數(shù)學模型更能精確的模擬出水污染的真實情況.筆者所要研究的就是一類基于一階傳遞偏微分方程的水污染模型.選取2005年11月13日吉林雙苯廠爆炸導致的松花江水污染事故為研究對象,建立一階傳遞方程的水污染模型,并對其進行求解.1硝基苯濃度計算2005年11月13日吉林雙苯廠的事故導致松花江受硝基苯污染.選取哈爾濱以下江段,因為這一江段中污染物硝基苯在整個河流的橫斷面上已經(jīng)基本混合均勻,并且硝基苯在低溫的冬季很難降解.假設(shè)在沿程江段沒有硝基苯的再排入,并且因為相對于松花江的長度,江水的寬度和深度可以忽略不計,因此可以用一維模型進行水質(zhì)預測:?N?t=D?2N?x2?u0?N?x?kN,?Ν?t=D?2Ν?x2-u0?Ν?x-kΝ,這里的N表示污染物硝基苯的濃度,單位為mg/L;t表示污染時間,單位為h;x表示江水流動距離,單位為km;u0表示縱向水流流速,單位為km/h;D表示污染物硝基苯的擴散系數(shù),單位為km2/h;k表示污染物硝基苯的衰減速率系數(shù),單位為h-1.選取巴彥港斷面以下水流流速較快的江段,可以建立一階傳遞方程的模型進行水質(zhì)模擬:????????????N?t=?u0?N?x?kN,x>0,t>0,N(x,0)=0,x>0,N(0,t)=P>0,t>0,N(∞,t)=0,t>0,(1){?Ν?t=-u0?Ν?x-kΝ,x>0,t>0,Ν(x,0)=0,x>0,Ν(0,t)=Ρ>0,t>0,Ν(∞,t)=0,t>0,(1)其中P是巴彥港斷面硝基苯的濃度值,單位為mg/L;其他符號表示的意義同上.由Fick定律知流量(flux)與梯度(?N?x)(?Ν?x)成正比,指向相反的方向(因為流動總是從高密度區(qū)域流向低密度區(qū)域),另外還要減掉污染物硝基苯自身的衰減(kN),這樣就得到了一階傳遞方程.初始時刻這段水域中硝基苯的濃度為0,這確定了模型的初值條件.任意時刻,巴彥港斷面的濃度值為P并且離巴彥港很遠的江水中不含有硝基苯,因此確定了模型的邊值條件.2硝基苯磺酸鹽系的建立求解一階傳遞方程的一維模型(1).求解過程:令z(s)=N(x+u0s,t+s)(向量函數(shù)),那么可以得到z′(s)=?N(x+u0s,t+s)?x?u0+?N(x+u0s,t+s)?t.z′(s)=?Ν(x+u0s,t+s)?x?u0+?Ν(x+u0s,t+s)?t.由(1)第一個方程得z′(s)=-kN(x+u0s,t+s)=-kz(s)解得z(s)=z(0)·e-ks.(2)由定義的向量函數(shù)得z(0)=N(x,t),z(-t)=N(x-u0t,0).又由(2)得z(-t)=z(0)·e-k(-t)=z(0)·ekt=N(x,t)·ekt,這樣就得到N(x-u0t,0)=N(x,t)·ekt,即N(x,t)=N(x-u0t,0)·e-kt.當x-u0t>0時,由(1)第二個方程得N(x-u0t,0)=0,因此N(x,t)=0.當x-u0t<0時,由定義的向量函數(shù)得z(?xu0)=N(0,t?xu0)z(-xu0)=Ν(0,t-xu0).同理可得z(?xu0)=z(0)?e?k(?xu0)=z(0)?ekxu0=z(-xu0)=z(0)?e-k(-xu0)=z(0)?ekxu0=N(x,t)?ekxu0,Ν(x,t)?ekxu0,這樣就得到N(0,t?xu0)=N(x,t)?ekxu0Ν(0,t-xu0)=Ν(x,t)?ekxu0,即N(x,t)=N(0,t?xu0)?e?kxu0.Ν(x,t)=Ν(0,t-xu0)?e-kxu0.再由(1)第三個方程得N(x,t)=P?e?kxu0.Ν(x,t)=Ρ?e-kxu0.因此方程組(1)的解為N(x,t)={0,x?u0t>0,P?e?kxu0,x?u0t<0.(3)Ν(x,t)={0,x-u0t>0,Ρ?e-kxu0,x-u0t<0.(3)由(3)式可以看出,硝基苯的濃度以x1(x1=u0t)點為臨界點,在x<x1時硝基苯的濃度在隨著x的增大而減小,即江水中的污染物隨著江水流動距離的增加而不斷減少;在x>x1時硝基苯的濃度變成0,即在x1點之后的江水中不含有污染物.因此決策部門應(yīng)該采取措施大力控制x<x1這一江段的污染物.另外在結(jié)果中也可以看出對于一個固定的地點x0,當t<x1u0t<x1u0時硝基苯的濃度為0,即江水的這一橫截面在時間t=x1u0t=x1u0之前不含有污染物.例如在松花江上巴彥港至佳木斯這一江段,因為松花江豐水期是在6～9月,枯水期是在12～2月,雖然事故發(fā)生在正要進入枯水期的11月,但由于為了緩解污染,上游水庫大流量不規(guī)則的放水,并且這一江段地形多為斷崖、低丘和草地,水流湍急,因此可以應(yīng)用前面的