《折紙做角》教學(xué)設(shè)計(jì)及反思

折紙做角孟州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)郭冬艷一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容本節(jié)課是《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書》新人教版八年級(jí)下冊(cè)第十八章《平行四邊形》中的一節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)課，折紙做角。內(nèi)容解析本節(jié)課是一節(jié)關(guān)于“折紙”的數(shù)學(xué)活動(dòng)課，具有一定的趣味性和知識(shí)性。之前，課本上通過多個(gè)折紙活動(dòng)研究過軸對(duì)稱、全等等常見數(shù)學(xué)圖形的性質(zhì)。學(xué)生們也通過這些活動(dòng)獲得了較為豐富的折紙活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，本節(jié)課以動(dòng)手操作，探究并解決問題貫穿始終，學(xué)生的自主活動(dòng)和教師的有效指導(dǎo)相結(jié)合，課堂上從正方形的45°到直角三角形的30°，再由60°到等邊三角形，目的是讓學(xué)生在活動(dòng)過程中豐富自己的空間觀念，經(jīng)過不斷的嘗試，最終探究出解決問題的方法，進(jìn)一步提高動(dòng)手操作能力與推理能力?；谝陨戏治?，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：通過探究折60°,30°,15°的角，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和推理能力。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)（1）通過折疊，加深對(duì)軸對(duì)稱、全等圖形性質(zhì)的認(rèn)識(shí)。（2）探索并能折出60°,30°,15°的角。（3）初步體會(huì)研究幾何問題的方法.經(jīng)歷折疊、觀察、推理、交流、反思等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。2.目標(biāo)解析目標(biāo)（1）的具體要求是：在折疊過程中，熟練使用軸對(duì)稱、全等等性質(zhì)。目標(biāo)（2）的具體要求是：經(jīng)歷折疊60°,30°,15°角的過程,能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行驗(yàn)證并解決相關(guān)問題。目標(biāo)（3）的具體要求是：通過折疊，建立空間觀念，讓學(xué)生經(jīng)歷折疊、觀察、猜想、推理、交流、反思等合情推理過程，發(fā)展學(xué)生對(duì)幾何圖形的認(rèn)知能力、演繹推理能力，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。讓學(xué)生積極而主動(dòng)參與探索，在動(dòng)手實(shí)驗(yàn)的過程中感受數(shù)學(xué)活動(dòng)的樂趣。三、學(xué)情及教學(xué)問題診斷分析八年級(jí)學(xué)生已經(jīng)具有一定的折紙經(jīng)驗(yàn)，教材選取學(xué)生熟知的、生活化的折紙游戲作為研究和學(xué)習(xí)的內(nèi)容，讓學(xué)生倍感親切，能激發(fā)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的興趣.在此之前，學(xué)生學(xué)習(xí)過軸對(duì)稱變換，而且利用軸對(duì)稱變換進(jìn)行過折紙活動(dòng)，還學(xué)習(xí)過角平分線、平行與垂直、三角形的全等、直角三角形的性質(zhì)、矩形等知識(shí)，學(xué)生的抽象思維能力、識(shí)圖能力等已基本形成.但由于學(xué)生空間觀念發(fā)展不均衡，對(duì)所學(xué)知識(shí)不能靈活運(yùn)用。所以，本節(jié)課設(shè)計(jì)遵循從易到難，從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律，抓住學(xué)生的興趣點(diǎn)，將重難點(diǎn)在學(xué)生的快樂學(xué)習(xí)中解決突破?；谝陨戏治?，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：折出60°,30°,15°角的方法的探究和證明。四、教學(xué)策略分析雖然折紙做角難度較大，但它和“尺規(guī)作圖”的分析方法有相似之處，這對(duì)折紙做角的思維活動(dòng)有啟迪作用，加之學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“三角形”、“勾股定理”、“軸對(duì)稱”“四邊形”、“尺規(guī)作圖”、等與活動(dòng)相關(guān)的知識(shí)，有一定的推理和運(yùn)算能力，并且在前面的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，積累了一些活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，可為本節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)提供認(rèn)知支持條件；教師在教學(xué)活動(dòng)中采用現(xiàn)代信息技術(shù)手段，把折疊問題從“平面與立體”，“靜態(tài)與動(dòng)態(tài)”進(jìn)行對(duì)比分析，能增強(qiáng)教學(xué)的直觀性，降低理解難度，提高學(xué)習(xí)效率。這可以為本節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)提供教學(xué)手段的媒體支持條件。五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)(一)看一看多媒體放映折紙視頻創(chuàng)設(shè)情境感受數(shù)學(xué)來源于生活。師：（導(dǎo)語）同學(xué)們，你們玩過折紙嗎？都會(huì)折什么？多媒體出示折紙圖片師生活動(dòng)：學(xué)生欣賞折紙，教師引導(dǎo).折紙是一門藝術(shù)形式，在折的過程中要用到很多的數(shù)學(xué)知識(shí)，比如：軸對(duì)稱、全等、特殊的角度等等，我們童年在折紙中感受到很多快樂，今天我們就一起學(xué)習(xí)如何通過折紙，折出特殊的角度這節(jié)課，來感受數(shù)學(xué)的魅力。設(shè)計(jì)意圖：通過觀察生活中的實(shí)例,點(diǎn)出課題，把數(shù)學(xué)還原于生活，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，從數(shù)學(xué)的運(yùn)用價(jià)值上，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和動(dòng)力，為教學(xué)活動(dòng)做情感鋪墊。折一折教師提出問題，并引發(fā)學(xué)生思考并動(dòng)手操作。(1)折45°的角師：在一張矩形紙片上,不用任何工具，怎樣折出一個(gè)45°的角？大家動(dòng)手做一做。生：用矩形紙片動(dòng)手折紙，完成的學(xué)生回答操作過程。師：追問，矩形的頂點(diǎn)落在哪?折痕要過哪？師生活動(dòng)：學(xué)生觀察所折圖形，思考教師提出的問題，口述理論依據(jù)。設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生最熟悉的正方形為知識(shí)生長點(diǎn)，折出本節(jié)課第一個(gè)特殊角。師：用一張矩形紙片你還能折出那些度數(shù)的角？師生活動(dòng)：通過折疊，師生共同歸納對(duì)折可以平分一個(gè)角，可以把一個(gè)角平均分成2n等份，還可以利用角的和差得到相關(guān)度數(shù)的角。設(shè)計(jì)意圖：從簡單的折紙游戲出發(fā)，提高學(xué)生的課堂參與度，經(jīng)過學(xué)生互相補(bǔ)充得出22.5°，67.5°，112.5°等度數(shù)的角。由此引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)上面的結(jié)論，此過程也讓學(xué)生感受折紙可以得到角的和差倍份關(guān)系。(1)折30°的角師：你能通過折紙的方法，折出30°的角嗎？怎么折？生：學(xué)生動(dòng)手嘗試，最終會(huì)把矩形紙片的90°角折疊的接近三等分。設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)問題的提出是為了增強(qiáng)學(xué)生對(duì)新舊知識(shí)的聯(lián)系，突出所學(xué)知識(shí)的整體性、聯(lián)系性，是螺旋上升的關(guān)系。師追問：你能精確的折出30°的角嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生動(dòng)手嘗試。設(shè)計(jì)意圖：問題層層深入，學(xué)生在折疊過程中出現(xiàn)困難，為以下問題做鋪墊。師：我們學(xué)過哪些和30°角有關(guān)的知識(shí)？生：答：直角三角形中30°的直角邊是斜邊的一半。等邊三角形的角平分線得到30°的角。師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生思考：折一個(gè)等邊三角形麻煩，如果折一個(gè)直角三角形，使斜邊是直角邊的2倍，問題就可以解決，怎樣得到滿足條件的三角形呢？為突破重難點(diǎn)，教師做以下鋪墊：怎樣通過折，先尋找邊長的二倍關(guān)系，想一想，怎么折？ AABCFDE AB=2BE設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會(huì)軸對(duì)稱變換的性質(zhì)，為學(xué)生更加容易的去構(gòu)造存在30°角的直角三角形打基礎(chǔ)，分散難點(diǎn)。師：利用得出的二倍邊長關(guān)系如何折出斜邊等于直角邊2倍的直角三角形？學(xué)生活動(dòng)：自己思考，探究，小組討論，動(dòng)手折紙嘗試。師：第一次折，保證什么？能得到什么？第二次折，保證什么？得到什么？引導(dǎo)學(xué)生自主探究。師:為突破重難點(diǎn),動(dòng)畫演示折疊過程，問：你能試試嗎？生：學(xué)生再次動(dòng)手操作。折出精確的30°角。師：出示問題。生：思考，回答完成問題。對(duì)一張矩形紙片ABCD進(jìn)行折疊，具體操作如下：如圖1，第一步，______矩形紙片ABCD,使AD與______重合，得到折痕______，再把紙片展平;第二步，再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在______上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)______，得到折痕_______同時(shí)得到線段______。師：觀察并猜想∠ABR，∠OBR和∠OBC的大小關(guān)系:_____________。生：（預(yù)設(shè)）準(zhǔn)確回答問題。設(shè)計(jì)意圖：問題層層深入，學(xué)生在折疊過程中出現(xiàn)困難，以具體問題引領(lǐng)，引導(dǎo)學(xué)生帶著目的和興趣來探究，培養(yǎng)學(xué)生的自主探究學(xué)習(xí)的能力。讓學(xué)生體會(huì)軸對(duì)稱變換的性質(zhì)，靈活應(yīng)用垂直平分線的性質(zhì)，感受數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用。（四）證一證師：提出問題,引發(fā)思考:猜想出來的結(jié)論需要理論證明其正確性。為什么∠ABR=∠OBR=∠OBC=30°?你能證明前面的猜想嗎？生：學(xué)生在自己的折紙頂點(diǎn)位置標(biāo)出字母，先獨(dú)立思考，再進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí),最后用數(shù)學(xué)語言寫出證明過程。對(duì)一張矩形紙片ABCD進(jìn)行折疊，具體操作過程如下：第一步，對(duì)折矩形紙片ABCD,使AD與BC重合,得到折痕EF，再把紙片展平。第二步，再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BR,同時(shí)得到了線段BO。求證：∠ABR=∠OBR=∠OBC=30°.設(shè)計(jì)意圖：合作學(xué)習(xí)能培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)腦動(dòng)手動(dòng)口的能力，提高學(xué)習(xí)效率，能培養(yǎng)學(xué)生良好的合作品質(zhì)和學(xué)習(xí)習(xí)慣。學(xué)生寫出嚴(yán)密的推理過程，還能培養(yǎng)其推理證明的邏輯思維能力。師：對(duì)學(xué)生的表現(xiàn)進(jìn)行總評(píng)，總結(jié)解題要點(diǎn)，對(duì)本課的知識(shí)要點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)。師生活動(dòng)：各組選派代表進(jìn)行全班交流，其他組的同學(xué)也可以發(fā)表見解.教師及時(shí)完善，做好補(bǔ)救。生：預(yù)設(shè)（方法1)如圖2,連接AO,由折疊可知EF垂直平分線段AB,所以AO=BO.由折疊知AB=BO,所以AB=BO=AO,所以△ABO是等邊三角形.所以∠ABO=60°.由折疊知△ABR≌△OBR,所以∠ABR=∠OBR=30°所以∠OBC=90°-∠ABO=90°-60°=30°所以∠OBC=∠ABR=∠OBR=30°(方法2)如圖3，因?yàn)镋F是對(duì)折矩形ABCD的折痕，所以AE=BE=1/2AB,由折疊知AB=BO,所以BE=1/2BO,又因?yàn)椤螧EF=90°所以∠BOE=30°又因?yàn)镋F//BC,所以∠BOE=∠OBC=30°(方法3)如圖4,取BO的中點(diǎn)Q,連接EQ,由折疊知AB=BO,AE=BE=1/2AB，所以BE=1/2BO.在Rt△EBO中，EQ是斜邊BO上的中線，所以EQ=1/2BO=BQ所以EQ=BE=BQ所以△EBQ是等邊三角形.所以∠ABO=60°所以∠ABR=∠OBR=30°所以∠OBC=90°-∠ABO=90°-60°=30°所以∠ABR=∠RBO=∠OBC=1/3∠ABC=30°(方法4)如圖,設(shè)RB與EF交于點(diǎn)P因?yàn)镋F是對(duì)折矩形ABCD的折痕，所以點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)所以點(diǎn)P是BR的中點(diǎn)又因?yàn)椤蟁AB=∠ROB=90°,所以PO=1/2BR=BP,所以∠POB=∠PBO,因?yàn)镋F//BC,所以∠POB=∠OBC所以∠PBO=∠OBC由折疊可知,∠ABP=∠OBP所以∠ABP=∠PBO=∠OBC=1/3∠ABC=30°(方法5)延長RO交BC于點(diǎn)M,因?yàn)镋F是對(duì)折矩形ABCD的折痕，所以點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)所以點(diǎn)O是RM的中點(diǎn)又因?yàn)椤蟁AB=∠ROB=90°所以∠BOM=90°所以BO是RM的垂直平分線所以△BOM≌△BOR因?yàn)檎郫B，△BOR≌△BAR所以△BOM≌△BOR≌△BAR所以∠ABP=∠PBO=∠OBC=1/3∠ABC=30°設(shè)計(jì)意圖：把課堂真正還給學(xué)生.在同學(xué)講解的過程中，發(fā)表自己的意見，虛心向他人請(qǐng)教，使合作學(xué)習(xí)成為一種比較學(xué)習(xí)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)正確地評(píng)價(jià)自己和他人，讓班級(jí)形成民主和諧的合作氛圍，有利于學(xué)習(xí)的順利發(fā)展.教師要總結(jié)解題要點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生的歸納總結(jié)能力.通過一題多解培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。訓(xùn)練學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，達(dá)到對(duì)知識(shí)的融會(huì)貫通，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈活性。師：大家思考，誰還有不同的折法折出30°的角？ABCFDEMABCFDEMNQPABCFDEMNQPOBE=2ME學(xué)生回答講解怎樣折出30°的角，動(dòng)手操作，展示圖片。找一找多媒體出示圖形。師：在圖中，你能找出所有30°的角嗎？60°的角呢？還有其他度數(shù)的角嗎?生：學(xué)生觀察圖形，回答教師提出的問題.并用白板自己標(biāo)出30°的角。教師重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生回答問題是否完整。設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生識(shí)圖的能力和嚴(yán)密的思維習(xí)慣。師：怎樣折15°的角呢？你還能得到哪些度數(shù)的角？生：學(xué)生獨(dú)立操作。設(shè)計(jì)意圖：鞏固折30°角的方法，使學(xué)生再次感受折紙可以得到角的倍分關(guān)系。（六）測(cè)一測(cè)診斷目標(biāo)達(dá)成情況，發(fā)現(xiàn)問題，及時(shí)處理。教師準(zhǔn)備好的小測(cè)試卷發(fā)給學(xué)生，學(xué)生完成后，用白板講解。1、如圖，把矩形ABCD沿EF對(duì)折后使兩部分重合，若∠1=50°,求∠AEF的度數(shù)？設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生識(shí)圖的能力和嚴(yán)密的思維習(xí)慣。2、將矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，折痕為BE（如圖①）；再沿過點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)D落在BE上的點(diǎn)H處，折痕為EG（如圖②）；再展平紙片（如圖③）。求圖③中∠1的大小?EEDCFBA圖①EDCABFGADECBFG圖②圖③H1設(shè)計(jì)意圖：通過觀察，培養(yǎng)學(xué)生識(shí)別圖形的能力與探索意識(shí).讓學(xué)生再次體會(huì)折疊中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，體會(huì)知識(shí)間的聯(lián)系。（七）理一理暢談感悟，反思成長。（1）通過這一節(jié)課的學(xué)習(xí)，你利用折紙可以折出那些角？（2）在推理論證過程中，我們用到了哪些以前學(xué)過的知識(shí)？總結(jié)：1、折紙問題實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱變換，折痕是對(duì)稱軸，對(duì)應(yīng)角、線段相等，對(duì)應(yīng)圖形全等。2、解決折紙類問題，可以動(dòng)手折一折，認(rèn)真觀察分析，用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)解決它。

3、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要?jiǎng)邮峙c思考相結(jié)合。師生活動(dòng)：學(xué)生自己總結(jié)，不全面的由其他學(xué)生補(bǔ)充完善，教師重點(diǎn)關(guān)注不同層次學(xué)生對(duì)本節(jié)知識(shí)的理解和掌握程度。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生對(duì)折疊的數(shù)學(xué)本質(zhì)有一個(gè)深刻的認(rèn)識(shí)，重構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生整理歸納的能力。作業(yè)：通過折疊，自己制作一副三角