廣東省清遠市四校聯盟高二上學期期中聯考試題數學

20232024學年第一學期“四校聯盟”期中聯考高二數學試卷本試卷共4頁，22小題，滿分150分，考試用時150分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名?考場號?考生號?座位號等信息填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.第I卷（選擇題）一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應位置上.1.拋擲一顆質地均勻的骰子，設事件“點數為大于2小于5”，“點數為偶數”，則表示的事件為（）A.“點數為4” B.“點數為3或4”C.“點數為偶數” D.“點數為大于2小于5”2.已知向量，則（）A.61 B. C.13 D.3.在四面體中，點分別為線段的中點，若，則的值為（）A. B.1 C. D.4.從2名男生和3名女生中任選2人參加學校志愿服務，則選中的2人中恰有一名男生的概率為（）A. B. C. D.5.若直線的斜率，那么該直線不經過（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限6.已知空間向量，且，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.7.《九章算術》是我國東漢初年編訂的一部數學經典著作，其在卷第五《商功》中描述的幾何體“陽馬”實為“底面為矩形，一側棱垂直于底面的四棱錐”．如圖，在“陽馬”中，平面，，則直線與面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.8.已知直線，點，記到的距離為，則的取值范圍為（）A. B. C. D.二?多選題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，選對但不全得2分，有選錯得0分.9.已知向量，則（）A. B.C. D.10.已知直線，則（）A.直線的斜率為B.直線的傾斜角為C.直線不經過第三象限D.直線與直線垂直11.6個相同的分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球．記第一次取出球的數字為，第二次取出球的數字為．設，其中表示不超過X的最大整數，則（）A. B.C.事件“”與“”互斥 D.事件“”與“”對立12.如圖所示，正方體中，，點在側面及其邊界上運動，并且總是保持，則以下四個結論正確的是（）A. B.C.點必在線段上 D.平面第II卷三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分.13.設為三個隨機事件，若A與是互斥事件，與是相互對立事件，且，則____.14.過點且垂直于直線的直線方程為___.15.已知向量且共面，則__________.16.已知兩條平行直線間距離為，則____.四?解答題：本大題共6小題，共70分.17.如圖所示，已知三角形三個頂點為，求：（1）所在直線的方程；（2）邊上的高所在直線的方程；（3）三角形的面積.18.從3名男生和2名女生中任選2人參加演講比賽．（1）將5名學生做適當編號，把選中2人的所有可能情況列舉出來；（2）求所選2人中恰有一名女生概率；（3）求所選2人中至少有一名男生的概率．19.如圖所示，在底面是矩形的四棱錐中，底面分別是的中點，.（1）求兩點間距離；（2）求證：平面；（3）求證：平面平面.20.甲、乙兩名跳高運動員一次試跳2米高度成功的概率分別是，，且每次試跳成功與否相互之間沒有影響，求：（1）甲試跳三次，第三次才成功的概率；（2）甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率；（3）甲、乙各試跳兩次，甲比乙的成功次數恰好多一次的概率.21已知直線.（1）求證：直線經過一個定點；（2）若直線交軸的負半軸于點A，交軸的正半軸于點為坐標原點，設的面積為S，求S的最小值及此時直線的方程.22.如圖所示，在正四棱柱中，是的中點，（1）求到平面的距離；（2）在棱上是否存在一點，使二面角為？若存在，建立適當坐標系，寫出點坐標，若不存在，請說明理由.

20232024學年第一學期“四校聯盟”期中聯考高二數學試卷本試卷共4頁，22小題，滿分150分，考試用時150分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名?考場號?考生號?座位號等信息填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.第I卷（選擇題）一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應位置上.1.拋擲一顆質地均勻的骰子，設事件“點數為大于2小于5”，“點數為偶數”，則表示的事件為（）A.“點數為4” B.“點數為3或4”C.“點數為偶數” D.“點數為大于2小于5”【答案】A【解析】【分析】先分別求得事件所包含的基本事件，進而求得表示的事件.【詳解】“點數為大于2小于”,“點數為偶數”,則,故表示的事件為“點數為4”.故選：A2.已知向量，則（）A.61 B. C.13 D.【答案】B【解析】【分析】由已知向量的坐標，求出的坐標，由模長公式計算即可.【詳解】由，得，.故選：B.3.在四面體中，點分別為線段的中點，若，則的值為（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】先依據空間向量基本定理利用向量表示向量，進而求得的值，即可求得的值.【詳解】由又，則所以故選：C4.從2名男生和3名女生中任選2人參加學校志愿服務，則選中的2人中恰有一名男生的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】5人中任選2人，基本事件共10種，其中2人中恰有一名男生占6種基本事件，可求概率.【詳解】設2名男同學為，3名女同學為，從以上5名同學中任選2人總共有共10種可能，選中的2人恰好是一男一女的情況共有共6種可能則選中的2人恰好是一男一女的概率為，故選：A5.若直線的斜率，那么該直線不經過（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】先求得過定點，再依據其斜率，即可得到該直線不經過第三象限.【詳解】直線可化為則直線過定點，又直線斜率，故該直線不經過第三象限.故選：C6.已知空間向量，且，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】現根據空間向量數量積的坐標表示求出，進而根據模長公式求得，進而根據向量與向量的夾角公式求解即可.【詳解】因為，所以，即，則有，所以，又因為，所以向量與的夾角為.故選：C.7.《九章算術》是我國東漢初年編訂的一部數學經典著作，其在卷第五《商功》中描述的幾何體“陽馬”實為“底面為矩形，一側棱垂直于底面的四棱錐”．如圖，在“陽馬”中，平面，，則直線與面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標系，求出面的法向量，再求直線與面所成角的正弦值.【詳解】因為平面，面，底面為矩形，所以兩兩垂直，設，以分別為軸建立空間直角坐標系如圖，則所以，設平面的法向量為，所以，令，則，所以取，直線與面所成角的正弦值為.故選：A8.已知直線，點，記到的距離為，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】當直線過點時，求出的值，可得出；然后求出直線所過定點的作坐標，求出，分析可知當時，最大，但此時不存在，由此可得出的取值范圍.【詳解】若直線過點，則，解得，此時，點到直線的距離為；由直線，可得，由，可解得，即直線過定點，則，，當直線與直線垂直時，最大，此時，直線的斜率為，的值不存在，即這樣的直線不存在，所以.故選：C.二?多選題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，選對但不全得2分，有選錯得0分.9.已知向量，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】通過空間向量平行和垂直的坐標運算，驗證各選項是否正確.【詳解】A選項，因為，所以，A正確；B選項，因為，所以，B正確；C選項，設，則有，方程組無解，故不平行，C錯誤；D選項，，故，D正確.故選：ABD10.已知直線，則（）A.直線的斜率為B.直線的傾斜角為C.直線不經過第三象限D.直線與直線垂直【答案】AC【解析】【分析】由直線方程確定斜率,傾斜角判斷選項；根據直線方程直接判定所過象限判斷選項C；由直線垂直的判定判斷選項D.【詳解】由題設，傾斜角，則，A對，B錯；直線斜率為負值，y軸截距為正值，則直線過第一，二，四象限，不過第三象限，對；由，可得其斜率為，由，可得直線與不垂直，D錯.故選：11.6個相同的分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球．記第一次取出球的數字為，第二次取出球的數字為．設，其中表示不超過X的最大整數，則（）A. B.C.事件“”與“”互斥 D.事件“”與“”對立【答案】AC【解析】【分析】結合互斥事件和對立事件的定義，結合古典概型公式即可得出結論.詳解】由題意，6個相同的分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球．∴共有36種可能的情況，其中的情況共有：，∴，故A正確∵兩次取球數字之和為5的情況有以下四種：，，，，∴，故B錯誤.當時，，∴事件“”與“”互斥，故C正確.∵當時，，當，時，∴事件“”與“”不對立，故D錯誤.故選：AC.12.如圖所示，正方體中，，點在側面及其邊界上運動，并且總是保持，則以下四個結論正確的是（）A. B.C.點必在線段上 D.平面【答案】ACD【解析】【分析】建立適當的空間直角坐標系，設出點，由題意，從而可得，對于A，只需驗證是否成立即可；對于B，只需驗證是否成立即可；對于C，令，判斷關于的方程是否有解即可；對于D，求出平面的法向量，驗證是否成立即可.【詳解】以為原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系如下圖所示，則，設，則，由，可得，即，又，則，故，故選項A判斷正確；由，可得，則兩向量與不垂直，故與不垂直，故選項B判斷錯誤；又，令，則有，解之得此時均成立.故點必在線段上，故選項C判斷正確；設平面的一個法向量為，又.則，令，則，則，由，可得，又平面，則平面，故選項D判斷正確.故選：ACD.【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵是明確驗證線線垂直只需方向向量的數量積為0，對于C選項只需驗證方程是否有解，驗證線面平行只需驗證平面的法向量與直線的方向向量的數量積是否為0.第II卷三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分.13.設為三個隨機事件，若A與是互斥事件，與是相互對立事件，且，則____.【答案】【解析】【分析】先利用對立事件的概率公式求得的值，再利用互斥事件的概率公式即可求得的值.【詳解】由與是對立事件，可得由與是互斥事件，可得.故答案為：14.過點且垂直于直線的直線方程為___.【答案】【解析】【分析】先利用兩直線垂直求得所求直線斜率，進而利用點斜式直線方程求得所求直線方程.【詳解】直線的斜率為，則過點且垂直于直線的直線斜率為，則所求直線方程為，化為一般式為.故答案為：15.已知向量且共面，則__________.【答案】【解析】【分析】由題意可得存在非零實數滿足，結合空間向量坐標的線性運算可得的值，進而結合空間向量模的坐標公式求解即可.【詳解】若共面，則存在非零實數滿足，則，即，解得，所以，則，所以.故答案為：.16.已知兩條平行直線間的距離為，則____.【答案】5【解析】【分析】先利用兩直線平行求得m值，再利用兩平行直線間的距離公式求得n的值，進而求得的值.【詳解】根據題意，兩條直線平行，必有，解可得則即，變形可得，又由兩條平行直線間的距離為，則有，故，解之可得或，則時；時.故答案為：5.四?解答題：本大題共6小題，共70分.17.如圖所示，已知三角形的三個頂點為，求：（1）所在直線的方程；（2）邊上的高所在直線的方程；（3）三角形的面積.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）利用直線的兩點式方程即可求得所在直線的方程；（2）先求得直線的斜率，再利用直線的點斜式方程即可求得所在直線的方程；（3）利用點到直線距離公式求得邊上的高，再利用兩點間距離公式求得邊的長，進而求得三角形的面積.小問1詳解】因為，所以直線的兩點式方程為，化簡得；【小問2詳解】因為，又，則，所以，則直線的方程為，即.【小問3詳解】點到直線：的距離又的底邊，所以的面積為.18.從3名男生和2名女生中任選2人參加演講比賽．（1）將5名學生做適當編號，把選中2人的所有可能情況列舉出來；（2）求所選2人中恰有一名女生的概率；（3）求所選2人中至少有一名男生的概率．【答案】（1）詳見解析；（2）（3）【解析】【分析】（1）3名男生分別記為A，B，C，2名女生分別記為a，b，從中任選2人的情況列舉即可；（2）利用古典概型的概率求解；（3）利用古典概型的概率求解；【小問1詳解】解：3名男生分別記為A，B，C，2名女生分別記為a，b，從中任選2人的所有情況為：AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10種；【小問2詳解】所選2人中恰有一名女生的情況有：Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb共6種，所以所選2人中恰有一名女生的概率是；【小問3詳解】所選2人中至少有一名男生的情況有：AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb共9種，所以選2人中至少有一名男生的概率.19.如圖所示，在底面是矩形的四棱錐中，底面分別是的中點，.（1）求兩點間的距離；（2）求證：平面；（3）求證：平面平面.【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，結合空間向量求解，進而求解；（2）利用空間向量可得，進而得到，進而根據線面平行的判定定理即可證明；（3）利用空間向量可得，進而得到平面，再根據面面垂直的判定定理即可證明.【小問1詳解】由題可知，底面，，以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，即兩點間的距離為.【小問2詳解】由（1）知，，所以，即，即，又平面平面，所以平面.【小問3詳解】由（2）知，，，，所以，，則，即，又，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面.20.甲、乙兩名跳高運動員一次試跳2米高度成功的概率分別是，，且每次試跳成功與否相互之間沒有影響，求：（1）甲試跳三次，第三次才成功的概率；（2）甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率；（3）甲、乙各試跳兩次，甲比乙的成功次數恰好多一次的概率.【答案】（1）（2）（3）0.2976.【解析】【分析】（1）由相互獨立事件的概率乘法公式可得；（2）利用間接法，先求其對立事件的概率即可；（3）所求事件可表示為兩個互斥事件的和事件.先由相互獨立事件的概率乘法公式分別求解兩個互斥事件的概率，再由概率加法公式可得.【小問1詳解】設“甲第次試跳成功”為事件，“乙第次試跳成功”為事件，依題意得，且相互獨立.“甲第三次試跳才成功”為事件，且三次試跳相互獨立，.即甲第三次試跳才成功的概率為.【小問2詳解】“甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功”為事件，