2023屆福建省高考數(shù)學一輪復習模擬收官卷（一）

2023屆高考數(shù)學一輪復習收官卷（一）（福建版）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.）

1.（2022?福建?廈門一中模擬預測）已知集合4=｛。,〉）卜，yeN*,y..x],8=｛（x,y）|x+y=8｝,則AcB的

元素個數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

2.（2022?福建?上杭一中模擬預測）已知復數(shù)z=l—i,則性-臼=（）

A.2B.3C.20D.3五

3.（2022?福建省龍巖第一中學高一階段練習）“2/一5x-3<0”的一個必要不充分條件是（）

A.—<x<3B.—1<x<6C.-3<x<—D.—<x<0

222

4.（2022?福建省廈門第六中學高三階段練習）已知tana=3,則Zsiifa+sinacosa-3cos2a的值為（）

917

A.—B.18C.—D.15

510

5.（2022?福建?廈門雙十中學高一階段練習）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為

一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三角

形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（）

A.避二B.立」c石+1

D.亨

424

6.（2022.福建省福州格致中學高三階段練習）已知函數(shù)

〃x）=asin?x+9）+cos?x+e）（a>O,0>O，M<]）的最小正周期為兀，其最小值為—2,且滿足

〃力=一/157），則夕=（）

,n-,兀一兀?冗

A.土一B.±—C.—D.一

3636

7.（2022.福建省永春第一中學高二期中）將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生隨機派往①，②，③三個村莊進行

義診活動，每個村莊至少派1名醫(yī)生，A表示事件“醫(yī)生甲派往①村莊”；B表示事件“醫(yī)生乙派往①村莊”;

C表示事件“醫(yī)生乙派往②村莊”，則（）

A.事件A與8相互獨立B.事件A與C相互獨立

c.P（例4）="D.P（C|A）W

099

8.（2022?福建省福州第一中學高二期末）已知ea2.71828是自然對數(shù)的底數(shù)，設。=ln0.99,%=-黑，

40e

一），則（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<a<b

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.）

9.（2022?福建三明?模擬預測）某人記錄了某市2022年1月20日至29日的最低溫度，分別為-5,-6,

-9,一5,-3,—2,-3,一,3-4,-8（單位：°C）,則關于該市這10天的日最低氣溫的說法中正確的

是（）

A.眾數(shù)為-3B.中位數(shù)為-5

C.平均最低氣溫為-4.8℃D.極差為6

UUUI

10.（2022?福建省寧化第一中學高一階段練習）已知G為/的重心，㈤C=60。，AC=2，則14Gl

的可能取值為（）

A.-B.1C.—D.-

332

11.（2022?福建漳州?高二期末）已知動點尸與定點戶（2,0）的距離和它到直線/：x=l的距離的比是常數(shù)0,

則下列結論正確的是（）

A.動點P的軌跡方程為V-y2=2

B.\PF|>2-V2

C.直線y=x+l與動點P的軌跡有兩個公共點

D.若則1PMi+|PF|的最小值為

12.（2022?福建福州?高二期末）如圖，棱長為2的正方體48CO-ABCR中，E、尸分別為棱4。、AA,

的中點，G為面對角線B/C上一個動點，則（）

A.三棱錐A-EFG的體積為定值

B.線段B/C上存在點G,使平面EFG//平面80。

T3TI

C.當CG=j*時，直線EG與BG所成角的余弦值為§

D.三棱錐A-EFG的外接球半徑的最大值為逑

2

三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分,第二空3分.）

13.（2022?福建省漳州第一中學高三階段練習）若八x）是R上的偶函數(shù)，且在（0,上單調(diào)遞減，

則函數(shù)/（x）的解析式可以為/（X）=.（寫出符合條件的一個即可）

14.（2022.福建龍巖.高一期中）甲、乙兩艘漁船從點A處同時出海去捕魚，乙漁船往正東方向航行，速

度為15公里每小時，甲漁船往北偏東30。方向航行，速度為20公里每小時，兩小時后，甲漁船出現(xiàn)故障

停在了B處，乙漁船接到消息后，立刻從所在地C處開往B處進行救援，則乙漁船到達甲漁船所在位置至

少需要小時.（參考數(shù)據(jù)：取值=3.6）

15.（2022.福建省福州第一中學高三階段練習）已知隨機變量X服從正態(tài)分布X~N（8,/）,P（x>10）=/?,

1Q

P（6<x<8）=n,則+2的最小值為.

2mn

16.（2022.福建泉州.高三開學考試）已知：若函數(shù)〃x）,g（x）在R上可導，/（x）=g（x）,則/"）=8（勾.

10a

又英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)了一個恒等式e2*=%+qx+a/2++a“x"+,則％=,^―=

四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第16題10分，其它每題12分，解答應寫出文

字說明、證明過程或演算步驟.）

17.（2022?福建省廈門集美中學高三階段練習）如圖所示，在平面四邊形4BCO中，

AB=2,BD=y/3,ZABD^ZACD=—,設ZCAD=（9,。e（0,—）.

（1）若e=求co的長；

4

（2）當e為何值時，△BC。的面積取得最大值，并求出該最大值.

18.（2022?福建省寧德第一中學高二階段練習）在等比數(shù)列｛q｝中，??>0（/zeN+）,公比qe（0,l）,且

4G+244+=10°，又4是4與%的等比中項.

(1)求數(shù)列的通項公式；

⑵設b?=logq,求數(shù)歹U｛上|｝的前21項和.

19.(2022.福建泉州.模擬預測)中國茶文化博大精深，飲茶深受大眾喜愛，茶水的口感與茶葉類型和水的

溫度有關，某數(shù)學建模小組為了獲得茶水溫度丫℃關于時間x(min)的回歸方程模型，通過實驗收集在25C

室溫，用同一溫度的水沖泡的條件下，茶水溫度隨時間變化的數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)做初步處理得到如下所示散

點圖.

7

y(d2(%-可(人-而)

1=1i=l

-95-2.24

表中：0；=ln(y.-25),5=JZ。，4<)1

/：=11---1---1---1---1---1---1------A

0123456時間/min

(1)根據(jù)散點圖判斷，①y=。+法與②y=小,,+25哪一個更適宜作為該茶水溫度

y關于時間x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)

(2)根據(jù)(1)的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立該茶水溫度y關于時間x的回歸方程：

(3)已知該茶水溫度降至60℃口感最佳，根據(jù)(2)中的回歸方程，求在相同條件下沖泡的茶水，大約需要

放置多長時間才能達到最佳飲用口感？

附：①對于一組數(shù)據(jù)3，4),(%嶺)，，(“"，5)，其回歸直線八&+/"的斜率和截距的最小二乘估計分別為

8--------------,a=v-fiu:

;=|

②參考數(shù)據(jù)：e-008n0.92,e409*60,In7al.9,In3*1.1,In2N0.7.

20.(2022?福建省福州第二中學高二階段練習)如圖多面體ABCDEF中，四邊形ABC。是菱形，N4BC=60。,

E4_L平面EA//BF,AB=AE=2BF=2.

(1)證明：平面E4CL平面EFC；

(2)在棱EC上有一點M,使得平面加比)與平面3CF的夾角余弦值為逅，求點M到平面3b的距離.

E

21.(2022?福建省龍巖第一中學高二階段練習)已知圓M的方程為/+(>—2)2=4,設8(0,4),0(0,1),

過點。作直線4,交圓M于P,。兩點，點尸，。不在丫軸上.

(1)若過點。作與直線4垂直的直線4,交圓股于E,F兩點，記四邊形EPFQ的面積為S,求S的最大值；

(2)若直線OP,BQ相交于點N,試討論點N是否在定直線上，若是，求出該直線方程；若不是，說明理

由.

22.(2022.福建省福州高級中學高二期末)設函數(shù)/(x)=alnx+：,(aeR,aH0).

⑴若4=1,求函數(shù)“X)在點尸(1,/(1))處的切線方程；

(2)試判斷g(x)=/(x)-2的零點個數(shù)，并證明你的結論.

2023屆高考數(shù)學一輪復習收官卷(一)(福建版)

一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.）

1.（2022?福建?廈門一中模擬預測）已知集合4=｛（X,丫）|8,yeN*,y..x｝,B=｛（x,y）|x+y=8｝,則Ac5的

元素個數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【詳解】集合A=｛（x,y）|x,ywN*,y..x｝,B=｛（x,y）|x+y=8｝,

二Ac3=｛（x,y）JwN*｝=｛（1,7）,（2,6）,（3,5）,（4,4）｝,

，AcB的元素個數(shù)為4.

故選：C.

2.（2022?福建?上杭一中模擬預測）已知復數(shù)z=l—i,則性-同=（）

A.2B.3C.2GD.3正

【答案】D

【詳解】因為z=l-i,所以汽=l+i，WJ2z-iz=2（l-i）-i（l+i）=3-3i,所以性一同=3

故選:D.

3.（2022?福建省龍巖第一中學高一階段練習）“2/一5x-3<0”的一個必要不充分條件是（）

A.—<x<3B.—1<x<6C.-3<x<—D.—<x<0

222

【答案】B

【詳解】2X2-5X-3<0=(X-3)(2X+1)<0O」<X<3,

2

因為{x|-g<x<3}0{x|-l<x<6},

所以-1<x<6是2x?-51-3<0的必要不充分條件.

故選：B.

4.（2022?福建省廈門第六中學高三階段練習）已知tana=3,則Zsin?a+sinacosa-3cos2a的值為（）

D.15

【答案】A

【詳解】2sin26r+sinczcosa-3cos2a

2sin?a+sinacosa-3cos2a

1?~22

sina+cosa

_2tan2a+tana-3

tan2a+l

9

代入tana=3可算得原式的值為:.

故選：A

5.（2022?福建?廈門雙十中學高一階段練習）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為

一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三角

形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（）

石+1口6+1

4-2

【答案】C

【詳解】如圖，^CD=a,PE=b,則尸O==

由題意「02=1。/,,即從-化簡得4（"）2—2?2-1=0,

242aa

解得2=匕無（負值舍去）.

a4

故選：C.

6.(2022?福建省福州格致中學高三階段練習)已知函數(shù)

〃x)=asin(0x+e)+cos?x+e)(a>OM>O，M<m)的最小正周期為兀，其最小值為一2,且滿足

f(x)=-1/1《-，，則夕=()

,71e,兀「.兀

A.±—B.土一C.—D.一

3636

【答案】C

(詳解】/(x)=asin(rx+°)+cos(6yx+e)=Jt?+1xJ_sin(3x+e)+/!=cos(s+0)

_v?2+l\Ja2+1

=JcJ+ixsin?x+e+f）,

其中cosr=7^,sin/=—=

縣?V771V77T

2

依題意0>O,T=」=兀,0=2；a>0,\/?+1=2,a=73-

a）

所以cost=3,sinf=',不妨設￡

226

所以/（x）=2sin|2x+s+?

由4)=「喧7，令V，得嗚卜-噌，嗚=。，

所以/（：）=2$皿（5+3+已）=2問9+已）=0,

9+m=5+E，&wZ,由于網(wǎng)＜5，所以*=[.

6223

故選：C

7.(2022.福建省永春第一中學高二期中)將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生隨機派往①，②，③三個村莊進行

義診活動，每個村莊至少派1名醫(yī)生，A表示事件“醫(yī)生甲派往①村莊”；B表示事件“醫(yī)生乙派往①村莊”;

C表示事件“醫(yī)生乙派往②村莊”，則()

A.事件A與8相互獨立B.事件A與C相互獨立

C.P(B\A)=-^D.P(C\A)=~

【答案】D

【詳解】將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生派往①，②，③三個村莊義診的試驗有C；A；=36個基本事件，它們等

可能，

1911

事件A含有的基本事件數(shù)為A；+C：A；=12,則p(A)=”=不，同理P(B)=P(C)=彳，

3633

71

事件A8含有的基本事件數(shù)為A；=2,則尸(AB)=七=”，事件4c含有的基本事件數(shù)為C：+C；C；=5,則

3618

P(AC)=-I~,

36

對于A,P(A)P(8)="*P(A8),即事件A與8相互不獨立，A不正確；

對于B,尸(A)尸(C)=:*尸(AC),即事件A與C相互不獨立，B不正確；

對于C,尸(例4)=曰黑=4，C不正確；

P(A)6

對于D,尸。14)=誓？=",D正確.

)I，

故選：D

099

8.(2。22?福建省福州第一中學局二期末)已知e”2.71828是自然對數(shù)的底數(shù)'設—。.99,占而

則()

99

A.a<b<cB.a<c<bC.h<c<aD.c<a<h

【答案】D

10.99_1_____

【詳解】6-99-40e-99-4000e,

99

因為T992-4000e9801-4000e

-99-99-

b—「=________I___>。

所以一4000e99，^h>c.

99

設/(》)=111(犬+1)-^^,》>-1,則尸(x)=(x+1/，

當xe(-1,0)時，當x?0,+8)時，>0,

所以“x)2/(0)=0,所以in(x+l)Z士，當x=0時等號成立，

所以ln0.99=ln(l-0.01)>^^^=-：,所以〃>c.

故選：D.

二、多選題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.)

9.(2022?福建三明?模擬預測)某人記錄了某市2022年1月20日至29日的最低溫度，分別為-5,-6,

-9,-5,-3,-2,-3,-3,-4,-8(單位：℃),則關于該市這10天的日最低氣溫的說法中正確的

是()

A.眾數(shù)為-3B.中位數(shù)為-5

C.平均最低氣溫為-4.8℃D.極差為6

【答案】AC

【詳解】解：依題意將數(shù)據(jù)從小到大排列為一9、-8、-6、-5、-5、-4、-3、-3、-3、-2,

所以可得極差為-2-(-9)=7,故D錯誤；眾數(shù)為-3,故A正確；

中位數(shù)為:§乜-4)=_4.5,故B錯誤；

2

平均最低氣溫為

(-9)+(-8)+(-6)+(-5)+(-5)+(T)+(-3)+(-3)+(-3)+(-2)=^8，c故?正確.

10'''

故選：AC

UUUI

10.(2022.福建省寧化第一中學高一階段練習)已知G為ABC的重心，㈤C=?)。，ARAC=2，貝114Gl

的可能取值為()

A.-B.1C.—D.-

332

【答案】CD

【詳解】如圖，G是,ABC的重心，記A8=c,AC=b,A8=a,

2211

則AG=—AZ)=—x—(43+AC)=—(A3+AC),

3323

|AG|2=1(AB+AC)2=I(AB2+2AB-AC+AC?)=1(^2+c2+4),

又A8AC=ACOS6()O=LC=2,即從=4,所以〃+。2226c=8，當且僅當〃=c=2時等號成立,

2

所以kG『z"x(8+4)=g.即,G上平.只有CD滿足.

故選：CD.

11.(2022?福建漳州?高二期末)己知動點尸與定點F(2,0)的距離和它到直線/：x=l的距離的比是常數(shù)收,

則下列結論正確的是()

A.動點P的軌跡方程為/-產(chǎn)=2

B.\PF|>2-V2

C.直線y=x+l與動點尸的軌跡有兩個公共點

D.若河(5,1),則1PMi+|PF|的最小值為36

【答案】ABD

【詳解】設點P(x,y),依題意，"(—A+y=垃,化簡整理得：--2=2,點p的軌跡是雙曲線，

|x-l|

左焦點F(-2,O),右焦點尸(2,0),實半軸長。=近，

所以動點P的軌跡方程為丁-/=2,A正確；

/二是右焦點、，由雙仙線的性質知，則當點P是右上的頂點時，I尸刀取最小值，此時|/>尸|=2-右.Bil-jl：

3

x=——

Iy=fx+』l解得231

由即直線y=x+i與動點P的軌跡只有一個公共點（一芯-少，c不正確;

1'

對于D,因尸是右焦點，點M在雙曲線右支的含焦點的?側，要IPMI+IPFI最小，點P必在雙曲線右支

上，

由雙曲線定義知，\PM\+\PF\=\PM\+\PF'\-2y/2>\FMI-2V2=J（-2-5>+l-2&=3由，

當且僅當點P是線段F'M與雙曲線右支的交點時取“="，即IPMI+IP/I的最小值為3五，D正確.

故選：ABD

12.（2022?福建福州?高二期末）如圖，棱長為2的正方體ABCO-4BCQ中，E、F分別為棱A/功、AA/

的中點，G為面對角線B/C上一個動點，則（）

A.三棱錐A-EFG的體積為定值

B.線段RC上存在點G,使平面EFG〃平面BOG

―>4—>|

C.當CG=."時，直線EG與BC/所成角的余弦值為§

D.三棱錐A-EFG的外接球半徑的最大值為逆

2

【答案】ACD

【詳解】對A,Vwro=^.A￡f=1x54￡fx/l1fil=|xlxlxlx2=p故A正確；

對B,如圖，以D為坐標原點，方"，由所在方向分別為％y,z軸正方向建立空間直角坐標系，則

A（2,0,0）,B（2,2,0）,C（0,2,0）,￡>（0,0,0），4（2,0,2）,旦（2,2,2）,C（0,2,2）,〃（0,0,2）,E（l,0,2）,尸（2,0,1）,

設平面的法向量為i=?y,z），防=（2,2,0）,=（0,2,2），

mDB=02x+2y=0

所以=令X=l,則1=(1,-1,1).

mDC、=02y+2z=0

￡C=（-I,2,-2）,CB,=（2,0,2）,設CG=/ICA=（2A,0,2Z）（0<2<1）>

所以詬=丘+&=（2/1_1,2,2/1_2），若平面EFG〃平面BDCi,則加?宓=24-1-2+22-2=0n2=；,

故B錯誤；

對C,設EG與8C/所成角為。，此時應?=（；,2,-￡|,京=（-2,0,2），

—>—>

ffEG-BC21

所以cos。=|cos<EG,BC、>|=|百M1=-^—Z=§.故C正確；

IEG||8Gli—x2,2

對D,因為A4J?平面AEF,且AE=AF,所以根據(jù)球的性質容易判斷，三棱錐A-EFG的外接球球心

在過線段EF的中點且垂直于平面AO0A的直線上，記球心為由C（0,2,0）,

CG=（22,0,2A）（0<A<1）易得G（2A,2,22）（0<2<1）,則外接球半徑

r=\O\|=|OG|=J產(chǎn)+g=/（2"|；+（-2）2nr=2萬一34+2,

而/=2萬-3/1+2=2,-；）+*,則當a=0時，鼠"=2,即乙皿=J2?+；=|&.故D正確.

故選：ACD.

三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分,其中第16題第一空2分,第二空3分.）

13.（2022.福建省漳州第一中學高三階段練習）若/（x）是/?上的偶函數(shù)，且在（0,1）上單調(diào)遞減,

則函數(shù)f（x）的解析式可以為/（x）=.（寫出符合條件的一個即可）

【答案】-V（答案不唯一）

（詳解】若/（X）=，則/（一可=一（—）2=-X2=/（X）,

故/（X）為偶函數(shù)，且易知/（X）在（0,+8）上單調(diào)遞減,

故/(X)在(0,y)上單調(diào)遞減，符合條件.

故答案為：-V.

14.(2022.福建龍巖?高--期中)甲、乙兩艘漁船從點4處同時出海去捕魚，乙漁船往正東方向航行，速

度為15公里每小時，甲漁船往北偏東30。方向航行，速度為20公里每小時，兩小時后，甲漁船出現(xiàn)故障

停在了B處，乙漁船接到消息后，立刻從所在地C處開往B處進行救援，則乙漁船到達甲漁船所在位置至

少需要小時.(參考數(shù)據(jù)：取值=3.6)

【答案】

【詳解】由題可知A8=40,4c=30,ZBAC=60°

由余弦定理，WBC2^AB2+AC2-2AB-AC-cos600-1300.得8C=10萬,

乙漁船到達甲漁船所在位置需要的時間為迎叵=巫=2.4小時.

153

故答案為：

15.(2022?福建省福州第一中學高三階段練習)已知隨機變量X服從正態(tài)分布X~N(8,/),P(x>IO)=/n,

1Q

P(64x<8)=〃，則+3的最小值為____________.

2mn

【答案】25

【詳解】解：隨機變量X服從正態(tài)分布X~N(8,『)，；.P(X28)=g,

由尸(6MXV8)=力，得P(84X410)=〃，

乂P(X210)二相，

「."2+〃=；,且“>0,/?>0,

i1818、/cc、…cIn\6m…”

貝nll。---1—=(z---1—)(2/n+2/?)=17H1----217+2J-=17+8=25.

2mn2mnmnVmn

當且僅當4=咽，即m=〃是時等號成立.

mn105

1Q

--+一的最小值為25.

2mn

故答案為：25.

16.(2022?福建泉州?高三開學考試)已知：若函數(shù)〃同送(九)在R上可導，/(x)=g(x),則/刎=g(x).

又英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)了一個恒等式eJ……戶+獷+.，則3-----------,自Cl肅

709

【答案】1-##1-

【詳解】解:因為已2'=%+4工+%%2+,+為爐+?,令x=0,即e°=%,所以%=1；

2v2vn}n

(e)=2e=ai+2a2x++nanx~4-(n+1)an^x+

2x2n

乂2e=2ao+2qx+2a2x++2atlx+,

四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第16題10分，其它每題12分，解答應寫出文

字說明、證明過程或演算步驟.）

17.（2022.福建省廈門集美中學高三階段練習）如圖所示，在平面四邊形A8CQ中，

AB=2,BD=?NABD=NACD=Z,設/CAD=。,6￡（0,-）.

63

（1）若e=f,求co的長；

4

（2）當。為何值時，△88的面積取得最大值，并求出該最大值.

【答案】(DCO=&

(2)。=9,面積最大值為且

64

(1)

在△45。中，由余弦定理得，

/?

AD2=AB2+BD2-2ABBD-COSZABD=4+3-2x2>/3x^-=1,

2

所以AO=1,

CDAD

在△AC。,由正弦定理得,

sinZCADsinZACZ)

lxsin—

所以C￡>=--------生=近.

.7T

sin—

6

(2)

由第(1)問知，在△A8O中，AB=2,BD=6,AD=1,

7T

所以AB?=602+4)2,所以=

CDAD

在△M,由正弦定理得，

sinZACD

八「Ixsin。

所以。c=-=2sin6,

sm

6

因為NBOC=TF-，一乙一三=三一/

623

所以Sw=；DCsinNBDC=Gsin，?sin（事-（9）

3.△6.f3.”下>l-cos26>

=—sin，cos，------sin，=—sin2J-------x------------

22422

3?xG6?CQ,巴白

=-sin26/+——cos2u------=——sin（2J+—）-------,

444264

因為8e（0,g）,所以所以當26+￡=g,即6=2時，

3666626

sin（2O+g）=l,此時△BCD的面積取得最大值為立.

64

18.（2022?福建省寧德第一中學高二階段練習）在等比數(shù)列｛4｝中，4,>0（〃GN+）,公比qe（0,l）,且

03as+2a4+a3a9=100,又4是應與%的等比中項.

（1）求數(shù)列｛為｝的通項公式；

（2）設勿=log2a?,求數(shù)列｛聞｝的前21項和S2i.

【答案】（l）a“=2j,〃eN+

（2）126

（1）

解：因為“3。5+2〃4a6+4“9=1°0，可得=10°，即（。4+4,）2=100，

又因為％>0,所以4+4=10,

因為4是小與4的等比中項，所以％&=16,

即見與%是方程犬-108+16=0的兩個根，且外（0,1）,

a,a3—81

所以%=8%=2,即%-解得4=64,4=：,

axq=22

所以數(shù)列｛4｝的通項公式為%=64?(；)e=2’-〃.

(2)

解：由4=2'-",可得6“=log2。,,=7-〃，則同=|7-〃],

則數(shù)列也｝的前〃項和為(=〃。；〃)，

當14〃47,〃eN+時，h?>0,所以S,,="0；〃)；

當〃W8,〃eN+時，b,,<0,

所以S21=(〃+刈+?,+b-l')—(bg+bg++b”)

T“7x(13-7)21x(13-21)

=7；-(7；,-7；)=27；-7T；,=2x---------------------=126.

19.（2022?福建泉州?模擬預測）中國茶文化博大精深，飲茶深受大眾喜愛，茶水的口感與茶葉類型和水的

溫度有關，某數(shù)學建模小組為了獲得茶水溫度丫℃關于時間x（min）的回歸方程模型，通過實驗收集在25c

室溫，用同一溫度的水沖泡的條件下，茶水溫度隨時間變化的數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)做初步處理得到如下所示散

點圖.

⑴根據(jù)散點圖判斷，①y=a+bx與②y=小c、+25哪一個更適宜作為該茶水溫度y關于時間x的回歸方程

類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（2）根據(jù)（1）的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立該茶水溫度y關于時間x的回歸方程：

（3）已知該茶水溫度降至60℃口感最佳，根據(jù)（2）中的回歸方程，求在相同條件下沖泡的茶水，大約需要

放置多長時間才能達到最佳飲用口感？

附：①對于一組數(shù)據(jù)（“”匕）,（〃2，嶺），，（““，％），其回歸直線丫=6+加的斜率和截距的最小二乘估計分別為

X(M,-?)(V;-V)

，■I

1=1

②參考數(shù)據(jù)：e-008?0.92,e409?60,ln7?1.9,ln3?l.l,ln2?0.7.

【答案】⑴②y=d-c*+25

^4.09—0.08,v+25

分鐘

【詳解】(1)根據(jù)散點圖判斷，其變化趨勢不是線性的，而是曲線的，因此，選②y=〃c、+25更適宜此

散點的回歸方程.

(2)由y=dW+25有:y-25=〃c、，兩邊取自然對數(shù)得：ln(y-25)=ln(")=lnd+x/nc,設

<y=ln(y-25),a=\nd,b=\nc,

則ln(y-25)=lnd+x」n?；癁椋篴)=bx+a,又工=------------------=3,

石(七一可?一⑹224

=-0.08,

2(%-寸

i=\

.'.a=(o—bx=3.85+0.08x3=4.09,.,.由匕=—0.08=111<;得:。=6008,由a=4.09=Ind得：d=e4<w

二回歸方程為：y=d-cx+25=e409-e^08"+25=e409-008v+25,

即y=e4094儂+25.

(3)當y=60時，代入回歸方程y=e-由+25得：60=/3儂+25,化簡得：35=e—,即

4.09-0.08x=ln35,

又e-008。0.92,e4W。60,In7al.9,In3“1.1,In2a0.7,

.,.4.09—0.08x=ln35約化為：ln60-0.08x=ln35,

12

即0.08x=ln60-ln35=ln3=lnl2-ln7=(21n2+ln3)-ln7B2x0.7+l.l-1.9=0.6

0.6「u

..x----=7.5

0.08

大約需要放置分鐘才能達到最佳飲用口感.

20.(2022?福建省福州第二中學高二階段練習)如圖多面體ABCDEF中，四邊形A8C。是菱形，N4BC=60。,

E4_L平面ABC￡>,EA//BF,AB=AE=2BF=2.

(1)證明：平面E4CJ■平面EFC；

(2)在棱EC上有一點M,使得平面M3。與平面3CF的夾角余弦值為四，求點M到平面3b的距離.

E

【答案】(1)證明見解析

⑵且

4

(1)

證明：取EC的中點G,連接30交AC于N,連接GN,GF,

因為ABC。是菱形，所以且N是AC的中點，

所以GN〃AE且GN=；AE,XAE//BF,AE=2BF=2,

所以CN//BF且GN=BF,所以四邊形BNGF是平行四邊形，

所以GF//BN,

又E4_L平面ABC。，8Nu平面A8C￡>,所以E4_L8N,

又因為AC_LBN,ACEA=A,

所以M?_L平面E4C,所以GFL平面E4C,又GFu平面所C,

所以平面EFCJ?平面E4C；

(2)

GN//AE,E4J_平面ABC。，；.GN平面ABC。，且CNLBN,

...以N為原點，NC,NB,NG為坐標軸建立空間直角坐標系，

設在棱叱上存在點M使得平面A?。與平面BCF的夾角余弦值為亞，

4

￡(-1,0,2),B(0,60),C(l,0,0),尸(0,6，1),A(-l,0,0),￡)(0,,0)

則設CM=疣￡=〃-2,0,2),/.M(l-22,0,22),

所以0M=(l—24,62幻，08=(0,26，。)，BC=(l,-Ao),ra=(0,0,-l)

設平面DBA/的一個法向量為〃=(x,九z),

n-DM=0(1-22)X+A/3^+22Z=0

則即＜令y=0,x=—22,z=1—22,

n-DB=02島=0

得〃二(-22,o,1—22),

設平面FBC的一個法向量為m=(%b,c),

ITI?BC=0ci—\/3b=0r-

則，即1,取b=l,得〃=2(百，1,0),

mFB=0-c=0

,.\m-n\|-2四|

cos<〃,m>|=------,解得Y，

\m\-\n\2yl(-2A)2+(1-2A)24

此時；?CM=b；,0,；

21.(2022?福建省龍巖第一中學高二階段練習)已知圓M的方程為f+(y-2)2=4,設川0,4),D(0,l),

過點￡＞作直線4,交圓M于P,。兩點，點P,。不在y軸上.

(1)若過點。作與直線4垂直的直線3交圓M于E,F兩點，記四邊形EPFQ的面積為S,求S的最大值;

(2)若直線OP,BQ相交于點N,