專題21.8一元二次方程的應(yīng)用：傳播比賽數(shù)字問題（重難點培優(yōu)）-【講練課堂】2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典（解析版）【人教版】

【講練課堂】2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典【人教版】專題21.8一元二次方程的應(yīng)用：傳播比賽數(shù)字問題（重難點培優(yōu)）【名師點睛】一、列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”1．審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系．2．設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)．3．列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程．4．解：準(zhǔn)確求出方程的解．5．驗：檢驗所求出的根是否符合所列方程和實際問題．6．答：寫出答案．二、傳播問題【典例剖析】【例1】．（2022?南寧模擬）有兩個人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有242人患了流感．（1）每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？（2）若一個患流感的人打一個噴嚏噴出的病毒粒子（忽略觸角近似于球體）達8000萬個，且該流感病毒粒子的直徑為160納米．請完成下列填空及問題：①用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)據(jù)8000萬個為8×107個；②如圖，若把8000萬個病毒粒子最大縱切面圓面相切放在一條直線上，求這些病毒粒子縱切面的總直徑是多少米？（參考數(shù)據(jù)：1納米＝10﹣9米）【分析】（1）設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，根據(jù)題意列一元二次方程，求解即可；（2）①根據(jù)科學(xué)記數(shù)法表示即可；②根據(jù)題意，計算8×107×160×10﹣9即可．【解析】（1）設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，根據(jù)題意，得2（1+x）2＝242，解得x＝10，答：每輪傳染中平均一個人傳染了10個人；（2）①8000萬＝8×107，故答案為：8×107；②根據(jù)題意，得8×107×160×10﹣9＝12.8（米），答：這些病毒粒子縱切面的總直徑是12.8米．【變式】．（2022春?廬陽區(qū)校級期中）某種流感病毒，若有一人患了這種流感，則在每輪傳染中一人將平均傳染x人．（1）現(xiàn)有一人患上這種流感，求第一輪傳染后患病的人數(shù)（用含x的代數(shù)式表示）；（2）在進入第二輪傳染前，有兩位患者被及時隔離并治愈，問第二輪傳染后患病的人數(shù)會有21人嗎？【分析】（1）利用第一輪傳染后患病的人數(shù)＝1+在每輪傳染中一人傳染的人數(shù)，即可用含x的代數(shù)式表示出第一輪傳染后患病的人數(shù)；（2）利用第二輪傳染后患病的人數(shù)＝第一輪傳染后患病的人數(shù)﹣2+在每輪傳染中一人傳染的人數(shù)×（第一輪傳染后患病的人數(shù)﹣2），即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，結(jié)合x為正整數(shù)，即可得出第二輪傳染后患病的人數(shù)為21人的情況不會發(fā)生．【解析】（1）依題意得：第一輪傳染后患病的人數(shù)為（1+x）人．（2）依題意得：1+x﹣2+x（1+x﹣2）＝21，整理得：x2﹣1﹣21＝0，解得：x1＝，x2＝﹣．∵x1，x2都不是正整數(shù)，∴第二輪傳染后患病的人數(shù)為21人的情況不會發(fā)生．【滿分訓(xùn)練】一．選擇題（共10小題）1．（2022?包河區(qū)三模）受疫情反彈的影響，某景區(qū)今年3月份游客人數(shù)比2月份下降了40%，4月份又比3月份下降了50%，隨著疫情逐步得到控制，預(yù)計5月份游客人數(shù)將比2月份翻一番（即是2月份的2倍），設(shè)5月份與4月份相比游客人數(shù)的增長率為x，則下列關(guān)系正確的是（）A．（1﹣40%﹣50%）（1+x）＝2 B．（1﹣40%﹣50%）（1+x）2＝2 C．（1﹣40%）（1﹣50%）（l+x）2＝2 D．（1﹣40%）（1﹣50%）（1+x）＝2【分析】根據(jù)“5月份游客人數(shù)將比2月份翻一番（即是2月份的2倍）”列方程即可．【解析】根據(jù)題意，得（1﹣40%）（1﹣50%）（1+x）＝2，故選：D．2．（2022春?西湖區(qū)校級期中）某小區(qū)居民今年從三月開始到五月底全部接種新冠疫苗，已知該小區(qū)常駐人口2022人，三月已有600人接種新冠疫苗，四月、五月每月新接種人數(shù)都較前一個月有增長，且月增長率均為x，則下面所列方程正確的是（）A．600（1+x）2＝2022 B．600+600（1+x）2＝2022 C．600（1+x）+600（1+x）2＝2022 D．600+600（1+x）+600（1+x）2＝2022【分析】分別表示出四月和五月的人數(shù)即可列出方程．【解析】∵三月已有600人接種新冠疫苗，四月、五月實現(xiàn)接種人數(shù)較前一個月的平均增長率為x，∴四月份接種人數(shù)為600（1+x），五月份為600（1+x）2人，∴方程為：600+600（1+x）+600（1+x）2＝2022，故選：D．3．（2022春?杭州月考）某年級舉行籃球比賽，每一支球隊都和其他球隊進行了一場比賽，已知共舉行了21場比賽，那么共有（）支球隊參加了比賽．A．6 B．12 C．7 D．14【分析】設(shè)共有x支球隊參加了比賽，利用比賽的總場數(shù)＝參賽隊伍支數(shù)×（參賽隊伍支數(shù)﹣1）÷2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解析】設(shè)共有x支球隊參加了比賽，依題意得：x（x﹣1）＝21，整理得：x2﹣x﹣42＝0，解得：x1＝7，x2＝﹣6（不合題意，舍去），∴共有7支球隊參加了比賽．故選：C．4．（2022?前進區(qū)二模）新型冠狀病毒肺炎具有人傳人性，調(diào)查發(fā)現(xiàn)1人感染病毒后如果不隔離，那么經(jīng)過兩輪傳染將會有225人感染，若設(shè)1人平均感染x人，則x為（）A．14 B．15 C．16 D．17【分析】此題可設(shè)1人平均感染x人，則第一輪共感染（x+1）人，第二輪共感染x（x+1）+x+1＝（x+1）（x+1）人，根據(jù)題意列方程，然后解方程即可得到結(jié)論．【解析】設(shè)1人平均感染x人，依題意可列方程：（1+x）2＝225．解得：x1＝14，x2＝﹣16（不合題意舍去），即：x＝14，故選：A．5．（2022?禹城市模擬）如圖，這是一個三角點陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有1個點，第二行有2個點……，第n行有n個點……，前n行的點數(shù)和不能是以下哪個結(jié)果（）A．741 B．600 C．465 D．300【分析】前n行的點數(shù)之和為1+2+3+……+n＝n（n+1），再分別求出該代數(shù)式的值分別為741、600、465、300時n的值即可判斷．【解析】前n行的點數(shù)之和為1+2+3+……+n＝n（n+1），若前n行的點數(shù)之和為741，則n（n+1）＝741，解得n＝38或n＝﹣39（舍），即前38行的點數(shù)之和為741，不符合題意；若前n行的點數(shù)之和為600，則n（n+1）＝600，解得n＝﹣±，n不是整數(shù)，即不存在前n行的點數(shù)之和為600，符合題意；若前n行的點數(shù)之和為465，則n（n+1）＝465，解得n＝30或n＝﹣31（舍），即前30行的點數(shù)之和為465，不符合題意；若前n行的點數(shù)之和為300，則n（n+1）＝300，解得n＝24或n＝﹣25（舍），即前24行的點數(shù)之和為300，不符合題意；故選：B．6．（2021秋?津南區(qū)期中）要組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都賽一場），計劃安排21場比賽，應(yīng)邀請多少個隊參加比賽．設(shè)應(yīng)邀請x個隊參加比賽，則x的值為（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】根據(jù)賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都賽一場），計劃安排21場比賽列出方程即可．【解析】設(shè)應(yīng)邀請x個隊參加比賽，則列方程為x（x﹣1）＝21，解這個方程，得x1＝7，x2＝﹣6（舍去）．即x的值為7．故選：A．7．（2021秋?永年區(qū)期末）有1人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有81人患了流感，設(shè)每輪傳染中每人傳染x人，其中20%的人因自身抵抗力強而未患流感，則根據(jù)題意可列方程為（）A．0.2（1+x）2＝81 B．（1+0.2x）2＝81 C．0.8（1+x）2＝81 D．（1+0.8x）2＝81【分析】由于每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)是x人，其中20%的人因自身抵抗力強而未患流感，那么經(jīng)過第一輪后有（1+0.8x）人患了流感，經(jīng)過第二輪后有（1+0.8x）2人患了流感，再根據(jù)經(jīng)過兩輪傳染后共有81人患了流感即可列出方程．【解析】依題意得（1+0.8x）2＝81，故選：D．8．（2020秋?東?？h期末）某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干，支干、小分支的總數(shù)是91．設(shè)每個支干長出x個分支，則可列方程為（）A．x2+x+1＝91 B．（x+1）2＝91 C．x2+x＝91 D．x2+1＝91【分析】由題意設(shè)每個支干長出x個小分支，因為主干長出x個（同樣數(shù)目）支干，則又長出x2個小分支，則共有x2+x+1個分支，即可列方程．【解析】設(shè)每個支干長出x個小分支，根據(jù)題意列方程得：x2+x+1＝91．故選：A．9．（2021?岳麓區(qū)校級模擬）為了宣傳垃圾分類，小明寫了一篇倡議書，決定用微博轉(zhuǎn)發(fā)的方式傳播．他設(shè)計了如下的傳播規(guī)則：將倡議書發(fā)表在自己的微博上，再邀請n個好友轉(zhuǎn)發(fā)，每個好友轉(zhuǎn)發(fā)之后，又邀請n個互不相同的好友轉(zhuǎn)發(fā)，依此類推．已知經(jīng)過兩輪轉(zhuǎn)發(fā)后，共有111個人參與了宣傳活動，則n的值為（）A．9 B．10 C．11 D．12【分析】根據(jù)傳播規(guī)則結(jié)合經(jīng)過兩輪轉(zhuǎn)發(fā)后共有111個人參與了宣傳活動，即可得出關(guān)于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解析】依題意，得：1+n+n2＝111，解得：n1＝10，n2＝﹣11．故選：B．10．（2019秋?江岸區(qū)校級月考）一個兩位數(shù)等于它的十位數(shù)與個位數(shù)的和的平方的三分之一，且個位數(shù)字比十位數(shù)字大5，則這個兩位數(shù)是（）A．27 B．72 C．27或16 D．﹣27或﹣16【分析】設(shè)這個兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，則個位數(shù)字為（x+5），根據(jù)該兩位數(shù)等于它的十位數(shù)與個位數(shù)的和的平方的三分之一，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其整數(shù)值即可得出結(jié)論．【解析】設(shè)這個兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，則個位數(shù)字為（x+5），依題意，得：10x+x+5＝（x+x+5）2，整理，得：4x2﹣13x+10＝0，解得：x1＝2，x2＝（不合題意，舍去），∴x+5＝7，∴這個兩位數(shù)是27．故選：A．二．填空題（共6小題）11．（2020秋?榕江縣校級期中）某次同學(xué)聚會時，每兩個人之間都相互握手一次，已知共握手36次，設(shè)參加聚會的同學(xué)人數(shù)為x人，則可列方程為x（x﹣1）＝36．．【分析】設(shè)參加聚會的人數(shù)是x人，每個人都與另外的人握手一次，則每個人握手（x﹣1）次，且其中任何兩個人的握手只有一次，因而共有x（x﹣1）次，設(shè)出未知數(shù)列方程解答即可．【解析】設(shè)參加聚會的人數(shù)是x人，根據(jù)題意列方程得，x（x﹣1）＝36，故答案為：x（x﹣1）＝36．12．（2020秋?禹州市期中）某市中學(xué)生籃球聯(lián)賽實行單循環(huán)制，參加的每兩支球隊之間都要進行一場比賽，共要比賽45場，設(shè)參加比賽的球隊有x支，根據(jù)題意，可列方程為x（x﹣1）＝45．【分析】利用比賽的總場次數(shù)＝參賽的隊伍數(shù)×（參賽的隊伍數(shù)﹣1），即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解析】設(shè)參加比賽的球隊有x支，依題意得：x（x﹣1）＝45．故答案為：x（x﹣1）＝45．13．（2019秋?海陵區(qū)校級期末）某人感染了某種病毒，經(jīng)過兩輪傳染共感染了121人．設(shè)該病毒一人平均每輪傳染x人，則關(guān)于x的方程為（1+x）2＝121．【分析】等量關(guān)系為：1+第一輪傳染的人數(shù)+第二輪傳染的人數(shù)＝121，把相關(guān)數(shù)值代入即可求得所求方程．【解析】∵1人患流感，一個人傳染x人，∴第一輪傳染x人，此時患病總?cè)藬?shù)為1+x；∴第二輪傳染的人數(shù)為（1+x）x，此時患病總?cè)藬?shù)為1+x+（1+x）x，∵經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，∴可列方程為：（1+x）2＝121．故答案為：（1+x）2＝121．14．（2020?通遼）有一個人患了新冠肺炎，經(jīng)過兩輪傳染后共有169人患了新冠肺炎，每輪傳染中平均一個人傳染了12個人．【分析】根據(jù)題意可得第一輪人數(shù)加第二輪人數(shù)，再加第三輪人數(shù)總數(shù)為169人，設(shè)平均每人感染x人，則列式為1+x+（x+1）x＝169．即可解答．【解析】設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，根據(jù)題意，得x+1+（x+1）x＝169x＝12或x＝﹣14（舍去）．答：每輪傳染中平均一個人傳染了12個人．故答案為：12．15．（2021?泗洪縣一模）已知3個連續(xù)整數(shù)的和為m，它們的平方和是n，且n＝11（m﹣8），則m＝15或18．【分析】設(shè)連續(xù)的整數(shù)分別為a，a+1，a+2，用a的代數(shù)式分別表示出m，n，再建立關(guān)于a的方程求出a即可．【解析】設(shè)三個整數(shù)分別為a，a+1，a+2，所以m＝3a+3，n＝a2+（a+1）2+（a+2）2＝3a2+6a+5，由n＝11（m﹣8），所以3a2+6a+5＝11（3a﹣5），解得a＝4或5，則m＝15或18．16．（2019秋?撫州期末）九年級8班第一小組x名同學(xué)在慶祝2020年新年之際，互送新年賀卡，表達同學(xué)間的真誠祝福，全組共送出賀卡30張，則x的值是6．【分析】由8班第一小組共送出賀卡30張，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解析】依題意，得：x（x﹣1）＝30，解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合題意，舍去）．故答案為：6．三．解答題（共6小題）17．（2022?白云區(qū)一模）老張與老李購買了相同數(shù)量的種兔．（1）一年后，老張養(yǎng)兔數(shù)比買入種兔數(shù)增加了2只，老李養(yǎng)兔數(shù)比買入種兔數(shù)的2倍少1只，老張養(yǎng)兔數(shù)不超過老李養(yǎng)兔數(shù)的，一年前老張至少買了多少只種兔？（2）兩年后，老張的養(yǎng)兔數(shù)比買入種兔數(shù)增加了69%．若這兩年兔子數(shù)目的增長率不變，則每年的增長率為多少？【分析】（1）設(shè)一年前老張買了x只種兔，則一年后老張養(yǎng)兔數(shù)為（x+2）只，老李養(yǎng)兔數(shù)為（2x﹣1）只，根據(jù)一年后老張養(yǎng)兔數(shù)不超過老李養(yǎng)兔數(shù)的，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結(jié)論；（2）設(shè)每年的增長率為y，利用兩年后老張的養(yǎng)兔數(shù)＝購進的種兔數(shù)×（1+每年的增長率）2，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解析】（1）設(shè)一年前老張買了x只種兔，則一年后老張養(yǎng)兔數(shù)為（x+2）只，老李養(yǎng)兔數(shù)為（2x﹣1）只，依題意得：x+2≤（2x﹣1），解得：x≥8．答：一年前老張至少買了8只種兔．（2）設(shè)每年的增長率為y，依題意得：（1+y）2＝1+69%，解得：y1＝0.3＝30%，y2＝﹣2.3（不合題意，舍去）．答：每年的增長率為30%．18．（2020?大連二模）2020年3月，新冠肺炎疫情在中國已經(jīng)得到有效控制，但在全球卻開始持續(xù)蔓延，這是對人類的考驗，將對全球造成巨大影響．新冠肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒，未進行有效隔離，經(jīng)過兩輪傳染后共有256人患新冠肺炎，求：（1）每輪傳染中平均每個人傳染了幾個人？（2）如果這些病毒攜帶者，未進行有效隔離，按照這樣的傳染速度，第三輪傳染后，共有多少人患病？【分析】（1）設(shè)每輪傳染中平均每個人傳染了x個人，根據(jù)一人患病后經(jīng)過兩輪傳染后共有256人患病，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)經(jīng)過三輪傳染后患病人數(shù)＝經(jīng)過兩輪傳染后患病人數(shù)×（1+15），即可求出結(jié)論．【解析】（1）設(shè)每輪傳染中平均每個人傳染了x個人，依題意，得：1+x+x（1+x）＝256，解得：x1＝15，x2＝﹣17（