高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 算法初步、統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例 9.4 變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例課時(shí)提升作業(yè) 理試題

變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例(25分鐘45分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.有下列關(guān)于回歸分析的說法:①線性回歸分析就是由樣本點(diǎn)去尋找一條直線,使之貼近這些樣本點(diǎn)的方法;②利用樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖可以直觀判斷兩個(gè)變量的關(guān)系是否可以用線性關(guān)系去表示;③通過回歸方程=x+可以估計(jì)變量的取值和觀測變量的變化趨勢;④因?yàn)橛扇魏我唤M觀測值都可以求得一個(gè)線性回歸方程,所以沒有必要進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn).其中正確的個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選C.①反映的是最小二乘法的思想,故正確;②反映的是散點(diǎn)圖的作用,也正確;③解釋的是回歸方程=x+的作用,也正確;④是不正確的,在求回歸方程之前必須進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn),以體現(xiàn)兩變量的關(guān)系.2.(2015·湖北高考)已知變量x和y滿足關(guān)系y=-0.1x+1,變量y與z正相關(guān),下列結(jié)論中正確的是()A.x與y正相關(guān),x與z負(fù)相關(guān)B.x與y正相關(guān),x與z正相關(guān)C.x與y負(fù)相關(guān),x與z負(fù)相關(guān)D.x與y負(fù)相關(guān),x與z正相關(guān)【解析】選C.因?yàn)樽兞縳和y滿足關(guān)系y=-0.1x+1,其中-0.1<0,所以x與y成負(fù)相關(guān);又因?yàn)樽兞縴與z正相關(guān),不妨設(shè)z=ky+b(k>0),則將y=-0.1x+1代入即可得到:z=k(-0.1x+1)+b=-0.1kx+(k+b),所以-0.1k<0,所以x與z負(fù)相關(guān).3.(2016·宜昌模擬)根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程為=x+,則()x345678y4.02.5-0.50.5-2.0-3.0A.>0,>0 B.>0,<0C.<0,>0 D.<0,<0【解析】選B.由表中數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖,如圖,由散點(diǎn)圖可知<0,>0.4.(2016·洛陽模擬)通過隨機(jī)詢問110名性別不同的行人,對過馬路是愿意走斑馬線還是愿意走人行天橋進(jìn)行抽樣調(diào)查,得到如下的列聯(lián)表:男女總計(jì)走斑馬線402060走人行天橋203050總計(jì)6050110由K2=QUOTE算得K2的觀測值k=QUOTE≈7.8.附表:P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828參照附表,得到的正確結(jié)論是()A.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“選擇過馬路的方式與性別有關(guān)”B.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“選擇過馬路的方式與性別無關(guān)”C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為“選擇過馬路的方式與性別有關(guān)”D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為“選擇過馬路的方式與性別無關(guān)”【解析】選A.因?yàn)镵2的觀測值k≈7.8≥6.635,所以犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01.【加固訓(xùn)練】(2016·安慶模擬)某人研究中學(xué)生的性別與成績、視力、智商、閱讀量這4個(gè)變量的關(guān)系,隨機(jī)抽查52名中學(xué)生,得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表1至表4,則與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大的變量是()表1成績性別不及格及格總計(jì)男61420女102232總計(jì)163652表2視力性別好差總計(jì)男41620女122032總計(jì)163652表3智商性別偏高正常總計(jì)男81220女82432總計(jì)163652表4閱讀量性別豐富不豐富總計(jì)男14620女23032總計(jì)163652A.成績 B.視力 C.智商 D.閱讀量【解析】選D.因?yàn)閗1=QUOTE=QUOTE,k2=QUOTE=QUOTE,k3=QUOTE=QUOTE,k4=QUOTE=QUOTE,則有k4>k2>k3>k1,所以閱讀量與性別關(guān)聯(lián)的可能性最大.二、填空題(每小題5分,共15分)5.(2016·唐山模擬)某市居民2011～2015年家庭年平均收入x(單位:萬元)與年平均支出y(單位:萬元)的統(tǒng)計(jì)資料如表所示:年份20112012201320142015收入x11.512.11313.315支出y6.88.89.81012根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料,居民家庭年平均收入的中位數(shù)是,家庭年平均收入與年平均支出有線性相關(guān)關(guān)系.【解析】由中位數(shù)的定義知,總體個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)時(shí)按大小順序排列后中間一個(gè)是中位數(shù),而偶數(shù)個(gè)時(shí)需取中間兩數(shù)的平均數(shù).由統(tǒng)計(jì)資料可以看出,當(dāng)年平均收入增多時(shí),年平均支出也增多,因此兩者之間具有正線性相關(guān)關(guān)系.答案:13正6.(2016·唐山模擬)為了考察是否喜歡運(yùn)動(dòng)與性別之間的關(guān)系,得到一個(gè)2×2列聯(lián)表,經(jīng)計(jì)算K2的觀測值k=6.679,則在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為是否喜歡運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)系.本題可以參考獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表P(K2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【解析】由于K2=6.679>6.635,所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為是否喜歡運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)系.答案:0.01【加固訓(xùn)練】1.(2016·深圳模擬)某中學(xué)將100名高一新生分成水平相同的甲,乙兩個(gè)“平行班”,每班50人.陳老師采用A,B兩種不同的教學(xué)方式分別在甲,乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行教改實(shí)驗(yàn).為了解教學(xué)效果,期末考試后,陳老師分別從兩個(gè)班級(jí)中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì),作出莖葉圖如下,記成績不低于90分者為“成績優(yōu)秀”.由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān).甲班(A方式)乙班(B方式)總計(jì)成績優(yōu)秀成績不優(yōu)秀總計(jì)【解析】由已知數(shù)據(jù)得:甲班(A方式)乙班(B方式)總計(jì)成績優(yōu)秀156成績不優(yōu)秀191534總計(jì)202040根據(jù)2×2列聯(lián)表中數(shù)據(jù),K2=QUOTE≈3.137>2.706,所以有90%的把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān).2.(2016·成都模擬)為了比較注射A,B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積,選200只家兔做試驗(yàn),將這200只家兔隨機(jī)地分成兩組,每組100只,其中一組注射藥物A,另一組注射藥物B.完成下面2×2列聯(lián)表,并回答能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”.皰疹面積小于70mm2皰疹面積不小于70mm2總計(jì)注射藥物Aa=b=30a+b=注射藥物Bc=35d=c+d=總計(jì)a+c=b+d=a+b+c+d=【解題提示】(1)把握2×2列聯(lián)表的意義,準(zhǔn)確填入數(shù)據(jù).(2)將數(shù)據(jù)代入隨機(jī)變量K2的公式進(jìn)行計(jì)算.(3)與臨界值比較并得出結(jié)論.【解析】2×2列聯(lián)表如下:皰疹面積小于70mm2皰疹面積不小于70mm2總計(jì)注射藥物Aa=70b=30a+b=100注射藥物Bc=35d=65c+d=100總計(jì)a+c=105b+d=95a+b+c+d=200K2的觀測值k=QUOTE≈24.56,由于k>6.635,因此能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”.7.(2016·岳陽模擬)車間為了規(guī)定工時(shí)定額,需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間,為此進(jìn)行了5次試驗(yàn).根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表),由最小二乘法求得回歸方程=0.67x+54.9.零件數(shù)x(個(gè))1020304050加工時(shí)間y(min)62758189現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個(gè)數(shù)據(jù)看不清,請你推斷出該數(shù)據(jù)的值為.【解析】由已知可計(jì)算求出QUOTE=30,而回歸直線方程必過點(diǎn)(QUOTE,QUOTE),則QUOTE=0.67×30+54.9=75,設(shè)模糊數(shù)據(jù)為a,則QUOTE=75,計(jì)算得a=68.答案:68三、解答題8.（10分）(2015·重慶高考)隨著我國經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,居民的儲(chǔ)蓄存款逐年增長.設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲(chǔ)蓄存款(年底余額)如下表:年份20102011201220132014時(shí)間代號(hào)t12345儲(chǔ)蓄存款y(千億元)567810(1)求y關(guān)于t的回歸方程=t+.(2)用所求回歸方程預(yù)測該地區(qū)2015年(t=6)的人民幣儲(chǔ)蓄存款.附:回歸方程=t+中,=QUOTE,=QUOTE-QUOTE.【解題提示】(1)直接利用回歸系數(shù)公式求解即可.(2)利用回歸方程代入直接進(jìn)行計(jì)算即可.【解析】(1)列表計(jì)算如下:itiyitiyi11515226412337921448163255102550∑153655120這里n=5,QUOTE=QUOTEti=QUOTE=3,QUOTE=QUOTEyi=QUOTE=7.2.又QUOTE-nQUOTE=55-5×32=10,QUOTEtiyi-nQUOTE=120-5×3×7.2=12,從而=QUOTE=1.2,=QUOTE-QUOTE=7.2-1.2×3=3.6,故所求回歸方程為=1.2t+3.6.(2)將t=6代入回歸方程可預(yù)測該地區(qū)2015年的人民幣儲(chǔ)蓄存款為=1.2×6+3.6=10.8(千億元).【加固訓(xùn)練】某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià),將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷,得到如下數(shù)據(jù):單價(jià)x(元)88.28.48.68.89銷量y(件)908483807568(1)求回歸直線方程=x+,其中=-20,=QUOTE-QUOTE.(2)預(yù)計(jì)在今后的銷售中,銷量與單價(jià)仍然服從(1)中的關(guān)系,且該產(chǎn)品的成本是4元/件,為使工廠獲得最大利潤,該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元?(利潤=銷售收入-成本)【解析】(1)由于QUOTE=QUOTE(x1+x2+x3+x4+x5+x6)=8.5,QUOTE=QUOTE(y1+y2+y3+y4+y5+y6)=80.所以=QUOTE-QUOTE=80+20×8.5=250.從而回歸直線方程為=-20x+250.(2)設(shè)工廠獲得的利潤為L元,依題意得L=x(-20x+250)-4(-20x+250)=-20x2+330x-1000=-20QUOTE+361.25.當(dāng)且僅當(dāng)x=8.25時(shí),L取得最大值,故當(dāng)單價(jià)定為8.25元時(shí),工廠可獲得最大利潤.(20分鐘40分)1.(5分)(2016·洛陽模擬)對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x,y有一組觀測數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,8),其回歸直線方程是=QUOTEx+,且x1+x2+x3+…+x8=2(y1+y2+y3+…+y8)=6,則實(shí)數(shù)的值是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.依題意可知樣本中心點(diǎn)為QUOTE,則QUOTE=QUOTE×QUOTE+,解得=QUOTE.2.(5分)(2016·常德模擬)有兩個(gè)分類變量X,Y,其一組的2×2列聯(lián)表如下所示,Y1Y2X1a20-aX215-a30+a其中a,15-a均為大于5的整數(shù),若在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為X,Y有關(guān),則a的值為()A.8 B.9 C.8或9 D.6或8【解題提示】計(jì)算K2的觀測值k,建立k>3.841的不等式.解不等式并根據(jù)a,15-a均為大于5的整數(shù)求解.【解析】選C.根據(jù)公式,得k=QUOTE=QUOTE>3.841,根據(jù)a>5且15-a>5,a∈Z,求得a=8或9滿足題意.3.(5分)已知x,y之間的一組數(shù)據(jù)如下表:x23456y34689對于表中數(shù)據(jù),現(xiàn)給出如下擬合直線:①y=x+2;②y=3x-1;③y=QUOTEx-QUOTE;④y=QUOTEx.則根據(jù)最小二乘法的思想求得擬合程度最好的直線是(填序號(hào)).【解析】由題意知QUOTE=4,QUOTE=6,所以=QUOTE=QUOTE,所以=QUOTE-QUOTE=-QUOTE,所以=QUOTEx-QUOTE,所以填③.答案:③4.(12分)在一次抽樣調(diào)查中測得樣本的5個(gè)樣本點(diǎn),數(shù)值如下表:x0.250.5124y1612521求y與x之間的回歸方程.【解析】畫出散點(diǎn)圖如圖所示,觀察可知y與x近似是反比例函數(shù)關(guān)系.設(shè)y=QUOTE(k≠0),令t=QUOTE,則y=kt.可得到y(tǒng)關(guān)于t的數(shù)據(jù)如表:t4210.50.25y1612521畫出散點(diǎn)圖如圖所示,觀察可知t和y有較強(qiáng)的線性相關(guān)性,因此可利用線性回歸模型進(jìn)行擬合,易得:=QUOTE≈4.1344,=QUOTE-QUOTE≈0.7917,所以=4.1344t+0.7917,所以y與x的回歸方程是=QUOTE+0.7917.5.(13分)(2016·太原模擬)設(shè)三組試驗(yàn)數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)的回歸直線方程是:=x+,使代數(shù)式[y1-(x1+)]2+[y2-(x2+)]2+[y3-(x3+)]2的值最小時(shí),=QUOTE-QUOTE,=QUOTE(QUOTE,QUOTE分別是這三組數(shù)據(jù)的橫、縱坐標(biāo)的平均數(shù))若有七組數(shù)據(jù)列表如下:x2345678y4656.287.18.6(1)求上表中前三組數(shù)據(jù)的回歸直線方程.(2)若|yi-(xi+)|≤0.2,即稱(xi,yi)為(1)中回