6.1-6.3線段射線直線與角（重難點突破）原卷版

突破6.1~6.3線段、射線、直線與角【知識點一、直線】1．概念：直線是最簡單、最基本的幾何圖形之一，是一個的原始概念，直線常用“一根拉得緊的細線”、“一張紙的折痕”等實際事物進行形象描述．2.表示方法：（1）可以用直線上的表示兩個點的大寫英文字母表示，如圖1所示，可表示為直線AB(或直線BA)．圖1 圖2（2）也可以用表示，如圖2所示，可以表示為直線．3.基本性質(zhì)：經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線．簡單說成：兩點確定一條直線．特別說明：直線的特征：（1）直線沒有，向兩方無限延伸．（2）直線沒有．（3）確定一條直線．（4）兩條直線相交有唯一一個交點．4.點與直線的位置關(guān)系：（1）點在直線上，如圖3所示，點A在直線m上，也可以說：直線m經(jīng)過點A．（2）點在直線外，如圖4，點B在直線n外，也可以說：直線n不經(jīng)過點B．圖3 圖4【知識點二、線段】1.概念：直線上兩點和它們之間的部分叫做線段．2.表示方法：（1）線段可用表示它兩個端點的兩個英文字母來表示，如圖所示，記作：線段AB或線段BA．（2）線段也可用小寫英文字母來表示，如圖5所示，記作：線段a．圖53.“作一條線段等于已知線段”的兩種方法：法一：用圓規(guī)作一條線段等于已知線段．例如：下圖所示，用圓規(guī)在射線AC上截取AB＝a．法二：用刻度尺作一條線段等于已知線段．例如：可以先量出線段a的長度，再畫一條等于這個長度的線段．4.基本性質(zhì)：兩點的所有連線中，線段最短．簡記為：兩點之間，最短．如圖6所示，在A，B兩點所連的線中，線段AB的長度是最短的．圖6圖65.線段的中點：把一條線段分成兩條相等線段的點，叫做線段的．如圖7所示，點C是線段AB的中點，則，或AB＝2AC＝2BC．圖圖7特別說明：若點C是線段AB的中點，則點C一定在線段AB上．【知識點三、射線】1.概念：直線上一點和它一側(cè)的部分叫射線，這個點叫射線的．如圖8所示，直線l上點O和它一旁的部分是一條射線，點O是端點．圖8圖82.特征：是直的，有一個端點，不可以，不可以比較長短，無限長．3.表示方法：（1）可以用兩個英文字母表示，其中一個是射線的端點，另一個是射線上除端點外的任意一點，端點寫在前面，如圖8所示，可記為射線OA．（2）也可以用一個英文字母表示，如圖8所示，射線OA可記為射線l．特別說明：(1)端點相同，而延伸方向不同，表示不同的射線．如圖9中射線OA，射線OB是射線．圖9圖9(2)端點相同且延伸方向也相同的射線，表示同一條射線．如圖10中射線OA、射線OB、射線OC都表示射線．圖10圖10【知識點四、直線、射線、線段的區(qū)別與聯(lián)系】1.直線、射線、線段之間的聯(lián)系（1）射線和線段都是直線上的一部分，即整體與部分的關(guān)系．在直線上任取一點，則可將直線分成兩條射線；在直線上取兩點，則可將直線分為一條線段和四條射線．（2）將射線反向延伸就可得到直線；將線段一方延伸就得到射線；將線段向兩方延伸就得到直線．2．三者的區(qū)別如下表類型名稱直線射線線段圖形表示方法①兩個大寫字母；②一個小寫字母①兩個大寫字母（表示端點的字母在前）②一個小寫字母①表示兩端點的兩個大寫字母②一個小寫字母端點個數(shù)無1個2個延伸性向兩方無限延伸向一方無限延伸不可延伸性質(zhì)兩點確定一條直線兩點之間，線段最短度量不可以不可以可以作圖敘述過A、B作直線AB以A為端點作射線AB連接AB特別說明：（1）聯(lián)系與區(qū)別可表示如下：向兩方延伸向一方延伸直線（直線的性質(zhì)公理）線段線段長短的比較，線段的中點射線向兩方延伸向一方延伸直線（直線的性質(zhì)公理）線段線段長短的比較，線段的中點射線反向延伸反向延伸（2）在表示直線、射線與線段時，勿忘在字母的前面寫上“直線”“射線”“線段”字樣．【知識點五、角的概念的理解】角的定義：（1）定義一：有公共端點的兩條組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的，這兩條射線是角的兩條．如圖1所示，角的頂點是點O，邊是射線OA、OB．圖2圖1圖2圖1（2）定義二：一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部．如圖2所示，射線OA繞它的端點O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．特別說明：（1）兩條射線有公共端點，即角的頂點；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關(guān)．（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的幾何符號用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：特別說明：用數(shù)字或小寫希臘字母表示角時，要在靠近角的頂點處加上弧線，且注上阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫希臘字母．3.角的畫法（1）用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角．（3）利用尺規(guī)作圖可以畫一個角等于已知角．【知識點六、余角與補角】1.定義：一般地，如果兩個角的和等于°，就說這兩個角互為余角，即其中一個角是另一個角的余角．類似地，如果兩個角的和等于°，就說這兩個角互為補角，即其中一個角是另一個角的補角．2．性質(zhì)：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的補角相等．特別說明：(1)互余互補指的是兩個角的數(shù)量關(guān)系，互余、互補的兩個角只與它們的和有關(guān)，而與它們的位置無關(guān)．(2)一般地，銳角α的余角可以表示為(90°－α)，一個角α的補角可以表示為(180°－α)．顯然一個銳角的補角比它的余角大90°．【知識點七、鄰補角與對頂角】1．鄰補角：如果兩個角有一條公共邊，并且它們的另一邊互為反向延長線，那么具有這種關(guān)系的兩個角叫做互為．特別說明：(1)鄰補角的定義既包含了位置關(guān)系，又包含了數(shù)量關(guān)系：“鄰”指的是位置相鄰，“補”指的是兩個角的和為180°．(2)鄰補角是成對出現(xiàn)的，而且是“互為”鄰補角．(3)互為鄰補角的兩個角一定，但互補的兩個角不一定互為．(4)鄰補角滿足的條件：①有公共頂點；②有一條公共邊，另一邊互為反向延長線.2.對頂角及性質(zhì)：（1）定義：由兩條直線相交構(gòu)成的四個角中，有公共頂點沒有公共邊(相對)的兩個角，互為．（2）性質(zhì)：對頂角相等．特別說明：(1)由定義可知只有兩條直線時，才能產(chǎn)生對頂角．(2)對頂角滿足的條件：①相等的兩個角；②有公共頂點且一角的兩邊是另一角兩邊的反向延長線.(一)直線、射線、線段的區(qū)別與聯(lián)系例1．如圖，下列說法不正確的是（

）A．直線與直線是同一條直線 B．線段與線段是同一條線段C．射線與射線是同一條射線 D．射線與射線是同一條射線【變式訓(xùn)練1－1】下列幾何圖形與相應(yīng)語言描述相符的有（

）①直線a、b相交于點A；②射線與線段沒有公共點；③延長線段；④直線經(jīng)過點A.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式訓(xùn)練1－2】如圖，點A，B，C在直線l上，下列說法中正確的有（）①只有一條直線；②能用字母表示的射線共有3條；③一共有三條線段；④延長直線；⑤延長線段和延長線段的含義是相同的；⑥點B在線段上．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式訓(xùn)練1－3】如圖所示，共有多少條直線、射線、線段？請依次指出．(二)直線、射線、線段的數(shù)量和交點問題例2．如圖所示，由濟南始發(fā)終點至青島的某一次列車，運行途中?？康能囌疽来问牵簼稀筒獮H坊——青島，那么要為這次列車制作的單程火車票（

）種．A．4 B．6 C．10 D．12【變式訓(xùn)練2－1】兩條直線相交，產(chǎn)生一個交點，已知9條直線相交最多產(chǎn)生36個交點，那么10條直線相交最多產(chǎn)生交點個數(shù)為（

）A．45 B．46 C．50 D．60【變式訓(xùn)練2－2】如圖，觀察圖形，有下列說法：①直線和直線是同一條直線；②；③射線與射線是同一條射線；④三條直線兩兩相交時，一定有三個交點．其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式訓(xùn)練2－3】平面內(nèi)有兩兩相交的條直線，如果最多有個交點，最少有個交點，那么．(三)線段有關(guān)計算問題【例3】如圖，點C，D是線段上的兩點，若，點P是線段的中點，則．【變式訓(xùn)練3－1】已知點M是線段上一點，若，點N是直線上的一動點，且，則．【變式訓(xùn)練3－2】如圖，B、C網(wǎng)點把線段分為三部分，．(1)求的長(2)若點M是的中點，求的長．(3)在（2）的條件下，若點N為線段中點，求線段的長度．【變式訓(xùn)練3－3】七（1）班的數(shù)學(xué)興趣小組在活動中，對“線段中點”問題進行以下探究．已知線段，點E，F(xiàn)分別是，的中點．(1)如圖1，若點C在線段上，且（寫出解題過程），的長度；(2)如圖2，若點C是線段上任意一點，則的長度為；(3)若點C在線段的延長線上，其余條件不變，借助圖3探究的長度（不寫探究過程）．(四)線段的動點最值問題【例4】已知長方形中，，，動點從點出發(fā)沿以每秒2個單位的速度運動；同時，點也從點出發(fā)以每秒3個單位的速度沿運動，當(dāng)其中一個點到達終點時另一個點也隨之停止運動．設(shè)運動時間為秒．（1）當(dāng)點到達終點時，點在邊；（2）當(dāng)點在邊上運動時，用表示的式子為；（3）點、相遇時，秒．【變式訓(xùn)練4－1】已知點在線段上，，點、在直線上，點在點的左側(cè)．(1)若，，線段在線段上移動．①如圖1，當(dāng)為中點時，求的長；②若點在線段上，且，，求的長；(2)若，線段在直線上移動，且滿足關(guān)系式，求的值．【變式訓(xùn)練4－2】在數(shù)軸上，表示數(shù)的點到原點的距離．如果數(shù)軸上兩個點、分別對應(yīng)數(shù)、，那么、兩點間的距離為：，這是絕對值的幾何意義．已知如圖，點在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為－3，點對應(yīng)的數(shù)為2．（1）求線段的長．（2）若點在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為，且是方程的解，在數(shù)軸上是否存在點，使？若存在，求出點對應(yīng)的數(shù)；若不存在說明理由．（3）若點是數(shù)軸上在點左側(cè)的一點，線段的中點為點，點為線段的三等分點且靠近于點，當(dāng)點在點左側(cè)的數(shù)軸上運動時，請直接判斷的值是否變化，如果不變請直接寫出其值，如果變化請說明理由．【變式訓(xùn)練4－3】（1）如圖1，點C在線段上，M，N分別是，的中點．若，，求的長；（2）設(shè)，C是線段上任意一點（不與點A，B重合），①如圖2，M，N分別是，的三等分點，即，，求的長；②若M，N分別是，的n等分點，即，，直接寫出的值．【變式訓(xùn)練4－4】如圖，P是線段上一點，，C，D兩動點分別從點P，B同時出發(fā)沿射線向左運動，到達點A處即停止運動．(1)若點C，D的速度分別是，．①當(dāng)動點C，D運動了2s，且點D仍在線段上時，_________cm；②若點C到達中點時，點D也剛好到達的中點，則_________；(2)若動點C，D的速度分別是，，點C，D在運動時，總有，求的長【變式訓(xùn)練4－5】數(shù)軸是一個非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點建立起一一對應(yīng)的關(guān)系，揭示了數(shù)與點之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)。我們知道，它在數(shù)軸上的意義是表示數(shù)的點與原點（即表示的點）之間的距離，又如式子，它在數(shù)軸上的意義是表示數(shù)的點與表示數(shù)的點之間的距離．也就是說，在數(shù)軸上，如果點表示的數(shù)記為，點表示的數(shù)記為，則，兩點間的距離就可記作．回答下列問題：（1）在數(shù)軸上的意義是表示數(shù)的點與表示數(shù)的點之間的距離的式子是____．（2）反過來，式子在數(shù)軸上的意義是．（3）試用數(shù)軸探究：當(dāng)時的值為．（4）進一步探究：的最小值為，此時的取值范圍為．（5）最后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)闹底钚r，的值為(五)角的概念【例5】下列說法中，正確的是（

）A．一個周角就是一條射線 B．平角是一條直線C．角的兩邊越長，角就越大 D．也可以表示為【變式訓(xùn)練5－1】如圖，下列說法正確的是（

）A． B．圖中只有兩個角，即和C．與表示同一個角 D．與表示同一個角【變式訓(xùn)練5－2】計算：；°；當(dāng)時鐘指向時間為時，鐘表上的時針與分針的夾角為度．【變式訓(xùn)練5－3】如圖：(1)以點B為頂點的角有幾個？分別表示出來．(2)請分別指出以射線為邊的角．(3)以D為頂點，為一邊的角有幾個？分別寫出來．【變式訓(xùn)練5－4】如圖，在鐘面上，點為鐘面的圓心，以點為頂點按要求畫出符合下列要求的角（角的兩邊不經(jīng)過鐘面上的數(shù)字）：（1）在圖1中畫一個銳角，使銳角的內(nèi)部含有2個數(shù)字，且數(shù)字之差的絕對值最大；（2）在圖2中畫一個直角，使直角的內(nèi)部含有3個數(shù)字，且數(shù)字之積等于數(shù)字之和；（3）在圖3中畫一個鈍角，使鈍角的內(nèi)部含有4個數(shù)字，且數(shù)字之和最??；（4）在圖4中畫一個平角，使平角的內(nèi)部與外部的數(shù)字之和相等；（5）在圖5中畫兩個直角，使這兩個直角的內(nèi)部含有的3個數(shù)字之和相等.(六)方位角及其計算【例6】如圖，某海域中有A，B兩個小島，其中B在A的北偏東40°方向，那么小島A相對于小島B的方向是（

）A．南偏東40° B．北偏東50° C．南偏西40° D．北偏西50°【變式訓(xùn)練6－1】如圖，甲從處出發(fā)沿北偏西方向行走至處，又沿南偏西方向行走至處，此時再沿與出發(fā)時一致的方向行走至處，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練6－2】如圖，我國山東號航空母艦行駛在B處同時測得黃巖島A、中國海軍南昌號驅(qū)逐艦C的方向分別為北偏西和西南方向，則的度數(shù)是．【變式訓(xùn)練6－3】小麗、小影、小華三人每天相約在如圖所示的早餐店碰面，小麗家在早餐店南偏西方向上，小影家在點處，小華家在早餐店東南方向上，，且早餐店到小華家與小麗家的距離相等．(1)在圖中畫出小華家的位置；(2)求的度數(shù)；(3)若，請說出小影家相對于早餐店的位置．(七)角的單位及簡單計算【例7】已知，下面結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練7－1】如圖甲所示，將一副三角尺的直角頂點重合在點O處．(1)①探究與的關(guān)系：因為，所以，即______．②探究與的關(guān)系：因為，，所以______．(2)若將這副三角尺繞點O旋轉(zhuǎn)到如圖乙的位置：①直接寫出與的關(guān)系：______；②探究與的關(guān)系，并仿照（1）①中的探究寫出推過程．【變式訓(xùn)練7－2】如圖1，將兩塊直角三角板與的直角頂點O重合在一起，其中直角邊在內(nèi)部．(1)如圖2，若，求和的度數(shù)．(2)若①和有什么關(guān)系？請說明理由．②當(dāng)時，求的度數(shù)．【變式訓(xùn)練7－3】把兩個三角尺按如圖所示那樣拼在一起，試確定圖中的度數(shù)及其大小關(guān)系．(八)角的平分線及旋轉(zhuǎn)問題【例8】已知：．(1)如圖1，若．①寫出圖中一組相等的角（除直角外）__________，理由是________________．

②那么_________．(2)如圖2，與重合，若，將繞點O以5度/秒的速度作逆時針旋轉(zhuǎn)，運動時間為t（）秒．①當(dāng)t=______秒時，平分；②試說明：當(dāng)t為何值時，？【變式訓(xùn)練8－1】已知，平分，平分．(1)如圖1，若，，求的度數(shù)；(2)如圖2，若，求度數(shù)；(3)如圖3，在（2）的條件下，為內(nèi)部的一條射線，，若為平面內(nèi)一條射線，，求的度數(shù)．【變式訓(xùn)練8－2】已知，，平分，平分．(1)如圖1，當(dāng)，重合時，求的值；(2)如圖2，當(dāng)從圖1所示的位置開始繞點以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)．在旋轉(zhuǎn)過程中，的值是否會因的變化而變化？若不變化，請求出該定值；若變化，請說明理由；(3)在（2）的條件下，求當(dāng)旋轉(zhuǎn)多少秒時，．【變式訓(xùn)練8－3】閱讀理解，回答問題：定義回顧：從一個角的頂點出發(fā)，將這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線．角的平分線也可以通過折紙完成，如圖（1），將含有的紙片經(jīng)過頂點P對折疊，折痕所在的射線就是的平分線．利用角的平分線的定義，可以進行角的度數(shù)的計算．問題解決：(1)如圖（2），點P，Q分別是長方形紙片的對邊，上的點，連結(jié)，將和分別對折，使點A，B都分別落在上的和處，點C落在處，分別得折痕，，則的度數(shù)是______；(2)如圖（3），將長方形紙片分別沿直線，折疊，使點A，B分別落在點，處，和不在同一條直線上，且被折疊的兩部分沒有重疊部分．①若，，求的度數(shù)；②若，求的度數(shù)（用含的式子表示）；拓廣探索：(3)將長方形紙片分別沿直線，折疊，使點A，B，C分別落在點，，處，和不在同一條直線上，且被折疊的兩部分有重疊部分，如圖（4）．若，請直接寫出的度數(shù)（用含的式子表示）．(九)求一個角的余角或補角【例9】一個銳角的余角比它的補角（

）A．相等 B．小 C．大 D．不能確定大小【變式訓(xùn)練9－1】下列說法中，錯誤的是（

）A．互余且相等的兩個角