專題13.2 期中期末專項復(fù)習(xí)之冪的運(yùn)算十六大必考點(diǎn)（舉一反三）（蘇科版）（解析版）

專題13.2冪的運(yùn)算十六大必考點(diǎn)【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1同底數(shù)冪相乘】 1【考點(diǎn)2同底數(shù)冪乘法的逆用】 3【考點(diǎn)3冪的乘方運(yùn)算】 4【考點(diǎn)4冪的乘方的逆用】 7【考點(diǎn)5積的乘方】 8【考點(diǎn)6積的乘方的逆用】 11【考點(diǎn)7同底數(shù)冪的除法】 12【考點(diǎn)8同底數(shù)冪的除法的逆用】 14【考點(diǎn)9零指數(shù)冪的運(yùn)用】 16【考點(diǎn)10負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)用】 17【考點(diǎn)11用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)】 19【考點(diǎn)12還原用科學(xué)記數(shù)法表示的小數(shù)】 20【考點(diǎn)13利用冪的運(yùn)算進(jìn)行比較大小】 22【考點(diǎn)14冪的混合運(yùn)算】 25【考點(diǎn)15利用冪的運(yùn)算進(jìn)行簡便計算】 27【考點(diǎn)16冪的運(yùn)算中的新定義問題】 29【考點(diǎn)1同底數(shù)冪相乘】【例1】（2022秋·福建南平·八年級統(tǒng)考期中）已知2x=8，2y=5，2z=40那么下列關(guān)于x，A．x+y=z B．xy=z C．2x+y=z D．2xy=z【答案】A【分析】由2z=40可得：2z【詳解】∵2x=8，2y∴2z=5×8，∴2z∴z=x+y；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法，解答的關(guān)鍵是對同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算法則的掌握與靈活運(yùn)用．【變式1-1】（2022秋·上海普陀·七年級統(tǒng)考期中）計算：-a·-a【答案】-【分析】根據(jù)同底數(shù)冪乘法法則進(jìn)行計算：底數(shù)不變，指數(shù)相加．【詳解】-a·故答案為：-【點(diǎn)睛】考核知識點(diǎn)：同底數(shù)冪乘法．掌握同底數(shù)冪乘法法則是關(guān)鍵．【變式1-2】（2022秋·江蘇南通·七年級南通田家炳中學(xué)?？计谥校┤?2020×2020×…×2020共2020個)×(A．2022 B．2021 C．2020 D．2019【答案】A【分析】2020個2020相乘，可以寫成20202020，2020個2020相加，可以寫成2020×2020=【詳解】∵2020×2020×?×2020=20202020+2020+?+20202020∴原式左邊=2020即2020n∴n=2022．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了乘方的意義，以及同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算．注意：求n個相同因數(shù)乘積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪．【變式1-3】（2022春·山東泰安·六年級統(tǒng)考期中）已知2a=5,2b=3.2,【答案】10【分析】利用同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行計算，可得到結(jié)果．【詳解】解：∵25×3.2×6.4×10=1024=2∴2∴a+b+c+d=10，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，掌握同底數(shù)冪乘法運(yùn)算法則（底數(shù)不變，指數(shù)相加）是解決本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)2同底數(shù)冪乘法的逆用】【例2】（2022秋·內(nèi)蒙古赤峰·八年級?？计谥校┤魓=2n+2n+1，y=2n+2+2A．x=4y B．y=4x C．x=12y D．y=12x【答案】B【分析】先將y變形為22【詳解】解：因為y=2n+2所以y=2故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的運(yùn)算性質(zhì)，正確變形、熟練掌握同底數(shù)冪的逆運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2022春·山東濟(jì)南·七年級統(tǒng)考期中）若3x=12，3y=4【答案】48【分析】根據(jù)同底數(shù)冪乘法的逆運(yùn)算求解即可．【詳解】解：∵3x=12，∴3x+y故答案為：48．【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式求值以及同底數(shù)冪乘法的逆運(yùn)算，熟練掌握同底數(shù)冪乘法的逆運(yùn)算的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【變式2-2】（2022春·陜西西安·七年級高新一中?？计谥校┮阎?x+y-4=0，則4x?2【答案】16【分析】由已知條件可得2ｘ+y=4,再利用同底數(shù)冪的乘法法則及冪的乘方法則對式子進(jìn)行整理，再代入相應(yīng)的值運(yùn)算即可．【詳解】解：∵2x+y-4=0,∴2x+y=4,4x·2故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題主要考查冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握與運(yùn)用．【變式2-3】（2022春·上海楊浦·六年級期中）閱讀理解：①根據(jù)冪的意義，an表示n個a相乘；則am+n=am?an；②an=m，知道a和n可以求m，我們不妨思考；如果知道a，m，能否求n呢？對于an=m，規(guī)定[a，m]=n，例如：62=36，所以[6，36]=2．記【答案】y=25x+3【分析】由題意得：x＝54m，y?3＝54m＋2，然后根據(jù)同底數(shù)冪的逆用得問題的答案．【詳解】解：由題意得：x=54m，∴y-3=54m×故答案為：y=25x+3．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方、同底數(shù)冪乘法的逆用，正確理解新規(guī)定是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)3冪的乘方運(yùn)算】【例3】（2022秋·上海寶山·七年級?？计谥校┮阎?a=3，2b【答案】3【分析】由2b=33=【詳解】解：∵2a=3，∴2b∴b=3a，∴ba【點(diǎn)睛】此題主要考查了冪的乘方運(yùn)算及單項式除以單項式，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2022春·山東泰安·六年級統(tǒng)考期末）計算(-0.125)2022×2A．1 B．－1 C．8 D．－8【答案】A【分析】首先根據(jù)冪的乘方運(yùn)算進(jìn)行運(yùn)算，再根據(jù)積的乘方運(yùn)算的逆運(yùn)算進(jìn)行運(yùn)算，即可求得結(jié)果．【詳解】解：(-0.125)=====1=1故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方運(yùn)算及積的乘方運(yùn)算的逆運(yùn)算，熟練掌握和運(yùn)用冪的乘方運(yùn)算及積的乘方運(yùn)算的逆運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2022春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期中）（1）已知am=3,a（2）已知9n+1-9【答案】（1）576；（2）1【分析】（1）利用同底數(shù)冪的乘法的法則及冪的乘方的法則對所求的式子進(jìn)行整理，再代入相應(yīng)的值運(yùn)算即可；（2）對已知條件進(jìn)行整理，從而可求解．【詳解】解：（1）∵am＝3，an＝4，∴a2m＋3n＝a2m×a3n＝（am）2×（an）3＝32×43＝9×64＝576；（2）∵9n＋1－9n＝72，∴9×9n－9n＝72，則8×9n＝8×9，∴n＝1【點(diǎn)睛】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運(yùn)算法則的靈活運(yùn)用．【變式3-3】（2022秋·貴州遵義·八年級統(tǒng)考期末）已知，有一組不為零的數(shù)a，b，c，d，e，f，m，滿足ab=解：∵a=bm，c=md，e=fm∴a+c+e利用數(shù)學(xué)的恒等變形及轉(zhuǎn)化思想，試完成：（1）244，333，422的大小關(guān)系是________；

（2）已知a，b，c不相等且不為零，若aba+b=13【答案】（1）333＞244=422；（2）1【分析】（1）先將各式轉(zhuǎn)化成冪相同的指數(shù)式，再來比較大小.（2）根據(jù)題意可得a+b=3ab，b+c=4bc，a+c=5ac，即（a+b）c=3abc，（b+c）a=4abc，（a+c）b=5abc，再把三個式子相加、計算即ab+bc+ac=6abc，從而即可得證.【詳解】（1）解（1）∵244=（24）11=1611

，333=（33）11=2711

，422=（42）11=1611

，∴2711＞1611=1611

，即333＞244=422.故答案為333＞244=422.（2）解：∵ab∴a+b=3ab，b+c=4bc，a+c=5ac，∴（a+b）c=3abc，（b+c）a=4abc，（a+c）b=5abc，即ac+bc=3abc，ab+ac=4abc，ab+bc=5abc，∴2（ab+bc+ac）=12abc，即ab+bc+ac=6abc，∴abcab【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪的大小比較的方法，以及分式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的運(yùn)算法則，一般說來，比較幾個冪的大小，或者把它們的底數(shù)變得相同，或者把它們的指數(shù)變得相同，再分別比較它們的指數(shù)或底數(shù)．【考點(diǎn)4冪的乘方的逆用】【例4】（2022春·江蘇泰州·七年級統(tǒng)考期末）若m，n均為正整數(shù)，且

2m?1×4n=32，則m+n的所有可能值為________．【答案】4或5##5或4【分析】先根據(jù)同底數(shù)冪的乘法和乘方進(jìn)行變形：2m?1×22n＝2m?1＋2n＝25，得到m＋2n?1＝5，由m和n為正整數(shù)進(jìn)行討論即可得到答案．【詳解】解：∵原式＝2m?1×22n＝2m?1＋2n＝25，∴m＋2n?1＝5，∴n＝6-m2∵m，n為正整數(shù)，∴當(dāng)m＝2時，n＝2，當(dāng)m＝4時，n＝1，∴m＋n＝2＋2＝4或m＋n＝4＋1＝5．故答案為：4或5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了乘方和同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則，能夠靈活運(yùn)用同底數(shù)冪的運(yùn)算法則及其逆運(yùn)算法則進(jìn)行變形是解答此類問題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2022春·江西吉安·七年級統(tǒng)考期末）若3×9m×2【答案】2【分析】利用冪的乘方法則和同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行計算，即可得出答案.【詳解】解：∵3×9∴3×(3∴3×3∴32m+3m+1∴2m+3m+1=11，∴m=2.【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方和同底數(shù)冪的乘法法則，掌握冪的乘方法則和同底數(shù)冪的乘法法則是解決問題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022秋·四川內(nèi)江·八年級四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？计谥校┮阎?x=25y=10【答案】2006【分析】根據(jù)冪的乘方由4x=25y=10得4xy×25【詳解】解：∵4x∴4xy∴4xy∴4×25xy∴102xy∴2xy=x+y，∴2xy-x-y=0，∴x-1=xy-x-y+1+xy+2005=2xy-x-y+2006=2006．【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪的乘方和多項式的乘法，熟練運(yùn)用冪的乘方由4x=25【變式4-3】（2022春·上?！ち昙壣虾Ｍ瑵?jì)大學(xué)附屬存志學(xué)校?？计谀┮阎?a=8【答案】1【分析】根據(jù)冪的乘方逆運(yùn)算得出2a=23b=【詳解】解：∵2a=8∴a=3b=6c，∴a=6c,b=2c，∴a-b-ca+b+c【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方逆運(yùn)算，代數(shù)式求值等知識，能夠得出a=6c,b=2c是解本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)5積的乘方】【例5】（2022秋·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）計算：-3x【答案】-2【分析】根據(jù)冪的運(yùn)算法則計算即可．【詳解】解：原式=-27x=-27x=-2x【點(diǎn)睛】本題考查了冪的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟知冪的運(yùn)算法則，熟練進(jìn)行計算．【變式5-1】（2022秋·湖北荊州·八年級沙市一中?？计谥校┯嬎悖?0.1255×-2A．1 B．-1 C．2 D．-2【答案】D【分析】根據(jù)積的乘方和冪的乘方的運(yùn)算法則進(jìn)行巧算．【詳解】解：-0.125====-2．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查積的乘方和冪的乘方的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是利用0.125×8=1進(jìn)行巧算．【變式5-2】（2022春·江蘇無錫·七年級校聯(lián)考期末）已知（x2+y）2=11024，（12）2x=116，求（1【答案】12-31【詳解】分析：由（12）2x=116，可得出x的值，把x的值代入（x2+y）2=11024，求出y的值，即可求出（詳解：∵（12）2x=1∴x=2，又∵（x2+y）2=1∴y=-3132或-33∴（12）4y=(12點(diǎn)睛：本題主要考查了冪的乘方與積的乘方及完全平方公式，解題的關(guān)鍵是求出x，y的值．【變式5-3】（2022·浙江杭州·七年級期末）閱讀下列各式：(a?b)2①驗證：2×12100=_________②通過上述驗證，歸納得出：(a?b)n=_________；(a?b?c)③請應(yīng)用上述性質(zhì)計算：(-0.125)【答案】①1,1；②anbn③-132【分析】①把問題分別轉(zhuǎn)化為1100和2②將猜到規(guī)律推廣到n次方和三個因數(shù)情形即可；③把(-0.125)2019和22018分別變形為(-【詳解】①∵2×12∴2×12∵2100×1∴2100×1故依次填1,1；②∵2×12100=1∴2×12100由此可得：(a?b)n=anbn故依次填anbn③∵(-0.125)2019=(-0.125)∴(=(-0.125)2017×=(-=-1【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律的驗證，猜想和應(yīng)用，熟練逆用同底數(shù)冪的乘法公式和發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)6積的乘方的逆用】【例6】（2022秋·湖北省直轄縣級單位·八年級統(tǒng)考期末）已知3x+1?5x+1【答案】4【分析】逆用積的乘方得到一元一次方程，求解方程即可得到x的值．【詳解】解：∵3∴(3×5)x+1=∴x+1=2x-3解得，x=4故答案為：4【點(diǎn)睛】本題主要考查了積的乘方逆運(yùn)用以及解一元一次方程，熟練掌握積的乘方的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2022秋·上?！て吣昙壠谀┤绻?a=3，3a【答案】30【分析】利用積的乘方公式，將式子改寫后代入條件求值.【詳解】12【點(diǎn)睛】本題考查積的乘方公式的應(yīng)用，利用公式將式子改寫是解題的關(guān)鍵.【變式6-2】（2022秋·河北邯鄲·七年級統(tǒng)考期末）計算（﹣2.5）2015×（﹣4）2016÷（﹣10）2015=_____．【答案】4【詳解】試題分析：根據(jù)有理數(shù)的乘方，即可解答．解：（﹣2.5）2015×（﹣4）2016÷（﹣10）2015==[（﹣2.5）×（﹣4）]2015×（﹣4）÷（﹣10）2015=102015×（﹣4）÷（﹣102015）=（﹣4）×（﹣1）=4，故答案為4．考點(diǎn)：有理數(shù)的乘方．【變式6-3】（2022春·江蘇常州·七年級?？计谥校┮阎?x=192，32y=192，則（-2019）（x-1）（y-1）-1=_____.【答案】1【分析】由6x=192，32y=192，推出6x=192=32×6，32y=192=32×6，推出6x-1=32，32y-1=6，可得（6x-1）y-1=32y-1=6，推出（x-1）（y-1）=1，最后計算即可解答．【詳解】解：∵6x=192，32y=192，∴6x=192=32×6，32y=192=32×6，∴6x-1=32，32y-1=6，∴（6x-1）y-1=32y-1=6，∴（x-1）（y-1）=1，∴（-2019）（x-1）（y-1）-1=（-2019）0=1，故答案為1.【點(diǎn)睛】本題考查冪的乘方與積的乘方，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用知識解決問題.【考點(diǎn)7同底數(shù)冪的除法】【例7】（2022春·山東青島·七年級青島大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校偃?×27n÷9＝320，則n＝_____；②﹣（2y﹣x）4÷（x﹣2y）3＝_____．【答案】

7

2y-x##-x+2y【分析】（1）原式根據(jù)冪的乘方得出關(guān)于n的方程，求解即可；（2）原式利用同底數(shù)冪的除法法則進(jìn)行計算即可．【詳解】解：①3×27n÷9＝3203×33n÷32＝32033n+1-2＝320∴3n+1-2=20解得，n=7②﹣（2y﹣x）4÷（x﹣2y）3=﹣（x﹣2y）4÷（x﹣2y）3=-(x-2y)=2y-x故答案為：7；2y-x【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的除法，積的乘方和冪的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2022秋·福建福州·八年級福建省福州屏東中學(xué)?？计谥校┮阎猘m=-3，an=2【答案】-【分析】先將a3m-2n

變形為a3m÷【詳解】∵am=-3，∴a===-27÷4=-27故答案為：-27【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的除法、冪的乘方，解答本題的關(guān)鍵是明確它們各自的計算方法．【變式7-2】（2022春·安徽合肥·七年級合肥市五十中學(xué)西校?？计谥校┮阎?a=2、3b=5、3c=409，那么a、b、c之間滿足的等量關(guān)系是_____【答案】3a+b-c=2【分析】由題意知23×5÷9=40【詳解】解：由題意知2∴3∴3∴3a+b-2=c∴a、b、c之間滿足的等量關(guān)系是3a+b-c=2故答案為：3a+b-c=2．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握同底數(shù)冪乘法、同底數(shù)冪的除法的運(yùn)算法則．【變式7-3】（2022春·河南鄭州·七年級?？计谥校┮阎?m+3?8【答案】3【分析】利用冪的乘方逆運(yùn)算，將4m+3?8m+1÷24m+7變形，得到原式=22m+6【詳解】解：∵4====32=∴m+2=5，∴m=3．【點(diǎn)睛】此題考查了整式乘法的計算法則：冪的乘方逆運(yùn)算，同底數(shù)冪乘除法計算法則，正確掌握各計算法則是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)8同底數(shù)冪的除法的逆用】【例8】（2022秋·浙江臺州·八年級臺州市書生中學(xué)?？计谥校┮阎?0a=20，100bA．9 B．5 C．3 D．6【答案】C【分析】先根據(jù)冪的乘方的逆運(yùn)算求出102a=400，【詳解】解：∵10a=20∴102a∴10∴10∴2a故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪的乘方的逆運(yùn)算，同底數(shù)冪乘除法的逆運(yùn)算，熟知mab=【變式8-1】（2022春·河北邯鄲·七年級統(tǒng)考期中）已知xa=3，xb=4，則x3a-2b的值是（

）A．278 B．2716 C．11 D【答案】B【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法和冪的乘方的逆運(yùn)算即可得出結(jié)果．【詳解】解：x3a-2b=（xa）3÷（xb）2，然后整體代入即可得原式=33÷42=2716故選:B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了同底數(shù)冪的除法和冪的乘方，解題關(guān)鍵是明確同底數(shù)冪的除法和冪的乘方的法則，然后逆用代入計算即可．同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘．【變式8-2】（2022秋·四川內(nèi)江·八年級四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？计谥校┮阎?x-3y-2=0，則9x÷27【答案】9【分析】先變形，再根據(jù)同底數(shù)冪的除法進(jìn)行計算，最后代入求出即可．【詳解】解：∵2x-3y-2=0，∴2x-3y=2，∴9====9，故答案為9．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的除法、冪的乘方等知識點(diǎn)，能正確根據(jù)法則進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2022秋·重慶萬州·八年級重慶市萬州新田中學(xué)?？计谥校?）已知5x=36，5y（2）已知x2n=2，求【答案】（1）9；（2）56；【分析】（1）先把5x-2y化為5x÷5y（2）先把3x3n2-4x【詳解】解：（1）∵5x=36，∴5x-2y（2）∵x2n∴3=9x=9×x=9×2=72-16=56．【點(diǎn)睛】本題考查的是冪的乘方的逆用算，同底數(shù)冪的除法運(yùn)算的逆運(yùn)算，代數(shù)式的求值，掌握“冪的乘方的逆運(yùn)算與同底數(shù)冪的除法的逆運(yùn)算的運(yùn)算法則”是解本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)9零指數(shù)冪的運(yùn)用】【例9】（2022春·安徽宣城·七年級校聯(lián)考期中）計算：-2【答案】-7【分析】原式分別化簡22【詳解】解：-=-4-2+1-2=-7【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2022秋·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期末）計算120【答案】-7【分析】根據(jù)零次冪以及有理數(shù)的乘方進(jìn)行計算即可求解．【詳解】解：120-故答案為：-7．【點(diǎn)睛】本題考查了零次冪以及有理數(shù)的乘方，正確的計算是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2022春·山東煙臺·六年級統(tǒng)考期中）下列運(yùn)算正確的是（

）A．(-π)0=0 B．x4x【答案】D【分析】根據(jù)零指數(shù)冪、同底數(shù)冪的乘法、積的乘方和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則逐項判斷即可．【詳解】解：A、(-πB、x4C、abD、2a故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了零指數(shù)冪、同底數(shù)冪的乘法、積的乘方和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】（2022春·遼寧沈陽·七年級校考期中）已知x-3x-2=1，則x=【答案】2或4##4或2【分析】根據(jù)a0=1a≠0，1n=1【詳解】解：當(dāng)x-2=0時：x=2，此時x-3x-2當(dāng)x-3=1時，即x=4時：x-3x-2當(dāng)x-3=-1時：即x=2時，滿足題意；綜上：當(dāng)x=2或x=4時，x-3x-2故答案為：2或4．【點(diǎn)睛】本題考查零指數(shù)冪以及有理數(shù)的乘方運(yùn)算．熟練掌握a0=1a≠0，1n=1【考點(diǎn)10負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)用】【例10】（2022春·河北保定·七年級保定市第十七中學(xué)?？计谥校┮阎?x+3×3x+3=A．2022 B．1 C．-12022 D【答案】D【分析】利用積的乘方的逆運(yùn)算法則，冪的乘方的逆運(yùn)算法則對所給的條件進(jìn)行整理，從而可求得x的值，再代入運(yùn)算即可．【詳解】解：∵2x+3×3x+3＝36x+1，∴（2×3）x+3＝62（x+1），即6x+3＝62x+2，∴x+3＝2x+2，解得：x＝1，∴2022﹣x＝2022﹣1＝12022故選：D．【點(diǎn)睛】題主要考查積的乘方的逆運(yùn)算，冪的乘方的逆運(yùn)算和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．【變式10-1】（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第四十七中學(xué)?？计谥校┤?×9-m×A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【分析】利用冪的乘方的法則以及同底數(shù)冪的乘法的法則把等式的左邊進(jìn)行整理，從而可得到關(guān)于m的方程，即可求解．【詳解】解∶3×∵3×∴1+m=4解得∶m=3．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握與靈活運(yùn)用．【變式10-2】（2022春·六年級期中）在①-x5?(-x)2；②-(-x)6?(1xA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的運(yùn)算法則求解①；利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則、同底數(shù)冪的運(yùn)算法則求解②；利用冪的乘方的運(yùn)算法則、同底數(shù)冪的運(yùn)算法則求解③；利用冪的乘方的運(yùn)算法則求解④．【詳解】解：①-x②--x③--④--x綜上所述，符合題意的有②④共2個．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的運(yùn)算法則，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，冪的乘方的運(yùn)算法則．理解相關(guān)運(yùn)算法則是解答關(guān)鍵．【變式10-3】（2022春·安徽滁州·七年級校考期中）如果a=(-2019)0,b=(-0.1)-1A．a(chǎn)>b>c B．c>a>b C．a(chǎn)>c>b D．c>b>a【答案】C【分析】分別將a、b、c化簡，再比較大小即可解答．【詳解】解：a=(-2019)0=1，b=∴a>c>b，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方和實(shí)數(shù)比較大小，解決本題的關(guān)鍵是先把a(bǔ)，b，c化簡，再比較大小．【考點(diǎn)11用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)】【例11】（2022春·山東棗莊·七年級?？计谥校┟鎸鈱π酒夹g(shù)的壟斷，我國科學(xué)家奮起直追，2020年11月26號，上海微電子宣布由我國獨(dú)立研發(fā)的光刻機(jī)為光源完成了22nm的光刻水準(zhǔn)，1nm＝1.0×10﹣9m，用科學(xué)記數(shù)法表示22nm，則正確的結(jié)果是（）A．22×10﹣9m B．22×10﹣8m C．2.2×10﹣8m D．2.2×10﹣10m【答案】C【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示計算即可；【詳解】解：22nm＝22×10﹣9m＝2.2×10﹣8m．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法的表示，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．【變式11-1】（2022秋·浙江寧波·七年級寧波市第十五中學(xué)?？计谥校┬滦凸跔畈《倔w積很小，這種病毒外直徑大概在0.00000011米，則0.00000011這個數(shù)字可用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．1.1×10-6 B．1.1×10-7 C．【答案】B【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)即可解答．【詳解】解：0.00000011=1.1×10故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，將一個數(shù)表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數(shù)，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．確定a【變式11-2】（2022秋·河南鄭州·九年級?？计谥校┤梭w中樞神經(jīng)系統(tǒng)中約含有1千億個神經(jīng)元，某種神經(jīng)元的直徑約為62微米（1微米=0.000001米）．將62微米用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A．0.62×10-5米 B．6.2×10-6米 C．6.2×10【答案】C【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10-n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的【詳解】解：62微米=62×0.000001米=62×10-6米故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10-n，其中1≤a＜10【變式11-3】（2022春·遼寧朝陽·七年級統(tǒng)考期中）“黑洞”是恒星演化的最后階段．根據(jù)有關(guān)理論，當(dāng)一顆恒星衰老時，其中心的燃料（氫）已經(jīng)被耗盡，在外殼的重壓之下，核心開始坍縮，直到最后形成體積小、密度大的星體．如果這一星體的質(zhì)量超過太陽質(zhì)量的三倍，那么就會引發(fā)另一次大坍縮．當(dāng)這種收縮使得它的半徑達(dá)到施瓦氏（Schwarzschild）半徑后，其引力就會變得相當(dāng)強(qiáng)大，以至于光也不能逃脫出來，從而成為一個看不見的星體——黑洞．施瓦氏半徑（單位：米）的計算公式是R=2GMc2，其中G=6.67×10-11牛·米2/千克2，為萬有引力常數(shù)；M表示星球的質(zhì)量（單位：千克）；c=3×108A．2.96×102米 B．C．2.96×104米 D．【答案】B【分析】先根據(jù)施瓦氏半徑的計算公式是R=2GMc2【詳解】解：R=2GM故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的運(yùn)算和科學(xué)記數(shù)法．掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)12還原用科學(xué)記數(shù)法表示的小數(shù)】【例12】（2022春·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期中）某種細(xì)胞的直徑約為0.0…08米．將0.0…08米用科學(xué)記數(shù)法表示為8×10-6米，則原數(shù)中小數(shù)點(diǎn)后“0”的個數(shù)為（

A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義解答，科學(xué)記數(shù)法定義是把一個數(shù)表示為a×10n的形式（其中1<|a|<10，n為整數(shù)），當(dāng)1<|a|時，n的值等于原數(shù)中第一個不是0的數(shù)字前面的【詳解】∵8×10∴原數(shù)中小數(shù)點(diǎn)后“0”的個數(shù)為5．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的定義和計算方法．【變式12-1】（2022春·浙江紹興·七年級統(tǒng)考期末）某H品牌手機(jī)上使用5nm芯片，1nm＝0.0000001cm，則5nm用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A．50×10-8cm B．0.5×10-7cm【答案】C【分析】絕對值小于1的數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示時，一般形式為a×10-n.其中n的值由原數(shù)左邊起第一個不為零數(shù)字前面的0的個數(shù)決定．【詳解】解：∵1nm=0.0000001cm．∴5nm=0.0000005cm．∴0.0000005cm=5×10-7cm．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10-n.其中1≤|a|＜10，n的值由原數(shù)左邊起第一個不為0的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．【變式12-2】（2022秋·廣西貴港·八年級統(tǒng)考期中）世界上最小的開花結(jié)果的植物的果實(shí)像一個微小的無花果，其質(zhì)量只有7.6×10﹣8g．將7.6×10﹣8用小數(shù)表示為_____．【答案】0.000000076【分析】對于絕對值小于1的數(shù)，用科學(xué)記數(shù)法表示為a×10n的形式，其中1≤a<10，n是一個負(fù)整數(shù)，其絕對值和原數(shù)左邊第一個不為【詳解】解：7.6×10故答案為：0.000000076．【點(diǎn)睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，理解并掌握科學(xué)記數(shù)法中指數(shù)與原數(shù)字之間的對應(yīng)關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式12-3】（2022春·海南?？凇ぐ四昙壭Ｂ?lián)考期末）下列哪一個數(shù)值最?。?/p>

）A．9.5×10-9 B．2.5×10-9 C．【答案】B【分析】首先將用科學(xué)記數(shù)法表示的四個數(shù)還原成原數(shù)，再比較大?。驹斀狻拷猓篈、9.5×10B、2.5×10C、9.5×10D、2.5×10∴數(shù)值最小的是0.0000000025，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，一個用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)還原成原數(shù)時，要先判斷指數(shù)n的正負(fù)，n為正時，小數(shù)點(diǎn)向右移動n個數(shù)位；n為負(fù)時，小數(shù)點(diǎn)向左移動n個數(shù)位．【考點(diǎn)13利用冪的運(yùn)算進(jìn)行比較大小】【例13】（2022·福建省羅源第二中學(xué)八年級期中）若a＝3555，b＝4444，c＝5333，比較a、b、c的大?。?/p>

）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a【答案】B【分析】根據(jù)冪的乘方的性質(zhì)，得3555=243111，【詳解】3555=35∵256>243>125∴256∴4444>3555>5故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握冪的乘方的性質(zhì)，從而完成求解．【變式13-1】（2022·江蘇·江陰市華士實(shí)驗中學(xué)七年級期中）閱讀下列材料:若a3=2,b5=3，則a，b的大小關(guān)系是解:因為a15=a所以a>b.解答下列問題:(1)上述求解過程中，逆用了哪一條冪的運(yùn)算性質(zhì)_A．同底數(shù)冪的乘法

B．同底數(shù)冪的除法

C．冪的乘方

D．積的乘方(2)已知x5=2,y7=3【答案】＞（1）C

（2）x<y【分析】（1）根據(jù)冪的乘方進(jìn)行解答即可；（2）根據(jù)題目所給的求解方法，進(jìn)行比較．【詳解】∵a15=(a所以a>b，故答案為>;(1)上述求解過程中，逆用了幕的乘方，故選C;(2)∵x∴x∴x<y.【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方和積的乘方，根據(jù)題目所給的運(yùn)算方法進(jìn)行比較是解題的關(guān)鍵．【變式13-2】（2022·內(nèi)蒙古·赤峰市松山區(qū)大廟中學(xué)八年級期中）閱讀探究題：．【閱讀材料】比較兩個底數(shù)大于1的正數(shù)冪的大小，可以在底數(shù)（或指數(shù)）相同的情況下，比較指數(shù)（或底數(shù)）的大小，如：25>在底數(shù)（或指數(shù)）不相同的情況下，可以化相同，進(jìn)行比較，如：2710與3解：2710=3310=[類比解答]比較254，125[拓展拔高]比較3555，4444，【答案】【類比解答】254<125【分析】【類比解答】可以將底數(shù)都化為5，利用冪的乘方的逆運(yùn)算法則變形后再進(jìn)行比較；【拓展拔高】觀察三個式子的特點(diǎn)，可以利用冪的乘方逆運(yùn)算法則將指數(shù)都變形為111，再進(jìn)行比較．【詳解】【類比解答】解：254=(∵8<9，∴58<5【拓展拔高】解：∵3555=(35又∵35=243，44∴53∴5333【點(diǎn)睛】本題考查了冪的運(yùn)算性質(zhì)，正確理解題意、靈活應(yīng)用冪的乘方逆運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式13-3】（2022·河北石家莊·七年級期中）閱讀：已知正整數(shù)a，b，c，若對于同底數(shù)，不同指數(shù)的兩個冪ab和ac(a≠1)，當(dāng)b>c時，則有ab>ac；若對于同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個冪ab和cb，當(dāng)a>c時，則有ab>(1)比較大?。?20______420，961______2741；（填“>”、(2)比較233與3(3)比較312×5【答案】(1)>，<(2)233<(3)312×【分析】（1）根據(jù)“同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個冪ab和cb，當(dāng)a>c時，則有ab>cb，”即可比較520和420的大??；根據(jù)“對于同底數(shù)，不同指數(shù)的兩個冪ab和ac(a≠1)，當(dāng)（2）據(jù)“對于同底數(shù)，不同指數(shù)的兩個冪ab和ac(a≠1)，當(dāng)b>c時，則有ab>ac（3）利用作商法，即可比較312×5（1）解：∵5>4，∴520>4∵961=(32∴961<27故答案為：>，<；（2）解：∵233=(23∴233<3（3）解：∵312∴312×5【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方與積的乘方及有理數(shù)大小比較，掌握冪的乘方與積的乘方的法則是解決問題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)14冪的混合運(yùn)算】【例14】（2022·福建漳州·七年級期中）計算(1)(m-n)2(2)((3)(a(4)(-4【答案】（1）n-m9；（2）b13n-5；（3）4a6【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則計算即可；（2）根據(jù)冪的乘方法則以及同底數(shù)冪的乘法、同底數(shù)冪的除法法則計算即可；（3）根據(jù)積的乘法、冪的乘方運(yùn)算法則以及合并同類項法則解答即可；（4）根據(jù)冪的乘方法則以及同底數(shù)冪的乘法、同底數(shù)冪的除法法則計算即可．【詳解】解：（1）m-n==（2）b===b（3）a==4a（4）-4=-64=-8【點(diǎn)睛】本題主要考查了積的乘方、冪的乘方運(yùn)算法則、同底數(shù)冪的乘法、同底數(shù)冪的除法法則以及合并同類項法熟記冪的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．【變式14-1】（2022·陜西西安·七年級期中）計算：2x【答案】3【分析】直接利用合并同類項法則以及積的乘方運(yùn)算法則分別判斷得出答案．【詳解】解：原式=4x【點(diǎn)睛】本題主要考查了合并同類項以及積的乘方運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【變式4-2】（2022·重慶市第十一中學(xué)校七年級期中）計算：(1)x?x(2)(-4a【答案】(1)0；(2)-64a【分析】(1)利用同底數(shù)冪的乘法法則、冪的乘方法則即可求解；(2)利用積的乘方法則、同底數(shù)冪的乘法法則即可求解．（1）解：原式=x=2=0；（2）解：原式=-64=-64a【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法法則、冪的乘方法則、積的乘方法則，合并同類項，熟練掌握相應(yīng)的計算法則是解題的關(guān)鍵．【變式14-3】（2022·黑龍江·巴彥縣第一中學(xué)八年級期中）計算：（1）x2（2）-2a【答案】（1）-3x6；（【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方以及整式的加減計算法則進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)積的乘方，以及整式的加減計算法則進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）原式==-3x（2）原式=64=64=-9a【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘方，冪的乘方，積的乘方以及整式的加減計算，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)計算法則．【考點(diǎn)15利用冪的運(yùn)算進(jìn)行簡便計算】【例15】（2022·黑龍江·哈爾濱市虹橋初級中學(xué)校七年級期中）計算0.25100×【答案】-4【分析】將式子轉(zhuǎn)化為14【詳解】解：原式=14故答案為：-4．【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方的逆運(yùn)算，掌握積的乘方的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式15-1】（2022·湖南懷化·七年級期中）計算（﹣0.25）2022×42021的結(jié)果是（

）A．﹣1 B．1 C．0.25 D．44020【答案】C【分析】根據(jù)積的乘方的逆運(yùn)算法則計算即可．【詳解】原式=故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查積的乘方的逆運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式15-2】（2022·上海楊浦·七年級期中）用簡便方法計算：-【答案】500000【分析】根據(jù)積的乘方即可求出答案．【詳解】原式==【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生的運(yùn)算能力，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式15-3】（2022·福建·泉州市第九中學(xué)八年級期中）閱讀：已知正整數(shù)a、b、c，顯然，當(dāng)同底數(shù)時，指數(shù)大的冪也大，若對于同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個冪ab和cb，當(dāng)a>c時，則有(1)比較大?。?20_________420（填寫>、<或(2)比較233與3(3)計算42021【答案】(1)>(2)2(3)－4【分析】（1）根據(jù)“對于同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個冪ab和cb，當(dāng)a>c時，則有a（2）將233與322化為指數(shù)相同的冪，然后再根據(jù)“當(dāng)同指數(shù)時，底數(shù)大的冪也大”（3）首先將42021和0.252020化為指數(shù)相同的冪，將82021（1）解：由題意，對于同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個冪ab和cb，當(dāng)a>c時，則有可知520故答案為：>；（2）∵233=(又∵811∴233（3）原式=4×=4×(4×0.25)=4×=4-8=-4．【點(diǎn)睛】本題主要考查積的乘方的逆運(yùn)算、冪的大小的比較以及有理數(shù)的混合運(yùn)算等知識，解答的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的運(yùn)算法則．【考點(diǎn)16冪的運(yùn)算中的新定義問題】【例16】（2022·山東省青島第五十一中學(xué)七年級期中）閱讀材料：定義：如果10a=n，那么稱a為n的勞格數(shù)，記為例如：102=100，那么稱2是100的勞格數(shù)，記為填空：根據(jù)勞格數(shù)的定義，在算式a=d1000中，______相當(dāng)于定義中的n，所以d1000直接寫出d10-8探究：某數(shù)學(xué)研究小組探究勞格數(shù)有哪些運(yùn)算性質(zhì)，以下是他們的探究過程若a、b、m、n均為正數(shù)，且10a=p，根據(jù)勞格數(shù)的定義：dp=a，d∵10∴10a+b=pq，這個算式中，______相當(dāng)于定義中的a，______相當(dāng)于定義中的∴dpq=______，即請你把數(shù)學(xué)研究小組探究過程補(bǔ)全拓展：根據(jù)上面的推理，你認(rèn)為：dmn【答案】1000，3；﹣8；b，a＋b，10a+b，a＋b；dm－【分析】根據(jù)新定義法則進(jìn)行運(yùn)算即可．【詳解】解：∵如果10a=n，那么稱a為n的勞格數(shù)，記為∴103=1000，那么稱3是1000的勞格數(shù)，記為∴在算式a=d1000中，1000相當(dāng)于定義中的n，所以d1000=3；∵10b∴b=dq∵10a=p，∴10a?10∴這個算式中，pq相當(dāng)于定義中的a，10a+b相當(dāng)于定義中的n∴d(pq)=d10a+b=a+b＝d即dpq設(shè)10