專題01圓的取值范圍與最值問題題型全歸納（解析版）

專題01圓的取值范圍與最值問題題型全歸納【考點預(yù)測】涉及與圓有關(guān)的最值，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解．一般地：（1）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題．（2）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題．（3）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為曲線上的點到點（a，b）的距離平方的最值問題【方法技巧與總結(jié)】解決圓中的范圍與最值問題常用的策略：（1）數(shù)形結(jié)合（2）多與圓心聯(lián)系（3）參數(shù)方程（4）代數(shù)角度轉(zhuǎn)化成函數(shù)值域問題【題型歸納目錄】題型一：斜率型題型二：直線型題型三：距離型題型四：長度、周長、面積型題型五：數(shù)量積與角度型題型六：阿波羅尼斯圓【典例例題】題型一：斜率型例1．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高二階段練習(xí)）實數(shù)滿足，那么的最大值為___________.【答案】【解析】得，所以點的軌跡是以原點為圓心，半徑為的圓的上半部分，表示點與點連線的斜率，過作半圓的切線，切點為，如下圖所示，則，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以直線的斜率為，也即的最大值為.故答案為：例2．（2022·江蘇·揚州市江都區(qū)大橋高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知M為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點，且點Q(－2，3).(1)若P(a，a＋1)在圓C上，求線段PQ的長及直線PQ的斜率；(2)求MQ的最大值和最小值；(3)若M(m，n)，求的最大值和最小值．【解析】(1)因為點P(a，a＋1)在圓C上，所以，即，解得，所以，所以，的斜率為.(2)由得，所以圓的圓心，半徑，所以，所以，.(3)設(shè)，因為表示圓上任意一點與連線的斜率，則直線的方程為，即，由直線與圓有交點，可得，化簡得，解得，所以的最大值為、最小值為.例3．（2022·甘肅·永昌縣第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知實數(shù)x，y滿足方程，則的最大值和最小值的和是（

）A．1 B．0 C． D．【答案】B【解析】由題意，，表示以（2,0）為圓心，為半徑的圓，表示圓上的點P（x,y）與原點連線的斜率，如圖：易知，當直線與圓相切時分別取得最大值和最小值設(shè)切線為：，于是圓心到切線的距離故的最大值和最小值的和是0故選：B變式1．（2022·全國·高二專題練習(xí)）若實數(shù)x，y滿足，則下列關(guān)于的最值的判斷正確的是（

）A．最大值為2＋，最小值為—2－B．最大值為2＋，最小值為2－C．最大值為－2＋，最小值為－2－D．最大值為—2＋，最小值為2－【答案】B【解析】可化為.可看作圓上任意一點與定點連線的斜率.記，則，記為直線l.當直線與圓相切時，k可以取得最值.此時圓心到直線的距離，解得：.所以.故選：B.變式2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知圓，圓．若過點的直線l與圓、都有公共點，則直線斜率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，由題意可知，過點的直線與兩個圓分別相切時為臨界位置，即直線介于圖形中的兩直線之間，設(shè)直線l的方程為，與相切時有，解得或，由圖知舍去，與相切時有，解得或，由圖知舍去，所以直線l斜率的取值范圍是．故選：D變式3．（2022·江蘇·常熟市王淦昌高級中學(xué)高二階段練習(xí)）若實數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】由可得，其表示的是圓心在，半徑為的圓，設(shè)，其表示的是點與點連線的斜率，由可得，當直線與圓相切時取得最值，此時有，解得，所以的最大值為，故選：B題型二：直線型例4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知點在圓上運動.（1）求的最大值；（2）求的最小值.【解析】（1）由題意，點在圓上運動，設(shè)，整理得，則表示點與點連線的斜率，當該直線與圓相切時，取得最大值和最小值，又由，解得，所以所以的最大值為.（2）設(shè)，整理得，則表示直線在軸上的截距，當該直線與圓相切時，取得最大值和最小值，由，解得，所以所以的最小值為.例5．（多選題）（2022·浙江溫州·高二期中）已知A（4，2），B（0，4），圓，P為圓C上的動點，下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值為B．的最小值為C．的最小值為D．最大時，【答案】AC【解析】對于A，，A正確.對于B，記AB的中點為D，,，故B錯誤；對于C，令，當直線與圓C相切時，b取到最值，令，，所以最小值為，故C正確.對于D，當PB與圓C相切時，最大，此時，故D錯誤.故選：AC例6．（多選題）（2022·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高二期中）瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上．這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”．在平面直角坐標系中作，，點，點，且其“歐拉線”與圓相切，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的“歐拉線”方程為B．圓上點到直線的最大距離為C．若點在圓上，則的最小值是D．若點在圓上，則的最大值是【答案】ACD【解析】，由題意可得的歐拉線為的中垂線，由，可得的中點為，且，線段的中垂線方程為，即，故A正確；的“歐拉線”與圓相切，圓心到直線的距離，圓的方程為，圓心到直線的距離，圓上點到直線的距離的最大值為，故B錯誤；令，，代入圓的方程，可得，由于在圓上，有根，則，整理得，解得，的最小值為，即的最小值為，故C正確；因為表示圓上的點與連線的斜率，設(shè)，則，即，所以，即，解得，所以的最大值為，故D正確；故選：ACD．變式4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知點是函數(shù)的圖象上的動點，則的最小值為__________.【答案】20【解析】由整理得，可知其圖象是半圓，圓心為，半徑為.又，其幾何意義為點到直線距離的5倍，故分析點到直線距離的最小值即可.如圖，作直線，點C到直線的距離，所以到直線的距離的最小值為，即的最小值為4，所以的最小值為.故答案為：20題型三：距離型例7．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知x，y滿足(x－1)2＋y2＝1，求S＝的最小值．【解析】因為，又點(x，y)在圓(x－1)2＋y2＝1上運動，即S表示圓上的動點到定點(－1，1)的距離，顯然最小值為定點與圓心的距離減去半徑，即最小值為，所以的最小值為.例8．（2022·北京市懷柔區(qū)第一中學(xué)高二期中）已知圓經(jīng)過點，，且圓心在直線上．(1)求圓的標準方程；(2)設(shè)點，動點在圓上，求的最大值和最小值．【解析】（1）由題意可設(shè)：圓心，由半徑得：，解得：，圓心，半徑，圓的標準方程為：.（2）由（1）知：圓心，半徑，，，.例9．（2022·新疆·高二期中）已知點分別為圓與上一點，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．6【答案】A【解析】圓A的圓心坐標為，半徑為1；圓的圓心坐標為，半徑為.因為兩圓的圓心距，所以兩圓外離，.故選：A．變式5．（2022·北京大興·高二期中）已知、是圓上兩個不同的動點，是線段的中點，點滿足.(1)當?shù)淖鴺藶闀r，求的坐標；(2)求點的軌跡方程；(3)求的最小值與最大值.【解析】（1）由題意可知，，而直線為軸，所以點的橫坐標為，將代入圓的方程可得，此時點的坐標為或.（2）設(shè)點，因為，為的中點，則，連接，則，且，所以，，整理可得，因此，點的軌跡方程為.（3）因為，則點在圓內(nèi)，記圓的圓心為，半徑為，則，則，即，所以，當點為圓與軸的負半軸的交點時，取最大值，當點為圓與軸正半軸的交點時，取最小值，所以，.因此，的最小值為，最大值為.變式6．（2022·江蘇南京·高二階段練習(xí)）已知實數(shù)，滿足方程，則的取值范圍為___________；的最小值為___________.【答案】

【解析】由題意得（1）方程可化為，圓心，半徑為2.，的取值范圍為.（2）表示圓上的一點與距離的平方與1的差.由平面幾何知識知，過和圓心的直線與圓的兩個交點處分別取得最大值和最小值.又圓心到的距離為，所以的最小值為.故答案為：；.變式7．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高二階段練習(xí)）已知圓的方程為：(1)求實數(shù)的取值范圍.(2)當圓半徑最大時，點在圓上，點在直線上，求的最小值.【解析】（1）方程配方得：，它表示圓，則，解得；（2）由（1），時，，圓方程為，圓心為，圓心到直線的距離為，已知直線與圓相離，所以的最小值是．變式8．（2022·全國·高二課前預(yù)習(xí)）已知實數(shù)x，y滿足，求的最大值與最小值．【解析】已知方程可化為，則此方程表圓，且圓心C的坐標為，半徑長．又．它表示圓上的到的距離的平方再加；所以當點P與點E的距離最大或最小時，所求式子就取最大值或最小值，顯然點P與點E距離的最大值為，點P與點E距離的最小值為.又因為，則的最大值為，的最小值為；即的最大值為51，最小值為11.變式9．（2022·河南·南陽市第六完全學(xué)校高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知點P(m，n)在圓上運動，則的最大值為______，最小值為_______，的范圍為________．【答案】

64

4

【解析】由圓C的圓心為，半徑為3，且P在圓上，則表示在圓上點到距離的平方，而圓心到的距離為，所以在圓上點到距離的最大值為8，最小值為2，故的最大值為64，最小值為4；又表示在圓上點到原點的距離，而圓心到原點距離為，所以的范圍為.故答案為：64，4，變式10．（2022·全國·高二課時練習(xí)）平面直角坐標系中，，過點作兩條直線，被圓M截得弦AB，CD，滿足.設(shè)線段AC的中點為N，則的最小值為___________.【答案】【解析】設(shè)的中點為，因為，故，由垂徑定理，，故.即，所以，因為，且，故，即，故，故的軌跡方程為，所以的最小值為.故答案為：變式11．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知圓，圓，動點在軸上，動點，分別在圓和圓上，則的最小值是__．【答案】【解析】如圖所示，圓關(guān)于軸的對稱圓的圓心坐標，半徑為1，圓的圓心坐標，半徑為2，連接，故，故的最小值是故答案為：．變式12．（2022·天津市第二南開中學(xué)高二期中）若直線始終平分圓的周長，則的最小值為________.【答案】【解析】由得，故圓心坐標為,半徑，因為直線始終平分圓的周長，所以直線過圓的圓心，把代入直線，得，而可看作是點到直線上的點的距離，因為到直線的距離為，所以的最小值為.故答案為：.題型四：長度、周長、面積型例10．（多選題）（2022·福建漳州·高二期中）已知點在圓上，則下列說法正確的是（

）A．圓C的圓心為 B．圓C的半徑為2C．的最大值為7 D．的最小值為【答案】AC【解析】對于A和B，由，可得，則圓C的圓心為，半徑為，故A正確，B錯誤；對于C，將即看成直線的方程，其與圓有公共點，所以圓心到直線的距離，解得，故C正確；對于D，記，則表示直線的斜率，直線的方程為，即，當該直線與圓有交點時，可整理得，解得，所以的最小值為，D錯誤，故選：AC.例11．（2022·四川·瀘州市龍馬高中高二階段練習(xí)（文））已知圓C的圓心在第一象限且在直線上，與x軸相切，被直線截得的弦長為(1)求圓C的方程；(2)由直線上一點P向圓C引切線，A，B是切點，求四邊形PACB面積的最小值．【解析】（1）依題意，設(shè)圓的圓心坐標為，半徑為，到直線的距離為，所以，解得，所以圓的方程為.（2）由（1）得，圓的圓心為，半徑，，所以當最小時，最小.到直線的距離為，所以的最小值為，所以四邊形PACB面積的最小值為.例12．（2022·新疆·高二期中）已知圓，直線過點.(1)若直線與圓相切，求直線的方程；(2)若直線與圓相交于、兩點，求面積的最大值，并求此時直線的斜率.【解析】（1）圓的圓心為，半徑為.當直線的斜率不存在時，直線的方程為，圓心到直線的距離為，此時直線與圓相切，符合題意；當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，由題意知，圓心到直線的距離等于半徑，即，解得，可得直線的方程為，當直線與圓相切時，直線的方程為或.（2）若直線與圓相交，由（1）可知，直線的斜率必定存在，設(shè)直線的方程為，即，則圓心到直線的距離.的面積為，當時，面積的最大值為，即，可得，解得，故面積的最大值為，此時直線的斜率為.變式13．（2022·四川·仁壽一中高二期中（文））已知圓C：，點P是直線上的動點，過P作圓的兩條切線，切點分別為A、B，則四邊形PACB面積的最小值為______【答案】【解析】圓C：，即，則圓的圓心，半徑，因為分別切圓于點，所以，所以，則要求四邊形PACB面積的最小值，只要求出的最小值即可，的最小值為點到直線的距離，為，所以四邊形PACB面積的最小值為.故答案為：.變式14．（2022·北京市懷柔區(qū)第一中學(xué)高二期中）在平面直角坐標系中，已知點，，，，為原點，以為直徑作圓．(1)求圓的方程；(2)設(shè)是圓上的動點，求的最大值和最小值．【解析】（1），的中點為則，以為直徑的圓的半徑為所以圓的方程為：（2）設(shè)，則，設(shè)則，其中當時，有最大值37.當時，有最大值17.變式15．（2022·浙江省諸暨市草塔中學(xué)高二階段練習(xí)）已知過點的圓的圓心M在直線上，且y軸被該圓截得的弦長為4．(1)求圓M的標準方程；(2)設(shè)點，若點P為x軸上一動點，求的最小值，并寫出取得最小值時點P的坐標．【解析】（1）由題意可設(shè)圓心，因為y軸被圓M截得的弦長為4，所以，又，則，化簡得，解得，則圓心，半徑，所以圓M的標準方程為．（2）點關(guān)于x軸的對稱點為，則，當且僅當M，P，三點共線時等號成立，因為，則直線的方程為，即，令，得，則．變式16．（2022·河南·濮陽南樂一高高二階段練習(xí)（文））已知圓，直線，為直線上的動點，過做圓的切線，切點為，則四邊形的面積的最小值為________【答案】【解析】由題知，⊙M：，圓心為，半徑，圓心到直線上的點的最短距離為，所以切線長，故四邊形的面積的最小值為.故答案為：.變式17．（多選題）（2022·江蘇·常熟市王淦昌高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線與圓，則下列說法正確的是（

）A．圓的半徑為4B．直線過定點C．直線與圓的相交弦長的最小值為D．直線與圓的交點為，則面積的最大值為2【答案】BCD【解析】對于A：圓，即，圓心為，半徑，故A錯誤；對于B：直線，即，令，得，即直線過定點，故B正確；對于C：因為，所以直線所過定點在圓的內(nèi)部，不妨設(shè)直線過定點為，當直線與圓的相交弦最小時，與相交弦垂直，又因為，所以相交弦的最小為，故C正確；對于D：設(shè)圓心到直線的距離為，則，則，所以，當且僅當，即時取等號，故D正確．故選：BCD．變式18．（2022·黑龍江·大慶四中高二期中）已知圓和圓，，分別是圓和圓上的動點，為軸上的動點，則關(guān)于的最小值為______．【答案】【解析】由：，得，半徑，：，得，半徑，由題意知，當，，三點共線時最小，，，三點共線時最小，所以的最小值即，設(shè)點關(guān)于軸對稱的對稱點為，則，所以的最小值為，則的最小值為.故答案為：.變式19．（2022·北京·大峪中學(xué)高二期中）在平面直角坐標系中，從點向直線（k為參數(shù)）作垂線，垂足為M，O為坐標原點，則線段的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】直線過定點，，可知點是在以為直徑的圓上，又，可得：，故選：B．變式20．（2022·安徽·高二階段練習(xí)）已知圓，則過點的直線l與圓C交于A，B兩點，則的最小值是（

）．A．2 B．4 C． D．【答案】C【解析】因為，圓的標準方程為，所以半徑，圓心，當直線l與直線CP垂直時，所截得弦長AB最短．此時，所以．故選：C．變式21．（2022·四川宜賓·高二期末（文））直線分別交坐標軸于A，B兩點，O為坐標原點，三角形OAB的內(nèi)切圓上有動點P，則的最小值為（

）A．16 B．18 C．20 D．22【答案】B【解析】因為直線分別交坐標軸于A，B兩點，所以設(shè)，則，因為，所以三角形OAB的內(nèi)切圓半徑，內(nèi)切圓圓心為，所以內(nèi)切圓的方程為，設(shè)，則，因為表示內(nèi)切圓上的動點P到定點的距離的平方，且在內(nèi)切圓內(nèi)，所以，所以，,即的最小值為18，故選：B.變式22．（2022·湖南·長沙市明德中學(xué)高二階段練習(xí)）已知點，分別為圓：，：上的動點，為軸上一點，則的最小值（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，易知，因為關(guān)于x軸的對稱點為，所以，因此的最小值為，當且僅當為直線與x的交點時取等號．故選：B．變式23．（2022·福建省廈門集美中學(xué)高二階段練習(xí)）由直線上的一點向圓C：引切線，則切線長的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【解析】在直線上取一點P，過P向圓引切線，設(shè)切點為A．連接CA．在中，．要使最小，則應(yīng)最?。之擯C與直線垂直時，最小，其最小值為．故的最小值為．故選：A變式24．（2022·廣東·深圳實驗學(xué)校高中部高二階段練習(xí)）已知點，點在圓上，則△的面積的最小值為（

）A． B．3 C．2 D．【答案】D【解析】圓的圓心，半徑為1∵，則，直線圓心到直線的距離∵△ABC的面積最小時，點C到直線AB的距離最短，該最短距離即圓心到直線AB的距離減去圓的半徑∴邊上高的最小值為，則的最小值為故選：D.題型五：數(shù)量積與角度型例13．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知圓經(jīng)過，，.(1)求圓的標準方程；(2)若點，點是圓上的一個動點，求的最小值.【解析】（1）設(shè)圓的標準方程為，由于圓經(jīng)過，，，所以有，解得所以圓的標準方程為.（2）由（1）知，圓的半徑為，.當與共線且同向時，取得最小值.所以的最小值為.例14．（多選題）（2022·河北石家莊·高二期末）設(shè)，直線與直線相交于點，線段是圓的一條動弦，為弦的中點，，下列說法正確的是（

）A．點在定圓上B．點在圓外C．線段長的最大值為D．的最小值為【答案】BC【解析】因為直線與，滿足，所以兩直線互相垂直，又兩直線分別過定點，定點，所以是以為直徑的圓，圓的方程為，故選項A錯誤；圓與圓的圓心距為，所以兩圓相離，則點在圓外，故選項B正確；因為，為弦的中點，所以，所以圓心到弦的距離為，所以弦中點的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，所以線段長的最大值為兩圓心的距離加上兩圓的半徑，即，故選項C正確；，因為，所以，故選項D錯誤．故選：BC.例15．（多選題）（2022·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高二期中）過點作圓的切線，是圓上的動點，則下列說法中正確的是（

）A．切線的方程為B．圓與圓的公共弦所在直線方程為C．點到直線的距離的最小值為D．點為坐標原點，則的最大值為【答案】ABD【解析】A.因為，所以，則過點的切線為，即，故正確；B.由和兩式相減得，故正確；C.點到直線的距離，所以點到直線的距離的最小值為，故錯誤；D.設(shè)，則，所以，即，點到直線的距離等于半徑得：，解得或，則的最大值為，故正確；故選：ABD變式25．（2022·江蘇常州·高二期中）已知直線與直線相交于點，點，為坐標原點，則的最大值為_____________.【答案】【解析】直線恒過定點，直線恒過定點，顯然直線與直線垂直，當時，，點P在以MN為直徑的圓（除點M，N外）上，當時，點,因此，點P的軌跡是以原點O為圓心，2為半徑的圓（除點外），如圖，觀察圖形知，點A在圓O：外，當直線AP與圓O相切時，為銳角且最大，最大，所以.故答案為：變式26．（2022·湖北·高二期中）幾