簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形習(xí)題 公開(kāi)課教學(xué)設(shè)計(jì)

線段的垂直平分線典型習(xí)題【基礎(chǔ)知識(shí)精講】一條直線經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)且與該線段垂直，則稱該直線為線段的垂直平分線(又稱中垂線).線段的垂直平分線是一條直線，它是到線段兩端距離相等的點(diǎn)的集合.關(guān)于這一點(diǎn)需從兩個(gè)方面去說(shuō)明，1.定理：垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等，2.它的逆定理：到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段中垂線上.關(guān)于1的證明，利用了全等三角形，而有關(guān)2的證明則利用等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì).【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】本節(jié)重點(diǎn)難點(diǎn)在于對(duì)“垂直平分線上的點(diǎn)是到線段兩端距離相等的點(diǎn)的集合”這句話的兩層含義的理解與掌握上.通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，要能很好的用中垂線解決問(wèn)題.例1已知△ABC中，AB，BＣ，ＣＡ的中垂線分別為l1,l2,l3（圖）.求證l1,l2,l3三線共點(diǎn).圖分析可考慮先設(shè)l1,l2,交于點(diǎn)O，再設(shè)法證明O在l3上，從而達(dá)到證l1,l2,l3共點(diǎn)的目的.證設(shè)l1,l2交于O，連OA，OB，OC.∵l1為AB中垂線∴OA=OB,同理OB=OC∴OA=OC∴O在AC中垂線上.即O在l3上，∴，l1l2l注：該點(diǎn)叫三角形的“外心”，它與三條中線的交點(diǎn)重心，三條高的交點(diǎn)垂心及內(nèi)角平分線交點(diǎn)內(nèi)心稱為“三角形的四心”例2若三角形三邊的中垂線的交點(diǎn)在某一邊上，則該三角形一定是()A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形圖分析如圖3,14-2P為中垂線交點(diǎn)，且在AB上，連PC，則PA=PB=PC.∴∠1=∠A∠2=∠B.∠1+∠2=∠A+∠B==90°∴∠ACB=90°故選C例3如圖,△ABC中∠A=120°AB=AC,AB的中垂線交AB于D，BC于F.則=.圖分析∠A=120°AB=AC∴∠B=∠C=30°又DE為中垂線AE∴EA=EB∠EBA=∠EAB=30°∠EAC=90°∠C=30°∴AE=BE=EC∴=例4如圖，AD為△ABC的角平分線，AD的中垂線交AB于E，BC延長(zhǎng)線于F，求證∠CAF=∠B.圖分析本題從結(jié)論入手較困難，應(yīng)從EF為AD中垂線這一條件入手，得到FA=FD，即△ADF為等腰三角形，∴∠2+∠3=∠4,而∠4為△ABD的外角，∴∠4=∠B+∠1,再由已知∠1=∠2可得結(jié)論∠3=∠B.證∵EF為AD中垂線∴AF=DF∴∠2+∠3=∠4，又∠4=∠1+∠B∴∠2+∠3=∠1+∠B∵∠1=∠2∴∠3=∠B即∠CAF=∠B.【難題巧解點(diǎn)撥】例1△ABC中，∠A=90°,AB=AC,D、E、F分別在AB，AC，BC上，且AD=AE，CD為EF中垂線，求證BF=2AD(圖.圖分析由已知CD為EF的中垂線，可知△CEF為等腰三角形，∴∠1=∠為∠ACB平分線上一點(diǎn)，可利用角平分線性質(zhì)，作D⊥BC于G.∠A=90°∴DA⊥AC∴AD=DG,將線段AD轉(zhuǎn)移到線段DG上，又由于∠B=45°∴△BDG為等腰直角三角形∴DG=BG下面只需證明DG=GF，即可.證DG=GF，可考慮證△DGF≌△ADE.證連DE，DF，作DG⊥BC于G.∵DC為EF的中垂線∴DE=DF,CE=⊥EF∴∠1=∠2.又∠A=90°∴DA⊥AC，DG⊥BC∴DA=DG.又DG=DF∴Rt△ADE≌Rt△GDF（HL）∴GF=AE又AE=AD∴AD=DG=GF.∠A=90°AB=AC∴∠B=45°在△BDG中∠B=45°∠DGB=90°∴∠BDG=45°∴DG=BG∴DG=BG=GF∴DG=BFAD=BF.例2如圖，AD為△ABC的高，∠B=2∠C，BD=5，BC=20，求AB.圖分析本題巧妙地利用中垂線將線段、角進(jìn)行轉(zhuǎn)移，考慮AD⊥BC,BD＜DC.(BD=5,DC=15)，在DC上取DE=BD，利用中垂線將求AB長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為求AE的長(zhǎng)，再利用∠B=∠1及已知∠B=2∠C，將求AE的長(zhǎng)巧妙地轉(zhuǎn)移到求EC的長(zhǎng).解∵BD=5BC=20在DC上取DE=BD=5，連AE，∵AD⊥BE，BD=DE∴AD為BE中垂線∴AB=AE∠B=∠1=∠2+∠C=2∠C∴∠C=∠2AE=EC∴AB=EC又∵BD=DE=5BC=20∴EC=10∴AB=10【同步達(dá)綱練習(xí)】一、判斷(4分×6=24分)()1.三角形兩邊的垂直平分線交點(diǎn)在三角形一邊上，則該三角形為等邊三角形.()2.到三角形三頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在三角形內(nèi).()3.到三角形距離三邊相等的點(diǎn)是三條中垂線的交點(diǎn).()4.四邊形ABCD中共有一點(diǎn)P，使PA=PB=PC=PD，則∠A+∠C=180°.()5.和線段兩端距離相等的點(diǎn)只有線段的中點(diǎn).()6.和線段兩端相等的點(diǎn)不一定在線段上.二、選擇題(5分×6=30分)1.到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的是()A.三條中線交點(diǎn)B.三條高的交點(diǎn)C.三條角平分線的交點(diǎn)D.三條中垂線的交點(diǎn)2.線段AB外有兩點(diǎn)C，D(在AB同側(cè))使CA=CB，DA=DB，∠ADB=80°,∠CAD=10°,則∠ACB=()°°°°為CE的中垂線，A在CB延長(zhǎng)線上，∠C=34°,則∠ABE=()°°°°為△ABC三邊中垂線的交點(diǎn)，則O稱為△ABC的()A.外心B.內(nèi)心C.垂心D.重心5.若三角形一邊中垂線過(guò)另一邊中點(diǎn)，則該三角形必為()A．鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.等腰三角形圖6.△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°AC的中垂線交AC于E.交AB于D，(圖則圖中60°的角共有()A．6個(gè)個(gè)個(gè)D3個(gè)三、填空(5分×6=30分)1.△ABC中，AB=AC，P為形內(nèi)一點(diǎn)，PB=PC，則P在的中垂線上，P還在∠的平分線上.2.△ABC中，AB=AC=14，腰AB的中垂線交AC于D，△BCD周長(zhǎng)為4cm,則BC=.3.△ABC中，AB=AC，∠A=120°,AB中垂線交BC于E，則=.4.正△ABC內(nèi)一點(diǎn)O到三邊距離相等，且OA=OB=OC.則∠BOC=.5.△ABC的邊AC、BC的中垂線交于AB上一點(diǎn)O，且OC=BC，則∠A=.6.若PA=PB，DA=DB，則PD是AB的.四、解答(8分×2=16分)1.△ABC中，∠C=90°,AB的中垂線交AB于D，AC于E.且∠EBC=40°,求∠A及∠BED的度數(shù).2.已知O為等邊三角形三邊中線交點(diǎn)，求證BO與CO的中垂線必三等分BC.【素質(zhì)優(yōu)化訓(xùn)練】為△ABC的角平分線，DE∥AC,交AB于E.過(guò)E作AD的垂線交BC延長(zhǎng)線于F(圖,求證（∠BAC+∠AFC）=90°-∠B.圖2.如圖，△ABC中，AB=AC，AE∥BC,D為直線AE上任一點(diǎn).求證DB+DC＞2AB.圖參考答案:【同步達(dá)綱練習(xí)】一、×××√×√二、DBCACB三、,BAC∶3°°6.中垂線四、1.∠C=180°,∠EBC=40°∴∠BEC=50°又AE=BE∴∠A=25°∠DEB=65°2.提示：設(shè)CB中垂線交BC于D，OC中垂線交BC于E，連OD，OE.∴OD=BDOE=EC.再證∠BOC=120°∠BOD=COE=30°∴∠DOE=60°∠ODE=60°∴OD=OE=DE得BD=DE=EC.【素質(zhì)優(yōu)化訓(xùn)練】為角平分線，DE∥AC∴∠EAD=∠