2023年人教版初中數學【教學設計】 線段的垂直平分線的性質

2023年人教版初中數學教學設計線段的垂直平分線的性質

一、學生知識狀況分析

學生對于掌握定理以及定理的證明并不存在多大得困難，這是因為在七年級

學習《生活中的軸對稱》中學生已經有了一定的基礎。

二、教學任務分析

在七年級學生已經對線段的垂直平分線有了初步的認識，本節(jié)課將進一步深

入探索線段垂直平分線的性質和判定。同時，滲透證明一個圖形上的每個點都具

有某種性質的方法：只需在圖形上任取一點作為代表。本節(jié)課目標位：

1.證明線段垂直平分線的性質定里和判定定理.

2.經歷探索、猜測、證明的過程，進一步發(fā)展學生的推理證明能力.豐富對

幾何圖形的認識。

3.通過小組活動，學會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結果

教學重點、難點

重點是運用幾何符號語言證明垂直平分線的性質定理及其逆命題。難點是垂

直平分線的性質定理在實際問題中的運用。

三、教學過程分析

本節(jié)課設計了七個教學環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設情境，引入新課；第二環(huán)節(jié)：

性質探索與證明；第三環(huán)節(jié)：逆向思維，探索判定；第四環(huán)節(jié)：鞏固應用；第

五環(huán)節(jié)：隨堂練習；第六環(huán)節(jié)：課時小結第七環(huán)節(jié)：課后作業(yè)。

第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設情境，引入新課

教師用多媒體演示:

如圖，A、B表示兩個倉庫，要在A、B一側的河

岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等，碼,,

頭應建在什么位置？v---------__

其中“到兩個倉庫的距離相等”，要強調這幾個一

字在題中有很重要的作用.~1

線段是一個軸對稱圖形，其中線段的垂直平分線

就是它的對稱軸.我們用折紙的方法，根據折疊過程中線段重合說明了線段垂直

平分線的一個性質：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等.所以在

這個問題中，要求在“A、B一側的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距

離相等”利用此性質就能完成.

進一步提問：“你能用公理或學過的定理證明這一結論嗎？”

第二環(huán)節(jié)：性質探索與證明

教師鼓勵學生思考，想辦法來解決此問題。

通過討論和思考，引導學生分析并寫出已知、求證的內容。

已知：如圖，直線MNLAB,垂足是C,且AC=BC,P是MN上的點.

求證:PA=PB.

分析：要想證明PA=PB,可以考慮包含這兩條線段的兩個三角形是否全等.

證明：VMN1AB,

.,.ZPCA=ZPCB=90°

VAC=BC,PC=PC,

...△PCA絲△PCB(SAS).

.?.PA=PB（全等三角形的對應邊相等）.

教師用多媒體完整演示證明過程.

第三環(huán)節(jié)：逆向思維，探索判定

你能寫出上面這個定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？這個命題不是“如

果……那么……”的形式，要寫出它的逆命題，需分析原命題的條件和結論，將

原命題寫成“如果……那么……”的形式，逆命題就容易寫出.鼓勵學生找出原

命題的條件和結論。

原命題的條件是“有一個點是線段垂直平分線上的點”.結論是“這個點到

線段兩個端點的距離相等”.

此時，逆命題就很容易寫出來.“如果有一個點到線段兩個端點的距離相等,

那么這個點在這條線段的垂直平分線上.”

寫出逆命題后時，就想到判斷它的真假.如果真，則需證明它；如果假，則

需用反例說明.

引導學生分析證明過程，有如下四種證法：

證法一：

已知：線段AB,點P是平面內一點且PA=PB.

求證：P點在AB的垂直平分線上.

證明：過點P作已知線段AB的垂線PC,PA=PB,PC=PC,

.,.RtAPAC^RtAPBC（HL定理）.

.?.AC=BC,

即P點在AB的垂直平分線上.

證法二：取AB的中點C,過PC作直線.

VAP=BP,PC=PC.AC=CB,

.,.△APC^ABPC(SSS).

...NPCA=NPCB（全等三角形的對應角相等）.

又?.?/PCA+NPCB=180°,

AZPCA=ZPCB=Z90°,即PC_LAB

...P點在AB的垂直平分線上.p

證法三：過P點作NAPB的角平分線.

ACB

VAP=BP,Z1=Z2,PC=PC,

△APC^ABPC（SAS）.

，AC=BC,NPCA=NPCB（全等三角形的對應角相等，對應邊相等）.

XVZPCA+ZPCB=180°ZPCA=ZPCB=90°P

???P點在線段AB的垂直平分線上.

AZB

證法四：過P作線段AB的垂直平分線PC.

VAC=CB,ZPCA=ZPCB=90°,

.?.P在AB的垂直平分線上.

從同學們的推理證明過程可知線段垂直平分線的性質定理的逆命題是真命

題,

我們把它稱做線段垂直平分線的判定定理.

第四環(huán)節(jié)：鞏固應用

在做完性質定理和判定定理的證明以后，引導學生進行總結：（1）線段的

垂直平分線可以看成是到線段兩個端點距離相等的所有點的集合。

（2）到一條線段兩個端點的距離相等個點在這條線段的垂直平分線上.因

此只需做出這樣的兩個點即可做出線段的垂直平分線。

例題:

已知：如圖1T8,在4ABC中，AB=AC,0是4ABC內一點，且OB=0C.

求證：直線A0垂直平分線段BCO.

證明：；AB=AC,

...點A在線段BC的垂直平分線上（到一條線段兩個端點

距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上）.

同理，點0在線段BC的垂直平分線上.

直線A0是線段BC的垂直平分線（兩點確定一條直線）.

學生是第一次證明一條直線是已知線段的垂直平分線，因此老師要引導學生

理清證明的思路和方法并給出完整的證明過程。

第五環(huán)節(jié)：隨堂練習

課本P23；習