人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 24.37 圓中的幾何模型-隱形圓（知識(shí)講解）

專(zhuān)題24.37圓中的幾何模型-隱形圓專(zhuān)題（知識(shí)講解）隱形圓是中考選擇題和填空題中?？碱}，題目往往以動(dòng)態(tài)問(wèn)題出現(xiàn)，有點(diǎn)、線(xiàn)的運(yùn)動(dòng)，或者圖形的折疊，多數(shù)學(xué)生基本沒(méi)有思路，一頭霧水，從而無(wú)法解答。隱形圓常見(jiàn)的有以下幾種形式，二是四點(diǎn)共圓判定隱形圓滿(mǎn)；二是定弦定角，點(diǎn)在圓上；三是定點(diǎn)定長(zhǎng)，軌跡是圓。題目具體表現(xiàn)為折疊問(wèn)題、旋轉(zhuǎn)問(wèn)題、角度不變問(wèn)題等。類(lèi)型一、四點(diǎn)共圓，定隱形圓1、定義：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)和與另一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角平分線(xiàn)相交所成的銳角稱(chēng)為該三角形第三個(gè)內(nèi)角的遙望角．（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角．①若∠A＝40°，直接寫(xiě)出∠E的度數(shù)是；②求∠E與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）如圖2，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，點(diǎn)E在BD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角，求證：DA＝DE．【答案】（1）①20°；②，理由見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）①根據(jù)題目定義推出∠E＝∠A，從而得出結(jié)論；②直接根據(jù)求解①過(guò)程證明即可；（2）首先根據(jù)題意推出A、B、C、D四點(diǎn)共圓，然后作四邊形ABCD的外接圓交CE于點(diǎn)F，連接AF，DF，再根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等推出∠AFD＝∠DFE，然后根據(jù)“遙望角”的定義推出∠E＝∠DAF，即可證△DAF≌△DEF，從而得出結(jié)論．解（1）①∵∠E是△ABC中∠A的遙望角，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A，∵∠A＝40°，∴∠E＝20°．故答案為：20°；②，理由如下：∵∠E是△ABC中∠A的遙望角，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A；（2）證明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓，作四邊形ABCD的外接圓交CE于點(diǎn)F，連接AF，DF，∵四邊形FBCD內(nèi)接于⊙O，∴∠DFC+∠DBC＝180°，∵∠DFC+∠DFE＝180°，∴∠DFE＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠ABD＝∠AFD，∴∠AFD＝∠DFE，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角，由（1）得∠E＝∠BAC，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠E＝∠BDC，∵∠E+∠DCE＝∠BAC，∴∠E＝∠DCE，∵∠DCE＝∠DAF，∴∠E＝∠DAF，∵DF＝DF，∠AFD＝∠DFE，∴△DAF≌△DEF（AAS），∴DA＝DE．【點(diǎn)撥】本題考查新定義問(wèn)題，涉及三角形角平分線(xiàn)的拓展運(yùn)用，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等，理解題目定義，靈活運(yùn)用“四點(diǎn)共圓”的證明方法是解題關(guān)鍵．【變式1】如圖，已知AB=AC=AD，∠CAD=20°，則∠CBD的度數(shù)是（）A．10° B．15° C．20° D．25°【答案】A解：如圖，AB=AC=AD∵，故選A．【變式2】如圖，在長(zhǎng)方形中，，，垂足為，延長(zhǎng)交于，表示面積，則給出的下列命題：①；②；③；④．其中正確命題的代號(hào)是________．【答案】①③④【分析】由矩形的性質(zhì)得出，，，由證明，①正確；由的面積的面積，得出的面積的面積，②不正確；證明、、、四點(diǎn)共圓，得出，③正確；延長(zhǎng)交矩形的外接圓于，連接，由圓周角定理得出，由三角形的外角性質(zhì)得出，得出，④正確；即可得出結(jié)論．解：∵四邊形是矩形，∴，，，在和中，，∴，∴①正確；∵的面積的面積，∴的面積的面積，∴②不正確；∵，∴，∴，∴、、、四點(diǎn)共圓，∴，∴③正確；∵、、、四點(diǎn)共圓，如圖所示：延長(zhǎng)交矩形的外接圓于，連接，則，∵，∴，∴④正確；正確的代號(hào)是①③④；故答案為：①③④．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及圓周角的性質(zhì)，掌握四點(diǎn)共圓的證明方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．類(lèi)型二、定角定弦，軌跡是圓。2、如圖，中，，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為直徑的圓交于點(diǎn)．若長(zhǎng)為4，則線(xiàn)段長(zhǎng)的最小值為（

） B． C． D．【答案】D【分析】如圖，連接由為直徑，證明在以的中點(diǎn)為圓心，為直徑的上運(yùn)動(dòng)，連接交于點(diǎn)則此時(shí)最小，再利用銳角的正弦與勾股定理分別求解，即可得到答案.解：如圖，連接由為直徑，在以的中點(diǎn)為圓心，為直徑的上運(yùn)動(dòng)，連接交于點(diǎn)則此時(shí)最小，，，故選D【點(diǎn)撥】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，圓外一點(diǎn)與圓的最短距離的理解，銳角的正弦的應(yīng)用，掌握“圓外一點(diǎn)與圓的最短距離求解線(xiàn)段的最小值”是解本題的關(guān)鍵.【變式1】如圖，在圓中，半徑，弦，點(diǎn)是劣弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，作，垂足為．在點(diǎn)移動(dòng)的過(guò)程中，線(xiàn)段的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由CP⊥BQ知，點(diǎn)P在以AB為直徑的⊙D的圓弧CE上，連接AD交⊙D于P，此時(shí)線(xiàn)段AP最短．解：如圖，∵CP⊥BQ，∴∠CPB=90，∵點(diǎn)Q是劣弧AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴點(diǎn)P在以AB為直徑的⊙D的圓弧上，連接AD交⊙D于P，此時(shí)線(xiàn)段AP最短．∵弦BC=10，半徑，∴直徑AB=2，CD=DP=5，∴∠ACB=90，∴AC=，在Rt△ACD中，AD=，∴AP=AD-DP=8．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了圓周周角定理，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡；能夠根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，確定P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，等邊中，，點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是邊BC，CA上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接AD、BE交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，則點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，作過(guò)A、B、F作⊙O，為點(diǎn)F的軌跡，然后計(jì)算出的長(zhǎng)度即可．解：如圖：作過(guò)A、B、F作⊙O，過(guò)O作OG⊥AB∵等邊∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°∵∴△BCE≌△ABC∴∠BAD=∠CBE∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°∴∠ABE+∠BAD=60°∴∠AFB=120°∵∠AFB是弦AB同側(cè)的圓周角∴∠AOB=120°∵OG⊥AB，OA=OB∴∠BOG=∠AOG=∠AOB=60°，BG=AB=∴∠OBG=30°設(shè)OB=x，則OG=x∴，解得x=或x=-（舍）∴的長(zhǎng)度為．故選B【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、含30度直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及圓周角定理，根據(jù)題意確定點(diǎn)F的軌跡是解答本題的關(guān)鍵．類(lèi)型三、定點(diǎn)定長(zhǎng),點(diǎn)在圓上3、如圖，⊙O的直徑AB＝4，P為⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，Q為AP的中點(diǎn)，若點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)一周，則點(diǎn)Q經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是______．【答案】【分析】連接OQ，以O(shè)A為直徑作⊙C，確定出點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑即可求得路徑長(zhǎng)．解：連接OQ．在⊙O中，∵AQ=PQ，OQ經(jīng)過(guò)圓心O，∴OQ⊥AP．∴∠AQO=90°．∴點(diǎn)Q在以O(shè)A為直徑的⊙C上．∴當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)Q在⊙C上運(yùn)動(dòng)一周．∵AB=4，∴OA=2．∴⊙C的周長(zhǎng)為．∴點(diǎn)Q經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為．故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查了垂徑定理的推論、圓周角定理的推論、圓周長(zhǎng)的計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，熟知相關(guān)定理及其推論是解題的基礎(chǔ)，確定點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑是解題的關(guān)鍵．【變式1】如圖，在中，，，，是上一點(diǎn)，且，是邊上一點(diǎn)，將沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，求的最小值．【答案】．解：如解圖，以為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，∵，∴點(diǎn)在的一段弧上運(yùn)動(dòng)，連接，交于點(diǎn)，此時(shí)最小．∵，，，，∴，∴，∴．∴的最小值為．【變式2】（1）【學(xué)習(xí)心得】小明同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺(jué)到一些幾何問(wèn)題如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問(wèn)題變得非常容易．例如：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一點(diǎn)，且AD＝AC，求∠BDC的度數(shù)．若以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作輔助⊙A，則點(diǎn)C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，從而可容易得到∠BDC＝°．（2）【問(wèn)題解決】如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝27°，求∠BAC的數(shù)．（3）【問(wèn)題拓展】如圖3，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足AE＝DF．連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H．若正方形的邊長(zhǎng)為4，則線(xiàn)段DH長(zhǎng)度的最小值是．【答案】（1）45；（2）27°；（3）2﹣2【分析】（1）利用同弦所對(duì)的圓周角是所對(duì)圓心角的一半求解；（2）由A、B、C、D共圓，得出∠BDC=∠BAC；（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)利用“邊角邊”證明△ABE和△DCF全等，可得∠1=∠2，同理證明△ADG和△CDG全等，可得∠2=∠3，從而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中點(diǎn)0，可得OH=AB=2，利用勾股定理列式求出OD，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知，當(dāng)0、D、H三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，DH的長(zhǎng)度最?。猓海?）如圖1，∵AB＝AC，AD＝AC，∴以點(diǎn)A為圓心，點(diǎn)B、C、D必在⊙A上，∵∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，∴∠BDC＝∠BAC＝45°，故答案是：45；（2）如圖2，取BD的中點(diǎn)O，連接AO、CO．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴點(diǎn)A、B、C、D共圓，∴∠BDC＝∠BAC，∵∠BDC＝27°，∴∠BAC＝27°，（3）如圖3，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1＝∠2，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，∴∠1+∠BAH＝90°，∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，取AB的中點(diǎn)O，連接OH、OD，則OH＝AO＝AB＝2，在Rt△AOD中，OD＝＝＝2，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OH+DH＞OD，∴當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，DH的長(zhǎng)度最小，最小值＝OD﹣OH＝2﹣2．故答案為：2﹣2．【點(diǎn)撥】本題主要考查了圓的綜合題，需要掌握垂徑定理、圓周角定理、勾股定理等知識(shí)，解題時(shí)注意輔助線(xiàn)的作法．類(lèi)型四、線(xiàn)段滑動(dòng)，中點(diǎn)在圓上4、如圖，在中，，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中線(xiàn)，點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)D出發(fā)，以相同的速度分別沿DC、DB方向移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，直線(xiàn)AE分別與CF、BC相交于G、H，則在點(diǎn)E、F移動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)G移動(dòng)路線(xiàn)的長(zhǎng)度為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】由△ADE≌△CDF，推出∠DAE=∠DCF，因?yàn)椤螦ED=∠CEG，推出∠ADE=∠CGE=90°，推出A、C、G、D四點(diǎn)共圓，推出點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡為弧CD，利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．解：如圖，∵CA=CB，∠ACB=90°，AD=DB，∴CD⊥AB，∴∠ADE=∠CDF=90°，CD=AD=DB，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴∠DAE=∠DCF，∵∠AED=∠CEG，∴∠ADE=∠CGE=90°，∴A、C、G、D四點(diǎn)共圓，∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡為弧CD，∵AB=4，AB=AC，∴AC=2，∴OA=OC=，∵DA=DC，OA=OC，

∴DO⊥AC，∴∠DOC=90°，∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)為故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、軌跡、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確探究點(diǎn)G的軌跡，屬于中考常考題型．【變式1】如圖，△ABC為等邊三角形，AD⊥BC，且AD＝4，點(diǎn)E為線(xiàn)段AD的中點(diǎn)，把線(xiàn)段AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接BE，點(diǎn)F為線(xiàn)段BE的中點(diǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中CF的最大值為_(kāi)____．【答案】5【分析】取AB的中點(diǎn)G，連接FG，由三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)得出FG＝AE＝1，得出點(diǎn)F在以G為圓心，1為半徑的圓上，當(dāng)CF經(jīng)過(guò)圓心G時(shí)，CF最大，由等邊三角形的性質(zhì)得出CG＝AD＝4，進(jìn)而求出CF的值，得出答案．解：如圖，取AB的中點(diǎn)G，連接FG，∵AD＝4，點(diǎn)E為線(xiàn)段AD的中點(diǎn)，∴AE＝AD＝2，∵點(diǎn)F為線(xiàn)段BE的中點(diǎn)，∴FG是△ABE的中位線(xiàn)，∴FG＝AE＝1，∴點(diǎn)F在以G為圓心，1為半徑的圓上，∴當(dāng)CF經(jīng)過(guò)圓心G時(shí)，CF最大，∵△ABC為等邊三角形，G是AB的中點(diǎn)，∴CG⊥AB，∵AD⊥BC，∴CG＝AD＝4，∴CF＝FG＋CG＝1＋4＝5，∴CF的最大值為5．故答案為：5．【點(diǎn)撥】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，掌握三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，圓的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，在等腰直角△ABC中，斜邊AB的長(zhǎng)度為8，以AC為直徑作圓，點(diǎn)P為半圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接BP，取BP的中點(diǎn)M，則CM的最小值為_(kāi)_________．【答案】【分析】連接PA、PC，取AB、BC的中點(diǎn)E、F，連接EF、EM、FM，取EF的中點(diǎn)O，連接OM，OC，CM．根據(jù)圖形結(jié)合題意易證明∠EMF=90°，得出結(jié)論點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是弧EF，即以EF為直徑的半圓，再根據(jù)題意可求出AC、BC的值，即得出CF，EF的值，由勾股定理可求出OC的值，最后利用CM≥OC-OM即可求出CM的最小值．解：如圖，連接PA、PC，取AB、BC的中點(diǎn)E、F，連接EF、EM、FM，取EF的中點(diǎn)O，連接OM，OC，CM．∵AC是直徑，∴∠APC=90°，∵BE=EA，BM=MP，∴