高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（選擇性必修二）：專題5.4 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（重難點(diǎn)題型檢測）（教師版）

專題5.4導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（重難點(diǎn)題型檢測）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2021·寧夏·高二期中（文））設(shè)函數(shù)f(x)=x2，f'(xA．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的求導(dǎo)公式求導(dǎo)即可.【解答過程】∵f'∴f'解得x0故選：B.2．（3分）（2022·上海市高二期末）下列求導(dǎo)錯誤的是（

）A．(cosx?3)C．x+1x'=?【解題思路】根據(jù)求導(dǎo)公式直接求導(dǎo)可得.【解答過程】(cos3ex+1xx2故選：D.3．（3分）（2021·河南·高二期末（文））曲線f(x)=xlnx在A．y=x B．y=x?e C．y=2x+e 【解題思路】先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，然后利用點(diǎn)斜式可寫出直線方程.【解答過程】f(x)=xlnx，則f'(x)=1+lnx，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線的斜率為：f'(e故選：D.4．（3分）（2022·四川省模擬預(yù)測（文））已知曲線y=2x+aex在點(diǎn)0,a處的切線方程為y=x+b,則a+b=A．2 B．e C．3 D．2【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求出導(dǎo)函數(shù)y'=?2x+2?aex,令x=0【解答過程】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式y(tǒng)'當(dāng)x=0時,y'∴2?a=1,即a=1.∵0,1滿足方程y=x+b,即b=1,∴a+b=2.故選:A.5．（3分）（2022·河南·高三開學(xué)考試（文））已知f(x)=14x2+sinπ2+xA． B． C． D．【解題思路】首先對f(x)求導(dǎo)，再利用奇偶性排除B、D，然后通過取特殊值排除C即可.【解答過程】因?yàn)閒(x)=14x又因?yàn)閒'(?x)=?1f'(π2)=故選：A.6．（3分）（2023·山東濰坊·高三期中）函數(shù)y=k(x?1)與y=lnx的圖像有且只有一個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（A．k=1 B．k≥C．k=1或k≤0 D．k≤0或k=1或k≥【解題思路】直線y=k(x?1)過定點(diǎn)1,0，利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率并結(jié)合圖象分析判斷.【解答過程】∵y=k(x?1)過定點(diǎn)1,0，且1,0在y=ln又∵y=lnx，則∴y=lnx在x=1處的切線斜率為結(jié)合圖象可得：當(dāng)k≤0時，y=k(x?1)與y=lnx的圖像有且只有一個公共點(diǎn)，則當(dāng)0<k<1時，y=k(x?1)與y=lnx的圖像有兩個公共點(diǎn)，則當(dāng)k=1時，y=k(x?1)與y=lnx的圖像有且只有一個公共點(diǎn)，則當(dāng)k>1時，y=k(x?1)與y=lnx的圖像有兩個公共點(diǎn)，則綜上所述：實(shí)數(shù)k的取值范圍為k=1或k≤0.故選：C.7．（3分）（2022·北京·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=12sin2x+A．π4 B．π2 C．π 【解題思路】求出f'(x)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到cos(2x1+π3)?【解答過程】因?yàn)閒(x)=依題意可得f'所以cos(2x所以cos(2x1+π3)=1且當(dāng)cos(2x1+2x1+π3=2k所以x1-x2=(所以|x1-x2所以當(dāng)k1-k2=0或k當(dāng)cos(2x1+2x1+π3=2k所以x1-x2=(所以|x1-x2所以當(dāng)k1-k2=0或k綜上所述：x1-x故選：B.8．（3分）（2021·全國·高二課時練習(xí)）函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)為f'x，若對于定義域?yàn)槿我鈞1,①fx=2x+3；②fx=x2其中為恒均變函數(shù)的序號是（

）A．①③ B．①② C．①②③ D．①②④【解題思路】針對每一個函數(shù)，分別計(jì)算出fx1?f【解答過程】對于①，fx1?fx2x1對于②，f=x1?x2故②為恒均變函數(shù)；對于③，當(dāng)x1=1，x2=0時，fx1?f對于④，當(dāng)x1=π2，f'即此時fx1?f故選：B.二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022·廣東·高三開學(xué)考試）下列函數(shù)的求導(dǎo)正確的是（

）A．1x'=1x2 B．sin【解題思路】對每一選項(xiàng)的函數(shù)分別求導(dǎo)即得解.【解答過程】解：A.1xB.sinxC.xeD.ln2x故選：BC.10．（4分）若曲線y=x+ae2x（e為自然對數(shù)的底數(shù)）有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則aA．?3 B．?2 C．0 D．1【解題思路】設(shè)切點(diǎn)為Px0,x0+ae【解答過程】設(shè)切點(diǎn)為Px0,所以切線的斜率k=2則此曲線在P處的切線方程為y?x0+a又此切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以?x由此推出2x02+2ax0?a=0故選：AD．11．（4分）（2022·廣東·高三階段練習(xí)）設(shè)定義在R上的函數(shù)fx與gx的導(dǎo)數(shù)分別為f'(x)與g'(x)，若fx+3A．g1=1 B．g'C．gx的圖像關(guān)于直線x=2對稱 D．g【解題思路】根據(jù)函數(shù)的對稱性及周期性的條件判斷即可．【解答過程】解：∵g(?x+1)=?g(x+1)，令x=0，得g(1)=0，故A錯誤；∵f'(x?1)=fx∵fx+3=g?xgx+1令x=1，得a=2，∴gx+1∴gx關(guān)于直線x∴g∴函數(shù)g'(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)∵g(?x+1)=?g(x+1)，∴g(x)=?g(2?x)，∵g(x+1)=g(3?x)，∴g(x)=g(4?x)，∴g(4?x)=?g(2?x)，即g(2+x)=?g(x)，∴g(4+x)=?g(2+x)=g(x)，∴gx的周期T=4故選：BCD．12．（4分）（2022·全國·高二課時練習(xí)）定義在區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，若?ξ∈[a,b]使得f(b)?f(a)=f'(ξ)(b?a)，則稱ξ為區(qū)間[a,b]上的“中值點(diǎn)”.下列在區(qū)間?π,π上“中值點(diǎn)”多于一個的函數(shù)是（

）A．f(x)=sinx B．f(x)=x+1 C．f(x)=e【解題思路】考查新定義題型，通過對題中新定義的理解，逐一驗(yàn)證選項(xiàng)是否符合定義要求即可.【解答過程】對于A，f(π)=sinπ=0，f(?π)=sin?π=0，又f對于B，f(π)=π+1，f(?π)=?π+1，f(π)?f(?π)=2π，又f'(x)=1，對于對于C，f(π)=eπ，f(?π)=e?π，f(π)?f(?π)=eπ?e?π對于D，f(π)=π3，f(?π)=?π3，f(π)?f(?π)=2π3，又f'故選：ABD.三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022·陜西·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)為f'x，若fx=f【解題思路】求導(dǎo)，得到f'x=3f'π9【解答過程】f'故f'即f'π9則f'故f'故答案為：?9314．（4分）已知直線y=x?a與曲線y=ex+2?1相切，則實(shí)數(shù)a的值為【解題思路】首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為x0【解答過程】∵y=ex+2?1，∴y'=ex+2故答案為:?2.15．（4分）（2022·河南鄭州·高三階段練習(xí)（理））已知f'(x)是函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)，定義f''(x)為f'(x)的導(dǎo)函數(shù)，若方程f''(x)＝0有實(shí)數(shù)解x0，則稱點(diǎn)（x0，f（x0））為函數(shù)y＝f（x）的拐點(diǎn)，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，所有的三次函數(shù)f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有拐點(diǎn)，且都有對稱中心，其拐點(diǎn)就是對稱中心，設(shè)f（x）＝x3﹣3x2﹣3x+6，則f（12019【解題思路】對f（x）＝x3﹣3x2﹣3x+6，求導(dǎo)得f'(x)＝3x2﹣6x﹣3＝3（x2﹣2x﹣1），再對f'(x)求導(dǎo)得f''(x)【解答過程】∵f（x）＝x3﹣3x2﹣3x+6，∴f'(x)＝3x2﹣6x﹣3＝3（x2﹣2x﹣1），f'由f''(x)＝6x﹣6＝0可得x根據(jù)已知定義可知，f（x）的對稱中心（1，1），從而有f（2﹣x）+f（x）＝2，所以f（12019）+f（22019）+……+f（40372019故答案為：4037.16．（4分）（2022·全國·高二單元測試）丹麥數(shù)學(xué)家琴生是19世紀(jì)對數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凹凸性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.定義：函數(shù)fx在a,b上的導(dǎo)函數(shù)為f'x，f'x在a,b上的導(dǎo)函數(shù)為f″x，若在a,b上f″x<0恒成立，則稱函數(shù)fx在a,b上的“嚴(yán)格凸函數(shù)”，稱區(qū)間a,b為函數(shù)fx的“嚴(yán)格凸區(qū)間”.則下列正確命題的序號為①②.①函數(shù)fx=?x3+3x2【解題思路】根據(jù)題干中給出的定義逐項(xiàng)檢驗(yàn)后可得正確的選項(xiàng).【解答過程】fx=?x3+3故f″x<0所以函數(shù)fx=?x3+3fx=lnxx由f″x<0可得2所以函數(shù)fx=lnxxfx=ex?因?yàn)閒x為1,4上的“嚴(yán)格凸函數(shù)”，故f″x所以ex?m<0在1,4上恒成立，即m>e故m≥e4，所以所以正確命題為：①②.故答案為：①②.四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)（1）y=x（2）y=2（3）y=x?log（4）y=cos【解題思路】直接根據(jù)求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即可求出（1）（3）（4）的導(dǎo)數(shù)；利用二倍角公式化簡（2）中的函數(shù)解析式，再利用求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行求導(dǎo).【解答過程】（1）因?yàn)閥=x4?3（2）因?yàn)閥=2x+（3）因?yàn)閥=x?log2x（4）因?yàn)閥=cosxx18．（6分）（2022·陜西·高二階段練習(xí)）已知二次函數(shù)fx=ax2+ax?2b(1)求a、b的值；(2)設(shè)函數(shù)gx=xlnx，求曲線【解題思路】（1）利用導(dǎo)數(shù)和已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)a、b的方程組，可求得實(shí)數(shù)a、b的值；（2）求出切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得所求切線的方程.【解答過程】（1）解：因?yàn)閒x=ax所以，f2=6a?2b=?4f（2）解：因?yàn)間x=xlnx的定義域?yàn)樗?，g'1=1，g所以，函數(shù)gx在x=1處的切線方程為y=x?119．（8分）（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=ae（1）求導(dǎo)函數(shù)f'（2）若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=e(x+1)，求a，【解題思路】(1)利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則直接求導(dǎo)；(2)利用切點(diǎn)與切線及曲線的關(guān)系，再借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可計(jì)算得解.【解答過程】（1）由f(x)=ae得f'x=(a（2）因?yàn)榍悬c(diǎn)既在曲線上，又在切線上，于是將x=1代入切線方程y=e(x+1)，得y=2e，又f(1)=be，則而切線y=e(x+1)的斜率為e，即f'(1)=e，又f所以a=1，b=2.20．（8分）如圖，函數(shù)fx=2cosωx+θx∈R,0≤θ≤(1)求θ和ω的值；(2)已知Aπ2,0，點(diǎn)P是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)Qx0,y0是【解題思路】（1）結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及0,3求得θ,ω（2）求得P點(diǎn)的坐標(biāo)并代入fx解析式，從而求得x【解答過程】（1）f0由于0≤θ≤π2，所以f'所以fx（2）因?yàn)辄c(diǎn)Aπ2，0，Q(x所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為2x又因?yàn)辄c(diǎn)P在fx所以cos4因?yàn)棣?≤x從而得4x0?即x0=221．（8分）（2022·山西·高三階段練習(xí)）對于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，定義：設(shè)f''x是函數(shù)y=fx的導(dǎo)函數(shù)y=f'(1)求函數(shù)fx的“拐點(diǎn)”A(2)求證：fx的圖像關(guān)于“拐點(diǎn)”A對稱，并求f(?2020)+f(?2019)+?f(2019)+f(2022)【解題思路】（1）根據(jù)“拐點(diǎn)”的定義求出f″(x)=0的根，然后代入函數(shù)解析式可求出“拐點(diǎn)”（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)中心對稱的定義即可證明，利用對稱性可得結(jié)果.【解答過程】（1）∵f'x=3x2?6x+2，得x=1.有f(1)=13?3+2?2=?2，∴“拐點(diǎn)”A（2）證明：設(shè)P(x0，y0)是P(x0，y0)是關(guān)于“拐點(diǎn)”把點(diǎn)P'坐標(biāo)代入y=f(x)得左邊=?4?右邊=2?x0∴點(diǎn)P'2?x∴y=f(x)關(guān)于“拐點(diǎn)”A對稱.由對稱性可得f(x)+ff(?2020)+f(?