專題21.13 反比例函數(shù)的應(yīng)用【六大題型】（舉一反三）（滬科版）（解析版）

專題21.13反比例函數(shù)的應(yīng)用【六大題型】【滬科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1圖形問題】 1【題型2表格問題】 4【題型3工程問題】 9【題型4行程問題】 13【題型5銷售問題】 17【題型6物理問題】 23【知識點1反比例函數(shù)的應(yīng)用】求函數(shù)解析式的方法：待定系數(shù)法（2）根據(jù)實際意義求函數(shù)解析式【題型1圖形問題】【例1】（2022秋?岳陽月考）如圖，科技小組準備用材料圍建一個面積為60m2的矩形科技園ABCD，其中一邊AB靠墻，墻長為12m，設(shè)AD的長為xm，DC的長為ym．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)實際情況，對于（1）式中的函數(shù)自變量x能否取值為4m，若能，求出y的值，若不能，請說明理由；（3）若圍成矩形科技園ABCD的三邊材料總長不超過26m，材料AD和DC的長都是整米數(shù)，求出滿足條件的所有圍建方案．【分析】（1）根據(jù)面積為60m2，可得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）直接把x＝4代入得出y的值進而比較即可；（3）由（1）的關(guān)系式，結(jié)合x、y都是正整數(shù)，可得出x的可能值，再由三邊材料總長不超過26m，DC的長＜12，可得出x、y的值，繼而得出可行的方案．【解答】解：（1）由題意得，S矩形ABCD＝AD×DC＝xy，故y=60x．（5≤（2）不能．當(dāng)x＝4時，y＝15＞12，不合題意；（3）由y=60x，且x、可得x可取1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60，∵2x+y≤26，0＜y≤12，∴符合條件的圍建方案為：AD＝5m，DC＝12m或AD＝6m，DC＝10m或AD＝10m，DC＝6m．【變式1-1】（2022秋?曲陽縣期末）一菱形的面積為12cm2，它的兩條對角線長分別acm，bcm，則a與b之間的函數(shù)關(guān)系為a＝24b；這個函數(shù)的圖象位于第一【分析】菱形的面積＝對角線乘積的一半，列出關(guān)系式，寫出a與b的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)變量的取值，確定函數(shù)所在的象限．【解答】解：由菱形的面積公式得ab＝24，則a=24∵a＞0，b＞0，∴這個函數(shù)的圖象位于第一象限．【變式1-2】（2022?濱江區(qū)二模）用若根火柴首尾相接擺成一個矩形，設(shè)每一根火柴的長度為1，矩形兩條鄰邊的長分別別為x，y，要求擺成的矩形的面積為8．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達式；（2）能否擺成正方形？請說明理由．【分析】（1）根據(jù)長方形的長＝面積÷寬列出函數(shù)解析式即可；（2）正方形的邊長相等，說明x、y相等，進一步開方，是整數(shù)即可，否則不成立．【解答】解：（1）y=8x（x＝1，2，4，（2）不能擺成正方形．理由如下：因為x2＝8，解得：x＝22，不是整數(shù)，所以不能擺成正方形．【變式1-3】（2022春?江干區(qū)期末）在面積都相等的所有三角形中，當(dāng)其中一個三角形的一邊長x為1時，這條邊上的高y為6．（1）①求y關(guān)于x的函數(shù)表達式；②當(dāng)x≥3時，求y的取值范圍；（2）小李說其中有一個三角形的一邊與這邊上的高之和為4，小趙說有一個三角形的一邊與這邊上的高之和為6．你認為小李和小趙的說法對嗎？為什么？【分析】（1）①直接利用三角形面積求法進而得出y與x之間的關(guān)系；②直接利用x≥3得出y的取值范圍；（2）直接利用x+y的值結(jié)合根的判別式得出答案．【解答】解：（1）①S△=12×1×6∵x為底，y為高，∴12xy＝3∴y=6②當(dāng)x＝3時，y＝2，∴當(dāng)x≥3時，y的取值范圍為：0＜y≤2；（2）小趙的說法正確，理由：小李：∵小李說其中有一個三角形的一邊與這邊上的高之和為4，∴x+6x整理得，x2﹣4x+6＝0，∵△＝42﹣4×6＜0，∴一個三角形的一邊與這邊上的高之和不可能是4；小趙：∵小趙說有一個三角形的一邊與這邊上的高之和為6．∴x+6x整理得，x2﹣6x+6＝0，∵△＝62﹣4×6＝12＞0，∴x=6±232∴小趙的說法正確．【題型2表格問題】【例2】（2022?新華區(qū)校級一模）某電子科技公司研發(fā)出一套學(xué)習(xí)軟件，并對這套學(xué)習(xí)軟件在24周的銷售時間內(nèi)，做出了下面的預(yù)測：設(shè)第x周該軟件的周銷售量為T（單位：千套），當(dāng)0＜x≤8時，T與x+4成反比；當(dāng)8＜x≤24時，T﹣2與x成正比，并預(yù)測得到了如表中對應(yīng)的數(shù)據(jù)．設(shè)第x周銷售該軟件每千套的利潤為K（單位：千元），K與x滿足如圖中的函數(shù)關(guān)系圖象：x/周824T/千套1026（1）求T與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）觀察圖象，當(dāng)12≤x≤24時，K與x的函數(shù)關(guān)系式為K＝﹣x+44．（3）設(shè)第x周銷售該學(xué)習(xí)軟件所獲的周利潤總額為y（單位：千元），則：①在這24周的銷售時間內(nèi)，是否存在所獲周利潤總額不變的情況？若存在，求出這個不變的值；若不存在，請說明理由．②該公司銷售部門通過大數(shù)據(jù)模擬分析后認為，最有利于該學(xué)習(xí)軟件提供售后服務(wù)和銷售的周利潤總額的范圍是286≤y≤504，求在此范圍內(nèi)對應(yīng)的周銷售量T的最小值和最大值．【分析】（1）通過待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式．（2）觀察圖象，分析函數(shù)圖象性質(zhì)，分段求解．（3）分析并理解題意，列出一元二次方程解出答案．【解答】解：（1）當(dāng)0＜x≤8時，設(shè)T=mx+4（m≠根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，當(dāng)x＝8時，T＝10，∴10=m解得：m＝120，∴當(dāng)8＜x≤24時，設(shè)T﹣2＝nx（n≠0），根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，當(dāng)x＝24時，T＝26，∴26﹣2＝24n，解得：n＝1，∴T﹣2＝x，∴T＝x+2，綜上所述T與x的函數(shù)關(guān)系式為：∴120x+4（2）當(dāng)12≤x≤24時，設(shè)K與x的函數(shù)關(guān)系式為K＝kx+b，將x＝12，K＝32；x＝24，K＝20代入得：12k+b=3224+b=20解得：k=-1b=44∴當(dāng)12≤x≤24時，K與x的函數(shù)關(guān)系式為K＝﹣x+44，故答案為：K＝﹣x+44；（3）①存在，不變的值為240，由函數(shù)圖像得：當(dāng)0＜x≤12時，設(shè)K與x的函數(shù)關(guān)系式為K＝k1x+b1，將x＝0，K＝8；x＝12，K＝32代入得：b1解得：k1∴當(dāng)0＜x≤12時，K與x的函數(shù)關(guān)系式為K＝2x+8，∴當(dāng)0＜x≤8時，y＝KT＝（2x+8）120x+4=當(dāng)8＜x≤12時，y＝KT＝（2x+8）（x+2）＝2x2+12x+16；當(dāng)12＜x≤24時，y＝KT＝（x+2）（﹣x+44）＝﹣x2+42x+88，綜上所述，在這24周的銷售時間內(nèi)，存在所獲周利潤總額不變的情況，這個不變值為240．②當(dāng)8＜x≤12時，y＝2x2+12x+16＝2（x+3）2﹣2，拋物線的對稱軸為x＝﹣3，∴（Ⅰ）當(dāng)8＜x≤12時，在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而增大，當(dāng)2（x+3）2﹣2＝286時，解得：x1＝9，x2＝﹣15（舍去）；當(dāng)x＝12時，y取最大值，最大值為448，滿足286≤y≤504；當(dāng)x＝9時，周銷售量T的最小值為11；當(dāng)x＝12時，T取最大值14；（Ⅱ）當(dāng)12＜x≤24時，y＝﹣x2+42x+88＝﹣（x﹣21）2+529，拋物線的對稱軸為x＝21，當(dāng)x＝12時，y取最小值，最小值為448，滿足286≤y≤504；當(dāng)﹣（x﹣21）2+529＝504時，解得：x1＝16，x2＝26（舍去）；當(dāng)x＝12時，周銷售量T取最小值為14；當(dāng)x＝16時，T取最大值18；綜上所述，當(dāng)周利潤總額的范圍是286≤y≤504時，對應(yīng)周銷售量T的最小值是11千套，最大值是18千套．【變式2-1】（2022春?鄭州期末）小涂在課余時間找到了幾副度數(shù)不同的老花鏡，讓鏡片正對著太陽光，并上下移動鏡片，直到地上的光斑最?。梢哉J為是焦點），此時他測了鏡片與光斑的距離（可以當(dāng)做焦距），得到如下數(shù)據(jù)：老花鏡的度數(shù)D/度100120200250300焦距f/m10.80.50.40.3（1）老花鏡鏡片是凸的（凸的、凹的、平的），度數(shù)越高鏡片的中心越厚（越薄、越厚、沒有變化）；（2）觀察表中的數(shù)據(jù)，可以找出老花鏡的度數(shù)D與鏡片焦距f的關(guān)系，用關(guān)系式表示為：f=100D（3）如果按上述方法測得一副老花鏡的焦距為0.7m，可求出這幅老花鏡的度數(shù)為143度．【分析】（1）根據(jù)題意及常識可求解；（2）利用表格中的數(shù)據(jù)可求解D與f的關(guān)系式；（3）將f值代入計算可求解．【解答】解：（1）老花鏡鏡片是凸的，度數(shù)越高鏡片的中心越厚，故答案為：凸的；越厚；（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得：100×1＝100，120×0.8＝96，200×0.5＝100，250×0.4＝100，300×0.3＝90，則老花鏡的度數(shù)D與鏡片焦距f的關(guān)系可近似的看作f=100故答案為：f=100（3）當(dāng)f＝0.7m時，0.7=100解得D≈143，即這幅老花鏡的度數(shù)是143度．故答案為：143度．【變式2-2】（2022春?社旗縣期中）如圖，李老師設(shè)計了一個探究杠桿平衡條件的實驗：在一個自制問題似天平的儀器的左邊固定托盤A中放置一個重物，在右邊活動托盤B（可左右移動）中放置一定質(zhì)量的砝碼，使得儀器左右平衡．改變活動托盤B與點O的距離x（cm），觀察活動托盤B中砝碼的質(zhì)量y（g）的變化情況．實驗數(shù)據(jù)記錄如下表：x（cm）1015202530y（g）3020151210（1）猜測y與x之間的函數(shù)關(guān)系，求出函數(shù)關(guān)系式并加以驗證；（2）當(dāng)砝碼的質(zhì)量為24g時，活動托盤B與點O的距離是多少？（3）將活動托盤B往左移動時，應(yīng)往活動托盤B中添加還是減少砝碼？【分析】（1）觀察可得：x，y的乘積為定值300，故y與x之間的函數(shù)關(guān)系為反比例函數(shù)，將數(shù)據(jù)代入用待定系數(shù)法可得反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）把x＝24代入解析式求解，可得答案；（3）利用函數(shù)增減性即可得出，隨著活動托盤B與O點的距離不斷增大，砝碼的示數(shù)應(yīng)該不斷減小．【解答】解：（1）由圖象猜測y與x之間的函數(shù)關(guān)系為反比例函數(shù)，∴設(shè)y=kx（k≠把x＝10，y＝30代入得：k＝300，∴y=300將其余各點代入驗證均適合，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=300（2）把y＝24代入y=300x得：x＝∴當(dāng)砝碼的質(zhì)量為24g時，活動托盤B與點O的距離是12.5cm．（3）根據(jù)反比例函數(shù)的增減性，即可得出，隨著活動托盤B與O點的距離不斷減小，砝碼的示數(shù)會不斷增大；∴應(yīng)添加砝碼．【變式2-3】（2022春?常州期末）某公司從2014年開始投入技術(shù)改進資金，經(jīng)技術(shù)改進后，其產(chǎn)品的成本不斷降低，具體數(shù)據(jù)如下表：年度投入技改資金x/萬元產(chǎn)品成本y/（萬元/件）20142.514.4201531220164920174.58（1）分析下表中數(shù)據(jù)，請從一次函數(shù)和反比例函數(shù)中確定一個函數(shù)表示其變化規(guī)律，直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式：（2）按照這種變化規(guī)律，若2018年已投入資金6萬元．①預(yù)計2018年每件產(chǎn)品比2017年降低多少萬元？②若計劃在2018年把每件產(chǎn)品成本降低到5萬元，則還需要投入技改資金多少萬元？【分析】（1）利用已知數(shù)據(jù)可得橫縱坐標的積為定值，進而得出答案；（2）①利用所求函數(shù)解析式進而利用x＝6時求出y的值即可得出答案；②利用y＝5代入進而得出答案．【解答】解：（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)可得：能用反比例函數(shù)表示其變化規(guī)律，y與x的函數(shù)關(guān)系式是：y=36（2）①當(dāng)x＝6時，y＝6，則8﹣6＝2（萬元），答：預(yù)計2018年每件產(chǎn)品成本比2017年降低2萬元；②當(dāng)y＝5時，x＝7.2，7.2﹣6＝1.2（萬元），答：還需投入技改資金1.2萬元．【題型3工程問題】【例3】（2022?市南區(qū)校級二模）新冠肺炎疫情發(fā)生后，社會各界積極行動，以各種方式傾情支援湖北疫區(qū)，某車隊需要將一批生活物資運送至湖北疫區(qū)．已知該車隊計劃每天運送的貨物噸數(shù)y（噸）與運輸時間x（天）之間滿足如圖所示的反比例函數(shù)關(guān)系．（1）求該車隊計劃每天運送的貨物噸數(shù)y（噸）與運輸時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式；（不需要寫出自變量x的取值范圍）（2）根據(jù)計劃，要想在5天之內(nèi)完成該運送任務(wù)，則該車隊每天至少要運送多少噸物資？（3）為保證該批生活物資的盡快到位，該車隊實際每天運送的貨物噸數(shù)比原計劃多了25%，最終提前了1天完成任務(wù)，求實際完成運送任務(wù)的天數(shù)．【分析】（1）設(shè)反比函數(shù)的解析式，代入（2，100）即可求解；（2）設(shè)該車隊每天至少要運送m噸物資，根據(jù)題意列不等式，解不等式即可；（3）設(shè)原計劃每天運送貨物n噸，根據(jù)題意列分式方程，即可求出．【解答】解：（1）∵y與x滿足反比例函數(shù)關(guān)系，∴設(shè)y=kx，將點（2，解得k＝200，∴y=200（2）設(shè)該車隊每天至少要運送m噸物資，則5m≥200，則m≥40，∴該車隊每天至少要運送40噸物資．（3）設(shè)該車隊原計劃每天運送的貨物n噸，則實際每天運送的貨物為（1+25%）n噸，根據(jù)題意列方程得，200(1+25%)n解得n＝40，經(jīng)檢驗，n＝40是原方程的根，∴原計劃每天運送貨物40噸，實際每天運送貨物50噸，∴實際完成運送任務(wù)的天數(shù)是20050=【變式3-1】（2022?市南區(qū)模擬）某校綠色行動小組組織一批人參加植樹活動，完成任務(wù)的時間y（h）是參加植樹人數(shù)x（人）的反比例函數(shù)，且當(dāng)x＝20人時，y＝3h．（1）若平均每人每小時植樹4棵，則這次共計要植樹240棵；（2）當(dāng)x＝80時，求y的值；（3）為了能在1.5h內(nèi)完成任務(wù)，至少需要多少人參加植樹？【分析】（1）直接利用當(dāng)x＝20人時，y＝3h，平均每人每小時植樹4棵，即可得出這次共計要植樹的總棵數(shù)；（2）首先求出反比例函數(shù)解析式，進而利用當(dāng)x＝80時，得出y的值，進而得出答案；（3）利用y＝1.5時，求出x的值進而得出答案．【解答】解：（1）由題意可得：20×4×3＝240；故答案為：240；（2）設(shè)y與x的函數(shù)表達式為：y=kx（k≠∵當(dāng)x＝20時，y＝3．∴3=∴k＝60，∴y=60當(dāng)x＝80時，y=60（3）把y＝1.5代入y=601.5=60解得：x＝40，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，y隨x的增大而減小，所以為了能在1.5h內(nèi)完成任務(wù)，至少需要40人參加植樹．【變式3-2】（2022?仙居縣一模）縣政府計劃建設(shè)一項水利工程，工程需要運送的土石方總量為6×105（單位：m3），某運輸公司承擔(dān)了運送土石方的任務(wù)．（1）運輸公司平均運送速度v（單位：m3/天）與完成運送任務(wù)所需時間t（單位：天）之間具有怎樣的函數(shù)關(guān)系？（2）這個運輸公司共有80輛卡車，每天可運送土石方104（單位：m3），公司完成全部運輸任務(wù)需要多長時間？（3）當(dāng)公司以問題（2）中的速度工作了30天后，由于工程進度的需要，剩下的運輸任務(wù)必須在20天內(nèi)完成，則運輸公司至少要增加多少輛卡車？【分析】（1）由總量＝vt，求出v即可；（2）把v的值代入計算即可求出t的值；（3）設(shè)需要增加a輛卡車，每輛卡車每天運輸土石方為10480=125m3，求出前30天與后【解答】解（1）∵vt＝6×105，∴v=6×1（2）當(dāng)v＝104時，t=6×10答：公司完成全部運輸任務(wù)需要60天；（3）設(shè)需要增加a輛卡車，每輛卡車每天運輸土石方為10480=∵前30天運輸土石方：30×104＝3×105m3，∴后20天運輸土石方：6×105﹣3×105＝3×105，設(shè)30天后的每天運輸速度為v1，所需時間t1，∴v1=3×1由v1=3×105t1的性質(zhì)可知，當(dāng)t1＞0時，v∴20×125（a+80）≥3×105，∴a≥40，∴a得最小值是40，答：運輸公司至少要增加40輛卡車．【變式3-3】（2022秋?商州區(qū)校級期末）碼頭工人每天往一艘輪船上裝載貨物，平均每天裝載速度y（噸/天）與裝完貨物所需時間x（天）之間是反比例函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．（1）求這個反比例函數(shù)的表達式；（2）由于緊急情況，要求船上的貨物不超過5天卸貨完畢，那么平均每天至少要卸貨多少噸？（3）若碼頭原有工人10名，且每名工人每天的裝卸量相同，裝載完畢恰好用了8天時間，在（2）的條件下，至少需要增加多少名工人才能完成任務(wù)？【分析】（1）根據(jù)題意即可知裝載速度y（噸/天）與裝完貨物所需時間x（天）之間是反比例函數(shù)關(guān)系，則可求得答案；（2）由x＝5，代入函數(shù)解析式即可求得y的值，即求得平均每天至少要卸的貨物；（3）由10名工人，每天一共可卸貨50噸，即可得出平均每人卸貨的噸數(shù)，即可求得答案．【解答】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)表達式為y=k根據(jù)題意得：50=k解得k＝400，∴y與x之間的函數(shù)表達式為y=400（2）∵x＝5，∴y＝400÷5＝80，解得：y＝80；答：平均每天至少要卸80噸貨物；（3）∵每人一天可卸貨：50÷10＝5（噸），∴80÷5＝16（人），16﹣10＝6（人）．答：碼頭至少需要再增加6名工人才能按時完成任務(wù)．【題型4行程問題】【例4】（2022春?宜興市校級期末）一司機駕駛汽車從甲地去乙地，以80千米/小時的平均速度用6小時到達目的地．（1）當(dāng)他按原路勻速返回時，求汽車速度v（千米/小時）與時間t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果該司機勻速返回時，用了4.8小時，求返回時的速度；（3）若返回時，司機全程走高速公路，且勻速行駛，根據(jù)規(guī)定：最高車速不得超過每小時120公里，最低車速不得低于每小時60公里，試問返程時間的范圍是多少？【分析】（1）首先根據(jù)題意，求解可得：S＝V?t＝480，汽車速度v（千米/小時）與時間t（小時）之間為反比例函數(shù)關(guān)系式，將數(shù)據(jù)代入用待定系數(shù)法可得反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）由（1）中的解析式和t＝4.8可進一步求解可得v的值；（3）根據(jù)題意或結(jié)合圖象可知，分別計算v＝120時和v＝60時t的值即可求得范圍．【解答】解：（1）∵s＝80×6＝480∴汽車速度v（千米/小時）與時間t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系式：v=（2）當(dāng)t＝4.8時，v=4804.8答：返回時的速度為100千米/小時．（3）如圖，k＝480＞0，t隨v的減小而增大，當(dāng)v＝120時，t＝4，當(dāng)v＝60時，t＝8，∴4≤t≤8．答：根據(jù)限速規(guī)定，返程時間不少于4小時且不多于8小時．【變式4-1】（2022春?相城區(qū)期末）一列貨車從北京開往烏魯木齊，以58km/h的平均速度行駛需要65h．為了實施西部大開發(fā)，京烏線決定全線提速．（1）如果提速后平均速度為vkm/h，全程運營時間為t小時，試寫出t與v之間的函數(shù)表達式；（2）如果提速后平均速度為78km/h，求提速后全程運營時間；（3）如果全程運營的時間控制在40h內(nèi)，那么提速后，平均速度至少應(yīng)為多少？【分析】（1）直接利用路程＝時間×速度得出總路程進而得出函數(shù)關(guān)系式；（2）利用總路程除以速度即可得出時間；（3）利用總路程除以時間即可得出平均速度．【解答】解：（1）由題意可得，總路程為58×65＝3770（km），則提速后平均速度為vkm/h，全程運營時間為t小時，故t與v之間的函數(shù)表達式為：t=3770（2）當(dāng)v＝78km/h時，t=377078=答：提速后全程運營時間為4813（3）∵全程運營的時間控制在40h內(nèi)，∴平均速度應(yīng)為：t≥377040答：提速后，平均速度至少應(yīng)為94.25km．【變式4-2】（2022?麗水）麗水某公司將“麗水山耕”農(nóng)副產(chǎn)品運往杭州市場進行銷售，記汽車行駛時間為t小時，平均速度為v千米/小時（汽車行駛速度不超過100千米/小時）．根據(jù)經(jīng)驗，v，t的一組對應(yīng)值如下表：v（千米/小時）7580859095t（小時）4.003.753.533.333.16（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出平均速度v（千米/小時）關(guān)于行駛時間t（小時）的函數(shù)表達式；（2）汽車上午7：30從麗水出發(fā)，能否在上午10：00之前到達杭州市場？請說明理由；（3）若汽車到達杭州市場的行駛時間t滿足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，可知v是t的反比例函數(shù)，設(shè)v=kt，利用待定系數(shù)法求出（2）根據(jù)時間t＝2.5，求出速度，即可判斷；（3）根據(jù)自變量的取值范圍，求出函數(shù)值的取值范圍即可；【解答】解：（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，可知v=k∵v＝75時，t＝4，∴k＝75×4＝300，∴v=300t（t≥（2）∵10﹣7.5＝2.5，∴t＝2.5時，v=3002.5=120∴汽車上午7：30從麗水出發(fā)，不能在上午10：00之前到達杭州市場．（3）∵3.5≤t≤4，∴75≤v≤600答：平均速度v的取值范圍是75≤v≤600【變式4-3】（2022?河北）如圖是輪滑場地的截面示意圖，平臺AB距x軸（水平）18米，與y軸交于點B，與滑道y=kx（x≥1）交于點A，且AB＝1米．運動員（看成點）在BA方向獲得速度v米/秒后，從A處向右下飛向滑道，點M是下落路線的某位置．忽略空氣阻力，實驗表明：M，A的豎直距離h（米）與飛出時間t（秒）的平方成正比，且t＝1時h＝5，M，A的水平距離是（1）求k，并用t表示h；（2）設(shè)v＝5．用t表示點M的橫坐標x和縱坐標y，并求y與x的關(guān)系式（不寫x的取值范圍），及y＝13時運動員與正下方滑道的豎直距離；（3）若運動員甲、乙同時從A處飛出，速度分別是5米/秒、v乙米/秒．當(dāng)甲距x軸1.8米，且乙位于甲右側(cè)超過4.5米的位置時，直接寫出t的值及v乙的范圍．【分析】（1）用待定系數(shù)法解題即可；（2）根據(jù)題意，分別用t表示x、y，再用代入消元法得出y與x之間的關(guān)系式；（3）求出甲距x軸1.8米時的橫坐標，根據(jù)題意求出乙位于甲右側(cè)超過4.5米的v乙．【解答】解：（1）把點A（1，18）代入y=kx，得，18∴k＝18，設(shè)h＝at2，把t＝1，h＝5代入，得，a＝5，∴h＝5t2．（2）∵v＝5，AB＝1米，∴x＝5t+1，∵h＝5t2，OB＝18米，∴y＝﹣5t2+18，由x＝5t+1，則t=1∴y=-1當(dāng)y＝13時，13=-1解得x＝6或﹣4，∵x≥1，∴x＝6，把x＝6代入，得，y=18y＝3，∴運動員與正下方滑道的豎直距離是13﹣3＝10（米）．（3）把y＝1.8代入y＝﹣5t2+18，得，t2=81解得t＝1.8或﹣1.8（負值舍去），∴x＝10，∴甲的坐標為（10，1.8），此時，乙的坐標為（1+1.8v乙，1.8），由題意：1+1.8v乙﹣（1+5×1.8）＞4.5，∴v乙＞7.5．∴t＝1.8，v乙＞7.5．【題型5銷售問題】【例5】（2022秋?新都區(qū)期末）2020年9月，中國在聯(lián)合國大會上向世界宣布了2030年前實現(xiàn)碳達峰、2060年前實現(xiàn)碳中和的目標．為推進實現(xiàn)這一目標，某工廠投入資金進行了為期6個月的升級改造和節(jié)能減排改造，導(dǎo)致月利潤明顯下降，改造期間的月利潤與時間成反比例函數(shù)關(guān)系；到6月底開始恢復(fù)全面生產(chǎn)后，工廠每月的利潤都比前一個月增加30萬元．設(shè)2021年1月為第1個月，第x個月的利潤為y萬元，其圖象如圖所示，試解決下列問題：（1）分別寫出該工廠對生產(chǎn)線進行升級改造前后y與x的函數(shù)表達式；（2）當(dāng)月利潤少于90萬元時，為該工廠的資金緊張期，則該工廠資金緊張期共有幾個月．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法可得到反比例函數(shù)解析式；由工廠每月的利潤都比前一個月增加30萬元，可求出改造后y與x的函數(shù)表達式；（2）對于y=180x，y＝90時，x＝2，得到x＞2時，y＜90，對于y＝30x﹣150，當(dāng)y＝90時，x＝【解答】解：（1）設(shè)改造前y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx，把x＝1，y＝180代入得，k＝∴改造前y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=180把x＝6代入得y=1806由題意設(shè)6月份以后y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝30x+b，把x＝6，y＝30代入得，30＝30×6+b，∴b＝﹣150，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝30x﹣150；（2）對于y=180x，y＝90時，x＝∵k＝180＞0，y隨x的增大而減小，∴x＞2時，y＜90，對于y＝30x﹣150，當(dāng)y＝90時，x＝8，∵k＝10＞0，y隨x的增大而增大，∴x＜8時，y＜90，∴2＜x＜8時，月利潤少于90萬元，∴該工廠資金緊張期共有5個月．【變式5-1】（2022?定海區(qū)模擬）某公司為了宣傳一種新產(chǎn)品，在某地先后舉行40場產(chǎn)品促銷會，已知該產(chǎn)品每臺成本為10萬元，設(shè)第x場產(chǎn)品的銷售量為y（臺），第一場銷售產(chǎn)品49臺，然后每增加一場，產(chǎn)品就少賣出1臺．（1）第5場銷售多少臺產(chǎn)品？并求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）產(chǎn)品的每場銷售單價P（萬元）由基本價和浮動價兩部分組成，其中基本價為10萬元，第1場～第20場浮動價與銷售場次x成正比，第21場～第40場浮動價與銷售場次x成反比，經(jīng)過統(tǒng)計，得到如表數(shù)據(jù)：x（場）31036P（萬元）10.61213①求P與x之間滿足的函數(shù)關(guān)系式．②當(dāng)產(chǎn)品銷售單價為13.6萬元時，求銷售場次是第幾場？③在這40場產(chǎn)品促銷會中，哪一場獲得的利潤最大，最大利潤是多少？【分析】（1）設(shè)第x場產(chǎn)品的銷售量為y（臺），根據(jù)已知第一場銷售產(chǎn)品49臺，然后每增加一場，產(chǎn)品就少賣出1臺，即第5場銷售的臺數(shù)和y與x之間滿足的函數(shù)關(guān)系式；（2）①根據(jù)題意可知每場銷售單價p（萬元）＝基本價+浮動價．設(shè)基本價為b，分兩種情況：第1場一第20場，設(shè)p與x的函數(shù)關(guān)系式為p＝ax+b，把（3，10.6），（10，12）代入，利用待定系數(shù)法求出p與x的函數(shù)關(guān)系式；第21場﹣﹣第40場，設(shè)p與x的函數(shù)關(guān)系式為p=mx+b，把（36，13）代入，利用待定系數(shù)法求出p與x的函數(shù)關(guān)系式；然后將p＝13②把13.6代入①中解析式，求解即可；②設(shè)每場獲得的利潤為w（萬元）．根據(jù)利潤＝（銷售單價﹣每臺成本）×銷售量，分①1≤x≤20；②21≤x≤40兩種情況，分別列出w與x的解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合自變量的取值范圍求出w的最大值，最后比較即可．【解答】（1）由題意，當(dāng)x＝5時，y＝45，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝50﹣x．∴第5場銷售45臺產(chǎn)品，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝50﹣x；（2）設(shè)基本價為b，①第1場～第20場，1≤x≤20且x為正整數(shù)，設(shè)P與x的函數(shù)關(guān)系式為P＝ax+b，依題意得：3a+b=10.610a+b=12解得：a=0.2b=10∴P＝0.2x+10．第21場～第40場，即21≤x≤40且x為正整數(shù)時，設(shè)P與x的函數(shù)關(guān)系式為P=m即P=m依題意得：13=m解得m＝108，∴P=108x∴當(dāng)1≤x≤20且x為正整數(shù)時，P與x之間滿足的函數(shù)關(guān)系式為p＝0.2x+0；當(dāng)21≤x≤40且x為正整數(shù)時，P與x之間滿足的函數(shù)關(guān)系式為P=108x②當(dāng)P＝13.6時，0.2x+10＝13.6，解得x＝18，或108x解得x＝30．故當(dāng)產(chǎn)品銷售單價為13.6萬元時，銷售場次是第18場和第30場；③設(shè)每場獲得的利潤為w（萬元）．當(dāng)1≤x≤20且x為正整數(shù)時，w＝（0.2x+10﹣10）（50﹣x）＝﹣0.2x2+10x＝﹣0.2（x﹣25）2+125，∵在對稱軸的左側(cè)，w隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝20時，w最大，最大利潤為﹣0.2（20﹣25）2+125＝120（萬元）．當(dāng)21≤x≤40且x為正整數(shù)時，w=(108∵w隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝21時，w最大，最大利潤為540021∵1491∴在這40場產(chǎn)品促銷會中，第21場獲得的利潤最大，最大利潤為1491【變式5-2】（2022?河北模擬）小米利用暑期參加社會實踐，在媽媽的幫助下，利用社區(qū)提供的免費攤點賣玩具，已知小米所有玩具的進價均2元/個，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：每天玩具銷售量y件與銷售價格x元/件的關(guān)系如圖所示，其中AB段為反比例函數(shù)圖象的一部分，BC段為一次函數(shù)圖象的一部分，設(shè)小米銷售這種玩具的日利潤為w元．（1）根據(jù)圖象，求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求出每天銷售這種玩具的利潤w（元）與x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求每天利潤的最大值；（3）若小米某天將價格定為超過4元（x＞4），那么要使得小米在該天的銷售利潤不低于54元，求該天玩具銷售價格的取值范圍．【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法得出反比例函數(shù)以及一次函數(shù)的解析式即可；（2）利用當(dāng)2≤x≤4時，當(dāng)4＜x≤14時，分別得出函數(shù)最值進而得出答案；（3）利用w＝54，得出x的值，進而得出答案．【解答】解（1）∵AB段為反比例函數(shù)圖象的一部分，A（2，40），∴當(dāng)2≤x≤4時，y=80∵BC段為一次函數(shù)圖象的一部分，且B（4，20）、C（14，0），∴設(shè)BC段為一次函數(shù)函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，有4k+b=2014k+b=0解得：k=-2∴當(dāng)4≤x≤14時，y＝﹣2x+28，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=80（2）當(dāng)2≤x≤4時，w＝（x﹣2）y＝（x﹣2）?80x=80∵隨著x的增大，-160x增大，w＝80∴當(dāng)x＝4時，w取得最大值為40，當(dāng)4＜x≤14時，w＝（x﹣2）y＝（x﹣2）（﹣2x+28）＝﹣2x2+32x﹣56，∵w＝﹣2x2+32x﹣56＝﹣2（x﹣8）2+72，﹣2＜0，4＜8＜14，∴當(dāng)x＝8時，w取得最大值為72，綜上所述，每天利潤的最大值為72元；（3）由題意可知：w＝﹣2x2+32x﹣56＝﹣2（x﹣8）2+72，令w＝54，即w＝﹣2x2+32x﹣56＝54，解得：x1＝5，x2＝11，由函數(shù)表達式及函數(shù)圖象可知，要使w≥54，5≤x≤11，∴當(dāng)5≤x≤11時，小米的銷售利潤不低于54元．【變式5-3】（2022?青羊區(qū)模擬）某學(xué)校小組利用暑假中前40天參加社會實踐活動，參與了一家網(wǎng)上書店的經(jīng)營，了解到一種成本為20元/本的書在x天銷售量p＝50﹣x，在第x天的售價為y（元/本），y與x的關(guān)系如圖所示．已知當(dāng)社會實踐活動時間超過一半后．y＝20+（1）請求出當(dāng)1≤x≤20時，y與x的函數(shù)關(guān)系式，請問第幾天此書的銷售單價為35元/本？（2）這40天中該網(wǎng)點銷售此書第幾天獲得的利潤最大？最大的利潤是多少？【分析】（1）當(dāng)1≤x≤20時，設(shè)y＝kx+b，將（1，30.5），（20，40）代入，利用待定系數(shù)法求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；然后在每個x的取值范圍內(nèi)，令y＝35，分別解出x的值即可；（2）利用利潤＝售價﹣成本，分別求出在1≤x≤20和21≤x≤40時，獲得的利潤w與x的函數(shù)關(guān)系式；再利用二次函數(shù)及反比例函數(shù)的性質(zhì)求出最大值，然后比較即可．【解答】解：（1）當(dāng)1≤x≤20時，設(shè)y＝kx+b，將（1，30.5），（20，40）代入得k+b=30.520k+b=40解得k=1則y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=12x當(dāng)1≤x≤20時，令12x+30＝35，解得x＝10當(dāng)21≤x≤40時，令20+315x=35，解得：x經(jīng)檢驗得x＝21是原方程的解且符合題意，即第10天或者第21天該商品的銷售單價為35元/件；（2）設(shè)該網(wǎng)店第x天獲得的利潤為w元．當(dāng)1≤x≤20時，w＝（12x+30﹣20）（50﹣x）=-12x2+15x+500=-12（x﹣∵-12∴當(dāng)x＝15時，w有最大值w1，且w1=1225當(dāng)21≤x≤40時，w＝（2022）（50﹣x）=15750x∵15750＞0，∴15750x隨x∴x＝21時，15750x于是，x＝21時，w有最大值w2，且w2=1575021-315∵w1＞w2，∴這40天中該網(wǎng)點銷售此書第10天獲得的利潤最大，最大的利潤是612.5元．【題型6物理問題】【例6】（2022?青秀區(qū)校級一模）學(xué)校的自動飲水機，開機加熱時每分鐘上升10℃，加熱到100℃，停止加熱，水溫開始下降．此時水溫y（℃）與通電時間x（min）成反比例關(guān)系．當(dāng)水溫降至20℃時，飲水機再自動加熱，若水溫在20℃時接通電源，水溫y與通電時間x之間的關(guān)系如圖所示，則下列說法中正確的是（）A．水溫從20℃加熱到100℃，需要7min B．水溫下降過程中，y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=400C．上午8點接通電源，可以保證當(dāng)天9：30能喝到不超過40℃的水 D．水溫不低于30℃的時間為773【分析】因為開機加熱時，飲水機每分鐘上升10℃，所以開機加熱到100℃，所用時間為100-2010=8min，故A不合題意，利用點（8，100），可以求出反比例函數(shù)解析式，故B不符合題意，令y＝20，則x＝40，求出每40分鐘，飲水機重新加熱，故時間為9點30時，可以得到飲水機是第三次加熱，并且第三次加熱了10分鐘，令x＝10，代入到反比例函數(shù)中，求出y，即可得到C不符合題意，先求出加熱時間段時，水溫達到30℃所用的時間，再由反比例函數(shù)，可以得到冷卻時間時，水溫為30℃時所對應(yīng)的時間，兩個時間相減，即為水溫不低于【解答】解：∵開機加熱時每分鐘上升10℃，∴水溫從20℃加熱到100℃，所需時間為：100-2010=8故A選項不合題意；由題可得，（8，100）在反比例函數(shù)圖象上，設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=k代入點（8，100）可得，k＝800，∴水溫下降過程中，y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=800故B選項不合題意；令y＝20，則800x=∴x＝40，即飲水機每經(jīng)過40分鐘，要重新從20℃開始加熱一次，從8點9點30分鐘，所用時間為90分鐘，而水溫加熱到100℃，僅需要8分鐘，故當(dāng)時間是9點30時，飲水機第三次加熱，從20℃加熱了10分鐘，令x＝10，則y=80010=80故C選項不符合題意；水溫從20℃加熱到30℃所需要時間為：30-2010=1令y＝30，則800x=∴x=80∴水溫不低于30℃的時間為803-1=故選：D．【變式6-1】（2022?棗莊）為加強生態(tài)文明建設(shè)，某市環(huán)保局對一企業(yè)排污情況進行檢測，結(jié)果顯示：所排污水中硫化物的濃度超標，即硫化物的濃度超過最高允許的1.0mg/L．環(huán)保局要求該企業(yè)立即整改，在15天內(nèi)（含15天）排污達標．整改過程中，所排污水中硫化物的濃度y（mg/L）與時間x（天）的變化規(guī)律如圖所示，其中線段AC表示前3天的變化規(guī)律，第3天時硫化物的濃度降為4.5mg/L．從第3天起，所排污水中硫化物的濃度y與時間x滿足下面表格中的關(guān)系：時間x（天）3569……硫化物的濃度y（mg/L）4.52.72.251.5……（1）在整改過程中，當(dāng)0≤x＜3時，硫化物的濃度y與時間x的函數(shù)表達式；（2）在整改過程中，當(dāng)x≥3時，硫化物的濃度y與時間x的函數(shù)表達式；（3）該企業(yè)所排污水中硫化物的濃度能否在15天以內(nèi)不超過最高允許的1.0mg/L？為什么？【分析】（1）設(shè)AC的函數(shù)關(guān)系式為：y＝kx+b，將A和C代入，從而求得k，b，進而求得的結(jié)果；（2）可推出x?y＝13.5為定值，所以當(dāng)x≥3時，y是x的反比例函數(shù)，進而求得結(jié)果；（3）將x＝15代入反比例函數(shù)關(guān)系式，從而求得y的值，進而根據(jù)反比例函數(shù)圖象性質(zhì)，從而得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)線段AC的函數(shù)表達式為：y＝kx+b，∴b=123k+b=4.5∴b=12k=-2.5∴線段AC的函數(shù)表達式為：y＝﹣2.5x+12（0≤x＜3）；（2）該企業(yè)所排污水中硫化物的濃度可以在15天以內(nèi)不超過最高允許的1.0mg/L，理由如下：∵3×4.5＝5×2.7＝...＝13.5，∴y是x的反比例函數(shù)，∴y=13.5x（x≥（3）當(dāng)x＝15時，y=13.515∵13.5＞0，∴y隨x的增大而減小，∴該企業(yè)所排污水中硫化物的濃度可以在15天以內(nèi)不超過最高允許的1.0mg/L．【變式6-2】（2022秋?溫州期末）項目化成果展示