第26講對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)式運(yùn)算?？碱}型總結(jié)（原卷版）

第26講對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)式運(yùn)算?？碱}型總結(jié)【考點(diǎn)分析】考點(diǎn)一：對(duì)數(shù)式的運(yùn)算①對(duì)數(shù)的定義：一般地，如果且，那么數(shù)叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作，讀作以為底的對(duì)數(shù)，其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．②常見對(duì)數(shù)的寫法：1.一般對(duì)數(shù)：以且為底，記為，讀作以為底的對(duì)數(shù)；2.常用對(duì)數(shù)：以為底，記為；3.自然對(duì)數(shù)：以為底，記為；③對(duì)數(shù)的性質(zhì)：1.特殊對(duì)數(shù)：；；其中且2.對(duì)數(shù)恒等式：(其中且，)3.對(duì)數(shù)換底公式： 如：．倒數(shù)原理： 如：．約分法則：④對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則：1.；2.；3.，；4.和．【典型例題】題型一：對(duì)數(shù)的運(yùn)算【例1】若，，則＝（）A．2 B．3 C．4 D．5【例2】計(jì)算（）A．0 B．1 C．2 D．4【例3】若，則下列各式的值等于1的是（）A． B． C． D．【例4】已知函數(shù)，則．【例5】已知，則．（用含a，b的代數(shù)式表示）【例6】已知函數(shù)則．【例7】.【例8】【題型專練】1.（

）A．6 B．8 C．9 D．72.已知，則的值為（

）A． B．5 C．4 D．33.計(jì)算：4.若，則.5.已知，且，則的值為．6.設(shè)為正整數(shù)，已知點(diǎn)列在函數(shù)的圖象上，若，，則實(shí)數(shù)k的值為.7.已知為正實(shí)數(shù)，且，則的值為.8.已知，．(1)求的值；(2)均為正實(shí)數(shù)，若函數(shù)（且），且，求的值．9.設(shè)．(1)求和的值；(2)若把使為整數(shù)的正整數(shù)稱為期盼數(shù)，試求的期盼數(shù)．題型二:對(duì)數(shù)與不等式結(jié)合【例1】正數(shù)滿足，則的最小值為．【例2】已知，且則下列結(jié)論不正確的是（

）A．B．C．D．【例3】設(shè)實(shí)數(shù)，，求的最小值.【題型專練】1.若滿足，則的最小值為（

）A． B． C．12 D．162.已知，則（

）A． B．C． D．當(dāng)時(shí)，的最小值為43.已知實(shí)數(shù)，，滿足，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．題型三:對(duì)數(shù)與周期性結(jié)合【例1】已知奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．【例2】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．若，則的值是.【題型專練】1.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．若，則的值是（

）A． B． C．2 D．122.已知函數(shù)則（

）A． B． C． D．題型四：對(duì)數(shù)式的應(yīng)用題【例1】一個(gè)容器裝有細(xì)沙，細(xì)沙從容器底部一個(gè)細(xì)微的小孔慢慢地勻速漏出，后剩余的細(xì)沙量為，經(jīng)過后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，若容器中的沙子只有開始時(shí)的十六分之一，則需再經(jīng)過的時(shí)間為（

）A． B． C． D．【例2】記地球與太陽的平均距離為R，地球公轉(zhuǎn)周期為T，萬有引力常量為G，則太陽的質(zhì)量（單位：）.由，，，計(jì)算得太陽的質(zhì)量約為（

）A． B． C． D．【例3】碳14是碳元素的一種同位素，具有放射性．活體生物其體內(nèi)的碳14含量大致不變，當(dāng)生物死亡后，其組織內(nèi)的碳14開始衰變并逐漸消失．已知碳14的半衰期為年，即生物死亡年后，碳14所剩質(zhì)量，其中為活體組織中碳14的質(zhì)量．科學(xué)家一般利用碳14這一特性測定生物死亡年代，2023年科學(xué)家發(fā)現(xiàn)某生物遺體中碳14含量約為原始質(zhì)量的倍，依據(jù)計(jì)算結(jié)果可推斷該生物死亡的時(shí)間約為公元前（參考數(shù)據(jù)：）A．年 B．年 C．年 D．年【例4】（其中為常數(shù)）近似表示絕對(duì)星等M，目視星等m和觀測距離d之間的關(guān)系.若1號(hào)天體的絕對(duì)星等為0.54，目視星等為0.04，2號(hào)天體的絕對(duì)星等為，目視星等為，則觀測者與1號(hào)天體和2號(hào)天體的距離的比值約為（

）A． B． C． D．【例5】把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體初始溫度為，空氣的溫度為，那么小時(shí)后物體的溫度可由公式求得，其中、兩個(gè)物體放在空氣中冷卻，已知兩物體的初始溫度相同，冷卻小時(shí)后，、兩個(gè)物體的溫度分別為、，假設(shè)、兩個(gè)物體的冷卻系數(shù)分別為、，則（

）A． B．C． D．【例6】荀子《勸學(xué)》中說：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海．”所以說學(xué)習(xí)是日積月累的過程，每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，前進(jìn)不止一小點(diǎn)．我們可以把看作是每天的“進(jìn)步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1%，一年后是；這樣，一年后的“進(jìn)步值”是“退步值”的倍．那么當(dāng)“進(jìn)步”的值是“退步”的值的3倍，大約經(jīng)過（）天．（參考數(shù)據(jù)：，，）A．19 B．35 C．45 D．55【例7】被譽(yù)為信息論之父的香農(nóng)提出了一個(gè)著名的公式：，其中為最大數(shù)據(jù)傳輸速率，單位為；為信道帶寬，單位為；技術(shù)中發(fā)揮著舉足輕重的作用，當(dāng)時(shí)，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為；當(dāng)時(shí)，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為，則為.【題型專練】1.我們知道，任何一個(gè)正實(shí)數(shù)可以表示成，此時(shí).當(dāng)時(shí)，是是（

）位數(shù).A．601 B．602 C．603 D．6042.E（單位：焦耳）的常用對(duì)數(shù)與震級(jí)M之間滿足線性關(guān)系，若4級(jí)地震所釋放的能量為焦耳，6級(jí)地震所釋放的能量為焦耳，則這次平原縣發(fā)生的地震所釋放的能量約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．焦耳 B．焦耳C．焦耳 D．焦耳3．今年月日,日本不顧國際社會(huì)的強(qiáng)烈反對(duì),將福島第一核電站核污染廢水排入大海,對(duì)海洋生態(tài)造成不可估量的破壞.據(jù)有關(guān)研究,福島核污水中的放射性元素有種半衰期在年以上;有種半衰期在與時(shí)間（年）近似滿足關(guān)系式為大于的常數(shù)且.若時(shí),;若時(shí),.則據(jù)此估計(jì),這種有機(jī)體體液內(nèi)該放射性元素濃度為時(shí),大約需要（

）（參考數(shù)據(jù):）A．年 B．年 C．年 D．年4．已知一容器中有兩種菌，為菌的個(gè)數(shù)，為菌的個(gè)數(shù)，且在任何時(shí)刻兩種菌的個(gè)數(shù)均滿足．若分別用和來表示菌、菌個(gè)數(shù)的指標(biāo)，則當(dāng)時(shí)，（

）A． B． C． D．5．聲強(qiáng)級(jí)（單位：）與聲強(qiáng)（單位：）之間的關(guān)系是：，其中指的是人能聽到的最低聲強(qiáng)，對(duì)應(yīng)的聲強(qiáng)級(jí)稱為聞閾．人能承受的最大聲強(qiáng)為，對(duì)應(yīng)的聲強(qiáng)級(jí)為，稱為痛閾.某歌唱家唱歌時(shí)，聲強(qiáng)級(jí)范圍為（單位：），下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．聞閾的聲強(qiáng)級(jí)為B．此歌唱家唱歌時(shí)的聲強(qiáng)范圍為（單位：）C．如果聲強(qiáng)變?yōu)樵瓉淼?倍，對(duì)應(yīng)聲強(qiáng)級(jí)也變?yōu)樵瓉淼?倍D．聲強(qiáng)級(jí)增加，則聲強(qiáng)變?yōu)樵瓉淼?0倍，其中星等為的星的亮度為.已知太陽的星等是，天狼星的星等是，南極星的星等是，則（

）A．天狼星的星等大約是南極星星等的倍B．太陽的亮度與天狼星的亮度的比值是C．天狼星的亮度與太陽的亮度的比值是D．天狼星的亮度與南極星的亮度的比值是7．對(duì)數(shù)的發(fā)明是數(shù)學(xué)