高中數學培優(yōu)講義練習（選擇性必修二）：專題5.1 導數的概念及其意義（重難點題型精講）（教師版）

專題5.1導數的概念及其意義（重難點題型精講）1．瞬時速度(1)平均速度設物體的運動規(guī)律是s=s(t)，則物體在到+t這段時間內的平均速度為=.(2)瞬時速度①物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.

②一般地，當t無限趨近于0時，無限趨近于某個常數v，我們就說當t趨近于0時，的極限是v，這時v就是物體在t=時的瞬時速度，即瞬時速度v==.2．拋物線切線的斜率(1)拋物線割線的斜率設二次函數y=f(x)，則拋物線上過點、的割線的斜率為=.(2)拋物線切線的斜率一般地，在二次函數y=f(x)中，當x無限趨近于0時，無限趨近于某個常數k，我們就說當x趨近于0時，的極限是k，這時k就是拋物線在點處切線的斜率，即切線的斜率k==.3．函數的平均變化率函數平均變化率的定義

對于函數y=f(x)，設自變量x從變化到+x，相應地，函數值y就從f()變化到f(+x).這時，x的變化量為x，y的變化量為y=f(+x)-f().我們把比值，即=叫做函數y=f(x)從到+x的平均變化率.4．函數在某點處的導數的幾何意義(1)切線的定義在曲線y=f(x)上任取一點P(x,f(x))，如果當點P(x,f(x))沿著曲線y=f(x)無限趨近于點(,f())時，割線P無限趨近于一個確定的位置，這個確定位置的直線T(T是直線T上的一點)稱為曲線y=f(x)在點處的切線.(2)函數在某點處的導數的幾何意義

函數y=f(x)在x=處的導數f'()就是切線T的斜率，即==f'().這就是導數的幾何意義.相應地，切線方程為y-f()=f'()(x-).5．導函數的定義從求函數y=f(x)在x=處導數的過程可以看到，當x=時，f'()是一個唯一確定的數.這樣，當x變化時，y=f'(x)就是x的函數，我們稱它為y=f(x)的導函數(簡稱導數).y=f(x)的導函數有時也記作y'，即f'(x)=y'=.【題型1瞬時速度、平均速度】【方法點撥】根據瞬時速度、平均速度的定義進行求解即可.【例1】（2022·全國·高二專題練習）已知物體做直線運動對應的函數為S=S(t)，其中S表示路程，t表示時間．則S'A．經過4s后物體向前走了10mB．物體在前4秒內的平均速度為10m/sC．物體在第4秒內向前走了10mD．物體在第4秒時的瞬時速度為10m/s【解題思路】根據導數的物理意義可知，S(t)函數的導數即是t時刻的瞬時速度．求解即可．【解答過程】∵物體做直線運動的方程為S=S(t)，根據導數的物理意義可知，S(t)函數的導數是t時刻的瞬時速度，∴S'(4)=10表示的意義是物體在第4故選：D．【變式1-1】（2022·全國·高二課時練習）某物體的運動路程s（單位：m）與時間t（單位：s）的關系可用函數st=t2+t+1A．0m/s B．1m/s C．2m/s D．3m/s【解題思路】根據瞬時速度的概念即可利用平均速度取極限求解.【解答過程】該物體在時間段1,1+Δt上的平均速度為ΔsΔt=s故選：D.【變式1-2】（2022·廣東廣州·高二期末）在一次高臺跳水運動中，某運動員在運動過程中的重心相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數關系?(t)=?4.9t2+4.8t+11.該運動員在t=1sA．10.9 B．-10.9 C．5 D．-5【解題思路】先對函數求導，然后把t=1代入即可求解．【解答過程】解：因為?(t)=?4.9t所以?'令t=1，得瞬時速度為?5．故選：D.【變式1-3】（2022·河南·高二階段練習（理））一質點做直線運動，其位移s與時間t的關系為s=t2+2t，設其在t∈[2,3]內的平均速度為v1，在t=2時的瞬時速度為v2A．76 B．73 C．67【解題思路】直接運用導數的運算法則，計算即可【解答過程】v1=3所以v2=2×2+2=6，所以故選：A.【題型2平均變化率】【方法點撥】根據題目條件，結合函數的平均變化率的定義，即可得解.【例2】（2022·江蘇省高二階段練習）已知函數fx=x2+2A．4 B．3 C．2 D．1【解題思路】根據平均變化率的定義直接求解.【解答過程】因為函數fx所以該函數在區(qū)間1,3上的平均變化率為f(3)?f(1)3?1故選：A.【變式2-1】（2022·遼寧·高二階段練習）函數fx=?x3+1A．3 B．2 C．?2 D．?3【解題思路】根據平均變化率的定義計算即可【解答過程】由題，函數fx=?x3故選：D.【變式2-2】（2022·陜西·高二階段練習（理））若函數f(x)=x2?t，當1≤x≤m時，平均變化率為2，則mA．5 B．2 C．3 D．1【解題思路】直接利用平均變化率的公式求解.【解答過程】由題得Δy所以m=1故選：D.【變式2-3】（2022·陜西安康·高二期末（文））為了評估某種治療肺炎藥物的療效，有關部門對該藥物在人體血管中的藥物濃度進行測量．設該藥物在人體血管中藥物濃度c與時間t的關系為c=f(t)，甲、乙兩人服用該藥物后，血管中藥物濃度隨時間t變化的關系如下圖所示．給出下列四個結論錯誤的是（

）A．在t1B．在t2C．在t2D．在t1,t【解題思路】根據圖象以及導數的知識對選項進行分析，從而確定正確選項.【解答過程】A選項，根據圖象可知，在t1B選項，根據圖象以及導數的知識可知，在t2B選項結論正確.C選項，根據圖象可知，在t2C選項結論正確.D選項，根據圖象可知，在t1在t2D選項結論錯誤.故選：D.【題型3利用導數的定義解題】【方法點撥】利用導數的定義，轉化求解即可.【例3】（2022·新疆·高二階段練習（理））已知函數y=f(x)在x=x0處的導數為2，則limΔA．0 B．12 C．1 【解題思路】根據極限與導數的關系直接求解.【解答過程】根據極限與導數的關系可知limΔ故選:D.【變式3-1】（2022·上海市高二期末）已知f(x)是定義在R上的可導函數，若lim△x→0f(2)?f(2+Δx)2A．?1 B．?14 C．1 【解題思路】根據極限與導數的定義計算．【解答過程】f故選：A．【變式3-2】（2022·湖北襄陽·高二期末）若函數y=fx在x=x0處的導數為1，則limA．2 B．3 C．－2 D．－3【解題思路】利用導數的定義和幾何意義即可得出．【解答過程】解：若函數y=fx在x=x∴f'(x則limΔx→0f(故選：B．【變式3-3】（2022·全國·高二專題練習）已知函數fx的定義域為R，若limΔx→0f1+A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】利用導數的定義可求得f'【解答過程】由導數的定義可得f'故選：D.【題型4導數的幾何意義】【方法點撥】根據導數的幾何意義，求解曲線在某點處的斜率或切線方程.【例4】（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）limx→2f(5?x)?3x?2=2,f(3)=3，A．2x+y+9=0 B．2x+y?9=0C．?2x+y+9=0 D．?2x+y?9=0【解題思路】根據已知條件，結合導數的幾何意義，求出f'【解答過程】由已知，limx→2f(5?x)?3x?2∴l(xiāng)imΔx→0f(3?Δx)?f(3)Δx＝lim∴f(x)在(3,f(3))處切線方程為y?3=?2(x?3)，即2x+y?9=0．故選：B．【變式4-1】（2022·河南·高三階段練習（文））已知函數y=fx的圖像在點M3,f3處的切線方程是y=13A．1 B．2 C．3 D．5【解題思路】根據切線方程的斜率為切點處的導數值,且切點在f(x)以及切線上即可求解f(3),f【解答過程】由點M3,f3處的切線方程是y=1x=3時，y=13×3+∴f3故選：B.【變式4-2】（2022·河南·高三階段練習（文））設函數f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=2x+1，則limΔx→0f(1+A．4 B．2 C．1 D．1【解題思路】根據曲線某點處的導數等于切線的斜率，得f'(1)=2，再根據【解答過程】∵函數f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=2x+1，∴f則limΔ故選:C.【變式4-3】（2022·浙江·高二期中）如圖，函數y=fx的圖象在點P處的切線方程是y=?x+8，則limΔx→0A．?12 B．2 C．?1 【解題思路】依題意可知切點坐標，由切線方程得到f'【解答過程】依題意可知切點P5,3∵函數y=fx的圖象在點P處的切線方程是y=?x+8∴f'5=?1∴l(xiāng)imΔ又∵lim∴l(xiāng)im即lim故選：D.【題型5函數圖象與導函數的關系】【方法點撥】結合具體條件，根據函數圖象、導函數圖象與導函數的關系，進行轉化求解即可.【例5】（2022·全國·高二課時練習）已知f'x是fx的導函數，f'xA． B．C． D．【解題思路】由導數的幾何意義可知，原函數先增長“迅速”，后增長“緩慢”.【解答過程】由題中f'x的圖象可以看出，在a,b內，且在a,a+b2內，在a+b2,b內，所以函數fx在a,b且其圖象在a,a+b2內越來越陡峭，在故選：D．【變式5-1】若函數y=f(x)的導函數在區(qū)間[a,b]上是增函數，則函數y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象可能是A． B． C． D．【解題思路】根據函數圖象與導函數之間的關系，進行求解即可.【解答過程】∵函數y=f（x）的導函數在區(qū)間[a，b]上是增函數，∴對任意的a＜x1＜x2＜b，有，也即在a,x1,x2,b處它們的斜率是依次增大的．∴A滿足上述條件，對于B，存在使，對于C，對任意的a＜x1＜x2＜b，都有，對于D，對任意的x∈[a，b]，不滿足逐漸遞增的條件，故選A．【變式5-2】（2022·北京高二期末）已知函數fx=ax3+bA． B．C． D．【解題思路】由導函數的圖像分析原函數切線斜率，結合選項依次判斷即可.【解答過程】由導函數圖像可知，原函數fx在區(qū)間?∞,1的切線斜率逐漸減小，在x=1結合選項可知，A、B選項不滿足在x=1處的切線斜率為1，排除；C選項在區(qū)間1,+∞故選：D.【變式5-3】（2022·河南高二階段練習（理））已知函數fx的導函數為f'x，若y=f'A． B．C． D．【解題思路】根據導函數大于0，原函數單調遞增；導函數小于0，原函數單調遞減；即可得出正確答案.【解答過程】由導函數得圖象可得：x>0時，f'x<0，所以f排除選項A、B，當x>0時，f'x先正后負，所以fx因選項C是先減后增再減，故排除選項C，故選：D.【題型6導數的幾何意義的應用】【方法點撥】曲線在某點處的切線斜率的大小反映了曲線在相應點處的變化情況，由切線的傾斜程度，可以判斷出曲線升降的快慢.結合具體條件，利用導數的幾何意義，進行轉化求解即可.【例6】（2022·河南·高三開學考試（文））已知函數fx的圖象如圖所示，下列數值的排序正確的是（

A．0<B．0<fC．0<D．0<【解題思路】利用導數的幾何意義和直線的斜率公式，結合圖象得出答案．【解答過程】f'2和f'3分別表示函數fx在x=2和x=3處的切線斜率，結合圖象可得0<f'3故選：D.【變式6-1】（2022·陜西·教學研究室一模）已知函數y=f(x)的部分圖象如圖所示，其中Ax1,fA．f'x1C．f'x3【解題思路】結合函數圖形及導數的幾何意義判斷即可；【解答過程】解：由圖可知函數在A點的切線斜率小于0，即f'在D點的切線斜率等于0，即f'在C點的切線斜率大于0，即f'所以f'故選：B.【變式6-2】（2022·廣東·高二期中）如圖，函數fx的圖象如圖所示，下列數