高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（必修一）：專題3.9 函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用大題專項(xiàng)訓(xùn)練（30道）（教師版）

專題3.9函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用大題專項(xiàng)訓(xùn)練（30道）【人教A版2019必修第一冊(cè)】姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________1．（2022?南京模擬）已知冪函數(shù)f(x)=xm2?m?2(m∈Z)是偶函數(shù)，且在（0，+【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性，可知m2﹣m﹣2＜0，又m∈Z，則m＝0，1，再根據(jù)函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，將m＝0，1分別代入驗(yàn)證可得答案．【解答過程】解：∵冪函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減，則m2﹣m﹣2＜0，得﹣1＜m＜2，又∵m∈Z，∴m＝0或1，當(dāng)m＝0時(shí)，m2﹣m﹣2＝﹣2，函數(shù)為f（x）＝x﹣2是偶函數(shù)，滿足條件，當(dāng)m＝1時(shí)，m2﹣m﹣2＝﹣2，函數(shù)為f（x）＝x﹣2是偶函數(shù)，滿足條件．∴f（x）的解析式為f（x）＝x﹣2．2．（2021秋?自貢期末）已知f（x）＝a?22?x+1(x∈R)（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明．【解題思路】（1）根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（0）＝a﹣1＝0，解可得a的值，驗(yàn)證可得答案；（2）根據(jù)題意，利用作差法分析可得答案．【解答過程】解：（1）根據(jù)題意，因?yàn)閒(x)=a?22?x+1(x∈R)，函數(shù)所以f（0）＝a﹣1＝0，解可得a＝1，當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）＝1?2故a＝1，（2）f(x)=1?22證明：任取x1，x2∈R，x1＜x2，由f(x即f（x1）＞f（x2），f（x）在R上是減函數(shù)．3．（2022?桂林開學(xué)）已知函數(shù)f（x）＝x3+2x，x∈R．（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；（2）用定義證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性．【解題思路】（1）根據(jù)題意，先分析函數(shù)的定義域，再分析f（x）與f（﹣x）的關(guān)系，即可得答案；（2）根據(jù)題意，利用作差法分析可得結(jié)論．【解答過程】解：（1）根據(jù)題意，函數(shù)f（x）＝x3+2x，x∈R，其定義域?yàn)镽，有f（﹣x）＝﹣（x3+2x）＝﹣f（x），函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；（2）根據(jù)題意，設(shè)x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝（x13+2x1）﹣（x23+2x2）＝（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22+2）＝（x1﹣x2）[（x1+12x2）2+2+34x又由x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）＜0，則f（x）在R上為增函數(shù)．4．（2022春?蓮湖區(qū)期末）已知函數(shù)f（x）＝﹣3x+b，且f(x+1（Ⅰ）求實(shí)數(shù)b的值；（Ⅱ）求函數(shù)g（x）＝f（x）+x2﹣x的值域．【解題思路】（I）由已知先求出f（x+1（II）由已知先求出g（x）的解析式，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求．【解答過程】解：（I）由題意得f（x+13）＝﹣3（x+13）+b＝﹣3x+又f（x+1所以b﹣1＝0，所以b＝1；（II）由（I）知，f（x）＝﹣3x+1所以g（x）＝﹣3x+1+x2﹣x＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3≥﹣3，故g（x）的值域?yàn)閇﹣3，+∞）．5．（2022春?商丘期末）已知函數(shù)f(x)=2x2+ax（x≠0（1）判斷f（x）的奇偶性；（2）當(dāng)a＝1時(shí)，用單調(diào)性的定義證明f（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)．【解題思路】（1）根據(jù)題意，分a＝0與a≠0兩種情況討論，分析函數(shù)的奇偶性，即可得結(jié)論；（2）根據(jù)題意，利用作差法分析可得結(jié)論．【解答過程】解：（1）根據(jù)題意，f(x)=2x2+ax，其定義域?yàn)椋ī仭蓿?當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）＝2x2，有f（﹣x）＝f（x），f（x）是偶函數(shù)．當(dāng)a≠0時(shí)，f(x)=2x2+ax（x≠0，a≠0），則f（﹣x）＝f（﹣x）≠f（x）且f（﹣x）≠﹣f（x），則f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．綜上可知，當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）是偶函數(shù)；當(dāng)a≠0時(shí)，f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．（2）根據(jù)題意，當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)=2x任取x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，則f(x因?yàn)?≤x1＜x2，所以x2﹣x1＞0，x1x2＞4，2x1x2（x1+x2）﹣1＞0，所以f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1）．所以f（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)．6．（2022?河南開學(xué)）已知冪函數(shù)f(x)=(m（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若f（a+1）＜f（3﹣2a），求a的取值范圍．【解題思路】（1）由已知結(jié)合冪函數(shù)的定義及性質(zhì)可求；（2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解．【解答過程】解：（1）由題意得m2﹣3m+3＝1且m2解得m＝1或m＝2，經(jīng)檢驗(yàn)m＝1符合題意，所以f（x）＝x3；（2）由（1）得f（x）在R上單調(diào)遞增，由f（a+1）＜f（3﹣2a）得a+1＜3﹣2a，解得a＜2故a的取值范圍為{a|a＜237．（2022?句容市校級(jí)開學(xué)）函數(shù)f(x)=ax?b9?x2是定義在（﹣3，（1）確定f（x）的解析式；（2）證明f（x）在（﹣3，3）上的單調(diào)性；（3）解關(guān)于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．【解題思路】（1）由題意，根據(jù)f（0）＝0、f（1）=14，求出b和（2）由題意，利用單調(diào)性函數(shù)的定義，證明函數(shù)的單調(diào)性．（3）由題意，利用函數(shù)的定義域和單調(diào)性解不等式，求得t的范圍．【解答過程】解：（1）∵函數(shù)f(x)=ax?b9?x2是定義在（﹣3，3）上的奇函數(shù)，則f(0)=?b又由f（1）=14，則有f(1)=a8=14（2）由（1）的結(jié)論，f(x)=2x9?x2，設(shè)﹣3＜x1＜x則f(x再根據(jù)﹣3＜x1＜x2＜3，可得9+x1x2＞0，x1﹣x2＜0，9?x1故有f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），可得函數(shù)f（x）在（﹣3，3）上為增函數(shù)．（3）由（1）（2）知f（x）為奇函數(shù)且在（﹣3，3）上為增函數(shù)，關(guān)于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0，即式f（t﹣1）＜﹣f（t）＝f（﹣t），可得?3＜t即不等式的解集為(?8．（2022秋?連云區(qū)校級(jí)月考）已知f（x）是定義在（﹣1，1）上的奇函數(shù)，且當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f(x)=9（1）求f（x）在（﹣1，1）上的解析式和值域；（2）求f(1【解題思路】（1）先設(shè)﹣1＜x＜0時(shí)，0＜﹣x＜1，結(jié)合已知0＜x＜1上的函數(shù)解析式及奇函數(shù)定義可求﹣1＜x＜0時(shí)的函數(shù)解析式，再根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可求f（0），進(jìn)而可求函數(shù)解析式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及反比例函數(shù)性質(zhì)可求函數(shù)值域；（2）由題意可求得f(x)+f(1?【解答過程】解：（1）當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，0＜﹣x＜1，f(?因?yàn)閒（x）是（﹣1，1）上的奇函數(shù)，所以f(x)=?當(dāng)x＝0時(shí)，f（0）＝0，所以，f（x）在（﹣1，1）上的解析式為f（x）=?1當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，9x當(dāng)0＜x＜1時(shí)，9x∈（1，9），1+?3所以，f（x）在（﹣1，1）上的值域?yàn)??3（2）當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f(x)=9所以f（x）+f（1﹣x）=9x所以f(1故f(19．（2022秋?余姚市校級(jí)月考）已知函數(shù)f（x）=x（1）若g（x）＝f（x）﹣2，判斷g（x）的奇偶性并加以證明；（2）當(dāng)a=12時(shí)，先用定義法證明函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，再求函數(shù)f（x）在[1，（3）若對(duì)任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解題思路】（1）由函數(shù)的奇偶性的定義，即可得出答案．（2）當(dāng)a=12時(shí)，f（x）＝x+（3）根據(jù)題意可得x2+2x+a＞0x≥1，問題轉(zhuǎn)化為a大于函數(shù)φ（x）＝﹣（x2+2x【解答過程】解：（1）g（x）為奇函數(shù)．證明：g(x)=f(x)?函數(shù)g（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，g（﹣x）＝﹣x?ax=?（x+ax所以g（x）是奇函數(shù)．（2）當(dāng)a=12時(shí)，f（x）＝x+?x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，所以f(x所以函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的最小值為f(1)=7（3）若對(duì)任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，則{所以問題轉(zhuǎn)化為a大于函數(shù)φ（x）＝﹣（x2+2x）在[1，+∞）上的最大值，又函數(shù)φ（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，所以φ（x）最大值為φ（1）＝﹣3，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣3，+∞）．10．（2022秋?雞東縣校級(jí)月考）已知函數(shù)f（x）＝﹣x|x﹣a|+1（x∈R）．（1）當(dāng)a＝2時(shí)，試寫出函數(shù)g（x）＝f（x）﹣x的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)a＞1時(shí)，求函數(shù)f（x）在[1，3]上的最大值．【解題思路】（1）將a＝2代入，并把函數(shù)g（x）化為分段函數(shù)的形式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案；（2）作出f（x）的大致圖象，結(jié)合圖象可知f（x）在[1，3]上的最大值在f（1），f（3），f（a）中取得，然后分類討論得解．【解答過程】解：（1）當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)=?所以g(x)=f(x)?當(dāng)x＜2時(shí)，g（x）＝x2﹣3x+1，其圖象開口向上，對(duì)稱軸方程為x=32，所以g（x）在(?∞，當(dāng)x≥2時(shí)，g（x）＝﹣x2+x+1，其圖象開口向下，對(duì)稱軸方程為x=12，所以g（x）在[2，綜上可知，g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(?∞，32]和[2，（2）由題知，f(x)=?易得f（0）＝f（a）＝1，f(a2)=1?a24，所以可判斷f（x）在[1，3]上的最大值在f（1），f（當(dāng)1＜a≤3時(shí)，f（x）max＝f（a）＝1．當(dāng)a＞3時(shí)，f（x）在[1，a2又(a若3＜a＜4，則f（x）max＝f（3）＝10﹣3a；若a≥4，則f（x）max＝f（1）＝2﹣a．綜上可知，在區(qū)間[1，3]上，f(x)11．（2022秋?雞東縣校級(jí)月考）已知冪函數(shù)f（x）＝（2m2+9m﹣4）xm在（﹣∞，0）上為減函數(shù)．（1）試求函數(shù)f（x）解析式；（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性并寫出其單調(diào)區(qū)間．【解題思路】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義，令2m2+9m﹣4＝1，求出m的值，再判斷m是否滿足冪函數(shù)在x∈（﹣∞，0）上為減函數(shù)即可．（2）利用奇偶性的定義判斷奇偶性，利用冪函數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)區(qū)間．【解答過程】解：（1）∵f（x）＝（2m2+9m﹣4）xm為冪函數(shù)，∴2m2+9m﹣4＝1，即2m2+9m﹣5＝0，解得m=12或m＝﹣當(dāng)m=12時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，∴m＝﹣5，則f（x）＝x﹣5．（2）∵f(x)=x?5=1x5的定義域?yàn)椋ī仭?，∵f(?當(dāng)x＞0時(shí)，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知f（x）＝x﹣5在（0，+∞）上為減函數(shù)，∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，∴在（﹣∞，0）上也為減函數(shù)，故其單調(diào)減區(qū)間為（﹣∞，0），（0，+∞）．12．（2021秋?廣西月考）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）＝x2+2x．（1）現(xiàn)已畫出函數(shù)f（x）在x軸左側(cè)的圖象，如圖所示，請(qǐng)補(bǔ)全函數(shù)f（x）的圖象并求f（3）的值；（2）求函數(shù)f（x）的解析式．【解題思路】（1）根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，作圖即可；由f（3）＝﹣f（﹣3），代入運(yùn)算，得解；（2）令x＞0，則﹣x＜0，代入f（x）的解析式中，并根據(jù)f（x）＝﹣f（﹣x），得解．【解答過程】解：（1）圖象如圖所示：因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以f（3）＝﹣f（﹣3）＝﹣[（﹣3）2﹣2?3]＝﹣3．（2）當(dāng)x＞0時(shí)，﹣x＜0，所以f（﹣x）＝（﹣x）2+2（﹣x）＝x2﹣2x，因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2+2x，故f（x）的解析式為f(x)=x13．（2022春?項(xiàng)城市校級(jí)期末）已知冪函數(shù)f（x）＝（a2﹣3a+3）xa為偶函數(shù)．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若函數(shù)g（x）＝f（x）+（2m﹣1）x﹣3在[﹣1，3]上的最大值為2，求實(shí)數(shù)m的值．【解題思路】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義及性質(zhì)求出參數(shù)a，即可得解．（2）首先得到g（x）的解析式，再對(duì)對(duì)稱軸與區(qū)間中點(diǎn)的關(guān)系分類討論，即可求出函數(shù)的最大值，從而求出參數(shù)的值．【解答過程】解：（1）因?yàn)閒（x）＝（a2﹣3a+3）xa為冪函數(shù)，所以a2﹣3a+3＝1，解得a＝2或a＝1，因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，所以a＝2，故f（x）的解析式f（x）＝x2．（2）由（1）知g（x）＝x2+（2m﹣1）x﹣3，對(duì)稱軸為x=1?2m當(dāng)1?2m2≤1，即m≥?12時(shí)，g（x）max＝g（3）＝3+6當(dāng)1?2m2＞1，即m＜?12時(shí)，g（x）max＝g（﹣1）＝﹣1﹣綜上所述：m=?1614．（2022春?三元區(qū)校級(jí)月考）已知f（x）為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝x2﹣2x．（1）求f（﹣2）；（2）求f（x）的解析式；（3）畫y＝f（x）的草圖，并通過圖像寫出y＝f（x）的單調(diào)區(qū)間．【解題思路】（1）由已知先求f（2），然后結(jié)合奇函數(shù)定義可求；（2）由已知區(qū)間上函數(shù)解析式，結(jié)合奇函數(shù)定義及性質(zhì)可求；（3）結(jié)合二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)即可求解．【解答過程】解：（1）因?yàn)閒（x）為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝x2﹣2x．所以f（2）＝0，則f（﹣2）＝﹣f（2）＝0；（2）當(dāng)x＝0時(shí)，f（x）＝0，當(dāng)x＜0時(shí)，﹣x＞0，f（x）＝x2+2x＝﹣f（x），所以f（x）＝﹣x2﹣2x，∴f（x）=x（3）結(jié)合函數(shù)圖象可知，函數(shù)的增區(qū)間為（﹣∞，﹣1）和（1，+∞），減區(qū)間為（﹣1，1）．15．（2022春?濟(jì)寧期末）已知函數(shù)f(x)=1（1）如果函數(shù)f（x）為冪函數(shù)，試求實(shí)數(shù)a、b、c的值；（2）如果a＞0、b＞0，且函數(shù)f（x）在區(qū)間[12，【解題思路】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義得到方程組，解得即可；（2）分a＝2、a＞2、0＜a＜2三種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式計(jì)算可得．【解答過程】解：（1）由f（x）為冪函數(shù)知：13(a?2)=1b?8=0解得：a＝5，b＝8，c＝1，或a＝2，b＝9，c＝1．（2）①當(dāng)a＝2時(shí)，f（x）＝（b﹣8）x+c﹣1（x∈R）由題意知，0＜b＜8，所以ab＜16．②當(dāng)a＞2時(shí)，函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱軸為x=3(8?b)以題意得：3(8?b)2(a?2)≥3，即2a+b所以12≥2a+b≥22ab當(dāng)且僅當(dāng)a＝3，b＝6時(shí)取等號(hào)．③當(dāng)0＜a＜2時(shí)，以題意得：3(8?b)2(a?2)≤12，即a+3b又因?yàn)?＜a＜2，所以0綜上可得，ab的最大值為18．16．（2022春?渭濱區(qū)期末）設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝x2．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若對(duì)任意的x∈[a，a+1]，不等式f(x+2a)≥4f(x)恒成立，求實(shí)數(shù)【解題思路】（1）由函數(shù)f（x）是定義再R上的奇函數(shù)，得f（0）＝0，再求當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）的解析式，即可得出答案．（2）不等式f（x+2a）≥4f（x）恒成立，等價(jià)于f（x+2a）≥f（2x）恒成立，根據(jù)f（x）的單調(diào)性，得x+2a≥2x，只需a≥[22【解答過程】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是定義再R上的奇函數(shù)，所以f（0）＝0，又當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝x2，所以當(dāng)x＜0時(shí)，﹣x＞0，所以f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2，所以函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=x（2）因?yàn)?x2＝（2x）2，所以不等式f（x+2a）≥4f（x）恒成立，等價(jià)于f（x+2a）≥f（2因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，所以x+2a≥2x，即a≥2因?yàn)閤∈[a，a+1]，所以[22x]max=22（所以a≥22（a解得a≥2+所以a的取值范圍為[2+1，+17．（2022春?江西期中）已知函數(shù)f(x)=（1）用定義法證明f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增；（2）若f（x）的最小值是6，求a的值．【解題思路】（1）先設(shè)x1＞x2＞0，然后利用作差法比較f（x1）與f（x2）的大小即可判斷；（2）結(jié)合（1）中對(duì)函數(shù)單調(diào)性的研究，對(duì)a進(jìn)行分類討論可求函數(shù)最小值，從而建立關(guān)于a的方程，進(jìn)一步求出a的值．【解答過程】解：（1）證明：對(duì)任意的x1＞x2＞0，f(x當(dāng)0＜x2＜x1＜2時(shí)，x1﹣x2＞0，0＜x1x2＜4，則(x1?x2)(x1x2?4)當(dāng)x1＞x2＞2時(shí)，x1﹣x2＞0，x1x2＞4，則(x1?x2)(x1x2?4)故f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增．（2）由（1）可知f（x）在（0，+∞）上的最小值是f（2）＝4﹣a．當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）＝x2﹣2ax+a2﹣a，其圖象的對(duì)稱軸方程是直線x＝a．①若a≥0，f（x）在（﹣∞，0]上單調(diào)遞減，則f（x）在（﹣∞，0]上的最小值是f（0）＝a2﹣a．②若a＜0，f（x）在（﹣∞，a）上單調(diào)遞減，在（a，0]上單調(diào)遞增，則f（x）在（﹣∞，0]上的最小值是f（a）＝﹣a．綜上，f（x）min=4?a因?yàn)閒（x）的最小值是6，所以a＞24?a=6或0解得a＝﹣6．18．（2022春?安徽期中）已知是定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝﹣x2+2x．（1）求出函數(shù)f（x）的解析式并畫出f（x）的簡(jiǎn)圖（不必列表）；（2）若函數(shù)在區(qū)間[a，a+1]上單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解題思路】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義求解即可；（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的圖象確定單調(diào)區(qū)間，再求解即可．【解答過程】解：（1）設(shè)x＜0，則﹣x＞0，所以f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+2（﹣x）＝﹣x2﹣2x，又f（x）為奇函數(shù)，所以f（x）＝x2+2x（x＜0），綜上：f（x）=?x2+2x，（2）由圖象可得f（x）在（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）上單調(diào)遞減，在[﹣1，1]上單調(diào)遞增，所以有：a+1≤﹣1或a≥?1a+1≤1或a≥1，解得a≤﹣2或﹣1≤a≤0或所以a的取值范圍為：（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，0]∪[1，+∞）．19．（2022春?天心區(qū)校級(jí)期中）已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，f（0）＝0，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝x2+4x．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在區(qū)間[﹣6，m]上的值域．【解題思路】（1）根據(jù)x＜0時(shí)，f（x）＝x2+4，可得f（﹣x）的表達(dá)式，然后根據(jù)偶函數(shù)即可得．（2）根據(jù)函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，分情況討論即可．【解答過程】（1）解：（1）當(dāng)x＞0時(shí)，﹣x＜0，所以f（﹣x）＝（﹣x）2+4（﹣x）＝x2﹣4x；因?yàn)閒（x）為R上的偶函數(shù)，所以f（x）＝f（﹣x）＝x2﹣4x；又f（0）＝0，所以f(x)=x（2）解：作出f(x)=x當(dāng)﹣6＜m≤﹣2時(shí)，f（x）在區(qū)間[﹣6，m]上單調(diào)遞減，則f（x）在區(qū)間[﹣6，m]上的值域?yàn)閇f（m），f（﹣6）]，即[m2+4m，12]；當(dāng)﹣2＜m≤6時(shí)，f（x）在區(qū)間[﹣6，m]上的最大值為f（﹣6）＝12，最小值為f（﹣2）＝﹣4，所以f（x）在[﹣6，m]上的值域?yàn)閇f（﹣2），f（﹣6）]，即[﹣4，12]；當(dāng)m＞6時(shí)，f（x）在區(qū)間[﹣6，﹣2]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[﹣2，0]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[2，m]上單調(diào)遞增，且f（m）＞f（﹣6），則f（x）在區(qū)間[﹣6，m]上的值域?yàn)閇f（﹣2），f（m）]，即[﹣4，m2﹣4m]．20．（2022春?安徽期中）已知函數(shù)f(x)=2x+bax2+1是定義在R上的奇函數(shù)，且f（1）求a，b的值；（2）用定義法證明f（x）在[2，6]上的單調(diào)性，并求出在[2，6]上的最大值和最小值．【解題思路】（1）根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（0）＝b＝0，又由f（1）＝1可得a的值，驗(yàn)證可得答案；（2）根據(jù)題意，利用作差法分析函數(shù)單調(diào)性，據(jù)此分析可得答案．【解答過程】解：（1）根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=2x+bax必有f（0）＝b＝0，則b＝0，又由f（1）＝1，則f（1）=2a+1=1，解可得a故a＝1，b＝0，則f（x）=2xx2（2）證明：根據(jù)題意，由（1）的結(jié)論，f（x）=2x設(shè)2≤x1＜x2≤6，則f（x1）﹣f（x2）=2又由2≤x1＜x2≤6，則f（x1）﹣f（x2）＞0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，6]上為減函數(shù)，則f（x）max＝f（2）=45，f（x）min＝f（6）21．（2022春?秀峰區(qū)校級(jí)期中）已知定義R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝x2+x+1．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）解關(guān)于x的不等式：f（ax2﹣2x）+f（2﹣ax）＞0（a∈R）．【解題思路】（1）由f（x）為定義R上的奇函數(shù)求x＝0及x＜0時(shí)的解析式即可；（2）結(jié)合函數(shù)的奇偶性可判斷f（x）在R上單調(diào)遞增，從而化不等式為ax2﹣2x＞ax﹣2，分類討論求解集即可．【解答過程】解：（1）∵f（x）為定義R上的奇函數(shù)，∴f（0）＝0，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2﹣x+1]＝﹣x2+x﹣1，故f（x）=x（2）∵f（ax2﹣2x）+f（2﹣ax）＞0，∴f（ax2﹣2x）＞f（ax﹣2），當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）單調(diào)遞增且f（x）＞1，且f（0）＝0，故f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，又f（x）為奇函數(shù)，故f（x）在R上單調(diào)遞增，故ax2﹣2x＞ax﹣2，即ax2﹣（a+2）x+2＞0，即（ax﹣2）（x﹣1）＞0，①當(dāng)a＞2時(shí)，x∈（﹣∞，2a）∪（1，+②當(dāng)a＝2時(shí)，x∈（﹣∞，1）∪（1，+∞）；③當(dāng)0＜a＜2時(shí)，x∈（﹣∞，1）∪（2a，+④當(dāng)a＝0時(shí)，x∈（﹣∞，1）；⑤當(dāng)a＜0時(shí)，x∈（2a，1綜上：當(dāng)a＞2時(shí)，x∈（﹣∞，2a）∪（1，+當(dāng)a＝2時(shí)，x∈（﹣∞，1）∪（1，+∞）；當(dāng)0＜a＜2時(shí)，x∈（﹣∞，1）∪（2a，+當(dāng)a＝0時(shí)，x∈（﹣∞，1）；當(dāng)a＜0時(shí)，x∈（2a，122．（2021秋?貴陽期末）已知函數(shù)y＝f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)=?（1）用單調(diào)性定義證明函數(shù)y＝f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增；（2）求當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的解析式．【解題思路】（1）先設(shè)x1＜x2＜0，然后利用作差法比較f（x1）與f（x2）的大小即可判斷；（2）先設(shè)x＞0，則﹣x＜0，然后根據(jù)已知x＜0時(shí)函數(shù)解析式及偶函數(shù)定義可求．【解答過程】（1）證明：當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)=?設(shè)x1＜x2＜0，則f（x1）﹣f（x2）=3x所以f（x1）＜f（x2），所以y＝f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增；（2）解：當(dāng)x＞0，﹣x＜0，因?yàn)閤＜0時(shí)，f(x)=?f（﹣x）=?3?x+1＝1+故x＞0時(shí)，f(x)=323．（2021秋?大荔縣期末）已知函數(shù)f（x）=x+bax2+1是定義在[﹣1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）求a，b的值；（2）判斷f（x）在[﹣1，1]上的單調(diào)性，并用定義證明．【解題思路】（1）根據(jù)函數(shù)f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數(shù)得f（0）＝0，即b＝0；再由f（1）=12求得（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷并證明即可．【解答過程】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數(shù)，所以f（0）＝0，即b＝0；又f（1）=12，即1a+1=1故a＝1，b＝0；（2）由（1）知f（x）=xx2+1，f（x）在[﹣?zhàn)C明如下：設(shè)﹣1≤x1＜x2≤1，則f（x1）﹣f（x2）=x其中x1x2﹣1＜0，x2﹣x1＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上單調(diào)遞增．24．（2021秋?涼山州期末）已知函數(shù)f(x)=x（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；（2）用單調(diào)性定義證明：f（x）在（﹣1，1）上單調(diào)遞增．【解題思路】（1）函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，利用函數(shù)奇偶性的定義證明即可；（2）利用單調(diào)性的定義證明即可．【解答過程】解：（1）函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．理由如下：函數(shù)f(x)=xx2∵f(1)=32，則f（﹣1）≠f（1）與f（﹣x）＝f（x）恒成立矛盾，∴f（x）不是偶函數(shù)；又f（﹣1）≠﹣f（1）與f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立矛盾，∴f（x）不是奇函數(shù)．綜上，函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．（2）證明：設(shè)x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，f(x因?yàn)閤1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，﹣1＜x1?x2＜1，1﹣x1?x2＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（﹣1，1）上單調(diào)遞增．25．（2021秋?涼山州期末）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝x2．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）求關(guān)于m的不等式式f（2m﹣8）+f（5﹣m）＞0的解集．【解題思路】（1）結(jié)合奇函數(shù)的定義及性質(zhì)分別求出x＜0及x＝0時(shí)函數(shù)解析式即可；（2）先判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后結(jié)合單調(diào)性及奇偶性即可求解．【解答過程】解：（1）∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（﹣x）＝﹣f（x），∴當(dāng)x＝0時(shí)，f（0）＝0；當(dāng)x＜0時(shí)，﹣x＞0，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（﹣x）2＝﹣x2．∴f(x)=x（2）∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，∴f（2m﹣8）+f（5﹣m）＞0?f（2m﹣8）＞﹣f（5﹣m）＝f（m﹣5）因?yàn)閒（x）＝x2在[0，+∞）上遞增，且f（x）為奇函數(shù)，所以f（x）在R單調(diào)遞增，∴2m﹣8＞m﹣5，解得：m＞3，故不等式的解集是{m|m＞3}．26．（2021秋?秦皇島期末）已知函數(shù)f(x)=x?（1）判斷f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性，并用定義證明；（2）判斷f（x）的奇偶性，并求f（x）在區(qū)間[﹣2，﹣1]上的值域．【解題思路】（1）設(shè)0＜x1＜x2，然后利用作差法比較f（x1）與f（x2）的大小即可判斷；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性即可求解．【解答過程】解：（1）f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，證明如下：?x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，有f(x1)?f(x2因?yàn)閤1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，所以x1x2＞0，x1﹣x2＜0．于是x1?x2x1x2(x1故f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增．（2）f（x）的定義域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（0，+∞）．因?yàn)閒(?所以f（x）為奇函數(shù)．由（1）得f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，結(jié)合奇偶性可得f（x）在區(qū)間（﹣∞，0）上單調(diào)遞增．又因?yàn)閒(?所以f（x）在區(qū)間[﹣2，﹣1]上的值域?yàn)閇?327．（2021秋?滕州市期末）已知函數(shù)f(x)≡mx+11+（1）求實(shí)數(shù)m的值，判斷函數(shù)f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性（不必證明）；（2）求函數(shù)f（x）在[﹣3，2]上的最小值．【解題思路】（1）利用函數(shù)的奇偶性的定義求出m＝0即可．（2）先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性求最值即可．【解答過程】解：（1）若函數(shù)f(x)=mx+11+x2是R上的偶函數(shù)，則f（﹣x）＝即m(?x)+11+(?x)2=mx+1所以f(x)=1函數(shù)函數(shù)f（x）在[0+∞）上單調(diào)遞減．（2）由（1）知函數(shù)f（x）在[0+∞）上單調(diào)遞減，又函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，所以函數(shù)f（x）在（﹣∞，0]上為增函數(shù)，所以函數(shù)f（x）在[﹣3，0]上為增函數(shù)，在[0，2]上為減函數(shù)．又f(?3)=1所以f(x)28．（2021秋?麗江期末）已知定義在R上的偶函數(shù)f（x），當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝x2﹣4x+3．（1）求函數(shù)f（x）在R上的解析式；（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，a﹣2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解題思路】（1）利用偶函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．（2）作出函數(shù)f（x）的圖象，利用函數(shù)的單調(diào)性建立不等式進(jìn)行求解即可．【解答過程】解：（1）若x＜0，則﹣x＞0，∵x≥0時(shí)，f（x）＝x2﹣4x+3．∴當(dāng)﹣x＞0時(shí)，f（﹣x）＝x2+4x+3，∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（﹣x）＝f（x），即f（﹣x）＝x2+4x+3＝f（x），則f（x）＝x2+4x+3，（x＜0），綜上f（x）=x（2）作出f（x）的圖象如圖：則函數(shù)f（x）在[﹣2，0]上單調(diào)遞增，若f（x）在