高考數(shù)學一輪復習 第七章 立體幾何 7.4 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)課時提升作業(yè) 理試題

直線、平面平行的判定及其性質(zhì)(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.設(shè)α,β,γ為平面,a,b為直線,給出下列條件:①a?α,b?β,a∥β,b∥α;②α∥γ,β∥γ;③α⊥γ,β⊥γ;④a⊥α,b⊥β,a∥b.其中能推出α∥β的條件是()A.①② B.②③ C.②④ D.③④【解析】選C.①中條件得到的兩個平面α,β,也可能相交,故①不正確;②由α∥γ,β∥γ?α∥β,故②正確;③中α⊥γ,β⊥γ,可得α與β相交或平行,故③不正確;④a⊥α,b⊥β,a∥b,得a⊥β,所以α∥β,故④正確.2.下面四個正方體圖形中,點A,B為正方體的兩個頂點,點M,N,P分別為其所在棱的中點,能得出AB∥平面MNP的圖形是()A.①② B.①④ C.②③ D.③④【解析】選A.由線面平行的判定定理知①②可得出AB∥平面MNP.3.(2016·衡陽模擬)設(shè)a,b為兩條不同的直線,α,β為兩個不同的平面.則下列四個命題中,正確的是()A.若a,b與α所成的角相等,則a∥bB.若a∥α,b∥β,α∥β,則a∥bC.若a?α,b?β,a∥b,則α∥βD.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,則a⊥b【解析】選D.對于選項A,當a,b與α均成0°角時,a,b就不一定平行;對于選項B,只需找個平面γ,使γ∥α∥β,且a?γ,b?γ即可滿足題設(shè),但a,b不一定平行;對于選項C,可參考直三棱柱模型排除.故選D.【加固訓練】(2016·廈門模擬)已知α,β是兩個不同的平面,下列四個條件中能推出α∥β的是()①存在一條直線a,a⊥α,a⊥β;②存在一個平面γ,γ⊥α,γ⊥β;③存在兩條平行直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α;④存在兩條異面直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α.A.①③ B.②④ C.①④ D.②③【解析】選C.對①存在一條直線a,a⊥α,a⊥β?α∥β,故①正確,排除B,D,對于③,存在兩條平行直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α,如圖所示,不能推出α∥β,故排除A.4.已知直線l⊥平面α,直線m?平面β,有下列四個命題:①若α∥β,則l⊥m;②若α⊥β,則l∥m;③若l∥m,則α⊥β;④若l⊥m,則α∥β.其中,正確命題的序號是()A.①② B.③④ C.①③ D.②④【解析】選C.直線l⊥平面α,α∥β?l⊥β?l⊥m,①正確;l與m可能平行、異面、相交,故②錯;直線l⊥平面α,l∥m?m⊥α,又直線m?平面β,故α⊥β,③正確;α與β平行或相交,故④錯.5.(2016·宿州模擬)四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,E∈PC,F∈PB,QUOTE=3QUOTE,QUOTE=λQUOTE,若AF∥平面BDE,則λ的值為()A.1 B.3 C.2 D.4【解析】選C.因為AF∥平面BDE,所以過點A作AH∥平面BDE,交PC于點H,連接FH,則得到平面AFH∥平面BDE,所以FH∥BE,OE∥AH,因為E∈PC,F∈PB,QUOTE=3QUOTE,QUOTE=λQUOTE,所以QUOTE=QUOTE=1,所以EC=EH,又因為PE=3EC,所以PH=2HE,又因為QUOTE=QUOTE=2,所以λ=2.【加固訓練】1.(2016·南昌模擬)已知兩條不重合的直線m,n和兩個不重合的平面α,β,有下列命題:①若m⊥n,m⊥α,則n∥α;②若m⊥α,n⊥β,m∥n,則α∥β;③若m,n是兩條異面直線,m?α,n?β,m∥β,n∥α,則α∥β;④若α⊥β,α∩β=m,n?β,n⊥m,則n⊥α.其中正確命題的個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選C.若m⊥n,m⊥α,則直線n與平面α平行或在平面α內(nèi),所以①錯誤;若m⊥α,n⊥β,m∥n,則n⊥α,垂直于同一直線的兩平面平行,所以α∥β,所以②正確;若m,n是兩條異面直線,過空間內(nèi)一點O作m′∥m,n′∥n,則m′,n′確定一個平面γ,若m?α,n?β,m∥β,n∥α,則α∥γ,β∥γ,所以α∥β,則③正確;由線面垂直的判定定理可知④正確.2.如圖所示,在空間四邊形ABCD中,點E,F分別為邊AB,AD上的點,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又點H,G分別為BC,CD的中點,則()A.BD∥平面EFGH,且四邊形EFGH是矩形B.EF∥平面BCD,且四邊形EFGH是梯形C.HG∥平面ABD,且四邊形EFGH是菱形D.EH∥平面ADC,且四邊形EFGH是平行四邊形【解題提示】先由條件得EFQUOTEBD,再證得EF∥平面BCD,進而判斷EFGH的形狀.【解析】選B.由AE∶EB=AF∶FD=1∶4知EFQUOTEBD,所以EF∥平面BCD.又因為點H,G分別為BC,CD的中點,所以HGQUOTEBD,所以EF∥HG且EF≠HG.所以四邊形EFGH是梯形.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2016·開封模擬)已知平面α∥平面β,點P是α,β外一點,過P點的兩條直線AC,BD分別交α于點A,B,交β于點C,D,且PA=6,AC=9,AB=8,則CD的長為.【解析】若點P在α,β的同側(cè),由于平面α∥平面β,故AB∥CD,則QUOTE=QUOTE=QUOTE,可求得CD=20.若點P在α,β之間,則QUOTE=QUOTE=QUOTE,可求得CD=4.答案:20或47.如圖所示,ABCD-A1B1C1D1是棱長為a的正方體,點M,N分別是下底面的棱A1B1,B1C1的中點,點P是上底面的棱AD上的一點,AP=QUOTE,過點P,M,N的平面交上底面于PQ,點Q在CD上,則PQ=.【解析】如圖,連接AC,易知MN∥平面ABCD,所以MN∥PQ.因為MN∥AC,所以PQ∥AC.又因為AP=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以PQ=QUOTEAC=QUOTE·QUOTEa=QUOTEa.答案:QUOTEa8.設(shè)α,β,γ是三個不同平面,a,b是兩條不同直線,有下列三個條件:①a∥γ,b?β;②a∥γ,b∥β;③b∥β,a?γ.如果命題“α∩β=a,b?γ,且,則a∥b”為真命題,則可以在橫線處填入的條件是(把所有正確的序號都填上).【解題提示】逐個命題進行驗證,從中作出判斷.【解析】①a∥γ,b?β,可以,由a∥γ得a與γ沒有公共點,由b?β,α∩β=a,b?γ知,a,b在面β內(nèi),且沒有公共點,故平行.②a∥γ,b∥β,不可以.舉出反例如下:使β∥γ,b?γ,a?β,則此時能有a∥γ,b∥β,但不一定a∥b.這些條件無法確定兩直線的位置關(guān)系.③b∥β,a?γ,可以,由b∥β,α∩β=a知,a,b無公共點,再由a?γ,b?γ,可得兩直線平行.答案:①③(15分鐘30分)1.(5分)(2015·太原模擬)已知點E,F分別為正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AA1上的點,且AE=QUOTEAB,AF=QUOTEAA1,點M,N分別為線段D1E和線段C1F上的點,則與平面ABCD平行的直線MN有()A.1條 B.3條C.6條 D.無數(shù)條【解析】選D.取BH=QUOTEBB1,連接FH,則FH∥AB,連接HE,在D1E上任取一點M,過點M在平面D1HE中,作MG∥HO,交D1H于點G,其中點O滿足線段OE=QUOTED1E,再過點G作GN∥FH,交C1F于點N,連接MN,由于GM∥HO,HO∥KB,KB?平面ABCD,GM?平面ABCD,所以GM∥平面ABCD,同理由NG∥FH,可推得NG∥平面ABCD,由面面平行的判定定理得,平面MNG∥平面ABCD,則MN∥平面ABCD,由于M為D1E上任意一點,故這樣的直線MN有無數(shù)條.【加固訓練】(2015·福州模擬)如圖,在正四棱錐S-ABCD中,點E,M,N分別是BC,CD,SC的中點,動點P在線段MN上運動時,下列四個結(jié)論:①EP∥BD;②EP⊥AC;③EP⊥平面SAC;④EP∥平面SBD中恒成立的為()A.②④ B.③④ C.①② D.①③【解析】選A.如圖所示,連接AC,BD相交于點O,連接EM,EN,SO,在①中:由異面直線的定義可知:EP與BD是異面直線,不可能EP∥BD,因此不正確.在②中:由正四棱錐S-ABCD,可得SO⊥底面ABCD,AC⊥BD,所以SO⊥AC,因為SO∩BD=O,所以AC⊥平面SBD,因為點E,M,N分別是BC,CD,SC的中點,所以EM∥BD,MN∥SD,而EM∩MN=M,BD∩SD=D,所以平面EMN∥平面SBD,所以AC⊥平面EMN,所以AC⊥EP,故正確.在③中:由②同理可得:EM⊥平面SAC,若EP⊥平面SAC,則EP∥EM,與EP∩EM=E相矛盾,因此當P與M不重合時,EP與平面SAC不垂直,即不正確.在④中:由②可知平面EMN∥平面SBD,所以EP∥平面SBD,因此正確.2.(5分)如圖所示,棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形,設(shè)點D是A1C1上的點且A1B∥平面B1CD,則A1D∶DC1的值為.【解析】設(shè)BC1∩B1C=O,連接OD,因為A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD=OD,所以A1B∥OD,因為四邊形BCC1B1是菱形,所以點O為BC1的中點,所以點D為A1C1的中點,則A1D∶DC1=1.答案:13.(5分)(2016·長沙模擬)如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,點P是棱AD上一點,且AP=QUOTE,過B1,D1,P的平面交底面ABCD于PQ,點Q在直線CD上,則PQ=.【解析】如圖,因為平面A1B1C1D1∥平面ABCD,而平面B1D1P∩平面ABCD=PQ,平面B1D1P∩平面A1B1C1D1=B1D1,所以B1D1∥PQ,又因為B1D1∥BD,所以BD∥PQ,設(shè)PQ∩AB=M,因為AB∥CD,所以△APM∽△DPQ,所以QUOTE=QUOTE=2,即PQ=2PM,又知△APM∽△ADB,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以PM=QUOTEDB,又DB=QUOTEa,所以PQ=QUOTEa.答案:QUOTEa4.(15分)(2016·洛陽模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,BC=2AD,AC與BD交于點O,點M,N分別在線段PC,AB上,QUOTE=QUOTE=2.(1)求證:平面MNO∥平面PAD.(2)若平面PAD⊥平面ABCD,∠PDA=∠BCD=60°,且PD=DC=BC=2,求幾何體M-ABC的體積.【解析】(1)在梯形ABCD中,因為AD∥BC,所以QUOTE=QUOTE=2.又因為QUOTE=2,所以O(shè)N∥BC∥AD.因為AD?平面PAD,ON?平面PAD,所以O(shè)N∥平面PAD,在△PAC中,QUOTE=QUOTE=2,所以O(shè)M∥AP,因為AP?平面PAD,OM?平面PAD,所以O(shè)M∥平面PAD,因為OM?平面OMN,ON?平面OMN,且OM∩ON=O,所以平面MNO∥平面PAD.(2)在△PAD中,PA2=PD2+AD2-2PD·AD·cos∠PDA=22+12-2×2×1×cos60°=3,所以PA2+AD2=PD2,即PA⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,所以PA⊥平面ABCD,又由(1)知OM∥AP,所以O(shè)M⊥平面ABCD,且OM=QUOTEAP=QUOTE,在梯形ABCD中,DC=BC=2AD=2,∠BCD=60°,∠BAD=90°,所以AB=QUOTE,所以△ABC的面積S=QUOTEAB·BC=QUOTE,所以幾何體M-ABC的體積V=QUOTES·OM=QUOTE.【加固訓練】如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,點E在線段B1C1上,B1E=3EC1,試探究:在AC上是否存在點F,滿足EF∥平面A1ABB1?若存在,請指出點F的位置,并給出證明;若不存在,請說明理由.【解析】方法一:當AF=3FC時,FE∥平面A1ABB1.證明如下:在平面A1B1C1內(nèi)過點E作EG∥A1C1交A1B1于點G,連接AG.因為B1E=3EC1,所以EG=QUOTEA1C1,又因為AF∥A1C1,且AF=QUOTEA1C1,所以AFEG,所以四邊形AFEG為平行四邊形,所以EF∥AG,又因為E